CENTRO UNIVERSITRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL UNIPLAN CURSO: ENGENHARIA CIVIL PROF: M BEATRIZ SENA BRIGNOL DISCIPLINA: CLCULO DE FUNES DE VRIAS VARIVEIS CFVV

Gradiente e suas vrias aplicaes: 1. Medida da declividade de um terreno. 2. Medida da variao de determinada caracterstica de um meio (tais como a presso atmosfrica, a temperatura, etc.) de um ponto para outro desse meio. 3. Clculo Vetorial: vetor resultante do produto do operador Nabla por uma funo escalar de ponto. [Abrev.: grad.] 4. Eng. Civ. Linha que representa a diretriz de uma estrada, composta de uma sequncia de retas com declividades permitidas, que o projetista traa sobre o perfil longitudinal do terreno. 5. Med. Coeficiente de modificao de temperatura, presso, etc. 6. Met. Expresso numrica da diferena de presso entre dois locais, expressa em milmetros, ou a distncia entre esses dois lugares, expressa em graus de latitude. Gradiente termomtrico vertical. Met. Decrscimo da temperatura em consequncia das diferenas de altitude(contado de 100 em 100m). 7. Nabla: Operador vetorial que, multiplicado por uma funo escalar, forma o gradiente da funo, e por uma vetorial, o rotacional. 8. Arco: Geom. Seguimento de uma curva; medida linear de um segmento de curva. 9. Normal: Geom. Anal. Reta perpendicular a uma curva ou superfcie. 10. Vetores Ortogonais: Clc. Vet. Vetores cujo produto escalar nulo. Num espao tridimensional, as retas suportes desses vetores so ortogonais. 11. Vetor tangente: Geom. Anal. Vetor unitrio t definido como a derivada onde r o vetor posio de um ponto de uma curva de elemento de arco ds. 12. Ortogonal: Geom. Que forma ngulos retos (90). 13. Escalar: Diz-se de qualquer grandeza que pode ser caracterizada exclusivamente por um nmero, dimensional ou no. DERIVADA DIRECIONAL E O GRADIENTECENTRO UNIVERSITRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL UNIPLAN CURSO: ENGENHARIA CIVIL PROF: M BEATRIZ SENA BRIGNOL DISCIPLINA: CLCULO DE FUNES DE VRIAS VARIVEIS CFVV

1. MATERIAL DE ESTUDO PARA APLICAO DA NP2Pgina 1

2. Consideremos uma funo f(x,y) definida em D 2 e seja (x0,y0) um ponto de D; j sabemos calcular nesse ponto a taxa de variao de f em relao a , mantido fixo, e a taxa de variao de f em relao a mantido fixo. Estas taxas so as derivadas parciais de f em relao a e a respectivamente.

3. Geometricamente elas descrevem o comportamento de f(x,y) (crescimento ou decrescimento) quando, a partir do ponto (x0,y0) caminhamos na direo do eixo [fx(xo,yo)] e na direo do eixo [fy(xo,yo)].

4. Assim, por exemplo, fx(xo,yo)= +3, isto significa que caminhando a partir de (xo,yo) na direo do eixo no sentido positivo, veremos os valores de f(x,y) aumentar de aproximadamente 3 unidades para cada unidade de percorrida; Se fy(xo,yo)= 4, isto significa que, a partir de (xo,yo) caminhando na direo do eixo no sentido positivo, veremos os valores de f(x,y) diminuir aproximadamente de 4 unidades para cada unidade de percorrida. y y r r y0 y0 r r 0 x0 x 0 x0 x4. Queremos agora descrever o comportamento de f(x,y) quando, a partir de (xo,yo), caminhamos numa direo qualquer determinada pela reta orientada que forma com o eixo o ngulo orientado . A taxa de variao de f em relao distncia percorrida na direo de ser chamada derivada direcional de f(x,y) no ponto (x0,y0), na direo de , e representaremos por f(x0,y0).

5.Derivada pela Definio: Vamos definir, de um modo mais formal, a derivada direcional f: Inicialmente, determinemos as equaes paramtricas de , tomando como parmetro o comprimento de arco : = y S r Ssen y0 Scos0 x0 x Agora vamos calcular f(x,y) nos pontos da reta , ou seja, vamos compor a funo f(x,y) com a s funesEnto, quando = 0, temos f(0) = f(x0,y0); a derivada de F() no ponto = 0 a Derivada Direcional de f(x,y) no ponto (x0,y0) e na direo : Tambm comum a notao: =.

6.Exemplo 1. Calcular a (1,2) para a funo = == 2 . Logo, (1,2), e isto significa que, se a partir do ponto (1,2) caminharmos na direo da reta orienta que forma 450 com o eixo , ento veremos os valores de f(x,y) aumentar de aproximadamente 2 unidades para cada unidade percorrida.Mtodo de Clculo da Derivada Direcional: Necessitamos, agora, de um mtodo de clculo da Derivada Direcional que nos dispense de ter que recorrer sempre definio. Este mtodo estabelecido pelo seguinte Teorema: f(x,y) diferencivel no ponto (xo,yo) ento: f(x,y) tem derivadas direcionais neste ponto em qualquer direo , e vale: (Obs.: O nmero que chamamos de derivada direcional de f(x,y) em (xo,yo) na direo fornece, de fato, uma caracterizao do comportamento de f(x,y) na direo e no sentido determinados por , e determina a direo e o sentido em que nos moveremos a partir de (xo,yo).8. Exemplo 2. A temperatura de uma chapa dada por onde e so as coordenadas de um ponto, em cm, e T em 0C. Calcule de quanto varia, aproximadamente, a temperatura se caminharmos 1 cm a partir do ponto (3,4) na direo: (a) = 300

(a) = 300 Temos (3,4)= 6.cos300 + 8.sen300 = 6. + 8. = 3 + 4 9,2 (3,4) 9,2 0c/cm; a temperatura dever aumentar de 9,20c por cm aproximadamente.

(b) = 2100Temos (3,4)= 6.cos2100 + 8.sen2100 = 6. + 8. = 5,19 4 9,2 (3,4) 9,2 0c/cm; a temperatura dever diminuir de 9,20c por cm aproximadamente.

9. FORMA VETORIAL O GRADIENTE: A partir de um ponto (x0,y0) estamos determinando uma direo(direo e sentido) atravs de um ngulo . r r r r y0 y0 y0 y0

0 x0 0 x0 0 x0 0 x0Podemos determinar uma direo atravs de um vetor : y y y y0 yo yo yo 0 x0 0 x0 0 x0 0 x0Este vetor ter um mdulo qualquer (comprimento), mas comum indicarmos uma direo atravs de um vetor unitrio (de mdulo 1) , chamado versor da direo. Assim, o versor do eixo o vetor , o versor do eixo o vetor , e um vetor ,qualquer, pode ser representado por + onde so as componentes de nos eixos e respectivamente. 4 yo 3 yo 3 3+ 4 4 0 x0 x0 3 4O vetor unitrio da direo de pode ser obtido a partir de dividindo-se por , onde Como tem mdulo 1, as componentes de resultando em: 10. A derivada Direcional de f(x,y) no ponto (xo,yo) e na direo , esta direo pode ser determinada atravs do versor onde temos:(O vetor + chamado GRADIENTE de f(x,y) no ponto (xo,yo) e representado por (grad f)(xo,yo) ou f(xo,yo) [l-se nabla f no ponto (xo,yo)]: f( Notamos, ento que a derivada direcional pode ser expressa em termos do gradiente e do versor 11.Lembrando que : resulta que o vetor oposto do gradiente f(xo,yo), determina a direo em que a derivada direcional mnima, tendo valor simtrico ao da direo do gradiente: derivada direcional mxima = derivada direcional mnima = . Portanto, o gradiente indica, em cada ponto, a direo (e o sentido) em que a derivada direcional mxima; o vetor oposto ao gradiente indica a direo em que a derivada direcional mnima; nos dois casos, o mdulo da derivada direcional o mdulo do gradiente. Por outro lado, em cada ponto (x0,y0), o vetor unitrio , normal ao gradiente(perpendicular ao gradiente), determina uma direo em que a derivada direcional nula, pois: f(cos 90 = 0. Isto significa que, nesta direo a taxa de variao de f(x,y) em relao distncia percorrida nula, e que, caminhando nesta direo f(x,y) praticamente constante. Ento podemos dizer que, em cada ponto (x0,y0), o vetor normal ao gradiente, o vetor tangente curva de nvel de f(x,y) que passa pelo ponto (x0,y0). 12.A temperatura de uma chapa plana dada por = (T em OC.(a)Determine o gradiente da temperatura no ponto (3,4):O gradiente de T(x,y) o vetor: = no ponto (3,4) temos: (b)Determine, a partir do ponto (3,4), a direo em que a temperatura cresce o mais rapidamente possvel, e qual a taxa de crescimento:O gradiente indica a direo em que a taxa de variao da temperatura (derivada direcional) mxima, logo: para a temperatura crescer o mais rapidamente possvel devemos seguir, a partir de (3,4), na direo do gradiente, ou seja, na direo = = = A derivada direcional nesta direo igual ao mdulo do gradiente: = = = 10; Portanto, a taxa de variao 10C por cm, aproximadamente.

(c) Determine, a partir do ponto (3,4), a direo em que a temperatura decresce o mais rapidamente possvel, e qual a taxa de decrescimento:O vetor oposto do gradiente indica a direo em que a temperatura decresce o mais rapidamente possvel (derivada direcional mnima): Direo de mximo decrescimento: = Taxa de decrescimento: f (3,4)=f(3,4)= 10. A temperatura decresce de aproximadamente 10C por cm.

(d)Determine, a partir do ponto (3,4), em que direo devemos seguir a fim de que a temperatura permanea constante:Na direo do vetor , normal ao gradiente, a temperatura permanece constante: (pois perpendicular a ()( = = Como 1 ; + e ento () + = 1 ou .Segue que =Ento ou = ) Os vetores so tangentes curva de nvel de T(x,y) que passa pelo ponto (3,4):T(3,4) = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 (circunferncia de centro (0,0) e raio 5).(e)Calcular T30(3,4): Temos: 6. + 8. 9,2 /cmNOTA: T30(3,4) < (3,4)

13.Derivada Direcional de um Campo Escalar: Problema 01. Suponha que um pssaro esteja pousado em um ponto A de uma chapa R cuja temperatura T funo dos pontos dela. Se o pssaro se deslocar em uma determinada direo, ele vai sentir aumento ou diminuio de temperatura? R

AA resposta a esta pergunta ser encontrada mediante a anlise da taxa de variao da temperatura em relao distncia, no ponto A, quando o pssaro se move na direo dada. Logo, devemos encontrar a derivada direcional da funo temperatura.Problema 2. Suponha que, em outra situao, podemos conhecer a temperatura do ar nos pontos do espao por meio de uma funo T(x,y,z). Um pssaro localizado em um ponto P deseja resfriar-se o mais rapidamente possvel. Em que direo e sentido ele deve voar?A resposta a esta pergunta ser possvel se, grad T 0 em P, para se resfriar o mais rpido possvel, o pssaro deve voar na direo e sentido de grad T(P).14.Encontrar o gradiente dos campos escalares:(a)f(x,y,z) 2() (b) g(x,y) Utilizando a definio do vetor gradiente, para duas ou mais variveis, obtemos:(a)grad f = 4x(b)grad g = 15.Calcular o gradiente de f(,) = , em P(2,1).Temos16.Seja f(x, y, z) = (a)Estando em (1, 1, 2), que direo e sentido devem ser tomados para que f cresa mais rapidamente?Estando em (1, 1, 2), devemos tomar a direo e o sentido do vetor f(1, 1, 2) = 22+ para que f cresa o mais rapidamente possvel.(b)Qual o valor mximo de (1, 1, 2)? O valor mximo de (1, 1, 2) dado por = = = 17.PROBLEMAS APLICADOS RESOLVIDOS(a) Seja uma distribuio de temperatura em uma regio do espao. Uma partcula P1 localizada P1(2, 3, 5) necessita esquentar-se o mais rpido possvel. Outra partcula P2 localizada em P2(0, -1, 0) necessita resfriar-se o mais rapidamente possvel. Pergunta-se:1) Qual a direo e o sentido que P1 deve tomar?Soluo:Temos:Como P1 necessita esquentar-se o mais rapidamente possvel2)Qual a direo e o sentido que P2 deve tomar?Como P2 necessita resfriar-se o mais rapidamente possvel 3) Qual a taxa mxima de crescimento da temperatura em P1 e qual a taxa mxima de decrescimento da temperatura em P2? A taxa mxima de crescimento da temperatura em P1 dada por = = = = . A taxa mxima de decrescimento da temperatura em P2 dada por = 2. = = = .(b) Um alpinista vai escalar uma montanha, cujo formato aproximadamente o do grfico de , com Se ele parte do ponto P0(4, 3, 0), determinar a trajetria a ser descrita, supondo que ele busque sempre a direo de maior aclive.Soluo:Seja (t) = [x(t), y(t), z(t)] a equao da trajetria do alpinista. Inicialmente, vamos determinar a projeo [x(t), y(t), z(t)] de da montanha dada por f, onde f = 25 . Como o alpinista deve se deslocar na direo de maior aclive, o f deve ser tangente projeo da trajetria. Fazemos, ento: = grad f[ =[]= [(2x(t), 2y(t)]. Resolvendo a equao, vem: = 2x(t) e = 2y(t) onde e . Particularizando as constantes C1 e C2, lembramos que o ponto de partida do alpinista, correspondente a t = 0, P0(4, 3, 0). Portanto, x(0) = 4 e y(0) = 3 e, desta forma, C1 = 4 e C2 = 3. Logo, a projeo de (t) = ) e a trajetria dada por: = )2]= z 25

5 5 y x P0(c) O grfico abaixo mostra as curvas de nvel da temperatura T(x,y) da superfcie do oceano de uma determinada regio do globo terrestre. Supondo que T(x,y) aproximadamente igual a , pergunta-se:1)Qual a taxa de variao da temperatura nos pontos P0(2,3) e P1(4,1), na direo nordeste?A taxa de variao da temperatura dada pela derivada direcional. Considerando que um vetor unitrio na direo nordeste ( ,) e que grad f = (1, -vem que: (Po)= (2,3)= f(2,3). ( ,) = .3). ( ,) = e (P1)= (4,1)= f(4,1). ( ,) = 2) Se no conhecermos a forma da funo T(x,y), como poderemos encontrar um valor aproximado para a taxa de variao do item (1)?Se no conhecermos a forma da funo T(x,y), poderemos calcular a taxa de variao mdia da temperatura na direo nordeste no ponto P0. Basta observar a figura abaixo e assinalar as temperaturas a nordeste: - 1, e a sudeste: 0. A seguir faz-se o quociente onde 1 km a distncia aproximada entre os dois pontos cujas temperaturas foram observadas. Portanto, 1 grau/km o valor aproximado da taxa de variao da temperatura, em P0, na direo nordeste. Analogamente, temos que = 2,5 grau/km o valor aproximado da taxa de variao da temperatura em P1, na direo nordeste. Observamos que os valores encontrados em (1) so aproximadamente os mesmos encontrados em (2).3) Qual a taxa mxima de variao da temperatura em P0? A taxa mxima de variao da temperatura em P0 dada por = =

5 -4 4 -3 3 P0 -1 -2 2 01 1 P10 1 2 3 4 5 x

18. LISTA DE EXERCCIOS:I -Se Z = , encontre (a) Z, (b) O valor de Z no ponto (2, -3), e (c) A Derivada Direcional no ponto (2, -3) e na direo do vetor unitrio = (cos) + (sen)II -Se f= , encontre (a) f(1,2), (b) onde o vetor unitrio na direo de = .III -Encontre (a) O valor mximo da derivada direcional e (b) O vetor unitrio da direo para qual esse valor mximo obtido para f= no ponto (1, 0).IV -A temperatura T em graus C em um ponto de uma placa de metal aquecida dada por T = onde so medidos em centmetros. (a) Que direo tomar a partir do ponto (-4, 3) a fim de que a T aumente mais rapidamente? (b) Qual a velocidade de T quando algum se move a partir do ponto (-4, 3) na direo do item (a)?V -Seja f= , encontre a derivada direcional de f em (1, -1, 2) na direo do vetor = .VI -O potencial eltrico V em volts no ponto P = no espao dado por V = , onde so dados em centmetros. Qual a taxa de variao de V no instante que passamos por = na direo de = (4, 3, 0)?VII -Seja f= Encontre (a) O valor mximo da derivada direcional de f em (8, -1, 4); (b) O vetor unitrio da direo para a qual essa derivada direcional mxima ocorre.VIII -Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) O gradiente Z de cada campo escalar, (b) O valor de Z no ponto ( , (c) A derivada direcional em ( na direo do vetor unitrio .1.Z = , ( = (1, 1); = 2.Z = , ( = (2, -1); = 3.Z = , ( = (0, 0); = , = 4.Z = , ( = (1, 1); , =

IX -Nos problemas de 5 a 8, encontre (a) f( e (b) O valor da derivada direcional de f em ( na direo indicada.5. f = = , ( = (1, 2) na direo do vetor unitrio = 6. f = = , ( = (-2, 1) na direo de (-2, 1) para (-6, -2).7. f = = , ( = (3, 2) na direo do vetor unitrio = 8. f = = , ( = (3, -1) na direo do vetor unitrio = 4 X -Nos problemas 9 e 10, um campo escalar dado no plano Encontre a taxa de variao desse campo escalar quando nos movemos da direita para a esquerda a partir do ponto ( dado ao longo da reta que faz o ngulo indicado com o eixo positivo dos 9. Z = , ( = (3, 1); = 10. Z = , ( = (, 1); = XI -Nos problemas de 11 a 14, determine (a) O valor mximo da derivada direcional e (b) Um vetor unitrio na direo da derivada direcional mxima para cada funo no ponto indicado.11. f = , em ( = (1, -1)12. f = +(3x-y-6)2, em ( = (1, 1)13. f = , em ( = (1, )14. f = , em ( = (0, )XII -A temperatura T no ponto de uma placa de metal circular aquecida com centro na origem dada por T = onde T medido em graus C e so medidos em centmetros. (a) Que direo tomar a partir do ponto (1, 1) a fim de que a T aumente o mais rapidamente possvel? (b) Qual a velocidade do aumento de T quando algum se move a partir do ponto (1, 1) na direo escolhida no item (a)?XIII -Nos problemas de 15 a 18, encontre (a) O valor mximo da derivada direcional e (b) Um vetor unitrio na direo em que a derivada direcional mxima for obtida, para cada funo no ponto indicado.15. 16. 17. 18.

XIV -Calcular, usando a definio, a derivada direcional do campo escalar no ponto indicado e na direo 19. 20. 21. XV -Nos exerccios 22 a 31, calcular o gradiente do campo escalar dado.22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. XVI -Em que direo devemos nos deslocar partindo de Q(1, 1, 0) para obter a taxa de maior decrscimo da funo XVII -Em que direo a derivada direcional de XVIII -Em que direo e sentido a funo dada cresce o mais rapidamente no ponto dado? Em que direo e sentido decresce o mais rapidamente?32. 33. XIX -Determinar a derivada direcional da funo na direo do vetor = + 4.XX -Calcule o gradiente de XXI -A temperatura em graus Celsius na superfcie de uma placa de metal onde so medidos em centmetros. Em qual direo a partir de (2, -3) a temperatura cresce mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento?