Derivada de Uma Funcao

Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete

RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS

Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br

Professor Mauricio Lutz

1

DERIVADAS

A derivada de uma função )(xfy = num 0xx = , é igual ao valor da

tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de )(xfy = , no ponto 0xx = , ou seja, a derivada é o coeficiente

angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto 0x .

A derivada de uma função )(xfy = , pode ser representada também

pelos símbolos: 'y , dxdy ou )(' xf .

A derivada de uma função )(xf no ponto 0x é dado por:

hxfhxf

xxxfxfxfx

dxdf

xxx

)()(lim)()(lim)(')( 000

0

000

0

−+=

−−

==→→

1) Derivadas fundamentais

Nas formulas abaixo, u e v são funções da variável x e c uma constante. a)Derivada da função constante

0)( =cdxd

Exemplo: 05 =dxd

b) Derivada da função potência 1.)( −= nn xnx

dxd , portanto 1)( =x

dxd

Exemplo: 67 7xxdxd

=

c) Derivada de um produto de uma constante por uma função

dxducuc

dxd .).( =

Exemplo: 334 20.4.55 xxxdxd

==

d) Derivada da função senxxf =)(

xsenxdxd cos)( =

e) Derivada da função xxf cos)( =

senxxdxd

−=)(cos





2

Exercícios Calcule a derivada )(' xf das seguintes funções:

a) 8)( =xf b) 6 5)( xxf = c) 5)( −= xxf d) 41)(x

xf =

e) xxf 4)( −= f) 10

53)( xxf = g) 4

21)( −−= xxf h) 105)( xxf =

i) senxxf 4)( = j) xxf cos5)( −= k) xxf cos31)( −= l) xxf cos3)( =

m) 35

6)( xxf = n) 23

8)( xxf = o) 45)( xxf −=

Gabarito

a) 0 b) 665

x c) 6

5x− d) 5

4x− e) –4 f) 96x

g) 52x

h) 10 921x

i) xcos4 j) senx5 k) senx31 l) senx3−

m) 3 210 x n) x12 o) 320x−

2) Propriedades operatórias

Considere u e v funções da variável x .

a)Derivada de uma soma de funções

''' vuyvuy +=⇒+=

''' vuyvuy −=⇒−=

Exemplo: Dada a função 1524)( 23 ++−= xxxxf , calcular )(' xf .

( ) 5412054120.5.2.2.3.41524 20211121323 +−=++−=++−=++− −−− xxxxxxxxxxxdxd

b) Derivada de um produto de funções

uvvuyvuy '.'.'. +=⇒=

Exemplo: Calcular a derivada de )37)(52()( xxxf −+= .

)37)(52( xxy −+= uvvuyvuy '.'.'. +=⇒=

xuxu 2'12 =⇒+= xxxxuvvuy 1561535)52)(3()37.(5'.'.' −−−=+−+−=+=

3'37 −=⇒−= vxv 2030' +−= xy





3

c) Derivada de um quociente de funções

2'.'.'

vuvvuy

vuy −

=⇒=

Exemplo: Sendo 31)(

2

−+

=xxxf , calcular )(' xf .

31)(

2

−+

=xxxf 2

'.'.'v

uvvuyvuy −

=⇒=

xuxu 2'12 =⇒+= 96

162)3(

)1(1)3(2'.'.' 2

22

2

2

2 +−−−−

=−

+−−=

−=

xxxxx

xxxx

vuvvuy

1'1 =⇒−= vxv 9616' 2

2

+−−−

=xxxxy

Exercícios Determine a derivada )(' xf das seguintes funções:

a) 473)( 2 +−= xxxf b) 234 2510)( xxxxf −−= c) 42 4310)( xxxf +−=

d) 12)( 23 +−+= xxxxf e) xxxf += 2)( f) xxxf cos32)( −=

g) senxxxf .3)( = h) xsenxxf cos.)( = i) xxxf cos.)( 2=

j) )32.()( 23 xxxxf −= k) )23.()( 22 +−= xxxxf l) )2).(4()( −+= xxxf

m) )32).(1()( −−= xxxf n) )1).(1()( 22 +−= xxxf o) 22

2

)1()(

−=

xxxf

p) 2354)(

+−

=xxxf q)

xxxf4

52)( += r)

41)( 2 −

=x

xf

s) 2

2

41)(

xxxxxf−++−

= t) 2

23 3472)(x

xxxxf ++−=

Gabarito

a) 76 −x b) xxx 41540 23 −− c) xx 616 3 − d) 143 2 −+ xx e) x

x2

12 +

f) senx32 + g) )cos(3 xxsenx + h) xsenx 22cos − i) )cos2( xsenxxx −

j) 34 1210 xx − k) xxx 494 23 +− l) 22 +x m) 54 −x n) 34x o) 22 )1(2−

−x

x

p) 2)23(23+x

q) 2165x

− r) 22 )4(2−

−x

x s) 22 )4(510xx

x−+− t) 32

642xx

−−





4

3) Derivada da potência de uma função

Consideremos g uma função da variável x e n uma constante.

( ) '..' 1 ggnygy nn −=⇒=

Exemplo: Dada a função 4)12()( += xxf , calcular )(' xf .

2)('12)( =⇒+= xgxxg

( ) 33144 )12.(82.)12(4'..4' +=+==⇒= − xxggygy

4) Derivada de uma função exponencial

Consideremos g uma função da variável x .

aayay xx ln.'=⇒=

agayay gg ln'..'=⇒=

Exemplos: a) Calcular a derivada de xxf 2)( =

2ln.2'2)( xx yxf =⇒=

b) Calcular a derivada de 523)( −= xxf

3ln.2.3'3)( 5252 −− =⇒= xx yxf

5) Derivada da função logarítmica

Consideremos g uma função da variável x .

xyxy 1'ln =⇒=

ex

yxy aa log.1'log =⇒=

Exemplos: a) Dada a função 4).(ln)( xxxf = , determinar )(' xf .

A função dada é da forma:

ghhgfhgf '.'.'. +=⇒=

xgxg 1'ln =⇒= 34 4' xhxh =⇒=

)ln.41(ln4ln.4.1'.'.' 33334 xxxxxxxxx

ghhgf +=+=+=+=





5

b) Dada a função 3)(log)( xxf = , determinar )(' xf . A função dada é da forma:

( ) '..' 1 ggny n−=

ex

gxg log.1'log =⇒=

( )x

exex

xggny n log.)(log3log.1.)(log3'..'2

21 === −

Exercícios Determine as derivadas das seguintes funções:

a) ( )23 2)( xxxf −= b) ( )224 13)( +−= xxxf c) 21)( xxf −=

d) 3 14)( += xxf e) 22 )1()( ++= xxxf f) xxxf 23)( +−=

g) x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21)( h) 133)( += xxf i) xxf 2.5)( =

j) xexf .10)( = k) 2)(ln)( xxf = l) xxf ln21)( =

m) xxf 2log.3)( = n) 2)(log)( xxf = o) x

xxfln

)(2

=

Gabarito

a) xxx 8166 35 +− b) xxxx 1244368 357 −+− c) 21 x

x−

− d)

3 2)14(34+x

e) 24 +x f) xx 2

132

1+

−−

g) 21ln.

21 x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

h) 3ln.3 13 +x i) 2ln.2.5 x j) xe.10

k) x

xln2 l)

x21

m) ex 2log3

n) x

ex log.log2 o) 2)(ln

)1ln(xxxx −

6) Derivada da função composta (regra da cadeia)

Sejam f e g são funções da variável x . ))(( xgfy =

e )(xgu = então )(ufy = e )(').(')(' xvvuxf = .

Exemplos: a) Seja xsenxf 3)( = , determine )(' xf . )(').(')('))(()( xvvuxfxvuxf =⇒=

3)('3)( =⇒= xvxxv xvxfsenvvu 3coscos)(')( ==⇒=

Então: xxxfxsenxf 3cos33).3(cos)('3)( ==⇒=





6

b) Seja )65ln()( 2 +−= xxxf ,determine )(' xf . A função é da forma )(').(')('))(()( xvvuxfxvuxf =⇒=

52)('65)( 2 −=⇒+−= xxvxxxv

6511)('ln)( 2 +−

==⇒=xxv

xfvvu

Então:

6552)52.(

651)(')65ln()( 22

2

+−−

=−+−

=⇒+−=xx

xxxx

xfxxxf

Exercícios Calcule as derivadas das funções:

a) xxf 6cos)( =

b) )13()( += xsenxf

c) )ln()( senxxf =

d) )3log()( 2 xxxf −=

e) 52 )23log()( += xxf

f) 23 )4()( −= xxf

g) 23

1)(−

=x

xf

h) 32 )83()( +−= xxxf

i) 5)78()( −−= xxf

j) 6

22 1)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

xxxf

k) 3 2 5)( xxxf +=

l) )4(2)4.(3)( 2 xxxf +=

m) 33)( senxxxf =

n) 32 )125()( −+−= xxxf

o) 424 )158()( +−= xxxf

Gabarito

a) xsen66−

b) )13cos(3 +x

c) gxcot d) )3(

log)32(2 xx

ex−

−

e)

)23(log30

2 +xex

f) 25 246 xx −

g) 23

)23(2

3

−

−

x h) )32.()83(3 22 −+− xxx

i) 6)78(

5−−

x

j) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 3

5

22 1.112

xx

xx

k)

3 22 )5(352xx

x+

+ l) 836 +x m) 3532 cos33 xxsenxx +

n) 42 )125(630+−

−xx

x o) )164.()148(4 3324 xxxx −+−





7

7) Regra de L’Hôspital Esta regra permite calcular certos tipos de limites, cujas indeterminações

são do tipo 00 ou

∞∞ , aplicando as regras de derivação.

Sejam f e g funções deriváveis num certo intervalo aberto I , exceto

possivelmente, num ponto Ia∈ . Se )()(

xgxf

tem a forma indeterminada 00 ou

∞∞

em

ax = e se 0)(' ≠xg para ax ≠ então

)(')('lim

)()(lim

xgxf

xgxf

axax →→= desde que

)(')('lim

xgxf

ax→ exista, ou ∞=

→ )(')('lim

xgxf

ax

Exemplos: a) Calcule o 39lim

2

3 −−

→ xx

x.

Pelo cálculo do limite temos

00

339)3(

39lim

22

3=

−−

=−−

→ xx

x, o que é uma indeterminação, pela regra de

L’Hôspital tem-se:

( ) xxdxd 292 =− e ( ) 13 =−x

dxd

Logo 63.212lim

3==

→

xx

b) Calcule o xex

x→∞lim .


∞∞

=∞

=∞

→∞

exex

xlim , o que é uma indeterminação, pela regra de L’Hôspital

tem-se:

( ) xx eedxd

= e ( ) 1=xdxd

Logo +∞== ∞

→eex

x 1lim

3

Obs.: Pode ocorrer que ao aplicarmos a regra de L’Hôspital a expressão )(')('lim

xgxf

x→∞

ainda seja indeterminada neste caso desde que as condições da regra estejam verificadas aplicamos a regra novamente.





8

c) Calcule o 2795

233lim 234

234

1 +−+−−+−−

→ xxxxxxxx

x.


00

2795233lim 234

234

1=

+−+−−+−−

→ xxxxxxxx

x, o que é uma indeterminação, pela regra de

L’Hôspital tem-se:

00

7181543634lim

)(')('lim 23

23

11=

−+−+−−

=→→ xxx

xxxxgxf

xx aplicando a regra novamente

temos:

00

1830126612lim

)('')(''lim 2

2

11=

+−−−

=→→ xx

xxxgxf

xx aplicando a regra novamente temos:

36

183024624lim

)(''')('''lim

11−=

−=

−−

=→→ x

xxgxf

xx

Logo 32795

233lim 234

234

1−=

+−+−−+−−

→ xxxxxxxx

x

Exercícios Ache o limite se existir:

a) x

senxx 2lim

0→ b)

2521lim 25 −

−−→ x

xx

c) 675252lim 2

2

2 −−+−

→ xxxx

x

d) 1223lim 2

3

1 +−+−

→ xxxx

x e) 20

1limx

ex x

x

−+→

f) 30lim

xsenxx

x

−→

g) x

senxx

2

2cos

1lim +→π

h) x

xx lnlim

2

→∞ i)

xsenxsenxee xx

x

2lim0

−− −

→

j) 20 2coslim

xexx x

x

−

→

+ k)

45132lim 2

2

++++

→∞ xxxx

x l)

xxxx

x lnlnlim+→∞

m) x

x

x 5533lim

−−

−∞→ n) 23

3 ln2limxe

xex

x

x +−

∞→ o) 2

lnlimx

xx ∞→

Gabarito

a) 21

b) 401

c) 133

d) ∞ e) 21

− f) 61

g) ∞ h) ∞ i) 0 j) ∞ k) 52

l) ∞ m) 53

n) 2 o) 0





9

8) Aplicações das derivadas Regra da primeira derivada Consideremos uma função real f , definida num domínio D , tal que f é

derivável em D . Os sinais da função derivada 'f estão relacionados ao

crescimento ou decrescimento de f .

Valem as seguintes propriedades ⇒Se 0)(' >af , então )(xf é crescente em ax = .

⇒Se 0)(' <af , então )(xf é decrescente em ax = .

Os pontos em que 0)(' =xf podem ser de máximo ou de mínimo ou de

inflexão. Estes pontos são chamados pontos críticos de f .

Exemplos: a) Determine os pontos críticos e estudar a variação da função

xxxf 3)( 3 −= , ℜ∈x .

33)('3)( 23 −=⇒−= xxfxxxf

111330330)(' 222 ±=±=⇒=⇒=⇒=−⇒= xxxxxf (ponto crítico)

Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos.

01234.33)2(3)2(')2(' 2 >=−=−−=−⇒− ff

0330.33)0(3)0(')0(' 2 <−=−=−=⇒ ff

Gráfico de f





10

b) Determinar os pontos críticos e estudar a variação da função 543)( 34 +−= xxxf , ℜ∈x .

2334 1212)('543)( xxxfxxxf −=⇒+−=

0)1(12012120)(' 223 =−⇒=−⇒= xxxxxf

0012 2 =⇒=⇒ xx (ponto crítico) 101 =⇒=−⇒ xx (ponto crítico)

Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos. 0241212)1(12)1(12)1(')1(' 23 <−=−−=−−−=−⇒− ff

02/3)2/1(12)2/1(12)2/1(')2/1(' 23 <−=−=⇒ ff

048)2(12)2(12)2(')2(' 23 >=−=⇒ ff

Exercícios Para cada função ℜ∈xxf ),( , determinar os pontos críticos e estude a variação.

a) 23)( 23 +−= xxxf b) 44)( 34 +−= xxxf c) 2159)( 23 ++−= xxxxf

d) 333)( 23 ++−= xxxxf e) 22)( 24 +−= xxxf f) 2475)( xxxf −−=

g) 1202)( 23 +−+= xxxxf h) 18)( 24 +−= xxxf i) 23 )1(10)( −= xxxf

j) 596)( 2 +−= xxxf Gabarito a) Pontos críticos 0 e 2; 0 é ponto de máximo e 2 é ponto de mínimo. b) Pontos críticos 0 e 3; 0 é ponto de inflexão e 3 é ponto de mínimo. c) Pontos críticos 1 e 5; 1 é ponto de máximo e 5 é ponto de mínimo. d) Ponto crítico 1; 1 é ponto de inflexão. e) Pontos críticos –1, 0 e 1; –1 é ponto de mínimo, 0 é ponto de máximo e 1 é ponto de mínimo. f) Ponto crítico -7/8; -7/8 é ponto de máximo. g) Pontos críticos –2 e 5/3; –2 é ponto de máximo e 5/3 é ponto de mínimo. h) Pontos críticos –2, 0 e 2; –2 é ponto de mínimo, 0 é ponto de máximo e 2 é ponto de mínimo. i) Pontos críticos 0, 3/5 e 1; 0 é ponto de inflexão,3/5 é ponto de máximo e 1 é ponto de mínimo. j) Ponto crítico 3/4 ; ¾ é ponto de mínimo.





11

Regra da segunda derivada Consideremos uma função real f , definida num domínio D , tal que f é

derivável até segunda ordem em D , isto é, existem )(' xf e )('' xf em D . Os sinais

da função derivada ''f estão relacionadas à concavidade do gráfico f .

Valem as seguintes propriedades ⇒Se 0)('' >af , então )(xf tem concavidade para cima em ax = .

⇒Se 0)('' <af , então )(xf tem concavidade para baixo em ax = .

Um ponto 0x em que 0)('' 0 =xf e ''f muda de sinal (antes e depois de

0x ) é um ponto de inflexão de f . Se também 0)(' 0 =xf , dizemos que é um ponto

de inflexão horizontal pois a reta tangente é paralela ao eixo x .

Se 0)('' 0 =xf mas ''f não muda de sinal (antes e depois de 0x ), então

f não muda de concavidade em 0x , portanto, neste caso, 0x não é ponto de

inflexão. Exemplos: a) Determine os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função

3)(

3xxf = , ℜ∈x .

xxfxxxfxxf 2)(''3

3)('3

)( 223

=⇒==⇒=

0020)('' =⇒=⇒= xxxf Vamos pegar pontos antes de depois de 0=x .

02)1(2)1('')1('' <−=−=−⇒− ff 02)1(2)1('')1('' >==⇒ ff





12

b) Determine os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função

8)(

4xxf = , ℜ∈x .

2334

23)(''

21

84)('

8)( xxfxxxfxxf =⇒==⇒=

00230)('' 2 =⇒=⇒= xxxf

Vamos pegar pontos antes de depois de 0=x .

023)1(

23)1('')1('' 2 >=−=−⇒− ff

023)1(

23)1('')1('' 2 >==⇒ ff

Não há ponto de inflexão.

Exercícios Determine os pontos de inflexão e estude a concavidade da função f , ℜ∈x , dada.

a) 5)( xxf = b) 12

)(6xxf = c) 24)( xxf = d) 23 3)( xxxf −=

e) xxxf 6)( 3 +−= f) 34 8)( xxxf −= g) 24 6)( xxxf −= h) xxxf 4)( 4 −= Gabarito a) Concavidade p/baixo em ]-∞, 0]e concavidade p/cima em [0, +∞[; Ponto de inflexão. b) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão. c) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão. d) Concavidade p/baixo em ]-∞, 1]e concavidade p/cima em [1, +∞[; Ponto de inflexão. e) Concavidade p/cima em ]-∞, 0]e concavidade p/baixo em [0, +∞[; Ponto de inflexão. f) Concavidade p/cima em ]-∞, 0]; concavidade p/baixo em [0, 4] e concavidade p/ cima [4, +∞[; Ponto de inflexão. g) Concavidade p/cima em ]-∞, -1]; concavidade p/baixo em [-1, 1] e concavidade p/ cima [1, +∞[; Ponto de inflexão. h) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão.





13

Máximos e mínimos Lembremos que os pontos de máximos ou de mínimos de uma função

f podem ser determinados analisando os sinais da derivada primeira de 'f .

Outro recurso que pode ser empregado na identificação de pontos de máximos ou de mínimos é analisar o sinal da derivada segunda nos pontos que anulam a derivada primeira.

Valem as seguintes propriedades ⇒ 0)(' 0 =xf e 0)('' 0 >xf , se, e somente se 0x é ponto de mínimo de f .

⇒ 0)(' 0 =xf e 0)('' 0 <xf , se, e somente se 0x é ponto de máximo de f .

Exemplos: a) Identificar os pontos críticos da função 46)( 26 +−= xxxf , ℜ∈x .

1230)(''126)('46)( 4526 −=⇒−=⇒+−= xxfxxxfxxxf

44

45

5

202

0060)2(612601260)('

±=⇒=−⇒

=⇒=⇒=−=−

=−⇒=

xx

xxxxxx

xxxf

Vamos aplicar o critério dos sinais da derivada segunda nos pontos críticos:

Para 0=x

01212)0(30)0(''1230)('' 44 <−=−=⇒−= fxxf

Então, 0=x é ponto de máximo local de f .

Para 4 2+=x

04812)2(30)2(''1230)('' 4444 >=−+=+⇒−= fxxf

Então, 4 2+=x é ponto de mínimo local de f .

Para 4 2−=x

04812)2(30)2(''1230)('' 4444 >=−−=−⇒−= fxxf

Então, 4 2−=x é ponto de mínimo local de f .

b) Identificar os pontos críticos da função 6)( xxf = , ℜ∈x . 456 30)(''6)(')( xxfxxfxxf =⇒=⇒=

0060)(' 5 =⇒=⇒= xxxf

Para 0=x

0)0(30)0(''30)('' 44 ==⇒= fxxf (nada podemos concluir)





14

Sinais de 56)(' xxf =

Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos. 06)1(6)1(')1(' >−=−=−⇒− ff

06)1(6)1(')1(' >==⇒ ff

Portanto 0=x é ponto de mínimo local de f .

Exercícios Identificar os pontos críticos e se é ponto de máximo ou mínimo das seguintes funções

a) 4)( xxf −= b) 44)( xxxf −= c) 55)( 5 +−= xxxf

d) 55)( 25 +−= xxxf e) 12)( 23 ++−= xxxxf f) 643)( 34 +−= xxxf

g) 46 62)( xxxf −= h) 22 )1()( −= xxf

Gabarito a)Ponto critico 0; Ponto de máximo. b) Ponto critico 1; Ponto de máximo. c) Pontos críticos –1 e 1; Ponto de mínimo em –1 e ponto de máximo em 1.

d) Pontos críticos 0 e 23 ; Ponto de mínimo em 23 e ponto de máximo em 0. e) Pontos críticos 1 e 1/3; Ponto de mínimo em 1 e ponto de máximo em 1/3. f) Ponto critico 0; Ponto de mínimo.

g) Pontos críticos 0, 2 e 2− ; Ponto de mínimo em 2 e 2− e ponto de máximo em 0. h) Pontos críticos 0,1 e 1− ; Ponto de mínimo em 1 e 1− e ponto de máximo em 0.

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