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DerivadaDerivada de funções: Exponencial, logarítmica
Derivada do ProdutoDerivada do Cociente
Regra da Cadeia
1
Derivada da Função Exponencial
• Regra
• Para todo a>0
d(ax)
dx= lna.a
x
Consequentemente :
d(ex)
dx= lne.e
x= e
x
2
Exemplo
• Derive as seguintes funções:
a)ƒ(x) = 4.10x! x
3
b)y = e2+ x
e
c)g(t) = et+2
3
Exemplo
• Derive as seguintes funções:
a)ƒ(x) = 4.10x! x
3
4d(10
x)
dx!dx
3
dx= 4.ln10.10
x! 3x
2= 9,2103.10
x! 3x
2
b)y = e2+ x
e
de2
dx+dx
e
dx= 0 + ex
e!1= ex
e.x
!1=ex
e
x
c)g(t) = et+2
et+2
= et.e2=de
t
dt.de
2
dt= e
t+2
4
Derivada do Produto de Funções
• Considere f e g duas funções de x .
• A derivada de ƒ(x).g(x) é dada por
d( f (x).g(x))
dx=dƒ(x)
dx.dg(x)
dx= f '(x).g(x) + g '(x) f (x)
5
Exemplo
c)g(t) = et+2
et+2
= et.e2=de
t
dt.de
2
dt= e
t.e2+ 0.e
t
d(et+2)
dt= e
t.e2= e
t+2
6
Exercício
• Derive as seguintes funções:
a) f (x) = x.2x
b)h(s) = (s2+ 3).e
s
c)g(x) =ex
x2
7
Derivada do Cociente de funções
• Considere f e g duas funções de x .
• A derivada de ƒ(x)/g(x) é dada por
d(f (x)
g(x))
dx=f '(x).g(x) ! g '(x). f (x)
[g(x)]2
8
Exemplos
• Derive as seguintes funções:
a) f (x) =1
1+ ex
b) f (t) =t
t3+1
c)g(x) =ex
x2
d) f (t) =2t
2+ t
4! 2
t4
9
Exemplos
a) f (x) =1
1+ ex
=0.(1+ e
x) ! (e
x)(1)
(1+ ex)2
=!e
x
(1+ ex)2
b) f (t) =t
t3+1
=t
1
2
t3+1
=
1
2t!1
2 .(t3+1) ! 3t
2.t
1
2
(t3+1)
2=
(t3+1)
2 t .(t3+1)
2!3t2t
(t3+1)
2
=1
2 t .(t3+1)
!3t2t
(t3+1)
2
10
Exemplos
c)g(x) =ex
x2
=ex.x2! 2x.e
x
(x2)2
=ex(x
2! 2x)
x4
=ex.x.(x ! 2)
x4
=ex.(x ! 2)
x3
d) f (t) =2t
2+ t
4! 2
t4
=(4t + 4t
3).t
4! 4t
3.(2t
2+ t
4! 2)
(t4)2
=4t
5+ 4t
7! 8t
5! 4t
7+ 8t
3
t8
=!4t
5+ 8t
3
t8
=t3(!4t
2+ 8)
t3.t5
=(8 ! 4t
2)
t5
11
Regra da Cadeia
• Essa regra é utilizada quando se quer derivar uma função composta tipo
• f(g(x)) - uma função em função de outra
• se P=f(g(x)) então:
dP
dx=d[ f (g(x))]
dx= f '(g(x)).g '(t)
12
Exemplos
• Calcule usando a regra da cadeia as seguintes funções:
a)h(x) = (x2+ 3)
3
h '(x) =d(x
2+ 3)
3
dx.d(x
2+ 3)
dx= 3(x
2+ 3)
2.(2x) = 6x.(x
2+ 3)
2
b) f (t) = e5t
ƒ '(t) =d(e
5t)
dx.d(5t)
dx= e
5t.5 = 5e
5t
13
Exemplos
• Calcule usando a regra da cadeia as seguintes funções:
c)Q(x) = (x3+ 2x !1)
d)ƒ(s) =s2
(2s2+ 3)
2
14
Exemplos
c)Q(x) = (x3+ 2x !1)
Q(x) = (x3+ 2x !1)
1
2
Q '(x) =1
2(x
3+ 2x !1)
!1
2 .(3x2+ 2)
Q '(x) =1
2 (x3+ 2x !1)
.(3x2+ 2) =
(3x2+ 2)
2 (x3+ 2x !1)
15
Exemplos
d)ƒ(s) =s2
(2s2+ 3)
2
Primeiro aplicamos a regra da derivada do cociente..
f'(s)=
d(s2 )
ds.(2s2
+ 3)2!d(2s2
+ 3)2
ds.s2
((2s2+ 3)2 )2
Agora aplicamos a regra da cadeia só no numerador:
f'(s)=
2s.(2s2+ 3)2
!d(2s2
+ 3)2
ds.d(2s2
+ 3)
ds.s2
(2s2+ 3)4
16
Exemplos
f'(s)=
2s.(2s2+ 3)
2!d(2s
2+ 3)
2
ds.d(2s
2+ 3)
ds.s2
(2s2+ 3)
4
f'(s)=2s.(2s
2+ 3)
2! 2(2s
2+ 3)
2!1.(4s).s
2
(2s2+ 3)
4
f'(s)=2s.(2s
2+ 3)
2! (2s
2+ 3).8s
3
(2s2+ 3)
4
17
Exemplos
f '(s) =2s.(2s
2+ 3)
2
(2s2+ 3)
4!
(2s2+ 3).8s
3
(2s2+ 3)
4=
2s
(2s2+ 3)
2!
8s3
(2s2+ 3)
3
ƒ '(x) =2s.(2s
2+ 3) ! 8s
3
(2s2+ 3)
3=
2s( (2s2+ 3) ! 4s
2)
(2s2+ 3)
3
f'(s)=2s.(2s
2+ 3)
2! (2s
2+ 3).8s
3
(2s2+ 3)
4
18
Derivada da função Logarítmica
• Regra:
• Tanto para log base 10 quanto para ln, vale:
d(log x)
dx=1
x
d(ln x)
dx=1
x
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Exemplo
• Derive as funções:
a) f (x) = ln(x3+ 2x +1)
b)g(t) = t2ln(2t)
20
Exemplo
• Derive as funções:
a) f (x) = ln(x3+ 2x +1)
f '(x) =d[ln(x
3+ 2x +1)]
dx.d(x
3+ 2x +1)
dx
f '(x) =1
(x3+ 2x +1)
.(3x2+ 2) =
(3x2+ 2)
(x3+ 2x +1)
21
Exemplo
• Derive as funções:
b)g(t) = t 2 ln(2t)
Primeiro aplicamos a regra do produto
g '(t) =dt
2
dt.ln(2t) + t 2 .
d(ln2t)
dt
Agora aplicamos a regra da cadeia no 2º termo...
g '(t) = 2t.ln(2t) + t 2 .d(ln 2t)
dt.d(2t)
dt
g '(t) = 2t.ln(2t) + t 2 .1
2t.2 = 2t ln(2t) + t
g '(t) = t(2 ln(2t) +1)
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Referencias
[1]!R. S. Ferreira, Matemática Aplicada às Ciências Agrárias -
Análise de Dados e Modelos, 1º ed. Viçosa: Editora UFV, 1999.
!
[2] F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo:
Editora Saraiva, 2005.
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