Departamento de Matemática e Engenharias

NÚMEROS NOTÁVEISNúmeros de Feigenbaum

Trabalho elaborado no âmbito da cadeira deMatemática Aplicada a Outras CiênciasInserida no Mestrado em Matemática

Rafael Domingos Garanito Luís

Funchal, Junho 2005

Conteúdo

Introdução 2

1 Órbitas e pontos de equilíbrio 41.1 Pontos de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Equação Logística e Bifurcação 82.1 Análise da função Fµ (x) = µx (1− x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Resultados iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Pontos de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 2− ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.4 22 − ciclo, 23 − ciclo, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.5 Processo alternativo para calcular o valor de µn no n− ciclo . . . . 132.1.6 O 3− ciclo implica caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.7 Como é desenhado o mapa logístico ou diagrama de bifurcação? . . 25

3 Generalização dos números de Feigenbaum 283.1 As constantes de Feigenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Aproximações às constantes de Feigenbaum para (r = 2) . . . . . . . . . . 323.3 Um modelo estatístico para δ (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Aproximação analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bibliografia 40

1

Introdução

Quando se estuda os pontos de equilíbrio da equação xn+1 = Fµ (xn) com Fµ (x) =µx (1− x), x ∈ [0, 1] e µ ∈ [0, 4], interessa-nos a cascata de duplicação de período, usual-mente conhecida por cascata de Feigenbaum.À medida que µ aumenta, para um determinado valor inicial de x, podemos tirar

várias conclusões. Para µ entre 0 e 3 há um estado estacionário único. Para valores deµ ∈

¤3, 1 +

√6¤temos um ciclo de período 2, para 1 +

√6 < µ ≤3,544090 o período

passa a ser 4, para 3,544090< µ ≤ 3, 564407 duplica de novo para 8, etc. "As duplicaçõessucessivas acumulam-se cada vez mais rapidamente, e a imagem da variação do atrac-tor com µ assemelha-se a uma árvore com infinitos galhos, ramos e raminhos, cada vezmais pequenos, dividindo-se em dois a cada passo". Feigenbaum, procurava saber o queacontecia nas pontas extremas dos últimos raminhos, quando µ é cerca de 3,5699...Assim, com o auxílio de uma calculadora programável (HP−65), Feigenbaum calculou

os valores da sequência onde ocorre a duplicação dos períodos, e determinou o quocienteentre a diferença de dois termos consecutivos da descrita sucessão. Verificou que esse valortende para 4,669....Repetiu o cálculo com outras funções e descobriu que essa razão de escalas não depende

da equação.Ao observarmos o gráfico de bifurcação, notamos que "os ramos mais pequenos não se

abrem tão depressa como os maiores, essa rapidez com que os ramos se abrem tambémleva a uma constante de escala universal - desta vez é 2,5029...".Assim, se definirmos µn como sendo o ponto onde surge o 2

n − ciclo, ao se deter-minar as várias órbitas de uma função, a constante δ é dada pelo lim

n→∞µn+1−µnµn+2−µn+1

. Até

à data, não se conhece o valor exacto deste limite, mas sabe-se que é aproximadamente4, 66920160910299....Este valor é universal para funções que se aproximam do caos porperíodos duplos. Uma outra constante, também universal, que aparece associada ao δ édada por α = dn

dn+1onde dn é a amplitude do ciclo onde aparece o valor de µn no 2

n−ciclo,mais próximo de 0.As constantes δ e α são conhecidas por constantes de Feigenbaum, devido ao facto de

este físico norte-americano as ter descoberto quando estudava os pontos fixos da equaçãoFµ (x) = µx (1− x) .

Para um dado mapa da forma f (x) = 1 − µ |x|r , r ≥ 2 as constantes são univer-sais e estão determinadas até r < 14. Mais geralmente, as constantes de Feigenbaumsão universais em todos os mapas unidimensionais f (x) com apenas um máximo local.Mais especificamente, são universais onde a derivada Schwartziana é negativa no inter-valo considerado. Isto foi conjecturado por Feigembaum e demostrado, mais tarde, por

2

3

via numérica, por Lanford (r = 2) e Epstein(r < 14).Até à data, ainda não se sabe se a constante δ é algébrica ou transcendente, e se pode

ser escrita à custa de outras constantes matemáticas.

Capítulo 1

Órbitas e pontos de equilíbrio

1.1 Pontos de equilíbrio

Definição 1.1 O ponto x∗ do domínio de f diz-se ponto de equilíbrio da equação

xn+1 = f (xn) (1.1)

se é ponto fixo de f , isto é, f (x∗) = x∗.

Graficamente, um ponto de equilíbrio é a abcissa do ponto onde o gráfico de f inter-secta a recta y = x.

Exemplo 1.2 A equação xn+1 = x3n onde f (x) = x3 tem 3 pontos de equilíbrio, pois aequação x3 = x admite -1, 0 e 1 como solução.

Definição 1.3 O ponto de equilíbrio x∗ da equação (1.1) diz-se:

1. estável se ∀ε > 0∃δ > 0∀n ∈ IN : |x0 − x∗| < δ =⇒ |fn (x0)− x∗| < ε, onde fn (x0)é a iterada de ordem n, x0 é uma condição inicial e o

conjunto {fn (x0) : n > 0} é a orbita (positiva) de x0.Caso contrário x∗ diz-se instável.

2. ponto de equilíbrio repelente se ∃ε > 0 : 0 < |x0 − x∗| < ε =⇒ |f (x0)− x∗| >|x0 − x∗| .

3. ponto de equilíbrio assimptoticamente estável se for estável e ∃η > 0 : |x0 − x∗| =⇒limn→∞

xn = x∗. Quando η = ∞, diz-se que x∗ tem uma estabilidade assimptótica

global.

Teorema 1.4 Seja x∗ um ponto de equilíbrio da equação (1.1), f continuamente diferen-ciável em x∗. Então:

4

5

7

*x δ+*x

δ−*x

ε+*x

ε−*x

n

nx

0x

1

Figura 1.1: Estabilidade de x∗: x0 ∈ x∗ ± δ =⇒ xn ∈ x∗ ± ε,∀n > 0

*xδ+*x

δ−*x

ε+*x

ε−*x

n

nx

0x

1 7

Figura 1.2: Instabilidade de x∗ : x0 ∈ x∗ ± δ mas ∃n ∈ IN : xn /∈ x∗ ± ε

6

*x

ε+*x

ε−*x

n

nx

0x

1 2 9

Figura 1.3: x∗ é repelente

n

nx η+*x

*x

( )ox1

η−*x ( )ox2

Figura 1.4: x∗ é assimptóticamente estável

7

1. se |f 0 (x∗)| < 1, então x∗ é assimptoticamente estável (atractor).

2. se |f 0 (x∗)| > 1, então x∗ é instável. De facto, x∗ é um ponto repelente.

A prova deste teorema pode ser consultada na página 24 do livro [3].

Teorema 1.5 Seja x∗ um ponto de equilíbrio da equação (1.1), f continuamente diferen-ciável em x∗ e f 0 (x∗) = 1. Então:

1. se f 00 (x∗) 6= 0 =⇒ x∗ é instável.

2. Se f 00 (x∗) = 0 e f 000 (x∗) > 0 =⇒ x∗ é instável.

3. Se f 00 (x∗) = 0 e f 000 (x∗) < 0 =⇒ x∗ é assimptoticamente estável.

A prova deste teorema pode ser consultada na página 26 do livro [3].

Teorema 1.6 Seja x∗ um ponto de equilíbrio da equação (1.1), f continuamente diferen-ciável em x∗ e f 0 (x∗) = −1. Então:

1. Se -2f 000 (x∗)− 3 [f 00 (x∗)]2 < 0 então x∗ é assimptoticamente estável.

2. Se -2f 000 (x∗)− 3 [f 00 (x∗)]2 > 0 então x∗ é instável.

A prova deste teorema pode ser consultada nas páginas 26, 27 e 28 do livro [3].

Definição 1.7 Seja b um ponto do domínio de f (x) . b é um ponto periódico da equação(1.1) se existe um inteiro k tal que fk (b) = b. Portanto, o ponto é k−periódico se é umponto fixo de fk, ou seja, se é um ponto de equilíbrio da equação às diferenças

xn+1 = g (xn)

onde g = fk.

A órbita periódica de b, O (b) =©b, f (b) , f2 (b) , ..., fk−1 (b)

ªé usualmente denomi-

nada por k − ciclo.

Teorema 1.8 Seja O (b) = {b = x0, x1, ..., xk−1} um k − ciclo de uma função f continu-amente diferenciável. Então:

1. o k − ciclo O (b) é um atractor se |f 0 (x0) f 0 (x1) ...f 0 (xk−1)| < 1.

2. o k − ciclo O (b) é um repelente se |f 0 (x0) f 0 (x1) ...f 0 (xk−1)| > 1.

Observação 1.9£fk (x0)

¤0= f 0 (x0) f

0 (x1) ...f0 (xk−1) pois, usando a regra da cadeia

obtemos que: £fk (x0)

¤0= f 0

¡fk−1 (x0)

¢ £fk−1 (x0)

¤0= f 0 (xk−1) f

0 ¡fk−2 (x0)¢ £fk−2 (x0)¤0= f 0 (xk−1) f

0 (xk−2) f0 ¡fk−3 (x0)¢ £fk−3 (x0)¤0

...

= f 0 (xk−1) f0 (xk−2) ...f

0 (x1) f0 (x0)

Capítulo 2

Equação Logística e Bifurcação

O objectivo básico da teoria dos sistemas dinâmicos é compreender o comportamentoeventual ou assimptótico de um processo iterativo. Assim, a teoria procura entendero comportamento de x, f (x) , f (f (x)) = f2 (x) , ..., f (f (... (f (x)))) = fn (x), com ngrande.

Considere—se a função Fµ (x) = µx (1− x) , µ > 0, todo o valor de x produz um valorde y = f (x), e a curva resultante expressa a relação dos dois números para a escala devalores. Podemos obter a sequência de pontos x1, x2, ..., xn através de xk+1 = f (xk) paraum dado x0.

Para ver o que acontece graficamente, depois de representar a parábola toma-se umvalor inicial x0, ao longo do eixo dos xx. Traça-se uma linha vertical, a partir de x0 atéencontrar a parábola e é lido o seu valor no eixo dos yy.

Para esse valor retomar o eixo dos xx criando um ciclo, traça-se uma linha horizontalpartindo da última posição na parábola até a função identidade f (x) = x e por fim,faz-se uma linha vertical retomando o eixo dos xx. Repete-se este processo até formaruma órbita x0, f (x0) , f2 (x0) , ..., fn (x0) , ...

0x1x 2x

( )01 xfx =

( )12 xfx =

Funções que determinam sistemas dinâmicos também são chamadas de mapas.

8

9

2.1 Análise da função Fµ (x) = µx (1− x)

Considere-se a equação logística (às diferenças)

xn+1 = µxn (1− xn) (2.1)

que surge da iteração da função

Fµ (x) = µx (1− x) , µ > 0, x ∈ [0, 1] (2.2)

Para melhor compreender o comportamento das várias iterações da função Fµ (x), énecessário fazer um estudo, em função do parâmetro µ.

2.1.1 Resultados iniciais

Observação 2.1 F 00µ (x) = −2µ < 0 ∀µ ∈ IR+, logo a concavidade do gráfico é voltada

para baixo. Resolvendo Fµ (x) = 0 temos que x = 0 ∨ x = 1. Isto significa que o gráficoda função corta o eixo dos xx em 0 e em 1, para qualquer µ > 0.

F 0µ (x) = µ−2µx =⇒ F 0

µ (x) = 0 ⇔µ>0

x = 12e como F 00

µ (x) < 0, então¡12, Fµ

¡12

¢¢=¡12, µ4

¢é um ponto máximo absoluto.

Observação 2.2 Para µ > 1, temos que:

1. Se x < 0, então Fnµ (x) →

n→∞−∞.

2. Se x > 1, então Fnµ (x) →

n→∞−∞.

Prova. 1. Se x < 0, então

Fµ (x) = µx (1− x) = µx− µx2 < µx <µ>1

x =⇒ Fµ (x) < x

F 2µ (x) = µFµ (x) (1− Fµ (x)) = µFµ (x)− µ [Fµ (x)]

2 < µFµ (x) < µx < x

F 3µ (x) = µF 2

µ (x)¡1− F 2

µ (x)¢= µF 2

µ (x)− µ£F 2µ (x)

¤2< µF 2

µ (x) < µx < x

...

F nµ (x) = µF n−1

µ (x)¡1− Fn−1

µ (x)¢= µF n−1

µ (x)− µ£Fn−1µ (x)

¤2< µF n−1

µ (x) < µx < x

...

Também se conclui que F nµ (x) < Fn−1

µ (x) , ∀n ∈ IN , já que Fnµ (x) < µF n−1

µ (x) ⇒µ>0,Fn

µ<0,Fn−1µ <0

F nµ (x) < Fn−1

µ (x).Portanto Fn

µ (x) é uma sequência decrescente de pontos. Temos de provar que estasequência não é limitada inferiormente. Para tal, basta mostrar que a distância entre doistermos consecutivos cresce, isto é:

10

|xn+2 − xn+1| = |µxn+1 (1− xn+1)− µxn (1− xn)|= µ

¯xn+1 − x2n+1 − xn + x2n

¯= µ

¯xn+1 − xn − x2n+1 + x2n

¯= µ |xn+1 − xn + (xn − xn+1) (xn + xn+1)|= µ |(xn − xn+1) (1− (xn + xn+1))|= µ |xn − xn+1| |1− (xn + xn+1)| ≥ µ |xn − xn+1|

pois xn, xn+1 < 0 =⇒ 1− (xn + xn+1) > 1. Assim, a sequência é monotona decrescentee não é limitada inferiormente, isto é, Fn

µ (x) →n→∞

−∞.

2. Se x > 1 então µx (1− x) < 0 < x e portanto seguindo os mesmos passos do casoanterior, concluimos que Fn

µ (x) →n→∞

−∞.

2.1.2 Pontos de equilíbrio

Para encontrar os pontos de equilíbrio de Fµ (x)(pontos fixos) da equação (2.2) temos deresolver a equação:

Fµ (x∗) = x∗ ⇔ µx∗ − µ (x∗)2 = x∗

⇔ x∗ = 0 ∨ µ (1− x∗) = 1

⇔ x∗ = 0 ∨ x∗ = µ− 1µ

Estudemos a estabilidade destes pontos.1o caso - x∗ = 0F 0µ (x) = µ − 2µx ⇒ F 0

µ (x∗) = µ e aplicando os Teoremas (1.4) e (1.5) podemos

concluir que:

• Se 0 < µ < 1 então 0 é um ponto fixo estável (atractor).

• Se µ > 1 então 0 é um ponto fixo repelente (instável).

• Para µ = 1 temos que F 00µ (x) = −2µ⇒ F 00

1 (x∗) = −2 6= 0 e portanto 0 é ponto fixo

instável.

2o caso - x∗ =µ− 1µ

, µ 6= 1De modo a termos x∗ ∈ ]0, 1] é necessário que µ > 1 (se 0 < µ < 1 então x∗ = 0).

F 0µ (x) = µ− 2µx =⇒ F 0

µ (x∗) = µ− 2µµ− 1

µ= 2− µ e pelo Teorema (1.4) sabemos

que x∗ é atractor se: ¯F 0µ (x

∗)¯< 1⇔ |2− µ| < 1⇔ 1 < µ < 3

11

portanto, para 1 < µ < 3 o ponto fixo x∗ =µ− 1µ

é atractor.

Por outro lado, ¯F 0µ (x

∗)¯> 1⇔ |2− µ| > 1⇔ µ > 3

e assim o ponto fixoµ− 1µ

é repelente para µ > 3.

Para µ = 3 resulta que F 03 (x

∗) = 3 − 4 = −1 e pelo Teorema (1.6) o ponto fixo éassimptoticamente estável pois, F 00

3 (x∗) = −6 e F 000

3 (x∗) = 0 e portanto, −2F 000

3 (x∗) −

3 [F 003 (x

∗)]2 < 0. Assim, quando µ > 1 temos:

• x∗ =µ− 1µ

é um ponto fixo atractor para 1 < µ ≤ 3.

• x∗ =µ− 1µ

é um ponto fixo repelente para µ > 3.

Fixe-se o valor de µ0 = 1

2.1.3 2− ciclo

Para encontrar um 2-ciclo resolve-se a equação F 2µ (x) = x.

F 2µ (x) = x⇔ Fµ (Fµ (x)) = x⇔ µFµ (x) (1− Fµ (x))− x = 0 (2.3)

⇔ µ2x (1− x) (1− µx (1− x))− x = 0

e rejeitando os pontos de equilíbrio x∗ = 0 e x∗ =µ− 1µ

então podemos dividir a

equação (2.3) pelo factor x³x− µ−1

µ

´e obtemos

µ2x (1− x) (1− µx (1− x))− x

x³x− µ−1

µ

´ = 0⇔ µ2 (1− x) (1− µx (1− x))− 1µx−µ+1

µ

= 0 (2.4)

⇔ µ2 (1− x) (1− µx (1− x))− 1µx− µ+ 1

= 0

Teremos de aplicar o algoritmo da divisão:

µ2 (1− x) (1− µx (1− x))− 1 = −µ3x3 + 2µ3x2 − (µ3 + µ2)x+ µ2 − 1

−µ3x3 + 2µ3x2 − (µ3 + µ2) x+ µ2 − 1µ3x3 − µ3x2 + µ2x2

(µ3 + µ2)x2 − (µ3 + µ2)x+ µ2 − 1-(µ3 + µ2)− (µ2 + µ) (−µ+ 1) x− (µ2 + µ)x+ µ2 − 1(µ2 + µ)x− µ2 + 1

0

µx− µ+ 1-µ2x2 + (µ2 + µ)x− (µ+ 1)

12

Da última equação de (2.4) resulta

−µ2x2 +¡µ2 + µ

¢x− (µ+ 1) = 0⇔ µ2x2 −

¡µ2 + µ

¢x+ (µ+ 1) = 0

⇔ x =µ (µ+ 1)±

qµ2 (µ+ 1)2 − 4µ2 ((µ+ 1))

2µ2= 0

⇔ x =(µ+ 1)±

p(µ+ 1) (µ− 3)2µ

x0 =(µ+ 1)−

p(µ+ 1) (µ− 3)2µ

, x1 =(µ+ 1) +

p(µ+ 1) (µ− 3)2µ

(2.5)p(µ+ 1) (µ− 3) ∈ IR se µ ≥ 3 e portanto não há nenhum ponto periódico de período

2 para 0 < µ ≤ 3 e temos um 2− ciclo para µ > 3. Fixe-se o valor µ1= 3.

Estabilidade do 2-ciclo {x0, x1} para µ > 3

Do Teorema (1.8) sabemos que o 2− ciclo é atractor se¯F 0µ (x0)F

0µ (x1)

¯< 1.

F 0µ (x0) = µ− 2µ(µ+ 1)−

p(µ+ 1) (µ− 3)2µ

= −1 +p(µ+ 1) (µ− 3)

F 0µ (x1) = µ− 2µ(µ+ 1) +

p(µ+ 1) (µ− 3)2µ

= −1−p(µ+ 1) (µ− 3)

Donde

¯F 0µ (x0)F

0µ (x1)

¯=

¯³−1 +

p(µ+ 1) (µ− 3)

´³−1−

p(µ+ 1) (µ− 3)

´¯= |1− (µ+ 1) (µ− 3)| =

¯−µ2 + 2µ+ 4

¯Assim

¯F 0µ (x0)F

0µ (x1)

¯< 1⇐⇒−1 < −µ2 + 2µ+ 4 < 1⇔ −µ2 + 2µ+ 3 < 0 ∧−µ2 + 2µ+ 5 > 0⇔ µ ∈

h(]−∞,−1[ ∪ ]3,+∞[) ∩

³i1−√6, 1 +

√6h´i

⇐⇒µ>3

µ ∈i3, 1 +

√6h

Portanto, o 2− ciclo é atractor se 3 < µ < 1 +√6 ≈ 3, 449489743

Para µ = 1 +√6 vem que:

£F 2µ (x0)

¤0= F 0

µ (x0)F0µ (x1) = −µ2 + 2µ+ 4 = −

³1 +√6´2+ 2

³1 +√6´+ 4 = −1

13

Temos então que aplicar o Teorema (1.6).

£F 2µ (x0)

¤00=

£F 0µ (x0)F

0µ (x1)

¤0= F

00µ (x0)F

0µ (x1) + F 0

µ (x0)F00µ (x1)

=F 00µ=−2µ

−2µ2 (1− 2x1)− 2µ2 (1− 2x0)

= −4µ2 (1− x1 − x0)

= −4µ2"1− (µ+ 1) +

p(µ+ 1) (µ− 3)2µ

− (µ+ 1)−p(µ+ 1) (µ− 3)2µ

#= −2µ

³2µ− 2

p(µ+ 1) (µ− 3)

´= −4

³1 +√6´2+ 4

³1 +√6´r³√

6− 2´³√

6 + 2´

= −4³7 + 2

√6´+ 4√2 + 8

√3 < 0

Assim, 1+√6 é assimptoticamente estável.

Podemos então concluir que o 2−ciclo é atractor se 3 < µ ≤ 1+√6. Fixe-seµ2= 1+

√6.

O 2− ciclo torna-se instável quando µ > µ2 pois

¯F 0µ (x0)F

0µ (x1)

¯> 1⇔−µ2 + 2µ+ 3 > 0 ∨−µ2 + 2µ+ 5 < 0

⇔ µ ∈ ]−1, 3[ ∪i−∞, 1−

√6h∪i1 +√6,+∞

h⇐⇒µ>3

µ ∈i1 +√6,+∞

hAssim, quando µ ∈

¤1 +√6,+∞

£o 2− ciclo é instável (Teorema (1.8)).

2.1.4 22 − ciclo, 23 − ciclo, ...

Para encontar o 4− ciclo temos de resolver a equação F 4µ (x) = x isto é,

xµ4 (1− x) (1− xµ (1− x)) (1− xµ2 (1− x) (1− xµ (1− x)))×× (1− xµ3 (1− x) (1− xµ (1− x)) (1− xµ2 (1− x) (1− xµ (1− x)))) = xDeve-se recorrer a um computador para encontar as soluções numéricas desta equação.O 22 − ciclo é atractor para 1 +

√6 < µ ≤ 3, 54409 e torna-se instável para µ > µ3 =

3, 54409.Quando µ = µ3, o 2

2 − ciclo bifurca para 23 − ciclo. Este último é atractor paraµ3 < µ ≤ µ4 para algum µ4. Este processo de dupla bifurcação continua indefenidamente.Assim, temos uma sequência {µn}∞n=0 onde µn é o ponto de bifurcação do 2n−1 − ciclopara o 2n − ciclo (µn representa os pontos de duplicação dos ciclos).

2.1.5 Processo alternativo para calcular o valor de µn no n−cicloUma outra forma de se calcular o valor de µn é através do conceito de discriminante deum polinómio de grau n.

14

Definição 2.3 O polinómio discriminante é o produto do quadrado das diferenças dasraízes ri do polinómio.

O descriminante do polinómio de grau n

anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0 = 0 (2.6)

é dado por

Dn =nYi,ji<j

(ri − rj)2 . (2.7)

Exemplo 2.4 O discriminante de uma equação quadrática

a2x2 + a1x+ a0 = 0⇔ x2 +

a1a2x+

a0a2= 0 (2.8)

é dado por

D2 =a21 − 4a0a2

a22(2.9)

O discriminante de uma equação cúbica

a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0 = 0 (2.10)

é dado por

D =a21a

22 − 4a0a32 − 4a31a3 + 18a0a1a2a3 − 27a20a23

a43(2.11)

Para calcular o discriminante de polinómios de grau superior a 3 recorre-se a umcomputador, e podemos usar, por exemplo, o seguinte programa no Mathematica 4.1:

(2.12)

Para pedir o decriminante de um polinómio de 4o grau, escreve-se:

e o resultado é

15

20 =1-ciclo

Para calcular o início de 1 − ciclo resolve-se a equação Fµ (x) − x = 0. O descriminantedeste polinómio é D = 1−2µ+µ2

µ2. Quando o descriminante do polinómio é zero as raízes

coincidem, portantoD = 0⇔ µ = 1 = µ0

2-ciclo

Para calcular o início do 2− ciclo, resolve-se a equação Fµ (Fµ (x))− x = 0. Utilizando oprograma (2.12) determina-se

Como µ é positivo, o valor µ = −1, não interessa, µ = 1 é o valor de 1− ciclo, e portantoo valor que interessa para o 2− ciclo é µ = 3 = µ1.

22-ciclo

Para determinar o início do 4− ciclo através do conceito do descriminante, eliminamos o2− ciclo, e resolve-se a equação

F 4µ (x)− x

F 2µ (x)− x

= 0

obtendo assim a seguinte expressão para o primeiro membro:

O discriminante deste polinómio é

D =(1 + µ) (5− 4µ+ µ2)

5(−5− 2µ+ µ2)

6(−3 + µ− 3µ2 + µ3)

3

µ210×

ס−135− 54µ− 9µ2 + 28µ3 + 3µ4 − 6µ5 + µ6

¢4= 0

16

Recorrendo a um computador, obtém-se

Destes valores para µ, apenas nos interessa o valor µ = 1 +√6 = µ2

23-ciclo, 24-ciclo, ...

Para calcular o início do 8− ciclo resolve-se a equação

F 8µ (x)− x

F 4µ (x)− x

= 0

Procede-se de forma análoga ao 22 − ciclo, determinando o descriminante do polinómio,e calculando os valores para os quais este último se anula. Isto é, resolve-se a equação

4913+2108µ2−604µ3−977µ4+8µ5+44µ6+392µ7−193µ8−40µ9+48µ10−12µ11+µ12 = 0

Encontrando assim o valor µ3 = 3, 54409...

Seguindo a ideia descrita para os ciclos anteriores, determina-se que µ4 = 3, 564407266095...é o valor para o 16− ciclo.

17

Na tabela seguinte, podemos observar os primeiros valores de µn

n 2n − ciclo µn0 1 11 2 32 4 3,4494903 8 3,5440904 16 3,5644075 32 3,5687506 64 3,569697 128 3,569898 256 3,5699349 512 3,56994310 1024 3,569945111 2048 3,569945557∞ Ponto de acumulação 3,569945672

De acordo com os teoremas da estabilidade, podemos concluir que o 2n−ciclo é estávelquando:

n µn < µ ≤ µn+11 3< µ ≤3,4494902 3,449490< µ ≤3,5440903 3,544090< µ ≤3,5644074 3,564407< µ ≤3,5687505 3,568750< µ ≤3,569696 3,56969< µ ≤3,569897 3,56989< µ ≤3,5699348 3,569934< µ ≤3,5699439 3,569943< µ ≤3,569945110 3,5699451< µ ≤3,56994555711 3,569945557< µ ≤ µ12...

...

nµn − µn−1µn+1 − µn

0 –1 –2 4,752469038014...3 4,655227494216...4 4,668428308823...5 4,664523043944...6 4,688442211055......

...∞ 4,6692016009102990...

Das tabelas anteriores podemos fazer a seguinte observação:

18

1. A sequência {µn} parece convergir para o número µ∞ = 3, 569945672...

2. O expressãoµn − µn−1µn+1 − µn

parece tender para o número δ = 4, 6692016009102990...

Este número é conhecido por número de Feigenbaum, após ter sido descoberto pelofísico Norte-Americano Mitchell Feigenbaum. Na verdade, Feigenbaum fez umadescoberta notável, este número δ é universal e é independente da família de mapasFµ.

3-ciclo

Para calcular o início do 3 − ciclo, eliminamos o 1 − ciclo e determina-se as raízes daequação

F 3µ (x)− x

Fµ (x)− x= 0

isto é

1 + µ+ µ2 −¡µ4 + 2µ3 + 2µ2 + µ

¢x+

¡2µ5 + 3µ4 + 3µ3 + µ2

¢x2 (2.13)

−¡µ6 + 5µ5 + 3µ4 + µ3

¢x3 +

¡3µ6 + 4µ5 + µ4

¢x4 −

¡3µ6 − µ5

¢x5 + µ6x6 = 0

As raízes desta equação são todas imaginárias para todo µ, excepto algum µ para o qualduas raízes tornam-se reais. Esse valor pode ser determinando, calculando o descriminantede (2.13).

D =(7− 5µ+ µ2)

4(−7− 2µ+ µ2)

3(1 + µ+ µ2)

2

µ42(2.14)

Quando o discriminante é zero, duas raízes coincidem, isto é:

(7− 5µ+ µ2)4(−7− 2µ+ µ2)

3(1 + µ+ µ2)

2

µ42= 0

⇔µ6=0

¡7− 5µ+ µ2

¢4= 0 ∨

¡−7− 2µ+ µ2

¢3= 0 ∨

¡1 + µ+ µ2

¢2= 0

⇔ µ =−5±

√3i

2∨ µ = 1± 2

√2 ∨ µ = −1±

√3i

2

com multiplicidade 4, 3 e 2 respectivamente. Como µ é um real positivo, então

µ = 1 + 2√2 = 3, 828427...

19

Portanto, para 1 + 2√2 < µ ≤ 3, 8496..., o 3− ciclo é atractor.

Outros ciclos

Para µ = 3, 627... aparece o início de um 6− ciclo, quando µ = 3, 702... temos o início deum 7− ciclo e para µ = 3, 74... temos o ínício de um 5− cicloNuma primeira visualização, estes ciclos parecem aparecer ao acaso, mas o russo A.N.

Sarkovskii descobriu uma propriedade surpreendente: em qualquer sistema unidimen-sional, se um 3− ciclo aparece, então o mesmo sistema evidenciará os outros k − ciclos,bem como ciclos completamente caóticos.

2.1.6 O 3− ciclo implica caos

Teorema 2.5 Seja f : IR → IR contínua. Suponha-se que f tem um ponto periódicode período 3 (isto é, um 3 − ciclo). Então, f tem pontos periódicos de todos os outrosperíodos (isto é, tem todos os outros k − ciclos).

Prova. Seja {a, b, c} um 3 − ciclo da função contínua f . Podemos supor sem perdade generalidade que a < b < c. Existem duas situações possíveis f (a) = b ou f (a) = cSuponha-se que f (a) = b (a prova para o caso de f (a) = c é análoga). Isto implicaque c = f (b) = f (f (a)) e que f (c) = a. Seja I0 = [a, b] e I1 = [b, c]. Note-se quef (I0) ⊇ I1, f (I1) ⊇ I1 e f (I1) ⊇ I0.Pelo teorema do valor intermédio1 temos que dado v ∈ [f (a) , f (b)]=[b, c], ∃u ∈ [a, b]

: v = f (u). Então, todos os pontos do intervalo [b, c] = I1, são imagem de algum pontou ∈ [a, b] = I0. Logo I1 ⊆ f (I0) .A verificação de que I1 ⊆ f (I1) e I0 ⊆ f (I1) , ou seja, f (I1) ⊇ I1 ∪ I0 é análoga.1

Teorema 2.6 (Teorema do Valor Intermédio) Se f : [a, b] → IR é contínua e f (a) = u e f (b) = v,então ∀z : u < z < v, ∃c : a ≤ c ≤ b : f (c) = z.

20

Figura 2.1: I1 ⊆ f (I0)

Como f (I1) ⊇ I1 implica que f tem um ponto fixo em I12. Analogamente, f2 tem

pontos fixos entre a e b, pois f (I0) ⊇ I1 e f (I1) ⊇ I0 então f2 (I0) ⊇ I0, sendo ao menosum destes pontos fixos um ponto de período dois por f.Logo temos pontos de período um (fixos) e período dois. Falta encontrar pontos de

período n > 3. Para tal é necessário provar o seguinte lema.

Lema 2.8 Se f é uma função contínua e J,K são intervalos fechados tal que f (J) ⊇ K,então existe um intervalo J0 tal que J0 ⊆ J e f (J0) = K.

z = f (c)2

Teorema 2.7 Seja I um intervalo fechado e f : I → IR uma função contínua. Se f (I) ⊇ I, então ftem um ponto fixo em I.

Prova. Seja I = [a, b]. Como f (I) ⊇ I existem c e d em I tal que f (c) = a e f (d) = b. Se c = aou d = b está resolvido. Se não, então a < c < b e a < d < b. Se se definir g (x) = f (x) − x, entãog (c) = f (c)− c = a− c < 0 e g (d) = f (d)− d = b− d > 0. Como g (c) < 0 e g(d) > 0, e g é contínua oTeorema do Valor Intermédio implica que existe z entre c e d (e portanto em I) satisfazendo g (z) = 0,isto é, f (z) = z.

21

Figura 2.2: f (J0) = K

Prova. Sendo f uma função contínua temos pelo Teorema do Valor Intermédio quedado J = [a, b] e supondo f (a) = u e f (b) = v, então para qualquer z ∈ [u, v] ⊇ K existec, a ≤ c ≤ b, tal que f (c) = z. Como K ⊆ [u, v] e f é contínua então existe um intervaloJ0 ⊆ J tal que f (J0) = K.

Indutivamente, podemos definir uma sequência de intervalos encaixados An ⊆ An−1 ⊆... ⊆ A2 ⊆ A1 ⊆ A0 = I1 Como f (I1) ⊇ I1, existe um subintervalo A1 ⊆ A0 tal quef (A1) = A0 = I0. Então, existe um subintervalo A2 ⊆ A1 tal que f (A2) = A1 e sendoassim f2 (A2) = A0 = I1. Continuando, encontramos um subintervalo An−2 ⊆ An−3 talque f (An−2) = An−3.Observa-se então que se x ∈ An−2, então f (x) , f2 (x) , ..., fn−1 (x) ∈ A0 (de facto

fn−2 (An−2) = A0 = I1).Como f (I1) ⊇ I0, existe um subintervalo An−1 ⊆ An−2 tal que fn−1 (An−1) = I0.

Finalmente, como fn (An−1) = f (fn−1 (An−1)) = f (I0) ⊇ I1 temos que fn (An−1) cobreAn−1, pois An−1 ⊆ I1. Assim, verifica-se que se fn (An−1) ⊇ An−1, então fn tem umponto fixo p em An−1, ou seja, um ponto periódico de período n. Como fn (An−1) ⊇ I1então existe um An ⊆ An−1 tal que fn (An) = I1.É necessário provar agora que p tem realmente período primo n3. Para tal é necessário

atender às cinco seguintes propriedades:

1. A0 = I1

3Dizemos que p é um ponto periódico de período primo n se p satizfaz a equação fn (x) = x e nãosatizfaz nenhuma das equações f j (x) = x, j ∈ {1, ..., n− 1} .

22

Figura 2.3: Na função F3,829 (x) = 3, 829x (1− x) temos I1 = A0 = [b, c] , A1 = [b, d] ,A2 = [e, d] e a sua pré imagem seria A3.

2. f (Ak) = Ak−1 para k = 1, 2, ..., n− 2

3. fk (Ak) = I1 para k = 1, 2, ..., n− 2

4. fn−1 (An−1) = I0

5. fn (An) = I1

Se p é um ponto periódico de período n em An, então 1. e 3. implicam quep, f (p) , f2 (p) , ..., fn−2 (p) estão em I1 = [b, c] e 4. implica que fn−1 (p) está em I0 = [a, b] .Se p = c, então f (p) = a que não está em I1. Como das primeiras n iteradas de p,

somente a fn−1 (p) não está em I1, então temos fn−1 (p) = f (p) e n = 2. No entanto, istocontradiz o facto de o período primo de c ser três. Daí, p precisa de estar no intervalosemi-aberto [b, c[. Se p = b, então n = 3 pois f2 (p) = a não está em I1 e a única das niteradas que não se encontra em I1 é fn−1 (p) .Assumindo que n não é três, temos que p precisa de estar no intervalo aberto (b, c).

Como fn−1 (p) está em I0 = [a, b], fn−1 (p) não é igual a p, pois p ∈ I1, e então p nãopode ter período primo n− 1. Se o período primo de p fosse menor que n− 1, então 3. eo facto de que p não é nem b nem c implicam que a órbita de p está inteiramente contidaem (b, c), e isto contraria 4. . Como fn−1 (p) não é um elemento de (a, b), é necessárioque p tenha período primo n.

Observação 2.9 O teorema anterior representa apenas um caso especial do teorema maisgeral de Sarkovskii formulado em 1964. Neste teorema, os números naturais foram colo-cados numa nova ordem como define-se em baixo.

23

Definição 2.10 (Ordem de Sarhovskii) A ordem dos números naturais é:

3 B 5 B 7 B 9 B ... B 2.3 B 2.5 B ... B 22.3 B 22.5 B ... B 23.3 B 23.5 B ... BB ... B 2n.3 B 2n.5 B ... B 23 B 22 B 2 B 1

Primeiro aparecem todos os números ímpares excepto o 1, depois os números ímparesmultiplicados por 2, depois por 22, por 23, e assim por diante. De acordo com estedesenvolvimento, teremos todos os números naturais com excepção das potências de 2,que aparecem por último, ordenadas por ordem decrescente.

Teorema 2.11 (Teorema de Sarkovskii) Seja f : IR → IR contínua com um ponto per-iódico de período k. Se k B l na ordem descrita na definição (2.10), então f tem tambémum ponto periódico de período l.

Prova. A prova deste teorema utiliza as mesmas ideias da do teorema (2.5), mas noentanto, não a faremos devido ao facto de ser muito extensaVárias consequências provinientes deste teorema são de extrema importância para a

análise da dinâmica de Fµ, entre elas:

1. Encontrado na função um ponto de período 3, de acordo com a ordem de Sarkovskii,pontos de todos os outros períodos existirão.

2. Caso a função não tenha ponto algum de período k então de acordo com a or-dem descrita na definição (2.10), a função não terá pontos periódicos de período"maior"(n B k) .

Exemplo 2.12 A função F3,9 (x) = 3, 9x (1− x) tem ponto periódico 3.

F3,9 (0, 1326525272) = 0, 4487177436F 23,9 (0, 1326525272) = 0, 9647422916

F 33,9 (0, 1326525272) = 0, 1326525272

Então, pelo Teorema de Sarkovskii podemos afirmar que, a função Fµ tem pontos periódi-cos de todos os períodos possíveis.

Exemplo 2.13 A função F3,25 (x) = 3, 25x (1− x) não possui pontos de período 4. Parapossuir um ponto de período 4, a função F 4

3,25 deveria ter como pontos fixos, os pontosfixos de F3,25 e F 2

3,25 e mais algum ponto que satisfizesse F43,25 (x) = x (estes seriam pontos

de período primo, ou seja, não satizfazem F3,25 (x) = x nem F 23,25 (x) = x). Pelo Teorema

de Sarkovskii, como esta função não possui pontos de período primo 4, então ela só tempontos periódicos de período 2 ou 1 (4 B 2 B 1) .

24

Figura 2.4: Órbita periódica de período 3 na função F3,9 (x) = 3, 9x (1− x)

Figura 2.5: Para a função F3,25 (x) = 3, 25x (1− x) , F 2 e F 4 possuem os mesmos pontosfixos.

25

2.1.7 Como é desenhado o mapa logístico ou diagrama de bifur-cação?

A equação logística Fµ (x) = µx (1− x) pode representar um modelo da evolução de umapopulação animal, onde x representa a população (entre 0 e 1) e µ é uma constante decrescimento. Para valores de µ inferiores ou iguais a 1, a população teria tendência adesaparecer, uma vez que xn+1 = Fµ (xn) tende para 0 à medida que n cresce.

µ x0 xn+10 0, 5 00, 75 0, 5 00, 75 0, 5 01 0, 5 0

Para valores de µ ∈ ]1, 3], a população evolui para um valor fixo de animais, indepen-dentemente do valor inicial, constituíndo o que os cientistas do Caos gostam de chamarum "Atractor Estranho".

µ x0 xn+1

20, 50, 75

0,50,5

2,50, 50, 75

0,60,6

A partir de um valor de µ > 3, verifica-se que a população é "demasiado elevada"nalguns anos, o que causa uma população baixa no ano seguinte, o que, por sua vezpermite uma evolução para uma população demasiado alta no ano que se segue, etc.

µ x0 xn+1

3,2 0,50.51304450953263...0.79945549046736...

3,4 0,50.45196324762615...0.84215439943267...

Para µ = 3, 45, o período duplica de novo para 4, o que significa que a evolução dapopulação tem um ciclo de 4 anos.

µ x0 xn+1

3,46 0,5

0.41323391373686...0.83895189611004...0.46748617794699...0.86134226575924...

Para µ >3,57, ocorre o caos e a população nunca se estabiliza num valor fixo. Paraa maioria dos valores entre 3,57 e 4, a população é caótica, mas há também regiões

26

periódicas. De facto, para cada valor de período fixo, pode sempre determinar-se umvalor de µ que resultará num ciclo com esse período.

Surpreendentemente, para µ = 3, 85, xn+1 tem apenas três sublimites, o que querdizer que após um período caótico, a população tem estados variáveis de três em trêsanos; portanto após caos temos ordem.

O diagrama de bifurcação mostra o que acabámos de dizer. Este diagrama pode serobtido da seguinte maneira: Escolhe-se um qualquer valor entre 0 e 1 para x0 e um valorconcreto para µ que constitui o valor a analisar. Seguidamente, resolve-se a equaçãoobtendo um determinado xn+1, que será de seguida usado como sendo xn, repetindo-seesta operação, digamos 200 vezes, por forma a eliminar os valores transientes. Agora,para um determinado valor de µ, nas abcissas, marquem-se os sucessivos valores que xnirá tomar, nas ordenadas, para as seguintes, digamos, 300 iterações.

Assim, se xn tiver tendência para estabilizar num determinado valor, marcaremos oponto correspondente 300 vezes, se pelo contrário, forem sendo sucessivamente diferentesmarcaremos tantos, quantos os diferentes valores de xn. Finalmente, repetir-se-ia a oper-ação para sucessivos valores de µ. Para µ = 3.5, como foi referido, xn+1 oscilará em tornode 4 valores pelo que marcaríamos os 4 pontos. Este seria o método a usar, se quiséssemosutilizar um computador para o fazer.

27

( )nnn xxx −=+ 11 µ

µ

nx

Note-se que a partir de certa altura, mais precisamente para µ > 3.56994571869,podemos observar um amontoado de pontos sem nexo, vislumbrando-se por vezes zonasonde o sistema volta a ter um comportamento estável.Este diagrama possui uma certa auto-semelhança. Repare-se que após a primeira

bifurcação, surgem outras, formando uma série de "montes", constituindo um padrão quese repete indefinidamente, e que de certo modo são iguais ao próprio diagrama consideradocomo um todo.

Capítulo 3

Generalização dos números deFeigenbaum

3.1 As constantes de Feigenbaum

A constante δ = 4, 6692016009102990... de Feigenbaum é uma constante universal parafunções que se aproximam do caos por períodos duplos. Ou seja, à medida que nosaproximamos do caos, cada região periódica é menor do que a anterior por um factor quese aproxima de 4,669... Esta constante foi descoberta por Feigenbaum quando estudavaos pontos fixos da função

f (x) = 1− µ |x|r (3.1)

e caracteriza a transição para o caos, na aproximação geométrica do parâmetro de bifur-cação ao seu valor limite, à medida que µ aumenta, para um valor fixo de x.Quando ele então falava na ordem que existia no caos, no Laboratório de Los Alamos,

ninguém o levava a sério e os seus artigos científicos não foram aceites para publicaçãoem nenhuma revista científica. No entanto, esta atitude mudou radicalmente quando secomeçou a descobrir que esta aproximação do caos através de uma duplicação de períodos,caracterizada pela constante de Feigenbaum, surge também em tudo o que envolve iteraçãoe auto-semelhança.Feigenbaum tinha descoberto a universalidade no Caos. O seu número é a constante de

proporcionalidade para a duplicação de período não só em inúmeras funções matemáticasmas também em sistemas físicos reais, como células de convexão, fluidos turbulentos(redemoinhos dentro de redemoinhos) e até em sistemas electrónicos, ópticos ou biológicos,na água em ponto de fervura, às modificações da população de uma comunidade, passandopelos sistemas que usam o hélio líquido e outros.O gráfico da figura 3.1 é construído iterando a equação (3.1), com r = 2, centenas de

vezes para uma série de valores de µ, tão próximos uns dos outros quanto possível. Umoutro modo de representar o gráfico, de modo a que seja possível visualizar os ciclos, érepresentar graficamente fn (x)− x como função de µ.

O gráfico da figura 3.2 apresenta as curvas obtidas para n = 1, 2 e 4.

Seja µn o ponto onde surge o 2n − ciclo e µ∞ = lim

n→∞µn. Assumindo a convergência

28

29

Figura 3.1: Gráfico de f (x) = 1− µx2 vs µ

Figura 3.2: Gráfico de f (x) = 1− µx2 − x vs µ

30

Um ponto fixo atractor 2-ciclo 4-ciclo caos

Figura 3.3: Esquema dos períodos duplos na função f (x) = 1− µx2

geométrica, a diferença entre µ∞ e µn é representada por

limn→∞

µ∞ − µn =Γ

δn(3.2)

onde Γ é uma constante e δ > 1 (usualmente conhecida como constante de Feigenbaum).Resolvendo (3.2) em ordem a δ temos

δ = limn→∞

µn+1 − µnµn+2 − µn+1

(3.3)

Portanto, para r = 2, na equação (3.1) as bifurcações aparecem para µ = 0, 75, 1, 25,1,368099, 1,369405, 1,3699631,..., convergindo para valores de δ (1) =4,23374, δ (2) =4,5515,δ (3) =4,64617, ....Uma outra constante α, definida como sendo o quociente entre as distância de elemen-

tos adjacentes de atractores com período duplo, é dada por:

α = limn→∞

dndn+1

(3.4)

onde dn é a amplitude do ciclo onde aparece o valor de µn no 2nciclo, mais próximo

de 0.Assim, para r = 2 temos

δ = 4, 66920160910299...Γ = 2, 637...µ∞ = 3, 569945672...α = 2, 502907875...

Briggs, em 1991 calculou δ com 84 digitos e em 1997 determinou 576 casas decimais, dasquais, 344 estavam correctas. Broadhurst, em 1999 atingiu as 1018 casa decimais.Até à data, ainda não se sabe se a constante δ é algébrica ou transcendente, e se pode

ser escrita à custa de outras constantes matemáticas.A constante de Feigenbaum δ e o parâmetro redutor associado α são "universais"para

todos os mapas unidimensionais f (x), se f (x) tem apenas um máximo local. Isto foiconjecturado por Feigenbaum e demonstrado, por via numérica, por Lanford (1982) parar = 2, e por Epstein (1985) para todo o r < 14.

31

1d

2d

3d

1µ 2µ 3µ 4µ

Figura 3.4: Localização de µi e de di na função Fµ (x) = µx (1− x)

32

Mais especificamente, a constante de Feigenbaum é universal para mapas inidimen-sionais onde a derivada Schwartziana

Ds =f 000 (x)

f 0 (x)− 32

∙f 00 (x)

f 0 (x)

¸2é negativa no intervalo considerado.O mapa de Hénon, o mapa logístico, o sistema de Lorenz e o mapa xn+1 = µ sin (πxn)

são exemplos desses mapas.Para um mapa bidimensional que preserve a área, com

xn+1 = f (xn, yn)

yn+1 = g (xn, yn)

a constante de Feigenbaum é δ = 8, 7210978...Para uma função do tipo (3.1) , as contantes de Feigenbaum para os primeiros valores

de r > 2, são os valores apresentados na tabela seguinte:

r δ α3 5,9679687038... 1,9276909638...4 7,2846862171... 1,6903029714...5 8,349499132... 1.5557712501..6 9.2962468327... 1.4677424503...

3.2 Aproximações às constantes de Feigenbaum para(r = 2)

Uma curiosa aproximação à constante de Feigenbaum δ é dada por

π + tan−1 (eπ) = 4, 669201932... (3.5)

onde eπ é a constante de Gelfond (eπ = 23, 140692632...). Esta aproximação está correctaaté a sexta casa decimal.Uma estranha aproximação a cinco casas decimais é dada pela solução da equação

xx = 1333 (3.6)

isto é,

x = eW (ln 1333) = 4, 669202878... (3.7)

sendo W (x) a função W − Lambert dada pelo inverso da função f (w) = wew, cujarepresentação gráfica é:

33

M. Hudson em 2004, encontrou as aproximações

δ ≈ 1182102

773825+ π (3.8)

≈ 46875

15934−√2 + π

≈ tan

µ1954

1781

¶+ e

com 17, 13 e 9 casas decimais respectivamente.Stoschek encontra uma aproximação (estranha) com 9 digitos

δ ≈ 4×1 + 122

163+ 4×122+31

4×1632 + ...

1 + 102

163+ 102+30

1632+ ...

(3.9)

R. Phillips, entre Setembro de 2004 e Janeiro de 2005 encontrou as seguintes aproxi-mações

δ ≈ 3

2π − e−π (3.10)

≈ e10 − e9

e8 + 1

≈ 3

2π − e−π

1 + e

h−8+e−

12

i≈ e (e− 1)

1 + e

h8(1+e−8)

32−2

i≈ π − tan−1

£(e− 1)−16 − e−π

¤com 4, 5, 7, 10 e 10 casas decimais, respectivamente, onde e é a base do logaritmo natural(e = 2, 718281828...) e eπ é a constante de Gelfond.As seguintes aproximações, determinadas por R. Phillips, estão essociadas à constante

34

α, com 3, 3, 3, 4, 6, 8, e 9 casas decimais:

α ≈µ

e

e− 1

¶2(3.11)

≈ tan (e− δ)

≈ tan£e− tan−1 (eπ)

¤≈ − cot

¡e+ e−π

¢≈ tan

∙e+ tan−1

µ2

(e− 1)8 e− eπ

¶¸≈ e2

e−3−√26 − (e− 1)2

≈ e2

(e− 1)2 − e

∙−8−e

−1ln(ln δ)

¸

3.3 Um modelo estatístico para δ (r)

Keith Briggs, em 1989, determinou os seguintes valores para a constante δ de Feigenbaumna equação (3.1):

r δ (r)2 4,6692013 5,9679694 7,2846865 8,3494996 9,2962477 10,2221598 10,9486249 11,76833410 12,34140911 13,07654612 13,535076

Como já foi referido, ainda não se sabe caracterizar teoricamente as propriedades dosnúmeros de Feigenbaum (ver3.1). Encontrar uma equação que relacione δ com outrasconstantes matemáticas, no caso geral, torna-se uma tarefa dificil.Além disso, o facto de existirem poucos valores de Feigenbaum calculados, torna ainda

mais difícil encontrar uma aproximaçao estatística dos valores de Feigenbaum, para rgrande.

3.3.1 Método dos mínimos quadrados

Começa-se por representar graficamente os valores de r e δ (r) .

35

r

( )rδ

Figura 3.5: "Nuvem de pontos"dos valores de r e δ (r)

36

Figura 3.6: Comparação dos valores do modelo (3.12) com os valores actuais de Feigen-baum

A nuvem de pontos da figura 3.5 sugere uma função logarítmica. Assim, ao procurar-mos um modelo do tipo δ (r) = a ln (r) + b encontramos a seguinte expressão:

δ (r) = 5, 118 ln (r) + 0, 4809 (3.12)

O gráfico da figura 3.6 relacciona o modelo (3.12)com os actuais valores de Feigenbaum.

O modelo dado pela equação (3.12) pode ser usado para valores aproximados de δ (r),r = 2, ...12. Contudo Collet, Eckmann e Lanford, em 1980, provaram que quando r =1, δ → 2Em 1985, Eckmann e Witter e em 1986/87 Van der Weele, Capel e Kluiving, provaram

que quando r →∞, δ →≈ 30.Assim, para este modelo δ (1) = 0, 4809 e δ (r) →

r→∞∞, valores claramente distantes

dos já provados.

37

( )rδ−30

re−

Figura 3.7: Gráfico de e−r vs 30− δ (r)

Ora, estes valores indicam-nos que o modelo não é o mais adequado, ou seja, énecessário encontrar um outro modelo que melhor se ajuste aos dados e os valores jáprovados para r = 1 e r →∞.

3.3.2 Aproximação analítica

Considere-se o limite superior (≈ 30) determinado por Weele et. al., e a função dada por

δ (r) = 30− k1e−k2×r. (3.13)

Para calcular k1 e k2, representa-se o gráfico de 30− δ (r) vs e−r. Na gráfico da figura 3.7podemos observar essa relação.

A curva que melhor se ajusta aos dados é dada por

30− δ (r) = 27, 096¡e−r¢0,0431

isto é,δ (r) = 30− 27, 096e−0,0431r (3.14)

No gráfico da figura 3.8 podemos visualizar a relação entre o modelo (3.14) e os actuaisvalores de Feigenbaum.

38

Figura 3.8: Comparação do gráfico do modelo (3.14) com os valores actuais de Feigenbaum

39

O limite superior do modelo (3.14) é 30, quando r →∞, o que satisfaz a prova feitapor Eckmann et. al.; contudo quando r = 1, δ (1) = 4, 047 e não um valor próximo de 2como seria de esperar. Isto explica-se, pelo facto de o modelo ajustar os dados por valoressuperiores.Assim, com o modelo (3.14) podemos prever, com uma certa margem de erro, os

próximos valores δ (r) de Feigenbaum para a equação (3.1) para valores de r superioresaos já conhecidos.

Bibliografia

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[2] Cvitanovic, Predrag, "Universality in Chaos", Institute of Physics Publishing, Bristolan Philadelphia, Second edition, 1993

[3] Elaydi N. Sabe, "An Introduction to Differrence Equations",UTM

[4] Gleick, J., "Caos, a criação de uma nova ciência", Editora Campos, 1987

[5] Stewart, I., "Deus Joga aos dados?", Ciência Aberta, Gradiva, 2000

[6] http://mathworld.wolfram.com

[7] http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/sdcuadraticos.html

[8] http://www.mathcad.com/library/constants/fgnbaum.htm

[9] http://www.manuelgrilo.com/rui/complexidade/iii1.html

[10] http://pwp.netcabo.pt/naturosofia/tema_ciencia.htm

[11] http://www.sewanee.edu/physics/PHYSICS123/FEIGENBAUM.html

[12] http://www.stud.ntnu.no/~berland/math/feigenbaum/feigconstant.html

[13] http://www.wikipedia.org/

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