Departamento de Ciências Exatas e Naturais€¦ · 26 Momento e Energia Cinética em Colisões Nas...

5 - Rotações, Centro de Massa, Momento, Colisões, Impulso e Torque

Física I

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do

Sudoeste da Bahia

Departamento de Ciências Exatas e

Naturais

Índice 1. Movimento Circular Uniformemente Variado;

2. Movimento Circular Variado não Uniforme;

3. Centro de Massa;

4. Momento linear;

5. Colisões;

6. Impulso;

7. Lei da Conservação do Momento Linear.

8. Torque;

9. Momento angular;

10. Lei da conservação do momento angular.

2 Prof. Roberto Claudino

3

OBJETIVO GERAL

Alcançar um entendimento sobre os

conceitos e grandezas que envolvem os

movimentos rotacionais, centro de massa,

momento e lei da conservação do

movimento, assim como suas expressões,

unidades de medida e aplicações.

Prof. Roberto Claudino

4

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

MCUV, apresenta:

Trajetória circular;

Velocidade escalar varia de acordo com v = vo + at, e (a = constante ≠ 0); cuja intensidade = aceleração tangencial (at);

Aceleração centrípeta não - nula, pois a velocidade varia em direção e sentido

Aceleração resultante:


cptr aaa

10

ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Devemos tratar um corpo rígido em rotação como um conjunto de partículas com diferentes velocidades e somar suas energias cinéticas para obter a energia cinética do corpo como um todo: , aqui substituímos por , já que vi é diferente para todas as partículas e é igual para todas. Sendo , temos que:


2

2

22

2

11

2

1

...2

1

2

1

iivmK

vmvmK

iv

²2

1

²²2

1

2

ii

ii

rmK

rmK

rv

A grandeza entre parênteses é

chamado de momento de Inércia: 2

iirmI

²2

1IK

A Energia Cinética de Rotação

fica:

11

CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA Para um corpo rígido em rotação com um

pequeno número de partículas pode-se usar:

Para um corpo rígido com um número

grande de partículas substituímos a equação

acima por uma integral: O resultado desta integral vai depender da forma geométrica que possui o corpo.


dmrI ²

2

iirmI

12

ALGUNS MOMENTOS DE INÉRCIA


Em um teste de peças que irão girar a altas

rotações, um rotor cilíndrico maciço de M = 272

Kg e um raio R = 38 cm, que girava em torno de

seu eixo longitudinal se rompeu quando sua

rotação alcançou uma velocidade angular de

14000 rotações por minuto. Calcule a energia

cinética de rotação liberada na explosão.

Prof. Roberto Claudino 13

3º Problema:

Três partículas de massas m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5

kg e m3 = 3,4 kg formam um triângulo equilátero

de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa

desse sistema?


4º Problema:


2ª Lei de Newton para um sistema de partículas

CMR

R

n

i

iiCM

ii

n

i

iiCM

ii

n

i

iiCM

aMF

amF

amaM

dt

vda

vmvM

dt

rdv

rmrM

1

1

1

Fr = Somatória de todas as forças

externas e internas que agem sobre o

sistema. Pela terceira lei de Newton, as

forças internas entre as partículas se

anulam.

M = É a massa total do sistema para um

sistema fechado.

= É a aceleração do centro de massa. CMa

As três partículas da figura

estão inicialmente em

repouso. Cada uma sofre a

ação de uma força externa

devido a agentes fora do

sistema. Os módulos das

forças são: F1= 6,0 N,

F2=12 N e F3 = 14,0 N.

Qual é a aceleração do

centro de massa do

sistema?


5º Problema:


6º Problema:


7º Problema:


8º Problema:

26

Momento e Energia Cinética em Colisões Nas colisões o momento não varia na ausência

de forças externas.

K do sistema pode variar ou não.

Colisões Elásticas: K se conserva. Ex: agitação

térmica dos átomos de um gás em repouso.

Colisões Inelásticas: K não se conserva, parte é

convertida em energia térmica, sonora...

Ex: Choque entre bola e bastão.

Colisões Perfeitamente Inelásticas: K não se

conserva, parte é convertida em energia térmica,

sonora...

Ex: Choque entre bastão e massa de modelar.


fi pp

27

Colisões Inelásticas de uma dimensão Quando duas partículas estão em movimento

Colisões Inelástica em duas dimensões

Uma partícula em repouso


ffii

fi

vmvmvmvm

pp

22112211

222111

22211111

0:

coscos:

senvmsenvmeixoy

vmvmvmeixox

pp

ff

ffi

fi

28

Colisões Elásticas de uma dimensão Quando as duas partículas estão em movimento.

Colisões Elásticas em duas dimensões

Uma partícula em repouso


ffii

fi

fi

vmvmvmvm

KK

pp

22112211

222111

22211111

0:

coscos:

senvmsenvmeixoy

vmvmvmeixox

KK

pp

ff

ffi

fi

fi

Um objeto de massa (m) e velocidade (v) em

relação a um observador explode em dois

pedaços, um com massa três vezes maior que o

outro; a explosão ocorre n o espaço sideral. O

pedaço de menor massa fica em repouso em

relação ao observador. Qual é o aumento da

energia cinética do sistema causado pela

explosão, no referencial do observador?


9º Problema:

30

Torque Produto vetorial de um força pelo vetor posição

em relação à origem.

Unidade (N.m)

Pela regra da mão direita o torque está no

sentido positivo do eixo z.


rF

senrF

senabc

Fr

.

.

Na figura, três forças, todas de módulo 2,0 N,

agem sobre uma partícula. A partícula está no

plano xy, em um ponto A dado por um vetor

posição tal que r = 3,0 m e θ = 30º. A força

é paralela ao eixo x, a força é paralela ao

eixo z e a força é paralela ao eixo y. Quais

são os torques, em relação a origem O,

produzidos por essas três forças?


10º Problema:

r

1F

2F

3F

32

Momento Angular Produto vetorial do momento

linear pelo vetor posição em

relação à origem.

Unidade (J.s)

Pela regra da mão direita o

torque está no sentido positivo

do eixo z.


prl

rpl

senrmvl

prml

prl

.

)(

A figura mostra uma vista superior de duas partículas

que se movem com velocidade constante ao longo de

trajetórias horizontais. A partícula 1, com um momento

de módulo p1 = 5,0 kg.m/s, tem um vetor posição e

passará a 4,0 m do ponto O. A partícula 2, com

momento de módulo p2 = 2,0 kg.m/s, tem um vetor

posição e passará a 4,0 m do ponto O. Quais são o

módulo e a orientação do momento angular total L em

relação ao ponto O do sistema formado pelas duas

partículas?


11º Problema:

1r

2r

34

2ª Lei de Newton para Rotações A soma vetorial dos torques que agem sobre uma

partícula é igual à taxa de variação no tempo do

momento angular da partícula.

Momento angular para um sistema de partículas

O torque esterno resultante que agem sobre uma

sistema de partículas é igual à taxa de variação

com o tempo do momento angular do sistema..


dt

ldres

dt

Ldres

nllllL

...321

Um pinguim de massa (m) cai, sem velocidade inicial,

do ponto A, a uma distância horizontal D da origem O de

um sistema de coordenadas xyz. (O sentido positivo do

eixo z é para fora do papel.) a) Qual é o momento

angular do pinguim durante a queda, em relação ao

ponto O.


12º Problema:

l

36

Momento Angular de Um Corpo Rígido Girando em Torno de Um Eixo

A soma vetorial dos torques que agem sobre uma

partícula é igual à taxa de variação no tempo do

momento angular da partícula.


IL

rmL

rrmrvmlL

z

n

iiiz

n

i

iii

n

i

n

i

iiiizz

1

11 1

)²(

)(

37

Lei da Conservação do Momento Angular

Se o torque externo que agem sobre o sistema é

nulo, momento angular se conserva. Sejam quais

forem as mudanças que ocorrem dentro do

sistema.


fi LL

dt

Ld

0 L = Constante

Para um sistema isolado

38

Lei da Conservação do Momento Angular

Dependendo dos torques externos que agem

sobre um sistema, o momento angular do

sistema pode ser conservado em uma ou duas

direções, mas não em todas.

Se a componente do torque externo resultante

que age sobre um sistema ao longo de um certo

eixo é nula, a componente do momento angular

do sistema ao longo desse eixo permanece

constante, sejam quais forem as mudanças que

ocorram dentro do sistema.


ffii II

Um homem está em pé sobre uma plataforma que gira

(sem atrito) com uma velocidade angular 1,2 rev/s; seus

braços estão abertos e ele segura um tijolo em cada

mão. O momento de inércia do sistema formado por

homem, os tijolos e a plataforma em relação ao eixo

vertical central da plataforma é de 6,0 kg.m². Se, ao

mover os braços, o homem reduz o momento de inércia

do sistema 2,0 kg.m², determine (a) a nova velocidade

angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energia

cinética do sistema e a energia cinética inicial. (c) De

onde vem a energia cinética adicional?


13º Problema:

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