Demonstrações - CIAEM

XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.

Demonstraes: uma proposta para o ensino-aprendizagem

de lgebra Karine Anglica de Deus

Universidade Federal de

Lavras Brasil

[email protected]

Jos Antnio Arajo Andrade

Universidade Federal de

Lavras Brasil

[email protected]

Resumo

Esta pesquisa uma proposta pedaggica para o ensino-aprendizagem de lgebra no

Ensino Fundamental e temos por objetivos a busca de elementos metodolgicos e

filosficos que favorecessem compreenso do papel das demonstraes no ensino

de tal contedo, alm de organizar a construo de estratgias que pudessem

contribuir para o desenvolvimento do pensamento algbrico. A problemtica de

investigao constituiu-se de duas questes: Como abordar as demonstraes em

lgebra na Educao Bsica? De quais artifcios o professor deve lanar mos nesse

processo? Os dados analisados foram produzidos a partir dos registros dos

estudantes, dirio de campo da pesquisadora e gravaes de udio sobre a atividade

desenvolvida, sendo que a anlise constituiu da observao de aspectos que esto

ligados diretamente aos nossos objetivos e questes de pesquisa. Os resultados da

pesquisa evidenciaram a potencialidade do trabalho com demonstraes para o

desenvolvimento do pensamento algbrico.

Palavras-chave: argumentao e validao, atividades orientadoras de

ensino, ensino-aprendizagem de lgebra, pensamento algbrico.

Introduo

A lgebra ocupa lugar relevante no currculo de Matemtica e seu estudo constitui um

espao bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de

abstrao e generalizao, alm de lhe possibilitar a aquisio de uma poderosa ferramenta

Demonstraes: uma proposta para o ensino-aprendizagem de lgebra 2


para resolver problemas (BRASIL, 1998, p. 115). No entanto, na maioria das vezes, seu ensino enfatiza apenas as manipulaes de expresses e equaes de forma mecnica, cabendo aos estudantes resolver exerccios e problemas envolvendo as transformaes de

expresses, aplicao de regras e procedimentos. Entretanto, essa formatao mecnica e

padronizada do ensino da Matemtica no tem garantido aos estudantes uma aprendizagem

bem sucedida, a julgar tanto pelas pesquisas em Educao Matemtica como pelo desempenho dos alunos nas avaliaes que tm ocorrido em muitas escolas (BRASIL, 1998, p.115).

Existem diversas pesquisas que, diante desse quadro, sinalizam para a necessidade de

mudana de abordagem do ensino da lgebra em sala de aula (LINS; GIMENEZ, 1997;

SOUSA, 2004). Assim sendo, identificamos a necessidade de propor um trabalho

diferenciado com a lgebra, considerando as demonstraes um instrumento til no

processo de seu ensino- aprendizagem.

Este trabalho pretende ir alm da mera reproduo de demonstraes existentes nos livros

didticos, s vezes, excessivamente formais, ou inacessveis para os estudantes. Buscou-se,

isto sim, colocar os estudantes diante de situaes que exijam o levantamento de conjecturas, a

construo de argumentos, de justificativas e, posteriormente, a sua validao, sendo dessa

forma que concebemos a demonstrao na Educao Bsica, ou seja, a entendemos como os

processos de argumentao e validao.

Aspectos metodolgicos

A pesquisa foi desenvolvida a partir de um enfoque qualitativo, pois reconheceu

(a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hiptese a priori, cujo

objetivo da pesquisa ser comprovar ou refutar; (c) a no neutralidade do pesquisador que,

no processo interpretativo, se vale de suas perspectivas e filtros vivenciais prvios dos quais

no consegue se desvencilhar; (d) que a constituio de suas compreenses d-se no como

resultado, mas numa trajetria em que essas mesmas compreenses e tambm os meios de

obt-las podem ser (re)configurados; (e) a impossibilidade de estabelecer regulamentaes,

em procedimentos sistemticos prvios, estticos e generalistas (GARNICA, 2004, p. 86).

A investigao apresentou elementos da pesquisa-ao, que um tipo especial de

pesquisa participante (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p.112), uma vez que a

pesquisadora foi introduzida no ambiente a ser estudado, no s para observ-lo e compreend-lo, mas tambm para propor mudanas em direes que permitam a melhoria das prticas e maior liberdade de ao e de aprendizagem dos participantes (p. 112).

A pesquisa teve quatro etapas: estudos tericos (LAKATOS, 1978; LINS E GIMENEZ,

1997; SOUSA, 2004; LOPES, 1999; MOURA, 2000; MOURA, 2010), elaborao das

atividades e da proposta didtica, implementao da proposta e anlise dos dados.

Nos estudos tericos sobre a obra de Lakatos (1978) analisamos os aspectos filosficos da

demonstrao. Nesse momento nos deparamos com a viso desse autor acerca da

demonstrao em que apresentou uma maneira diferente do mtodo euclidiano de se pensar o

conhecimento matemtico, utilizando o percurso histrico e as contradies geradas nas

tentativas de demonstrao e refutao at a possvel formalizao final do conceito, isto ,



esse autor prioriza o processo de desenvolvimento da demonstrao de uma afirmativa por

acreditar ser nesse momento que o conhecimento acontece.

Ao analisarmos a obra de Lakatos (1978), percebemos ser importante o dilogo entre

professor-estudante e estudante-estudante ao se tentar validar ou explicar uma afirmao, pois

nesse momento que se estabelecem as conjecturas e as tentativas de refutao por meio de

contra exemplos e, consequentemente, ocorre a formao do conceito do objeto em estudo.

Nesse momento reforamos o nosso entendimento pelo que seja demonstrar na Educao

Bsica e comeamos a configurar a forma como esta seria abordada em sala de aula, ou seja,

por meio de processos de argumentao e validao.

Debruamo-nos tambm sobre a tese de doutorado de Sousa (2004) e sobre a obra de Lins

e Gimenez (1997). Os estudos desses tericos possibilitaram a anlise de algumas propostas

para o ensino-aprendizagem de lgebra e contriburam posteriormente para a escolha e

adaptao da atividade de ensino a ser implementada em sala de aula. Acreditamos que a

atividade escolhida e planejada leva em considerao o entendimento que Lins e Gimenez

(1997) possuem sobre a educao algbrica. Esses autores propem uma educao algbrica

centrada em dois objetivos: (1) permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados (em nosso sentido) para a lgebra; e 2) permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de

pensar algebricamente. (p.152), em que consideram a habilidade tcnica uma consequncia de tais objetivos, e que nunca deve nunca preceder tais objetivos. Assim, a estrutura das

atividades propostas seria: i) dada uma situao, produzir afirmaes tidas como corretas, junto com justificaes para sua enunciao; ii) com base nas expresses produzidas em 1),

trabalhar tambm com transformaes diretas dessas expresses (p.152).

Para realizar a adaptao da atividade escolhida de modo a satisfazer nossa

intencionalidade, utilizamos as consideraes de Moura (2001; 2010) acerca da

Atividade Orientadora de Ensino1, pois pretendamos abordar a nossa temtica de

investigao em atividades desse tipo.

No momento de implementao da nossa proposta em sala de aula, seria necessrio o

desenvolvimento de um ambiente que propiciasse e estimulasse a produo de argumentao

e validao. Dessa forma, alm das consideraes postas em Lakatos (1978), nos apoiamos

no Ambiente de Inspirao Lakatosiana ou Ambiente de Verdades Provisrias proposto por

Lopes (1999). Esse ambiente caracterizado por:

facilitar o processo de conjecturao; promover um desenvolvimento sempre aberto;

estimular provas e refutaes; desenvolver uma postura flexvel frente certeza e,

principalmente, s incertezas; buscar um desenvolvimento lgico-dedutivo para todos;

construir conhecimento desconhecido a priori; explorar situaes que os alunos tenham

condies cognitivas para compreender e enfrentar. (s/p)

A interao proporcionada

facilita (privilegiando) a produo coletiva paralelamente individual; o mestre atua

como maestro que interpreta e conduz, evitando transmitir; fomenta a autonomia acima

da competncia; desenvolve, privilegiando, o trabalho cooperativo; cria ambigidade e

1 Este assunto ser tratado posteriormente



conflito alternativo ao status quo das situaes bem comportadas de final previsvel. (s/p)

Nesse ambiente, a rotina algortmica superada e uma atividade pode no ser concluda

em uma s resposta. Os estudantes se deparam com obstculos e desafios e so inseridos em

um ambiente de comunicao e argumentao significativa, levando-os auto-reflexo. A

Matemtica deixa ento de ser uma disciplina pronta, acabada e cresce a partir de uma

conjectura gerada por um problema, onde a teoria formada aos olhos dos estudantes, atravs

da argumentao e validao.

Aps essa etapa, realizamos diversas pesquisas bibliogrficas a fim de encontrar uma

atividade de ensino que possibilitasse a abordagem da nossa proposta. Desejamos que a

atividade tivesse carter exploratrio-investigativo2, uma vez que seria uma possibilidade para

produzir significados para a matemtica escolar.

Encontramos em Parateli et al. (2006) a atividade intitulada A Lanchonete do Alan Xonete (Apndice A). O objetivo da atividade era que os estudantes criassem uma regra que possibilitasse o clculo rpido do nmero de pessoas que poderiam se acomodar em

torno das mesas se soubermos a quantidade de mesas disponveis e vice-versa. Analisando a

atividade, percebemos que ela possua carter exploratrio e a adaptamos de forma a

abordar as demonstraes, permitindo que os estudantes vivenciassem outras possibilidades

de raciocnio atravs dela e, consequentemente, tivessem mais oportunidades de criar

conjecturas e argumentos, entre outros elementos de anlise e reflexo.

A proposta da pesquisa foi realizada em um ambiente educacional e os sujeitos da

pesquisa foram cinco estudantes do Ensino Fundamental, sendo dois do 9 ano, um do 8 ano e

dois do 7 ano de uma escola particular da cidade de Lavras MG. importante ressaltar que trabalhamos com todos os estudantes dessas turmas. Convm explicitar o motivo da escolha

dessas turmas. A inteno inicialmente era abranger todas as turmas de Ensino Fundamental

que tivessem tido contato com a lgebra, mas, at o momento, o 7 ano ainda no havia

estudado tal contedo. Entretanto, ao analisar a atividade a ser trabalhada, percebemos que ela

poderia ser um instrumento para a introduo do estudo da lgebra para esta turma. Dessa

forma, decidimos desenvolver a nossa proposta tambm com esses estudantes.

Escolhida a escola e as turmas, desenvolvemos a atividade em dois momentos, sendo que

o primeiro foi realizado no 9 ano e o segundo nas demais turmas. A coleta de dados foi

realizada no incio do ms de outubro de 2010 e foram utilizados os seguintes instrumentos:

registros escritos dos estudantes, dirio de campo da pesquisadora e gravaes de udio. As

atividades feitas pelos estudantes foram analisadas separadamente e em cada uma das anlises

do dirio de campo da pesquisadora e nas gravaes de udio buscamos considerar aspectos

que esto ligados diretamente aos nossos objetivos e questes de pesquisa, sendo eles: a

potencialidade da atividade de ensino A lanchonete do Alan Xonetecomo incentivadora de formulao de argumentos e validaes; como foram feitas as demonstraes; como

desenvolver essa proposta de pesquisa em sala de aula e qual o reconhecimento e a

compreenso da necessidade de se demonstrar uma afirmativa apresentada pelos estudantes.

2 As atividades exploratrio-investigativas podem ser definidas por aquelas que tm estrutura aberta, contextualizadas por uma situao matemtica (Costa, 2008, p.14).



As demonstraes no ensino-aprendizagem de lgebra

A insero das demonstraes no ensino-aprendizagem de Matemtica na Educao

Bsica no uma questo de senso comum. No Brasil, as publicaes sobre este tema so ainda tmidas e concentram-se principalmente no ensino de geometria (CARVALHO; PEREIRA, 2008, p. 632). Essa afirmao sustentada por Tinoco e Silva (2004), que

acreditam que h uma crena existente entre alunos e professores de que a questo das provas e demonstraes tem relao apenas com a geometria. Os fatos aritmticos so ento

considerados como verdade sem justificativa alguma e o uso da lgebra para justific-los no

sequer cogitado (p.4). Talvez, esse fato justifique a falta de trabalhos voltados para a nossa proposta de pesquisa.

Nos processos de demonstrao, esto envolvidas as habilidades para justificar,

argumentar e provar fatos, entre outras. Nacarato, Grando e Costa (2009) discutem algumas

funes da demonstrao e consideram que

a mais usada a de validao de um resultado ou conjectura. No entanto, para a maioria dos

alunos da escola bsica, a prova no se faz necessria, porque o resultado bvio para eles;

prendem-se, muitas vezes, s evidncias e/ou aos aspectos visuais. Isso constitui, para o

professor, o grande desafio, que consiste em ajudar seus alunos a compreender a necessidade

de validao de um processo. Outra funo da prova, bastante aplicvel educao bsica, a

de explicar ou elucidar, isto , mostrar por que o resultado verdadeiro. Talvez, essa seja a

funo mais exequvel em termos de ensino fundamental ajudar o aluno a explicar, de forma plausvel, a validade de um procedimento utilizado. (NACARATO, GRANDO E

COSTA, 2009, p. 6)

Pietropaolo (2005) observa por meio de uma pesquisa realizada entre pesquisadores e

professores, a compreenso destes quanto relevncia do trabalho com demonstraes na

Educao Bsica. Estes acreditam que as demonstraes podem ser trabalhadas nesse nvel de

ensino desde que se amplie o seu significado, incluindo as conjecturas e argumentaes, a

experimentao e a verificao emprica. Garnica (2002) tambm disserta sobre esse fato e

acredita que necessria uma nova compreenso da demonstrao em sala de aula,

relativizando a sua utilizao e trabalhando-a de forma diferente da matemtica acadmica.

Embasados por essas consideraes, justificamos a nossa escolha de entender a demonstrao

como os processos de argumentao e validao na Educao Bsica.

Na nossa pesquisa, a argumentao expressou as conversaes desenvolvidas em sala

de aula, focando a atividade proposta, abrangendo raciocnios de carter explicativo ou justificativo destinados seja a diminuir riscos de erro ou incerteza na escolha de um

caminho, seja a convencer um auditrio a aceitar ou rejeitar certos enunciados, idias ou

posies pela indicao de razes (BOAVIDA, 2005, p. 7).

Entendemos o processo de validao de uma afirmativa como o conjunto de argumentos

que o estudante pode oferecer, denominado por Garnica (2002) como Etnoargumentaes demonstraes em sentido amplo, cuja funo a do convencimento, aqui entendido como a negociao que se estabelece para a atribuio de significados (p. 8). Em termos de Educao Bsica, essa tentativa de convencimento pode surgir, por exemplo, por meio da

verificao emprica e da explicao, sendo que essas consistem respectivamente na afirmao



da validade de uma afirmativa atravs de testes de alguns casos particulares e na comunicao

ao outro sobre a validade de um enunciado, mostrando o significado que sua concluso possui

em relao a tal afirmativa.

Encontramos a possibilidade de abordar a nossa proposta nas atividades exploratrio-

investigativas, em que a demonstrao possui o papel de verificar a verdade de uma proposio e age como meio de explicao, de comunicao e de descoberta (DE VILLIERS, 1990, 2001 apud COSTA, 2008, p. 148). Dessa forma, abordamos as

demonstraes em atividades orientadoras de ensino exploratrio-investigativas de cunho

algbrico, de modo que esta constitusse uma ao formadora (MOURA, 2001), pois englobaria os nossos objetivos de ensino, os contedos e a nossa concepo de aprendizagem.

Segundo Moura et al. (2010), as diversas pesquisas ancoradas no conceito de atividades

orientadoras de ensino se configuram acerca da sua utilizao para a organizao da atividade pedaggica e como instrumento metodolgico de pesquisas sobre o ensino ou seja, a AOE

3

vem sendo explorada como fonte de pesquisa e como fundamento para o ensino (p.220). Estes autores acreditam que os elementos que caracterizam a atividade orientadora de ensino

permitem que ela seja elemento de mediao entre a atividade de ensino e a atividade de aprendizagem (p.220), sendo que a finalidade destas deve ser coincidente. Nesse sentido, o objetivo principal da atividade orientadora de ensino passa a ser: proporcionar a necessidade de apropriao do conceito pelo estudante, de modo que suas aes sejam realizadas na busca

da soluo de um problema que o mobilize para atividade de aprendizagem a apropriao dos conhecimentos. (p. 205).

Para que o trabalho com atividades orientadoras de ensino seja significativo, ao abordar

os conceitos a serem trabalhados com os/pelos estudantes em sala de aula, o professor deve

antes escolher e estudar tais conceitos, elaborando-os da melhor forma para que sejam

compreendidos, e refletir sobre a atividade desenvolvida em sala de aula. Nesse ltimo, o

professor identifica dos objetivos pretendidos e, dentre estes, quais foram ou no atingidos,

analisando os fatores que podem ter influenciado nesse resultado.

A atividade planejada para o desenvolvimento desta pesquisa compreendeu os

aspectos citados e foi estruturada de modo a possibilitar a interao entre estudantes e

professor, mediados por um contedo, negociando significados, com o objetivo de solucionar coletivamente uma situaoproblema (MOURA, 2001, p.155).

Resultados e discusses

Com a atividade A Lanchonete do Alan Xonete visamos proporcionar os estudantes

a vivncia em um ambiente de explorao e investigao onde pudessem levantar

conjecturas e, posteriormente, construir e defender seus argumentos de forma a valid-las,

ou ainda encontrar contraexemplos e refutaes para elas.

As argumentaes esperadas foram aquelas que alm da visualizao emprica se

basearam na explicao oral do fenmeno ocorrido de forma a diminuir a possibilidade de erro

e de incertezas, alm de tentar convencer os envolvidos na atividade. Porm, para convencer a

todos, os estudantes sentiram a necessidade de demonstrar tal fato, buscando solues para as

3 Atividade Orientadora de Ensino



seguintes questes, Por que vlida minha afirmativa? Como que eu cheguei a essa hiptese? Minha hiptese vlida s para alguns casos? Se sim, essa hiptese ento

verdadeira?.

A nossa proposta pde evidenciar alguns fatores importantes:

A potencialidade da atividade em estimular a criao de algumas relaes mesmo que no

formal, ou seja, foi o incio da abstrao. Um dos momentos a serem citados ocorreu

quando os estudantes solucionaram a questo l da atividade em anexo, como podemos

observar a seguir: Mas no a mesma coisa... Se voc juntar duas quadradas do que colocar uma retangular?

O reconhecimento por parte dos estudantes da necessidade de convencer a si prprio e as outras pessoas que esto ao seu redor sobre a validade de uma afirmativa. Boavida (1999)

disserta sobre esse assunto, denominando as outras pessoas como o conjunto daqueles que o orador quer influenciar pela sua argumentao Perelman (1993 apud BOAVIDA, 1999, p. 8), estando estes de acordo ou no com quem argumenta.

Necessidade de criao de significado para a expresso encontrada, como podemos observar no dilogo abaixo: Aluno A

4: O nmero de mesas o nmero de pessoas divido por dois mais um.

Aluno B: isso que eu ia falar... Mas eu no sei o porqu do menos um... Por que

quando comea...

Segundo Lins e Gimenez (1997), a lgebra consiste em um conjunto de afirmaes para

as quais possvel produzir significado em termos de nmeros e operaes aritmticas,

possivelmente envolvendo igualdade ou desigualdade (p. 137). Dessa forma, os estudantes estavam no estgio de criao de significado para aquela expresso, ou seja, o que significa o

- 1 da relao encontrada?

Ao expor seus entendimentos sobre a educao algbrica, Lins e Gimenez (1997)

consideraram que o primeiro passo a ser desenvolvido seria o de permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados (em nosso sentido) para a lgebra, sendo que, somente aps esse processo, os estudantes adquiriro a capacidade de pensar algebricamente. Dessa forma,

ao criarem um significado para aquela relao, os estudantes conseguiram falar sobre ela,

explic-la e assim defender com mais propriedade sua validade.

O desenvolvimento do processo de argumentao e tentativas de convencimento, que foram freqentes no decorrer da atividade.

A facilidade de generalizao da situao descrita na atividade por parte de todos os estudantes.

A linguagem algbrica utilizada. No decorrer da atividade os estudantes utilizaram da

4 Os alunos A e B pertencem a turma do 9 Ano



linguagem retrica. A linguagem retrica da lgebra vista por Fraile (1998 apud

SOUSA,2004, p 106) como a ferramenta inicial, a mais bsica, a linguagem ordinria. Nesse sentido, os argumentos da resoluo de um problema so escritos em prosa pura, sem abreviaes ou smbolos especficos (EVES, 1997 apud SOUSA 2004, p 106). Assim, foi apenas atravs da explorao dessa linguagem que o problema comeou a ter

significado para os estudantes.

A potencialidade de se trabalhar com as demonstraes, entendendo-as como um processo de busca, de conjecturas, contraexemplos, e principalmente de comunicao e

argumentao. Vimos que possvel gerar nos estudantes a necessidade de demonstrar

suas afirmativas. No entanto, muitas vezes as tentativas de validao acabaram sempre na

verificao emprica. Neste sentido, destacamos a importncia do papel do professor

como mediador do processo de argumentao e validao (demonstraes). dele que devem partir os questionamentos, as intervenes, a fim de explorar as idias dos

estudantes, guiando-os para que produzam demonstraes da forma mais geral possvel,

ou seja, de modo a possibilitar a abstrao dos estudantes e, assim, o desenvolvimento de

seu pensamento algbrico.

Consideraes finais

Acreditamos que, em sala de aula, as abordagens das demonstraes em lgebra

podem ser feitas, por meio de atividades de ensino exploratrio investigativas, em que a educao algbrica se d na medida em que a produo de conhecimento algbrico serve ao

propsito de iluminar ou organizar uma situao, como ferramenta (LINS; GIMENEZ, 1997, p.109), sobretudo, como linguagem, ou seja, como uma das formas de se organizar e

comunicar s idias que esto sendo desenvolvidas em um dado contexto de investigao.

Alm dessa abordagem, pode-se ser feitas tambm a partir da solicitao de justificativas de

qualquer atividade que o estudante faa em aula, cultivando assim o pensamento argumentativo onde o Por qu?, no seja visto como uma pergunta capciosa de um professor que quer prejudicar o aluno (COSTA, 2008, p. 147), mas como uma oportunidade de criao de significado do conceito estudado.

A pesquisa desenvolvida contribuiu significativamente para o desenvolvimento da

prtica pedaggica da pesquisadora, levando em considerao os diversos contextos

formativos nos quais estivemos inseridos. Os estudos tericos realizados sobre as

demonstraes na Educao Bsica, e do trabalho com a atividade de ensino exploratrio-

investigativa, possibilitaram a construo da concepo sobre o ensino e aprendizagem da

Matemtica escolar. Dessa forma, nos sentimos inclinados a experenciar em sala de aula, uma

nova proposta para o ensino de lgebra, focando a argumentao e validao, que a nosso ver

proporcionou a construo do conhecimento dos estudantes de forma significativa.

A pesquisa proporcionou dois aspectos formadores que implicam diretamente para a

formao da prtica pedaggica da pesquisadora, sendo o primeiro a conciliao da teoria

com a prtica, o que no foi tarefa fcil. Muitas pesquisas na Educao Matemtica tratam

sobre essas formas de conciliao, e a pesquisa desenvolvida foi de encontro com essa

perspectiva. Um segundo aspecto foi a possibilidade de reflexo da prpria prtica por meio



da escrita do presente trabalho.

Referncias Bibliogrficas

BOAVIDA, A. M. (2005). A argumentao na aula de matemtica: olhares sobre o trabalho

do professor. Anais do XVI SIEM. 16 (1).

http://fordis.ese.ips.pt/siem/resumo.asp?id=57.

BRASIL. (1998). Parmetros Curriculares Nacionais: matemtica. Secretaria da Educao

Fundamental. Braslia: MEC/SEF.

CARVALHO, C. C. S. de; PEREIRA, M. E. (2008). Argumentaes, provas e demonstraes

na matemtica escolar. Anais do II SHIAM. 2 (1).

http://www.fe.unicamp.br/shiam/anais.html

COSTA, J. L.(2008) Provas e validaes em geometria em um Grupo de

dimenso colaborativa. Itatiba: Universidade de So Francisco, Itatiba SP.

FIORENTINI, D; LORENZATO, S. (2006). Investigao em Educao Matemtica:

percursos, tericos e metodolgicos. Campinas: Autores Associados.

GARNICA, A. V. M. (2002). As demonstraes em Educao Matemtica: um

ensaio. BOLEMA: Boletim de Educao Matemtica. 15 (18), p. 91-999.

GARNICA, A. V. M. (2004). Histria Oral e Educao Matemtica. Pesquisa qualitativa em

Educao Matemtica. 1 (1), p. 78-98.

LAKATOS, I. (1978). A Lgica do Descobrimento Matemtico: provas e refutaes. Rio de

Janeiro: Zahar Editores.

LINS, R. C.; GIMENEZ, J. (1997). Perspectivas em aritmtica e lgebra para o sculo

XXI. Campinas, SP: Papirus.

LOPES, A. J. (1999). Gesto de Interaes e Produo de Conhecimento Matemtico em um

Ambiente de Inspirao Lakatosiana. Educao Matemtica em Revista. 7(6), p. 19-26.

MOURA, M. O de. (2001) A atividade de ensino como ao formadora. Ensinar a ensinar:

didtica para a escola fundamental e mdia. 8 (1), p. 143-162.

MOURA, M. O. de; ARAJO, E. S.; MORETTI, V. D.; PANOSSIAN, M. L.; RIBEIRO, F. D.

(2010). Atividade Orientadora de Ensino: unidade entre ensino e aprendizagem. Revista

Dilogo Educacional. 10 (29), p. 205-229.

NACARATO, A. M.; GRANDO, R. C. e COSTA, J. L. (2009). Um contexto de

trabalho colaborativo possibilitando a emergncia dos processos de argumentao

e validao em geometria. Acta Scientiae: Revista de Ensino de Cincias e



Matemtica. 11(2), p. 69-85.

PARATELI, C. A.; CRISTOVO, E. M.; ABREU, M. das G. dos S.; PONTES, R. C. M. A.

(2006). A escrita no processo de aprender matemtica. Histrias e Investigaes de/em

aulas de matemtica. 1 (1). p.39 53.

PIETROPAOLO, R. C. (2005). (Re)significar a demonstrao nos currculos da educao

bsica e da formao de professores de Matemtica. So Paulo: Pontifcia Universidade

Catlica.

SOUSA, M. C. de. (2004). O ensino de lgebra numa perspectiva lgico-histrica: um estudo

das elaboraes correlatas de professores do ensino fundamental. Campinas: Universidade

Estadual de Campinas.

TINOCO, L.; SILVA, M. M. da. (2004). Argumentao no ensino de Matemtica. VIII

Encontro nacional de educao matemtica. 8 (1), p. 1 -11.



Apndice A

A Lanchonete Do Alan Xonete

Sexta feira passada, aps a aula, quatro amigos, Aderbal (A), Belinda (B), Crisstomo (C) e

Drusio (D), foram comer umas pizzas e tomar um refrigerante na lanchonete do Alan Xonete.

L chegando, o garom Edgar Som j havia separado uma mesa quadrangular com quatro

cadeiras para os quatro amigos se assentarem.

a) Desenhe a mesa com as cadeiras que o garom Edgar Som separou para os quatro

amigos.

A conversa ia animada quando chegaram Elizirio e Flausino, e estesqueriam se juntar ao

grupo de amigos. Edgar Som perguntou-os: Querem que eu troque a mesa de vocs por uma

mesa retangular ou preferem que eu ajeite outra mesa quadrangular ao lado da mesa de vocs?

Os amigos optaram pela mesa quadrangular.

b) Porque Edgar Som fez essa pergunta? O formato da mesa implica naquantidade de

pessoas que podem assentar ao seu redor?

c) Desenhe a nova disposio das mesas para esses casos (mesa quadrada e retangular).

d) Se voc estivesse entre os seis amigos, qual disposio das mesas preferiria? Por qu.

Era dia de reunio da turma para descansar e passar bons momentos conversando e logo

chegaram Griselda e Hortnsia. Nosso amigo Edgar Som correu a colocar uma nova mesa quadrangular ao lado das duas anteriores e avisou ao Falco Zinheiro, o cozinheiro, para preparar

mais duas pizzas.

e) Desenhe a nova disposio das mesas e cadeiras.

f) Se os amigos tivessem optado por utilizarem uma mesa retangular seria necessrio

acrescentar outra mesa pra que os oito amigos pudessem se assentar em volta dela? Faa um

desenho que represente essa situao.

g) Qual a relao existente entre as duas mesas (quadrangulares e retangulares)?

A turma esperava mais companheiros, logo chegaram Izilda, Jocasta, Kreiton, Lisaldo,

Mosa, Nadir, Odala e Pepita. Ih! Agora o Edgar Som vai precisar da sua ajuda.

h) Quantas mesas sero necessrias que Edgar Som arrume? Faa o desenho representando

a nova disposio de mesas e seus ocupantes. Edgar Som ficou curioso para saber como vocs

resolveram esse problema, pois, todos os dias ele enfrenta um problema semelhante. Ensine



Edgar Som a descobrir quantas mesas sero necessrios para que todos os amigos se

acomodem, escrevendo com suas palavras como foi que voc obteve a resposta acima.

Agora complete a tabela abaixo representando a quantidade de pessoas em relao ao

nmero de mesas quadrangulares.

Nmero de pessoas Nmero de mesas quadrangulares

4

6

8

10

16

18

i) Quantas mesas seriam necessrias para acomodar 12 pessoas? E para comodar 13

pessoas?

j) Se forem colocadas 9 mesas, quantas pessoas podem ser acomodadas,usando-se a mesma

disposio?

k) Quantas mesas sero necessrias para receber 100 pessoas.

l) Escreva uma regra que permita o clculo rpido do nmero de mesas se soubermos a

quantidade de pessoas. Escreva outra regra que permita o clculo rpido do nmero de pessoas se

soubermos a quantidade de mesas.

m) Faa o teste da sua regra. Por que seu teste vlido? Defenda sua criao!

Demonstrações - CIAEM

Documents

Transcript of Demonstrações - CIAEM