Deflexões de vigas mistas biapoiadas em condições de...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

Deflexões de vigas mistas biapoiadas em condiçõesde serviço: análises de curta e longa duração

Bruno Ceotto Sobrinho

Orientador:Prof. Dr. Ing. Luiz Herkenhoff Coelho

VitóriaAbril de 2002

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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL



Orientador:Prof. Dr. Ing. Luiz Herkenhoff Coelho

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Civil da Universidade

Federal do Espírito Santo, como parte dos

requisitos para a obtenção do grau de Mestre em

Engenharia Civil.

VitóriaAbril de 2002



Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – Centro

Tecnológico - Universidade Federal do Espírito Santo como parte dos requisitos para a

obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil.

Aprovada em 02/04/2002

__________________________________________________________ Prof. Dr. Luiz Herkenhoff Coelho

(Orientador da Dissertação)

__________________________________________________________Prof. Dr. Walnório Graça Ferreira

(Examinador Interno)

_________________________________________________________Profª. Drª Arlene Maria Sarmanho Freitas

(Examinador Externo – UFOP)


Ceotto Sobrinho, Bruno, 1961

Deflexões de vigas mistas biapoiadas em condições de serviço: análises de curta e longaduração. [Vitória] 2002.

xi, 89 p., 29,7 cm (UFES, M.Sc., Engenharia Civil, 2002).

Dissertação, Universidade Federal do Espírito Santo, PPGEC.

I. Construções metálicas.

I. PPGEC/UFES II. Título (série).

“Que darei eu ao Senhor, por todos os benefícios que me tem feito?.”

(Salmo 116:12)

À minha esposa, Darci,

e aos nossos queridos filhos, Vinicius e Victor,

dedico esta vitória alcançada.

AGRADECIMENTOS

À Universidade Federal do Espírito Santo – UFES – Brasil, pelo valioso suporte institucional

proporcionado, e ao programa de bolsas da CAPES, pelo apoio financeiro, que me permitiu

desenvolver este trabalho.

Ao Núcleo de Excelência em Estruturas Metálicas e Mistas – NEXEM (Convênio

UFES/CST), pela infraestrutura disponibilizada.

Ao professor Luiz Herkenhoff Coelho, pela orientação segura e lucidez com que conduziu as

etapas deste estudo e, principalmente, pela amizade, confiança e apoio constantes.

Ao professor Pedro Augusto Cezar Oliveira de Sá que, ao acompanhar o desenvolvimento

desta dissertação, contribuiu para a sua realização com discussões e sugestões oportunas e

valiosas.

Ao professor Walnório Graça Ferreira, por sua importante participação e, acima de tudo, por

ter se tornado um amigo especial e sempre presente.

Ao querido professor Mauricio Lordêllo, que na graduação, ajudou a despertar em mim um

interesse especial pela área de estruturas.

Ao professor João Luiz Calmon Nogueira da Gama, pela criação deste Mestrado e por sua

valiosa contribuição para desenvolvimento intelectual e acadêmico do ensino superior em

nossa universidade.

Aos amigos Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani, Cláudia Mercenes Kamei, Claudio José

da Silva, Rodrigo Camargo e Warley Soares Santos, pela solidariedade e pelo papel decisivo

que tiveram no desenrolar dessa história.

Aos colegas de curso e demais professores do Departamento de Estruturas pelo apoio e pela

amizade tão preciosa.

Aos meus queridos pais, pela minha vida, minha eterna gratidão.

E, acima de tudo, a Deus, nosso Pai Eterno, que tem guiado os nossos passos e tem sido a

nossa vitória.

i

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS............................................................................................ iii

LISTA DE TABELAS........................................................................................... v

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES...................................................... vi

RESUMO................................................................................................................ x

ABSTRACT............................................................................................................ xi

1. INTRODUÇÃO

1.1. Considerações iniciais................................................................................ 1

1.2. Objetivos..................................................................................................... 2

1.3. Estrutura da dissertação.............................................................................. 2

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1. Histórico e desenvolvimento...................................................................... 4

2.2. Deflexões de curta duração com interação parcial..................................... 5

2.3. Deflexões de longa duração com interação parcial.................................... 7

3. CONECTORES DE CISALHAMENTO

3.1. Generalidades.............................................................................................. 9

3.2. Tipos de conectores e modos de falha......................................................... 10

3.3. Ensaios em conectores de cisalhamento...................................................... 13

3.4. Rigidez de conectores.................................................................................. 15

3.5. Capacidade nominal de conectores.............................................................. 16

3.6. Recomendações e restrições segundo algumas normas............................... 20

4. ANALISE ELÁSTICA OU DE CURTA DURAÇÃO DE VIGAS MISTAS

4.1. Introdução.................................................................................................... 25

4.2. Tipos de interação......................................................................................... 26

4.3. Considerações teóricas sobre a análise elástica .......................................... 26

4.3.1. Analise elástica com interação nula................................................... 30

4.3.2. Analise elástica com interação parcial............................................... 32

4.3.3. Analise elástica com interação total.................................................. 36

ii

5. DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS BIAPOIADAS SOB ANÁLISE DE

CURTA DURAÇÃO5.1. Teoria sobre deflexões de vigas mistas com interação parcial e

distribuição uniforme de conectores............................................................ 40

5.2. Deflexões centrais de curta duração em vigas mistas simplesmente

apoiadas, com interação parcial................................................................... 45

5.3. Expressão geral, proposta por Jasim & Mohamad Ali (1977), para o

cálculo das deflexões centrais de vigas mistas simplesmente apoiadas,

com interação parcial – Análise de curta duração....................................... 50

5.4. Estudo paramétrico realizado por Jasim, visando estabelecer os intervalos

usuais de projeto para os parâmetros B e K0................................................ 53

5.5. Gráfico para o cálculo das deflexões centrais de vigas mistas

simplesmente apoiadas, com interação parcial............................................ 54

5.6. Estudos realizados por Wang para confirmar a validade da expressão

geral da razão (ypm / yfm) em vigas mistas biapoiadas com interação

parcial.......................................................................................................... 56

6. DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS BIAPOIADAS SOB CARGAS DE

LONGA DURAÇÃO6.1. Introdução................................................................................................... 58

6.2. Modelo teórico para a análise de longa duração em vigas mistas

biapoiadas................................................................................................... 58

6.3. Métodos algébricos para a análise da fluência........................................... 60

6.3.1. Formulação do problema pelo método AAEM.................................... 61

6.3.2. Deflexões de longa duração em vigas mistas biapoiadas com

conexão parcial e carregamento uniformemente distribuído................ 64

6.3.3. Comparação entre deflexões obtidas pela equação (6.41) e pelo

método numérico proposto por Tarantino & Dezi (1992).................... 66

6.3.4. Deflexões de vigas mistas segundo a NBR 8800................................. 69

6.3.5. Deflexões de vigas mistas de acordo com o Eurocódigo EC4............. 69

6.3.6. Comparação entre deflexões calculadas pela NBR 8800, Eurocódigo

EC 4 e pela equação (6.41).................................................................. 70

7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES

7.1. Conclusões.................................................................................................. 76

7.2. Sugestões.................................................................................................. 77

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................... 78

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR..................................................................... 84

ANEXO A.................................................................................................................... 87

iii

LISTA DE FIGURAS

CAPÍTULO 3

Figura 3.1 Gráfico típico Carga x Deslizamento para conectores de cisalhamento... 10

Figura 3.2 Possíveis modos de colapso obtidos em ensaios push-out (Alva 2000).... 11

Figura 3.3 Tipos mais usuais de conectores de cisalhamento (Malite 1990).............. 12

Figura 3.4 Corpo de prova adotado pelo EC 4 para o ensaio push-out (Alva 2000).. 14

Figura 3.5 Gráfico força x deslizamento típico para conectores flexíveis................. 14

Figura 3.6 Tipo de colapso de um conector stud e a distribuição de tensões

agindo em sua haste.................................................................................. 15

Figura 3.7 Obtensão da rigidez de conectores segundo Johnson & May (1975)........ 16

Figura 3.8 Conectores uniformemente espaçados entre as seções de momento nulo. 21

Figura 3.9 Nº de conectores entre uma seção c/ carga concentrada e a seção

adjacente de mom. nulo............................................................................ 21

Figura 3.10 Espaçamento longitudinal máximo entre linhas de centro de conectores,

para lajes maciças - NBR 8800 (1986)..................................................... 22

Figura 3.11 Espaçamento longitudinal máximo entre linhas de centro de conectores,

p/ lajes com fôrmas de aço incorporadas, com nervuras perpendiculares

à viga - NBR 8800.................................................................................... 23

Figura 3.12 Espaçamento longitudinal e transversal mínimos, entre linhas de

centro para conectores tipo pino com cabeça - NBR 8800....................... 23

Figura 3.13 Relação entre o diâmetro dos conectores e a espessura da mesa à qual

estão soldados - NBR 8800...................................................................... 23

Figura 3.14 Cobrimento lateral mínimo de concreto p/ qualquer tipo de conector -

NBR 8800................................................................................................. 24

CAPÍTULO 4

Figura 4.1 Meio de conexão contínuo em um elemento infinitesimal de laje............ 27

Figura 4.2 Comportamento tipo de vigas mistas com interação parcial..................... 27

Figura 4.3 Comportamento estrutural qualitativo de uma viga mista de acordo com

o grau de interação (Yam 1981)................................................................ 28

Figura 4.4 Análise estrutural de uma viga mista, com interação nula........................ 30

Figura 4.5 Diferença de deformações devido ao deslizamento relativo na interface. 31

Figura 4.6 Análise estrutural de uma viga mista, com interação parcial.................... 33

Figura 4.7 Equilíbrio longitudinal em um elemento infinitesimal de laje.................. 35

iv

Figura 4.8 Análise estrutural de uma viga mista, com interação total:

(a) Vista lateral da viga não deformada

(b) Distribuição do momento fletor atuante, devido à interação parcial

(c) Diagrama de deformações resultantes para interação total

(d) Diagrama de tensões correspondentes às parcelas Mc e Ms

(e) Diagrama de tensões correspondentes às parcelas Nc e Ns.......... 37

CAPÍTULO 5

Figura 5.1 Diagrama típico carga-deslizamento obtido para conectores pino com

cabeça (Johnson 1975)............................................................................... 40

Figura 5.2 Esforços atuantes em um elemento infinitesimal de viga mista aço-

concreto, com interação parcial................................................................. 41

Figura 5.3 Linha elástica de uma viga carregada em seu plano de simetria vertical:

(a) Vista longitudinal da viga indeformada (b) Representação da

linha elástica para a viga deformada....................................................... 43

Figura 5.4 Viga mista simplesmente apoiada submetida a um carregamento

trapezoidal................................................................................................. 46

Figura 5.5 Viga mista simplesmente apoiada submetida a uma carga concentrada

fora do ponto médio................................................................................ 48

Figura 5.6 Viga mista simplesmente apoiada submetida a uma carga

uniformemente distribuída....................................................................... 48

Figura 5.7 Viga mista simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada

no centro do vão........................................................................................ 49

Figura 5.8 Viga mista simplesmente apoiada, submetida a uma carga

concentrada P a 1/4 de cada apoio....................................................... 49

Figura 5.9 Gráfico p/ o cálculo da deflexão central em vigas mistas simplesmente

apoiadas, submetidas a qualquer tipo de carregamento............................ 55

CAPÍTULO 6

Figura 6.1 Viga mista: (a) Seção transversal; (b) Elevação; (c) Deformações...... 59

Figura 6.2 Seção transversal e vista longitudinal........................................................ 67

Figura 6.3 Determinação da rigidez de conectores de cisalhamento (Wang 1998).... 72

v

LISTA DE TABELAS

CAPÍTULO 3

Tabela 3.1 Resistência nominal de conectores tipo pino com cabeça em lajes

maciças, segundo a BS 5950 (1990)........................................................ 18

Tabela 3.2 Resistências nominais de conectores tipo perfil U laminado e barra

chata com alça segundo a BS 5400 (1979)............................................. 18

CAPÍTULO 5

Tabela 5.1 Comparação entre os valores ypm/yfm obtidos para os cinco tipos de

carregamento do item 5.3, e diversos valores dos fatores B e K0............ 51

Tabela 5.2 Valores de ypm/yfm, obtidos a partir da equação (5.21), para diversos

valores dos fatores B e K0........................................................................ 54

Tabela 5.3 Diferença máxima entre as deflexões centrais calculadas pelo método

dos elementos finitos e a expressão geral proposta por Wang (Wang

1998)........................................................................................................ 57

CAPÍTULO 6

Tabela 6.1 Deflexão no centro do vão da viga da figura 6.2, calculada através do

algoritmo proposto por Dezi et al. (1992) e por meio da equação

(6.41)........................................................................................................ 68

Tabela 6.2 Expoente α nas expressões do Eurocódigo EC (DRAFT 2000)............ 70

Tabela 6.3 Deflexão no centro do vão da viga mista apresentada na figura 6.2....... 75

vi

LISTA DE SÍMBOLOS

LETRAS ROMANAS MAIÚSCULAS

Aa, As área da seção do perfil metálico

Ac área da seção de concreto

Asc,Acs área da seção transversal do conector

Cred fator de redução da resistência do conector

E módulo de elasticidade do aço

Eef módulo de elasticidade efetivo do concreto, baseado no coeficiente de

fluência do concreto

Ea, Es módulo de elasticidade do aço

Ec módulo de elasticidade do concreto

Ec28 módulo de elasticidade do concreto aos 28 dias

Ec(t) módulo de elasticidade do concreto na idade t

Fconec força de cisalhamento atuante no conector

Gc posição do centróide da seção de concreto

Gs posição do centróide da seção de concreto

Gh posição do centróide da seção homogeneizada

Ic momento de inércia da seção de concreto em relação ao seu eixo centroidal

Ia, Is momento de inércia do perfil metálico em relação ao seu eixo centroidal

Ief momento de inércia efetivo da seção mista transformada

Itr=Ih momento de inércia da seção homogeneizada

J(t, t0) função de fluência

K= kn0/p rigidez do dispositivo de conexão

L vão, comprimento

M=M(x) momento fletor

Mc momento fletor atuante na seção de concreto

Mc(x, t) momento fletor atuante na seção de concreto para análise de longa duração,

baseado na fluência e retração do concreto

Ms momento fletor atuante na seção de aço

Ms(x, t) momento fletor atuante na seção de aço para análise de longa duração,


N=N(x) força normal, resultante das tensões normais

N(x,t) força normal, resultante das tensões normais para análise de longa duração,


vii

P força de cisalhamento transmitida pelo conector, carga concentrada sobre

uma viga

PRd resistência de cálculo de um conector

Pu força de cisalhamento resistente última do conector

Qn somatório das resistências nominais individuais dos conectores de

cisalhamento entre a seção de momento máximo e a seção adjacente de

momento nulo

Rn resistência nominal

RH umidade relativa do ar

Sh momento estático da seção de aço ou da seção de concreto em relação ao

eixo que passa pelo centróide da seção homogeneizada

T resultante das tensões de tração

V força cortante

Vh força de cisalhamento longitudinal

LETRAS ROMANAS MINÚSCULAS

ac distância entre os pontos Gc e Gh

as distância entre os pontos Gs e Gh

bc largura da laje de concreto

bF largura da nervura

bf largura da mesa da seção de aço

d diâmetro do conector

dc altura da laje de concreto

ds altura da viga de aço

fck resistência característica do concreto à compressão

fu limite de resistência à tração do aço do conector

h0 distância entre os pontos Gc e Gs, espessura fictícia da laje (h0=2Ac/u)

hcs altura total do conector após a sua soldagem

hF altura nominal da nervura

k módulo de rigidez elástica do conector

n número de conectores, relação modular ou fator de homogeneização (E/Ec)

ncs número de conectores de cisalhamento por nervura

n0 número de filas longitudinais de conectores

p espaçamento longitudinal entre conectores

q fluxo de cisalhamento longitudinal atuante entre a laje de concreto e o perfil

metálico

viii

qn resistência ou capacidade nominal ao cisalhamento de um conector

qRd resistência de cálculo dos conectores

s deslizamento relativo entre as partes na interface de contato da viga,

coeficiente que depende do tipo de cimento

t0 idade do concreto no instante do carregamento (dias)

tf espessura da mesa, espessura média da mesa do conector em mm

tw espessura da alma, espessura da alma do conector em mm

u perímetro da parte de concreto em contato com a atmosfera.

w carga distribuída, módulo resistente (mínimo) elástico da seção relativo ao

eixo de flexão

yf deflexão de viga mista com interação completa

yfm deflexão central de viga mista com interação completa

yp deflexão de viga mista com interação parcial

ypm deflexão central de viga mista com interação parcial

y(x) equação da linha elástica

y1 distância do ponto Gs à face superior da viga de aço

LETRAS GREGAS

χ(t, t0) coeficiente de envelhecimento do concreto

δ deflexão máxima da viga mista com interação parcial

δa deflexão da viga com todo o carregamento resistido pela viga de aço

δc deflexão da viga mista com interação total

εc deformação no concreto

εd =(εs -εc) diferença de deformações ao nível da ligação aço concreto

εs deformação no aço

ε(t, t0) deformação total do concreto no período (t, t0)

εsh(t) deformação do concreto na idade t ocasionada por retração

φ = tgθ ≅θ curvatura para a viga deformada

φ diâmetro de um conector

φ(t, t0) função de fluência do concreto

ϕ(t, t0) coeficiente de fluência do concreto

γc peso específico do concreto

η grau de conexão da viga

θ rotação

ρ raio de curvatura da viga deformada

σ tensão normal

ix

ÍNDICES

a aço

c concreto

cs, sc conector de cisalhamento

ef efetivo

tr, hom seção transformada, seção homogeneizada

u último

x, y eixos da seção transversal

ABREVIATURAS

AAEM Age Adjusted Effective Modulus

AISC American Institute of Steel Construction

BSI British Standards Institute

ECCS European Convention for Constructional Steelwork

EM Effective Modulus

MS Main Stress

LRFD Load and Resistence Factor Design

NBR Norma Brasileira Registrada

x

RESUMO

CEOTTO SOBRINHO, B. (2002). Deflexões de vigas mistas biapoiadas em condições de

serviço: análises de curta e longa duração. Vitória, 2002. 91p. Dissertação de Mestrado –

Universidade Federal do Espírito Santo.

Este trabalho dedica-se ao estudo das deflexões de curta e de longa duração de vigas mistas

aço-concreto simplesmente apoiadas, com interação parcial, apresentando distribuição

uniforme de conectores.

Inicialmente é realizado um breve estudo sobre conectores de cisalhamento visando, entre

outros aspectos, destacar sua importância sobre o desempenho das vigas mistas. Em seguida,

é apresentado um estudo relativo à análise elástica de vigas mistas, quando submetidas a

diferentes graus de interação. A seguir, apresenta-se a teoria elástica sobre deflexões de vigas

mistas com interação parcial, e também a expressão geral, proposta por Jasim & Mohamad

Ali (1997), que fornece as deflexões centrais iniciais de vigas mistas aço-concreto

simplesmente apoiadas, com interação parcial, e submetidas a qualquer tipo de carregamento.

Finalmente, é realizada a análise viscoelástica para vigas mistas aço-concreto, cuja

formulação matemática envolve equações de equilíbrio, compatibilidade e relações que

refletem a natureza dos materiais, i.e., uma relação elástica para a parte metálica e uma

expressão na forma de uma integral para considerar a fluência do concreto. Esta condição faz

com que o problema seja governado por um sistema acoplado de três equações, das quais duas

são do tipo integral-diferencial.

Tal formulação matemática é então reduzida a um sistema de equações diferenciais ordinárias,

por meio da aplicação de métodos algébricos [módulo-efetivo-ajustado-pela idade (AAEM),

módulo-efetivo (EM), tensão-média (MS)], cujas simplificações introduzidas, permitem a

obtenção de soluções na forma analítica, que podem ser muito úteis nas aplicações práticas.

Desta forma é obtida a expressão geral para o cálculo das deflexões centrais de longa duração

em vigas mistas aço-concreto, apresentando qualquer grau de interação, com distribuição

uniforme de conectores e submetidas a carregamento uniformemente distribuído.

A precisão dos resultados numéricos obtidos com esta expressão, é então confirmada,

mediante a comparação destes resultados com aqueles fornecidos pelo algoritmo proposto por

Tarantino & Dezi (1992), que utiliza o processo numérico passo-a-passo discretizado no

tempo.

A elevada precisão assim verificada, indica que esta expressão é uma boa ferramenta para o

projeto de vigas mistas com conectores de cisalhamento flexíveis.

Palavras-chave: deflexões, vigas mistas, efeitos de fluência e retração, análise dependente do

tempo, métodos algébricos, interação parcial de cisalhamento.

xi

ABSTRACT

CEOTTO SOBRINHO, B. (2002). Deflections of simply supported beams at service loads:

short and long term analysis. Vitória, 2002. 91p. Dissertação de Mestrado – Universidade

Federal do Espírito Santo.

This work is concerned with the study of short and long-term deflections of simply supported

steel-concrete composite beams with partial interaction and presenting uniform connectors

density.

A brief study of shear connectors is performed at first, aiming among others aspects, dacthing

its significance about composite beams performance. After that, a study of elastic analysis of

composite beams with different degrees of interaction is presented. Afterwards, the elastic

theory of steel-concrete composite beams deflections with partial interaction is showed, as

well the general expression proposed by Jasim & Mohamad Ali (1997), that furnishes the

initial midspan deflections of simply supported steel-concrete composite beams with partial

interaction and any type of loading.

At last, a viscoelastic analysis of steel-concrete composite beams is carried out, whose

mathematical formulation involves equilibrium equations, compatibility and constitutive

relationships of materials, i. e., an elastic law for the steel part and an integral-creep law for

the concrete part. This condition leads the problem to be governed by a coupled system of

three equations, of which two are integral-differential type.

Then, such mathematical formulation is reduced to a system of ordinary differential

equations, by means of applying algebraic methods [age-adjusted-effective-modulus

(AAEM), effective-modulus (EM), and average stresses methods (MS)], which introduced

simplifications permit obtaining solutions in closed forms, which can be useful in practical

applications.

This way, it was gotten a general expression for midspan long-term deflections of steel-

concrete composite beams under uniform distributed loading, with uniform connectors

spacing, and any interaction degree.

The accuracy of the numerical results furnishes by this expression, is then confirmed by

comparing these results with those of the exact numerical solution, obtained by employing the

numerical algorithm, proposed by Tarantino & Dezi (1992), using the numerical step-by-step

procedures of the general method.

It can be observed therefore, that the AAEM method’s solution furnishes very accuracy

numerical values, becoming a good tool for the design of composite beams with flexible shear

connectors.

Keywords: deflections, composite beams, creep and shrinkage effects, time-dependent

analysis, algebraic methods, partial shear interaction.

INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A expressão “viga mista” é utilizada para representar as vigas cuja seção transversal é

subdividida em partes, formadas por materiais distintos ou não, que possuam algum tipo de

ligação entre si, que permita a transmissão de tensões tangenciais na interface de contato das

mesmas, de modo a interagirem estaticamente como uma peça única. Estas seções

transversais podem ser constituídas por partes de diferentes materiais, tais como: concreto,

madeira, aço estrutural, alumínio, dentre outros. Neste trabalho serão estudadas as deflexões

de vigas mistas constituídas por uma laje de concreto interagindo com um perfil de aço

estrutural.

De uma maneira geral os engenheiros civis estão mais familiarizados com as

características e comportamentos específicos das estruturas fabricadas em aço ou em concreto

separadamente. Estes materiais possuem suas próprias peculiaridades. As estruturas em aço,

onde os componentes são fabricados com chapas relativamente finas, geralmente apresentam

elementos de maior esbeltez, e assim estão mais propensas à flambagem. Já as estruturas

fabricadas em concreto apresentam componentes relativamente mais espessos, mas com

baixíssima resistência a tração, além de sofrerem deformações por retração e fluência ao

longo do tempo.

As estruturas mistas, de uma maneira geral, estão sujeitas a todos estes efeitos, mas

além disso, também podem falhar na ligação existente entre o elemento de aço e o elemento

de concreto. As características desta ligação apresentam grande influência sobre o

comportamento e dimensionamento das estruturas mistas. Nestas estruturas, a ligação natural

que surge entre o perfil metálico e o concreto moldado no local é, por si só, insuficiente para

promover a interação aço-concreto na interface de contato, além de estar sujeita a um colapso

repentino. O uso de resinas epóxi visando promover a aderência aço-concreto tem sido

CA

PÍT

UL

O

1

INTRODUÇÃO 2

estudado e alguns sucessos têm sido obtidos, embora existam incertezas sobre o desempenho

destas ligações em relação ao descolamento vertical na interface e à fadiga. Estudos

suplementares necessitam ser promovidos antes que se façam recomendações para o seu uso.

A menos que o perfil metálico esteja completamente envolvido pelo concreto, o uso de

conectores mecânicos de cisalhamento torna-se portanto essencial para o projeto de vigas

mistas. O desempenho das mesmas depende diretamente da transferência da força de

cisalhamento na interface aço-concreto.

1.2 OBJETIVOS

Esta pesquisa tem como meta alcançar dois objetivos principais:

O primeiro é o de apresentar uma formulação geral para o cálculo da deflexão central

inicial (regime elástico) de vigas mistas simplesmente apoiadas, submetidas a qualquer tipo de

carregamento estático e com qualquer grau de conexão na interface aço-concreto. O segundo

é o de propor uma nova expressão analítica para o cálculo da deflexão central de longa

duração em vigas mistas aço-concreto, considerando os efeitos da retração e fluência do

concreto ao longo do tempo (regime viscoelástico), para vigas submetidas a um carregamento

permanente, uniformemente distribuído, e apresentando qualquer grau de conexão. Esta

expressão permitirá realizar o acompanhamento do crescimento das deflexões ao longo do

tempo, em decorrência da fluência e da retração do concreto.

Para o desenvolvimento da mesma, pretende-se considerar a influência de alguns

importantes parâmetros reológicos que agem sobre as deflexões, ou seja: a idade de

carregamento do concreto (t0), a umidade relativa do meio ambiente (RH), a resistência

característica do concreto à compressão (fck), a rigidez dos conectores (k) e a espessura da laje

de concreto (tc). Tais considerações representam um importante avanço em relação às

fórmulas empíricas de projeto atualmente vigentes.

1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

O capítulo 3 dedica-se ao estudo dos conectores de cisalhamento. Nele são

apresentados alguns tipos de conectores utilizados nas conexões mistas, assim como o ensaio

padronizado denominado push-out, que investiga o comportamento estrutural de tais

conectores. São apresentadas também algumas expressões para o cálculo da capacidade

nominal dos principais tipos de conectores utilizados em edifícios e pontes, assim como

recomendações e restrições sobre o uso de conectores segundo algumas normas que tratam

sobre o assunto.

INTRODUÇÃO 3

No capítulo 4 é apresentado um estudo sobre a análise elástica ou de curta duração de

vigas mistas em situação de serviço. Nesta análise os materiais são considerados elásticos,

situação na qual as tensões no aço e no concreto estão abaixo do limite de proporcionalidade

destes materiais. Neste estudo são apresentados os três tipos básicos de interação que ocorrem

em vigas mistas: interação nula, interação parcial e interação total.

O capítulo 5 trata da teoria sobre deflexões iniciais de vigas mistas com interação

parcial e distribuição uniforme de conectores. Nele é obtida a expressão geral aproximada que

fornece as deflexões centrais de curta duração em vigas mistas simplesmente apoiadas, com

qualquer tipo de carregamento ou interação na conexão de cisalhamento. São apresentados

também alguns estudos realizados para validar esta expressão.

O capítulo 6 é dedicado ao estudo das deflexões de vigas mistas biapoiadas, sob cargas

permanentes de longa duração, permitindo levar em conta os efeitos da retração e fluência do

concreto sobre o comportamento das vigas mistas. É apresentado inicialmente o modelo

teórico para análise viscoelástica realizada por Tarantino e Dezi (1992). Em seguida,

utilizando-se o método algébrico simplificado AAEM (age-adjusted-effective-modulus),

recomendado pelo Eurocódigo 4 para análise de fluência, obtém-se um sistema de equações

diferenciais ordinárias que ao ser aplicado a uma viga biapoida com carregamento

uniformemente distribuído, permite obter a distribuição dos momentos fletores atuantes na

laje de concreto e no perfil metálico. Conhecendo-se a distribuição destes momentos, pode-se

definir a equação da curvatura da viga (equação diferencial da linha elástica) e assim,

utilizando-se as condições de contorno, realizar a dupla integração da equação diferencial da

linha elástica, obtendo assim a expressão da equação da linha elástica de longa duração para

vigas mistas biapoiadas com conexão parcial e carregamento uniformemente distribuído.

Finalmente, a equação que fornece a deflexão central de longa duração, para vigas mistas

simplesmente apoiadas com conexão parcial e submetidas a um carregamento uniformemente

distribuído é obtida aplicando a equação da linha elástica para o centro do vão desta viga.

Em seguida, é realizada uma comparação entre as deflexões obtidas por esta expressão

e o método numérico proposto por Tarantini e Dezi (Método Geral - 1992), que utiliza o

processo numérico passo-a-passo, associado ao método das diferenças finitas, obtendo-se

resultados muito próximos entre si. Além disso, também são realizadas comparações entre a

expressão obtida e as normas NBR 8800 (1986) e Eurocódigo EC 4 (1992 e DRAFT 2000),

apresentando estes resultados numa tabela resumo.

O capítulo 7 refere-se às conclusões e sugestões.

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 HISTÓRICO E DESENVOLVIMENTO

A teoria (unidimensional) de interação parcial para peças mistas, submetidas a

carregamento estático, foi primeiramente desenvolvida por Newmark et al. (1943, 1951),

Granholm (1949) e Pleshkov (1952). Embora tendo trabalhado independentemente, a teoria

por eles proposta é a mesma (Girhammar & Gopu 1993).

Segundo Al-Amery e Roberts (Al-Amery & Roberts 1990; Roberts 1985), em geral a

teoria de interação parcial, que considera o deslizamento na interface aço concreto, tem sido

atribuída a Newmark et al., cujas primeiras pesquisas, embora não publicadas, datam de 1943.

Nela as equações de equilíbrio e compatibilidade de um elemento de viga são reduzidas a uma

equação diferencial de segunda ordem, em termos da força axial resultante no concreto.

Resolvendo-se esta equação diferencial, em termos da força axial, substitui-se este valor nas

equações básicas de equilíbrio e compatibilidade para então serem obtidas as deformações,

tensões, deflexões e deslizamentos ao longo da viga.

Um método alternativo a este foi proposto por Yam e Chapman em 1968 (Yam &

Chapman 1972; Yam 1981), no qual a equação diferencial de segunda ordem obtida é função

do deslizamento atuante na interface aço-concreto. Em seguida , utiliza-se o deslizamento na

interface, obtido pela resolução da equação diferencial, substituindo-o nas equações básicas

de equilíbrio e compatibilidade para então serem obtidas as deformações, tensões, deflexões e

deslizamentos ao longo da viga.

Segundo Malite (Malite 1993), as primeiras pesquisas sobre vigas mistas surgiram na

Inglaterra, por volta de 1914, através de ensaios sobre sistemas compostos para pisos,

realizados pela empresa Redpath Brown and Company; no Canadá, em 1922, foram

realizados ensaios sobre sistemas mistos, supervisionados pela empresa Dominium Bridge

Company.

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2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 55

O conceito sobre interação completa em vigas mistas foi formalmente apresentado no

ano de 1929 por Caughey and Scott (Kalfas et al. 1997), ao publicarem uma teoria sobre este

tema, sugerindo o uso de conectores mecânicos para absorverem os esforços de cisalhamento

entre a viga de aço e a laje.

Foi somente em 1944 que o dimensionamento de vigas mistas com interação completa

foi introduzido nas normas da AASHO - American Association of State Highway Officials,

associação que hoje é denominada AASHTO (Malite 1993).

No Brasil, o uso de estruturas mistas limitou-se inicialmente a alguns edifícios

construídos entre os anos de 1950 e 1960 e a pequenas pontes (Malite 1990). Deste período

até o ano de 1985, esta opção ficou praticamente abandonada em nosso País, utilizando-se

para a grande maioria das estruturas dos nossos edifícios e pontes, soluções em concreto

armado e protendido. Nesta época os projetistas de estruturas mistas precisavam recorrer a

normas estrangeiras, pois este assunto só foi introduzido em normas brasileiras em 1986, na

NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios. Nela existe um capítulo

dedicado ao dimensionamento e aos aspectos construtivos de vigas mistas baseado no método

dos estados limites.

2.2 DEFLEXÕES DE CURTA DURAÇÃO COM INTERAÇÃO PARCIAL

No projeto de vigas mistas ocorrem situações onde se faz necessário, ou é mais

vantajoso, o uso de uma menor quantidade de conectores que o número requerido para se

obter conexão total (Malite 1990). Visando atender a esta realidade, hoje em dia, as normas

para projetos em estruturas mistas permitem que estas sejam projetadas com conexão parcial.

A utilização deste tipo de conexão, possibilita a ocorrência de deslizamentos relativos

na interface de contato, que por sua vez, aumentam as deflexões das vigas mistas (Frodin et

al. 1978). Em adição a isso, sabe-se também que os conectores de cisalhamento sempre

apresentam algum grau de flexibilidade, permitindo a existência de deslizamentos relativos na

interface aço-concreto.

Na prática, admite-se que o fenômeno de interação completa coincida com a situação

de conexão total. Entretanto, a interação completa refere-se à inexistência de deslizamento

relativo na interface aço-concreto. Embora nas vigas mistas com conexão total, ainda exista

deslizamento relativo na interface de contato, a sua influência na deflexão da viga é tão

pequena, que pode ser desprezada nas aplicações práticas (Wang 1998).

Com o objetivo de calcular as deflexões de curta duração e avaliar o comportamento

de vigas mistas com interação parcial, alguns pesquisadores desenvolveram métodos de


análise, baseados na teoria elástica, ao longo dos últimos 35 anos. O método analítico conduz

a uma equação diferencial (Adekola 1968; Girhammar & Gopu 1993; Johnson 1975, Kristek

& Studnicka 1982; Plum & Horne 1975), cuja solução é específica para cada caso de

carregamento e condições de contorno. A principal desvantagem deste método é que o

processo de cálculo necessita ser refeito, toda vez que ocorram variações no tipo de

carregamento, na geometria da viga ou nas propriedades físicas dos materiais. Além disso, os

cálculos matemáticos necessários para a solução final do problema são geralmente muito

complexos. A análise apresentada por Plum & Horne (1975), por exemplo, conduz a uma

equação diferencial de quarta ordem para a deflexão, em relação à distância da seção

transversal ao longo da viga. Ao aplicar-se esta análise ao caso particular de uma viga

contínua, com dois vãos desiguais e submetida a uma carga concentrada no meio de cada vão,

surgem 16 constantes de integração, além do momento redundante no apoio central. Vê-se

assim, que um considerável trabalho de cálculo é necessário para se obter a solução analítica

do problema.

Alternativamente, métodos numéricos para o cálculo das deflexões também foram

desenvolvidos (Johnson & Molenstra 1991; Porco et al. 1994; Roberts 1985; Wright 1990). A

principal vantagem destes métodos repousa na versatilidade e generalidade em lidar com

qualquer combinação de carregamentos e condições de contorno. Embora sejam ferramentas

poderosas nas pesquisas e análises de estruturas complexas, sua aplicação para o uso

cotidiano em projetos pode consumir muito tempo (Wang 1998).

Mais recentemente, importantes estudos analíticos foram realizados com respeito às

deflexões iniciais de vigas mistas (análise de curta duração) com interação parcial, visando o

desenvolvimento de métodos de cálculo mais simplificados e que sejam de uso mais prático

na elaboração de projetos (Jasim & Mohamad Ali 1997; Jasim 1999; Jasim 1997; Jasim &

Atalla 1999; Wang 1998).

Embora tendo trabalhado independentemente, mas baseando-se num método de

cálculo semelhante, Jasim & Mohamed Ali (1997) e Wang (1998), desenvolveram, cada qual,

uma expressão geral que fornece as deflexões centrais de curta duração para vigas mistas

simplesmente apoiadas, com interação parcial.

Para validar o método utilizado, foram comparados os resultados numéricos entre as

deflexões de vigas mistas simplesmente apoiadas, submetidas a diferentes tipos de

carregamentos e que apresentavam os mesmos valores para dois parâmetros adimensionais,

que juntos, agrupam um grande número de variáveis que podem influenciar as deflexões

(Jasim & Mohamed Ali 1997; Wang 1998). Além disso, Wang comparou os resultados

obtidos pelo método proposto, com os fornecidos pelo método dos elementos finitos e com

alguns resultados experimentais. A conclusão obtida através destes estudos comparativos, é

que uma única expressão geral pode ser utilizada no cálculo das deflexões iniciais de vigas

simplesmente apoiadas, independentemente do tipo de carregamento, geometria da viga ou

propriedades físicas dos materiais.


O mesmo método de análise foi utilizado por Jasim para abranger as vigas contínuas

(Jasim 1997), entretanto concluiu-se que as vigas contínuas necessitam ser classificadas em

grupos para os quais são construídos gráficos específicos. A única restrição é que, se a viga

contínua não se enquadrar em um dos grupos estabelecidos, a equação diferencial que

governa o problema deve ser resolvida analiticamente.

A fim de obter um método mais generalizado para determinar as deflexões iniciais de

vigas mistas contínuas com interação parcial, Jasim estabeleceu um novo método (Jasim &

Atalla 1999), baseado no princípio da superposição, que fornece a deflexão no centro de

qualquer vão, independentemente do tipo de carregamento e da configuração da viga

contínua. Para simplificar a aplicação deste método, foram preparados gráficos equivalentes

aos obtidos no método anterior.

2.3 DEFLEXÕES DE LONGA DURAÇÃO COM INTERAÇÃO PARCIAL

Quando uma viga mista é submetida a um carregamento permanente, ela apresenta

dois tipos de resposta: instantânea ou imediata e de longa duração. Sob a ação de cargas

permanentes, a deformação de vigas mistas aumenta gradualmente com o tempo e pode

eventualmente tornar-se algumas vezes maior que o seu valor inicial (Bradford & Gilbert

1989). Este aumento nas deformações, provocado pela fluência e retração, pode ser

significante mesmo para cargas de serviço (Gilbert 1989). A deformação por fluência no

concreto é causada por tensões, enquanto que a deformação por retração independe das

tensões e é causada principalmente por secagem e reações químicas como a carbonatação.

O cálculo das deflexões centrais de curta duração em vigas mistas simplesmente

apoiadas, com interação parcial, pode ser facilmente obtido através da expressão geral

apresentada por Jasim & Mohamad Ali (1997). Esta expressão, no entanto, não considera os

efeitos da fluência e da retração do concreto, que têm uma grande influência sobre as

deflexões de longa duração em vigas mistas. Para se garantir um desempenho satisfatório das

vigas mistas, sob cargas de serviço, torna-se essencial que os efeitos de longa duração,

provocados pela fluência e pela retração, sejam adequadamente considerados em projeto.

Na última década, alguns autores dedicaram-se mais intensamente aos estudos de

vigas mistas submetidas a cargas de longa duração. Algumas análises foram realizadas em

vigas mistas apresentando interação total (Bradford & Gilbert 1989; Lawther & Gilbert 1990)

e estes resultados foram utilizados na formulação de equações de projeto relativas ao cálculo

de deformações em seções com interação total (Bradford 1991).


Ensaios de laboratório em vigas simplesmente apoiadas foram realizados na

universidade de New South Wales (Bradford & Gilbert 1991a, b) e também na universidade de

Minnesota, tanto para interação completa como para interação parcial. Wright et al. (Wright et

al. 1992) por sua vez, realizaram ensaios para cargas de longa duração em duas vigas mistas

com interação parcial, cujas vigas eram formadas por perfis metálicos conectados a lajes com

forma de aço incorporado, freqüentemente utilizadas nas construções mistas de edifícios.

Bradford & Gilbert (Bradford & Gilbert 1992a) desenvolveram um modelo teórico

permitindo o cálculo das deflexões instantâneas e de longa duração, em vigas mistas

simplesmente apoiadas submetidas a carregamento permanente, considerando o efeito da

interação parcial. Em outro artigo, Tarantino & Dezi (1992) também propuseram um método

para análise viscoelástica de vigas mistas aço-concreto, com conectores flexíveis (interação

parcial), para cargas de longa duração. Este método permite acompanhar, de forma precisa, a

transferência das tensões da laje de concreto para a viga de aço que ocorre gradualmente com

o tempo, como conseqüência da fluência e da retração do concreto. Simultaneamente, também

é possível obter o crescimento das deflexões com o decorrer do tempo.

A formulação matemática para este método envolve equações de equilíbrio,

compatibilidade e relações que refletem a natureza dos materiais, i.e., uma relação elástica

para a parte metálica e uma expressão na forma de uma integral para considerar a fluência do

concreto. Isto faz com que o problema seja governado por um sistema acoplado de três

equações, do qual duas são do tipo integral-diferencial. Este sistema foi resolvido

numericamente através de uma discretização no tempo, empregando o método passo-a-passo,

e outra discretização ao longo do eixo longitudinal da viga, empregando o método das

diferenças finitas. Com isto, obteve-se um algoritmo numérico que torna possível avaliar as

alterações das ações internas e suas implicações sobre o comportamento da viga .

CONECTORES DE CISALHAMENTO 9

CONECTORES DE CISALHAMENTO

3.1 GENERALIDADES

O desempenho das vigas mistas, depende diretamente da transferência do fluxo de

cisalhamento que ocorre na sua interface de contato.

Nas vigas mistas aço-concreto, a menos que o perfil metálico esteja completamente

envolvido pelo concreto, a aderência natural desenvolvida entre o perfil de aço e o concreto

moldado no local, por si só, não é suficiente para garantir a transmissão do esforço cortante

entre estes materiais.

Ensaios mostram que para pequenas cargas, a maior parte da força de cisalhamento

longitudinal é transferida pela ligação natural existente na interface aço-concreto.

Para cargas mais elevadas, esta ligação natural é rompida e não pode mais se refazer

(Johnson 1975). Por este motivo, esta ligação natural é desprezada para efeito de projeto, e

nos ensaios é eliminada aplicando-se graxa à flange que irá receber o concreto da laje. Nestes

casos, o esforço cortante deve ser integralmente resistido e transmitido por meio de

conectores mecânicos de cisalhamento, que são soldados à mesa superior do perfil metálico e

mergulhados no concreto da laje.

A função da conexão de cisalhamento em uma viga mista é a de promover a ação

solidária entre os seus sub-elementos, mediante a transferência do fluxo de cisalhamento que

surge na interface de contato, assim como controlar o deslizamento horizontal e impedir a

separação vertical nesta interface.

Nota-se portanto, que o uso de conectores mecânicos de cisalhamento é essencial

para o projeto de vigas mistas aço-concreto, nas quais o perfil metálico não esteja

completamente envolvido pelo concreto, pois em última análise, são os conectores que

viabilizam o funcionamento destas vigas.

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3


3.2 TIPOS DE CONECTORES E MODOS DE FALHA

Hoje em dia, são muitos os tipos de conectores desenvolvidos para uso nas conexões

das estruturas mistas. De um modo geral, os diversos tipos de conectores estão agrupados em

duas categorias principais: conectores rígidos e conectores flexíveis.

Suas principais diferenças repousam na rigidez (força por unidade de deslizamento)

que possuem e no tipo de ruptura que proporcionam às peças mistas.

Segundo o EUROCÓDIGO 4, parte 1-1, os conectores flexíveis são aqueles que

possuem deformabilidade suficiente para tornar válida a hipótese de comportamento plástico

ideal da conexão na estrutura considerada.

A rigidez é a propriedade mais importante no dimensionamento de conectores. É

obtida através do diagrama carga-deslizamento (P x s), sendo estabelecida pela razão entre a

força de cisalhamento, P, transmitida pelo conector, e o deslizamento relativo, s, provocado

na interface aço-concreto da seção mista.

Na figura 3.1 são apresentados os diagramas típicos carga-deslizamento, que se

obtêm através de ensaios push-out, exemplificando-se o comportamento de conectores rígidos

e flexíveis. Este ensaio é abordado no ítem 3.3.

FIGURA 3.1: Gráfico típico Carga x Deslizamento para conectores de

cisalhamento

Verifica-se nesta figura que em regime de utilização, tanto os conectores rígidos

como os flexíveis, apresentam um comportamento aproximadamente linear e desenvolvem

Pu

Fo

rça

resi

sten

te a

o c

isal

ham

ento

(P)

Deslizamento relativo na interface (s)

s

P

Conectorflexível

Conector rígido

Pu = Força resistente última

0.5Pu

Carga de serviço – Regime de utilização


deslizamentos relativamente pequenos na interface aço-concreto. Este fato faz com que, em

situação de serviço, a flexibilidade dos conectores apresente pequena influência sobre o

comportamento das vigas mistas.

Ao ultrapassarem o regime de utilização, os conectores flexíveis apresentam

deformações bem mais expressivas que os conectores rígidos.

Ao atingirem a força resistente última Pu, os conectores flexíveis podem continuar a

se deformar, permitindo que os conectores vizinhos absorvam uma maior parcela de carga e

atinjam sua capacidade máxima, proporcionando a uniformização da resistência da conexão.

Esta característica permite adotar espaçamentos constantes para os conectores flexíveis, sem a

diminuição da resistência máxima da conexão (Malite 1990).

Nas vigas cujo colapso se dá por ruptura na conexão aço-concreto, os conectores

flexíveis tendem a provocar um tipo de colapso mais previsível (dúctil) e menos catastrófico.

A resistência característica à compressão do concreto (fck) é um parâmetro que influi

diretamente na capacidade nominal dos conectores e no tipo de colapso que eles provocam.

Os conectores rígidos tendem a gerar uma maior concentração de tensões no concreto ao seu

redor, podendo provocar cisalhamento ou ruptura por esmagamento nos concretos de menor

fck, ou ainda ruptura na solda do conector para concretos de maior fck.

Na fig. 3.2 estão ilustrados alguns tipos de colapso que podem ocorrer em ensaios

push-out (Alva 2000). Semelhantemente, combinações destes tipos de colapso também podem

ser verificadas.

FIGURA 3.2: Possíveis modos de colapso obtidos em ensaios push-out (Alva 2000)


A Fig. 3.3 mostra alguns dos tipos de conectores mais utilizados em vigas mistas de

edifícios e pontes.

FIGURA 3.3: Tipos mais usuais de conectores de cisalhamento (Malite 1990)


Em estruturas mistas, os conectores do tipo pino com cabeça são os mais utilizados,

devido à economia, rapidez e simplicidade obtidas em seu processo de soldagem.

A soldagem é feita por eletro-fusão, obtida por uma máquina portátil, conectada a

uma unidade de força ou a um gerador. Não são necessários operários altamente qualificados

e o processo de soldagem leva de 10 a 15 segundos por conector.

Além disso as obstruções que geram à passagem das armaduras da laje são

relativamente pequenas e possuem igual capacidade de carga e rigidez em todas as direções

normais ao seu eixo vertical.

Apesar de possuírem resistência em todas as direções, o uso de conectores visa

atender a dois objetivos principais: transmitir o fluxo de cisalhamento longitudinal e impedir a

separação vertical entre a viga de aço e a laje de concreto na interface de contato.

3.3 ENSAIOS EM CONECTORES DE CISALHAMENTO

Para se investigar o comportamento estrutural dos conectores de cisalhamento,

utiliza-se um ensaio padronizado denominado push-out. Neste ensaio são obtidos o gráfico

força-deslizamento do conector, a força resistente última ao cisalhamento (Pu) e o tipo de

colapso da conexão.

Para conectores não usuais, que não satisfazem aos requisitos indicados nas normas,

a ECCS (1981) apresenta recomendações que indicam como devem ser realizados os ensaios

push-out , e como proceder na avaliação dos resultados destes ensaios para a determinação da

resistência última (Pu) dos conectores (Malite 1993).

A norma inglesa BS 5400 (1979) e o Eurocódigo EC 4 (1992) especificam as

dimensões dos corpos de prova, assim como os procedimentos necessários para a realização

destes ensaios e a determinação da capacidade nominal dos conectores ensaiados.

Na figura 3.4 são apresentados detalhes do corpo de prova especificado pelo

Eurocódigo EC 4 (1992) para o ensaio push-out. Este ensaio consiste de um perfil metálico

tipo I, tendo suas mesas conectadas a duas lajetas de concreto armado por meio de conectores

de cisalhamento. As armaduras destas lajetas devem obedecer às especificações apresentadas

na BS 5400 (1979) ou no Eurocódigo EC 4 (1992).


FIGURA 3.4: Corpo de prova adotado pelo EC 4 para o ensaio push-out (Alva 2000)

As lajetas são assentadas em argamassa e apoiadas sobre o prato inferior de uma

máquina de ensaio à compressão. Em seguida, aplica-se incrementos de carga à extremidade

superior do perfil de aço e mede-se o deslizamento relativo que surge entre a viga de aço e as

duas lajetas. Estes dados permitem a construção do gráfico carga-deslizamento para os

conectores ensaiados (Figura 3.5).

FIGURA 3.5: Gráfico força x deslizamento típico para conectores flexíveis

Ponto C: conectores atingem o colapso.

Pu

0.8

0.5

Carga de serviço (média)

Carga resistenteúltima

Fo

rça

resi

sten

te a

o c

isal

ham

ento

(P

)

0.0 A

B

C

Trecho AB: conectores respondem de formaaproximadamente linear à força aplicada.

Trecho BC: conectores tornam-seplásticos para cargas acima das deserviço.

Deslizamento relativo (s)

P

s


Na Figura 3.6 encontra-se ilustrado o modo de falha e a distribuição qualitativa de

tensões agindo sobre a haste de um conector do tipo pino com cabeça (Yam 1981).

FIGURA 3.6: Tipo de colapso de um conector stud e a distribuição de tensões agindo

em sua haste.

Observa-se uma concentração de tensões próximas à base da haste do conector. Isto

ocorre porque o concreto nesta região encontra-se confinado entre a mesa superior do perfil e

pelo próprio conector.

Os dois principais tipos de rupturas que ocorrem neste tipo de conector são o

esmagamento do concreto ao redor do conector (para studs de maiores diâmetros) e

cisalhamento na base dos conectores (para studs mais esbeltos).

3.4 RIGIDEZ DE CONECTORES

O deslizamento relativo na interface aço-concreto das vigas mistas depende

diretamente do espaçamento e da rigidez individual dos seus conectores.

Devido à não-linearidade existente na curva carga-deslizamento dos ensaios push-out,

a rigidez de um conector é melhor representada pelo seu próprio gráfico carga-deslizamento.

Embora não exista uma definição unificada sobre a obtenção da rigidez de conectores,

esta apresenta um comportamento aproximadamente linear para cargas em regime de

utilização.

Esmagamentodo concreto


Johnson e May (1975) definiram a rigidez de conectores, em regime de utilização,

como sendo aquela obtida através da secante à curva carga-deslizamento, no ponto

correspondente à metade da carga última do conector. Este conceito é apresentado na fig. 3.7.

FIGURA 3.7: Obtensão da rigidez de conectores segundo Johnson & May (1975).

3.5 CAPACIDADE NOMINAL DE CONECTORES

Baseando-se em ensaios, as normas relativas a estruturas mistas apresentam

expressões e tabelas para o cálculo da capacidade nominal dos principais tipos de conectores

utilizados em edifícios e pontes.

A norma brasileira NBR 8800 (1986), a americana AISC-LRFD (1994) e a canadense

CAN/CSA–S16.1 (1994) apresentam as seguintes expressões para o cálculo da capacidade

nominal ao cisalhamento (qn) de conectores tipo pino com cabeça e perfil U laminado:

a) Conectores do tipo pino c/ cabeça, embutidos em lajes maciças de concreto (Cred = 1):

( )

≤=

uf

scACEfACq redcckscredn 5,0 (3.1)

Pu

0.8

0.5Pu

Carga de serviço (média)Regime de utilização


For

ça r

esis

tent

e ao

cis

alha

men

to (

P)

0.0Deslizamento relativo (s)sserviço

Rigidez em regime de utilização k = 0,5 Pu

sserviço

P

s


b) Conectores do tipo perfil U laminado, embutidos em lajes maciças de concreto:

ckcwfn fLttq )0,5 (0365,0 += (3.2)

onde:

• Asc é a área da seção transversal do conector;

• fck é a resistência característica do concreto à compressão MPa) 28 MPa (20 ≤≤ ckf ;

• Ec é o módulo de elasticidade do concreto: ckc

c fE5,1

42γ= (Mpa);

• γc é o peso específico do concreto )Kg/m 2.200 ( 3≥cγ ;

• fu é o limite de resistência à tração do aço do conector;

• tf é a espessura média da mesa do conector em mm;

• tw é a espessura da alma do conector em mm.

• Lc é o comprimento do perfil U laminado em mm.

• Cred é o coeficiente de minoração da resistência do conector tipo pino com cabeça..

Para lajes maciças Cred = 1. Para lajes com fôrmas de aço incorporadas, o valor de Cred

depende da disposição das nervuras (paralelas ou perpendiculares) em relação ao eixo da viga

de aço. A norma brasileira e a americana estipulam que a capacidade nominal do conector

será igual àquela obtida para laje maciça, calculada conforme (3.1), multiplicada por um dos

seguintes fatores de redução:

• Para formas de aço com nervuras paralelas à viga de aço:

1,0 1 - 0,6 ≤

=

F

cs

F

Fred

h

h

h

bC (3.3)

sendo: C red = 1,0 , se 1,5 >

F

F

h

b (3.4)

• Para fôrmas colocadas com nervuras perpendiculares à viga de aço:

1,0 1 - 0,85

≤

=

F

cs

F

F

cs

red

h

h

h

b

nC (3.5)

onde:

• bF é a largura da nervura;

• hF é a altura nominal da nervura

• h cs é a altura total do conector após a sua soldagem, não superior a (hF + 75mm) nos

cálculos;

• n cs é o número de conectores de cisalhamento por nervura, por viga, não superior a 3 para

efeito de cálculo;


. A norma brasileira limita o uso das expressões (3.1) e (3.2) a concretos com peso

específico superior a 22 KN/m2 e com 20 Mpa ≤ fck ≤ 28 Mpa. Para se obter a resistência de

cálculo do conector, multiplica-se a sua capacidade nominal pelo coeficiente de resistência

φcs = 0,80.

A norma britânica BS 5950 (1990): Structural use of steelwork in building, apresenta

uma tabela indicando os valores da capacidade nominal de conectores tipo pino com cabeça,

embutidos em lajes maciças, e a BS 5400 (1979) apresenta uma tabela com a capacidade

nominal de conectores tipo perfil U laminado e barra chata com alça. Estas tabelas foram

adaptadas e apresentadas nas figuras 3.1 e 3.2, respectivamente.

TABELA 3.1: Resistência nominal de conectores tipo pino com cabeça em lajes maciças,

segundo a BS 5950 (1990)

TABELA 3.2: Resistências nominais de conectores tipo perfil U laminado e barra chata

com alça segundo a BS 5400 (1979)

20 30 40 50

239 283 305 326

293 337 364 390

351 397 419 442

348 415 482 548

697 830 963 1096

TIPO DE CONECTOR Material do conector

NOTA: Para valores intermediários de fck , interpolar linearmente

Bar

ra c

hat

a c/

alç

a (m

m)

25 x 25 x 200 - φ = 12Grau 43 da BS 4360

(1972)50 x 40 x 200 - φ = 20

PE

RF

IL U

(m

m)

76 x 38 x 6,70 Kg/m x 150Grau 43 da BS 4360

(1972)102 x 51 x 10,42 Kg/m x 150

127 x 64 x 14,90 Kg/m x 150

Concreto: f ck (Mpa)

Resistência nominal do conector (KN)

DIÂMETRO(mm)

ALTURA(mm)

13 65 44 47 49 5216 75 70 74 78 8219 75 82 87 91 9619 100 95 100 104 10922 100 119 126 132 13925 100 146 154 161 168

Alongamento minimo = 15%

Tensão mínima de ruptura = 450MPa

Nota 1 : Para concretos com f ck > 40 Mpa, utilizar valores para fck = 40MpaNota 2 : P/ conects. c/ alturas superiores às tabeladas, usar valor correspondente à

maioraltura tabelada

Resistência nominal doconector (KN)

Concreto: f ck (Mpa)

25 30 35 40

Conector tipo pino c/cabeça

MATERIAL DOCONECTOR


Segundo a norma britânica BS 5950 (1990), a resistência de cálculo dos conectores em

lajes maciças é dada por:

a) Em região de momento positivo:

qRd = 0,8qn

b) Em região de momento negativo:

qRd = 0,6qn

onde:

qn é a capacidade nominal do conector.

Segundo esta norma, para lajes com fôrmas de aço incorporadas, a resistência de

cálculo (qRd) do conector será igual ao caso de laje maciça, multiplicada por um dos seguintes

fatores de redução:

• Para nervuras paralelas à viga de aço:

1,0 1 - 0,6 ≤

=

F

cs

F

Fred

h

h

h

bC , se 1,5 ≤

F

F

h

b(3.3)

ou, C red = 1,0 , se 1,5 >

F

F

h

b (3.4)

• Para nervuras perpendiculares à viga de aço:

a) Com um conector por nervura: 1,0 1 - 0,85 ≤

=

F

cs

F

Fred

h

h

h

bC (3.6)

b) Com dois conectores por nervura: 0,8 1 - 0,60 ≤

=

F

cs

F

Fred

h

h

h

bC (3.7)

c) Com três ou mais conectores por nervura: 0,6 1 - 0,5 ≤

=

F

cs

F

Fred

h

h

h

bC (3.8)

As expressões (3.6), (3.7) e (3.8), conduzem aos mesmos coeficientes de minoração de

resistência, obtidos pela expressão (3.5) apresentada na NBR 8800 (1986) e AISC-

LRFD.(1994)


De acordo com a norma européia EUROCODE 4 (1992): Design of composite steel

and concrete structures, a resistência de cálculo ao cisalhamento (qRd) para conectores tipo

pino com cabeça, em lajes maciças, é dada pelo menor dos seguintes valores:

v

u

Rd

df

q�

48,0

2

=

π

e

v

cck

Rd

Efdq

�

29,0

2

α

=

onde:

• d ë o diâmetro do conector;

• fu é o limite de resistência à tração do aço do conector;

• fck é a resistência característica do concreto à compressão (Mpa);

• Ec é o módulo de elasticidade do concreto (Mpa);

• hcs é a altura total do pino;

• γv = 1,25 é o coeficiente de resistência;

• 4 3 para 1 2,0 ≤≤

+=

d

h

d

h cscsα e 4 para 1,0 >=

d

hcsα .

Porém, se as lajes utilizarem formas de aço incorporadas, a resistência de cálculo ao

cisalhamento (qRd), será igual à resistência obtida para o caso de lajes maciças, multiplicada

pelo coeficiente de minoração (3.3) ou (3.5), conforme as normas brasileira e americana,

devendo-se apenas substituir o fator 0,85 por 0,7 na expressão (3.5).

3.6 RECOMENDAÇOES E RESTRIÇOES SEGUNDO AS NORMAS

A distribuição dos conectores de cisalhamento ao longo da viga, tem por objetivo a

criação de uma conexão, que dentro dos limites e condições de projeto, realize a transmissão

do fluxo de cisalhamento e impeça a separação entre a laje de concreto e as vigas de aço.

Para tanto, as normas apresentam recomendações e restrições quanto à locação e

espaçamento dos conectores. A NBR 8800 (1986) coloca as seguintes restrições:

a) No sentido longitudinal da viga, os conectores de cisalhamento colocados de cada lado da

seção de momento fletor máximo, podem ser espaçados uniformemente entre esta seção e

as seções de momento nulo (figura 3.8).


FIGURA 3.8: Conectores uniformemente espaçados entre as seções de momento nulo.

b) Exceto que, nas regiões de momento fletor positivo (M+), o número de conectores

necessários entre qualquer seção com carga concentrada e a seção adjacente de momento

nulo (ambas situadas do mesmo lado, relativamente à seção de momento máximo) não

pode ser inferior a n’ (figura 3.9).

FIGURA 3.9: Nº de conectores entre uma seção c/ carga concentrada e a seção adjacente de

mom. nulo.

=

abd

abd

MM

MMnn

φφ -

- ' '

(3.9)

onde:

• n é o número de conectores de cisalhamento a serem colocados de cada lado da seção de

momento fletor máximo;

• M’d é o momento fletor de cálculo no ponto de carga concentrada (inferior ao momento

máximo);

• Md é o momento fletor máximo de cálculo (Md > M’d).

• φb Ma é a resistência de cálculo ao momento fletor da viga de aço isolada, baseada no

estado limite FLA (flambagem local da alma) conforme Anexo D da NBR-8800 (1986);

M = 0M = 0 M = 0 M = 0

M = Mmax M = Mmax

+ +

-

Conectores uniformemente

distribuídos

Conectores uniformemente

distribuídos

P

M’d

Md

+

n’ Conectores uniformemente

distribuídos


sendo:

• Ma = Mpl para λ ≤ λp e Ma = Mpl – (Mpl – Mr)

pr

p

λλλλ -

- para λp < λ ≤ λr

• φb = 0,9

• λ = h/tw

• y

p

f

E3,5 =λ

• y

r

f

E5,6 =λ

• Mpl = z fy é o momento fletor de plastificação total da seção;

• z é o módulo resistente plástico da seção, relativo ao eixo de flexão;

• Mr = W fy é o momento fletor de flambagem elástica;

• W = módulo resistente (mínimo) elástico da seção, relativo ao eixo de flexão.

A recomendação apresentada na equação (3.9) é desnecessária caso se tenha (M’d - φb Ma) ≤ 0.

c) Também no sentido longitudinal da viga, o espaçamento máximo entre linhas de centro de

conectores deve ser igual a oito vezes a espessura da total da laje (figura 3.10), não sendo

superior a 800 mm no caso de lajes com fôrma de aço incorporada com nervuras

perpendiculares à viga (figura 3.11).

FIGURA 3.10: Espaçamento longitudinal máximo entre linhas de centro de conectores, para

lajes maciças - NBR 8800 (1986)

t c

≤ 8tc ≤ 8tc ≤ 8tc ≤ 8tc


≤ 800mm≤ 800mm

FIGURA 3.11: Espaçamento longitudinal máximo entre linhas de centro de conectores, p/

lajes com fôrmas de aço incorporadas, com nervuras perpendiculares à viga - NBR 8800

d) Ainda no sentido longitudinal da viga, o espaçamento mínimo entre as linhas de centro

dos conectores tipo pino com cabeça, deve ser igual a seis vezes o diâmetro dos mesmos,

e na direção transversal, a quatro vezes o seu diâmetro (figura 3.12).

FIGURA 3.12: Espaçamento longitudinal e transversal mínimos, entre linhas de centro para

conectores tipo pino com cabeça - NBR 8800

e) Os conectores tipo pino com cabeça não podem ter diâmetro maior que 2,5 vezes a

espessura da mesa à qual forem soldados, a menos que sejam colocados na posição

correspondente à alma da viga (figura 3.13).

FIGURA 3.13: Relação entre o diâmetro dos conectores e a espessura da mesa à qual estão

soldados - NBR 8800

Diâmetro doconector = φ

≥ 6φ ≥ 6φ ≥ 4φ

Espessura da mesa = tf

φ ≤ 2,5tf φ ≥ ou < 2,5tf


f) O cobrimento lateral de concreto para qualquer tipo de conector deve ser no mínimo igual

a 25 mm, excetuando-se o caso de conectores colocados em nervura de fôrma de aço

incorporada à laje, conforme figura 3.14.

FIGURA 3.14: Cobrimento lateral minimo de concreto para qualquer tipo de conector -

NBR 8800

De maneira geral, as restrições apresentadas pelas demais normas quanto à locação e

espaçamento dos conectores são similares, existindo pequenas diferenças com relação à

norma brasileira.

Para o sentido longitudinal da viga, o EUROCÓDIGO 4 estabelece que o espaçamento

máximo entre as linhas de centro de conectores deve ser igual a seis vezes a espessura total da

laje, não sendo superior a 800 mm. Com relação aos conectores tipo pino com cabeça, o

espaçamento mínimo, entre suas linhas de centro ao longo do comprimento da viga, deve ser

igual a cinco vezes o seu diâmetro, e na direção transversal igual a 2,5 vezes o seu diâmetro,

para lajes maciças e quatro diâmetros nos demais casos. Estabelece também que o cobrimento

mínimo para qualquer tipo de conector deve ser igual ao maior dos seguintes valores:

- 20mm;

- valor especificado pelo EUROCODE 2 (1991) [59]: “Design of concrete structures”, para

as armaduras, subtraindo-se 5 mm.

Pela norma americana AISC-LRFD (1994), o espaçamento máximo entre linhas de

centro de conectores deve ser igual a oito vezes a espessura da total da laje.

A norma canadense CAN/CSA-S16.1 (1994) estabelece que o espaçamento máximo,

entre linhas de centro de conectores tipo pino com cabeça deve ser igual a 1000 mm.

Cobrim. lat min

≥ 25mm

ANÁLISE ELÁSTICA OU DE CURTADURAÇÃO DE VIGAS MISTAS

4.1 INTRODUÇÃO

O desenvolvimento da filosofia dos estados limites e a sua adoção nas normas para

projetos estruturais, em substituição ao método das tensões admissíveis, levou os projetistas a

focarem suas atenções, durante o dimensionamento ou análise estrutural, tanto para o estado

limite último, na obtenção da capacidade resistente das peças, como para o estado limite de

utilização, para a verificação das deformações que ocorrem nas peças em condições de

serviço.

As limitações impostas às deflexões das vigas, para que satisfaçam ao estado limite de

utilização, permitem que elas sejam calculadas no regime elástico.

Para o estudo das deflexões em vigas mistas, faz-se necessário considerar

primeiramente, a influência que a ação mista exerce no seu desempenho estrutural. Esta ação

é um fenômeno intimamente relacionado com a quantidade de interação existente entre a laje

de concreto e a viga de aço.

CA

PÍT

UL

O

4

ANÁLISE ELÁSTICA OU DE CURTA DURAÇÀO DE VIGAS MISTAS 2626

4.2 TIPOS DE INTERAÇÃO

A grande maioria das vigas mistas, utilizadas em edifícios e pontes, é constituída por

subseções de aço e concreto interligadas por conectores de cisalhamento. Os conectores que

realizam esta ligação, devem apresentar rigidez e resistência suficientes para promoverem um

mínimo grau de interação na ligação aço-concreto, a fim de que se estabeleça um trabalho

solidário entre as duas partes.

Se a ligação aço-concreto for perfeita, não haverá separação vertical nem deslizamento

longitudinal relativo na interface de contato; esta configuração caracteriza a interação

completa ou total nas vigas mistas. Para este tipo de interação, a hipótese de Navier-Bernouilli

(seções transversais permanecem planas após as deformações) pode ser adotada na análise

estrutural destas vigas.

Na prática, no entanto, os conectores de cisalhamento, sempre apresentam algum grau

de flexibilidade que permite a sua deformação; esta por sua vez, possibilita o deslizamento

relativo entre o aço e o concreto fazendo com que, a rigor, as vigas mistas sempre estejam

submetidas à interação parcial.

A ocorrência do deslizamento relativo na interface de contato, cria uma

descontinuidade no diagrama de deformações, o que provoca a violação da hipótese de

conservação das seções planas de Navier-Bernouilli.

O estudo de vigas mistas com interação parcial, é feito considerando-se apenas o

efeito do deslizamento relativo na interface de contato, pois a separação vertical que é

permitida pela maioria dos conectores usados na prática é tão insignificante, que os seus

efeitos sobre o comportamento das vigas mistas podem ser desprezados (Yam, 1981).

4.3 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS SOBRE A ANÁLISE ELÁSTICA

A análise elástica de vigas mistas é utilizada para se avaliar o comportamento da viga

em situação de serviço, onde as tensões no aço e no concreto estão abaixo do limite de

proporcionalidade destes materiais.

Nesta análise, são utilizadas as hipóteses fundamentais adotadas na Resistência dos

Materiais para o estudo de vigas prismáticas fletidas, assim como o meio de conexão é

considerado contínuo e a sua rigidez levada em consideração.

Tais hipóteses encontram-se listadas a seguir:


1. A conexão discretizada, formada entre a laje e o perfil metálico, é substituída por um meio

contínuo, uniformemente distribuído ao longo da viga (fig. 4.1);

2. a conexão de cisalhamento apresenta rigidez constante, isto é, a quantidade de

deslizamento é diretamente proporcional à força transmitida pela mesma;

3. os materiais são elásticos (linearidade entre tensões e deformações, tornando válido o

princípio da superposição) e isótropos;

4. o concreto é considerado não fissurado e igualmente resistente à tração e à compressão;

5. não há separação vertical entre a laje e o perfil metálico, isto é, a laje e o perfil metálico

apresentam a mesma deflexão ao longo da viga (possuem a mesma curvatura para

qualquer seção transversal – figura 4.2);

6. as seções transversais que eram planas antes da deformação, permanecem planas após a

deformação, admitindo-se a descontinuidade que ocorre na interface de contato.

dx

qdx

Nc + dNc Nc LAJE

meio de conexãocontínuo

FIGURA 4.1: Meio de conexão contínuo em um elemento infinitesimal de laje

Nc = força resultante de compressão na laje

q = fluxo de cisalhamento na interface laje-viga

FIGURA 4.2: Comportamento típico de vigas mistas com interação parcial

Concreto

Perfil metálico

Interaçãocompleta

deslizamento

(b) Distribuição das deformações

(a) Forma fletida

(a) (b)

φ

Interaçãoparcial

ρ = 1/φ

• •

θ

ρ = raio de curvatura da viga deformada

φ = tg θ = dy/dx ≅ θ = curvatura de uma seção genérica, para a viga deformada

θ = rotação ou ângulo de giro da seção


A figura 4.3 mostra o esquema utilizado por Yam (Yam 1981) para ilustrar, de forma

qualitativa, o tipo de comportamento estrutural que pode ser verificado em vigas mistas

biapoiadas, quando submetidas a diferentes graus de interação.

FIGURA 4.3: Comportamento estrutural qualitativo de uma viga mista de acordo com o

grau de interação (Yam 1981).

A seguir será analisado o comportamento estrutural elástico de uma viga mista

simplesmente apoiada, submetida a três tipos de interação: interação nula, interação parcial e

interação total.

Nesta análise serão utilizadas as hipóteses mencionadas anteriormente e serão

empregadas as seguintes notações:

Deflexão

Diagrama deMomento fletor

M = PL 4

M = PL 4

M = PL 4

Esforço decompressão na laje

Nc = 0

Fluxo decisalhamento na interface

q = 0

10065

εlaje

Perfilmetálico

200 130

dc

ds

70

140

Deformaçõesno meio do vão

P P P

L

(1) Sem interação (2) Interação parcial (3) Interação total

Tipo deconexão


Ac = área de concreto

As = área da seção do perfil metálico

Ec = módulo de elasticidade do concreto da laje no instante do carregamento

Es = módulo de elasticidade do aço do perfil metálico

Gc = posição do centróide da seção de concreto

Gs = posição do centróide da seção de aço

Gh = posição do centróide da seção homogeneizada

Ic = momento de inércia da seção de concreto

Ih = momento de inércia da seção homogeneizada

Is = momento de inércia da seção de aço

M = momento fletor atuante na seção homogeneizada

Mc = momento fletor atuante na seção de concreto

Ms = momento fletor atuante na seção de aço

Nc = Nc(x) = força resultante de compressão na laje

Ns = Ns(x) = força de tração resultante na seção de aço

Sh = momento estático da seção de aço ou da seção de concreto em relação ao eixo que

passa pelo centróide da seção homogeneizada

ac = distância entre os pontos Gc e Gh

as = distância entre os pontos Gs e Gh

dc = altura da laje de concreto

ds = altura da viga de aço

h0 = distância entre os pontos Gc e Gs

k = módulo de rigidez elástica do conector, obtida no diagrama típico Força x deslizamento

n = fator de homogeneização = E/Ec

n0 = número de filas longitudinais de conectores

p = espaçamento uniforme entre linhas transversais de conectores ao longo da viga

s = deslizamento relativo entre as superfícies de contato

y1 = distância do ponto Gs à face superior da viga de aço

εc = deformação no concreto

εd = (εs - εc) = diferença de deformações ao nível da ligação aço concreto

εc 0 = deformação correspondente à fibra do centróide da seção de concreto

εs 0 = deformação correspondente à fibra do centróide da seção de aço

εs = deformação no aço

φ = tg θ ≅ θ = dy/dx = curvatura, de uma seção, para a viga deformada

θ = rotação ou ângulo de giro da seção

ρ = raio de curvatura da viga deformada

σc0 = tensão normal gerada no centróide da seção de concreto

σs0 = tensão normal gerada no centróide da seção de aço


4.3.1. ANÁLISE ELÁSTICA COM INTERAÇÃO NULA

Considere uma viga mista bi-apoiada submetida a um carregamento vertical e que

quando fletida, apresente um alongamento na face inferior da laje e um encurtamento na face

superior do perfil metálico (figura 4.4).

Para o caso de interação nula (supondo haver aderência nula), não haverá transmissão de

forças cisalhantes na interface aço-concreto, não ocorrendo assim, forças axiais de

compressão na laje nem de tração no perfil metálico (Nc = Ns = 0).

Sob a ação de um momento fletor M, seu comportamento será equivalente ao de duas

vigas superpostas, que possuem a mesma curvatura ao longo do vão (supondo não ocorrer

separação vertical), recebendo cada qual uma parcela deste momento aplicado.

FIGURA 4.4: Análise estrutural de uma viga mista, com interação nula

Da figura 4.4 obtém-se que a equação de compatibilidade elástica da viga é dada por:

hsss

s

c c

c

I E

M

I E

M

IE

M ===φ (igualdade de curvatura da viga deformada) (4.1)

A partir do equilíbrio existente entre os momentos atuantes na seção transversal da viga,

obtém-se a mesma relação momento x curvatura já apresentada na equação (4.1), isto é:

)IE I(E M M M ssccsc +=+= φ (equilíbrio de momentos) (4.2)

hssscc IE

M

)IE I(E

M =

+=⇒ φ (4.3)

εc

h0

dc

ds

Mc

Ms

M

εs

(a)

Mc

Ms

Gs

Gc

(c)(b) (d)

φ y1


E a diferença de deformações εd entre as superfícies de contato, pode ser obtida

considerando-se a deformação na face inferior da laje de concreto e a deformação na face

superior da viga de aço. Da figura 4.4 tem-se que:

2

d

IE

M c

cc

c

c =ε (deformação de tração na face inferior da laje) (4.4)

1

ss

s y IE

M - =sε (deformação de compressão na face superior da viga de aço) (4.5)

Portanto, das equações (4.4) e (4.5), e considerando-se a compatibilidade elástica da

viga dada pela equação (4.1):

yIE

M - -

2

d

IE

M1

ss

sc

cc

c

d

=ε

Finalmente:

+= 1

c

d y 2

d φε (4.6)

ou então: )IEIE(

hM

sscc

0

d +=ε (4.7)

Desta forma, a curvatura φ (equação 4.3) e a deformação relativa ε d (equação 4.7) da

viga, ficam definidas em função do momento externo M aplicado à seção, e o problema fica

assim determinado.

A seguir será apresentado o cálculo do deslizamento relativo, ao longo do vão de uma

viga mista aço-concreto, com o objetivo de se determinar o limite máximo para o

deslizamento relativo em sua interface de contato.

Seja o trecho longitudinal de uma viga bi-apoiada e simetricamente carregada,

apresentado na figura 4.5. Por simetria, não haverá deslizamento na interface de contato para

uma seção transversal localizada na metade do seu vão. Ao afastar-se deste ponto em direção

às extremidades da viga, os deslizamentos aumentam como conseqüência da deformação

relativa ε d na interface.

Figura 4.5: Diferença de deformações devido ao deslizamento relativo na interface

Laje deconcreto

viga de aço

s+ds

s

dx

Meio deconexãocontínuo

dx’=dx+ds x


Para se calcular este deslizamento relativo, será utilizada a seguinte relação geométrica obtida

da figura 4.5.

dx

ds d =ε (4.8)

O deslizamento máximo ocorre nas extremidades da viga e pode ser obtido isolando-

se ds na equação (4.8), para em seguida integrá-lo a partir do centro do vão, onde, por

simetria, o deslizamento é zero:

Assim:

∫∫∫∫ ⇒+

=

+===L/2

0sscc

0(x)L/2

01

cL/2

0d

L/2

0max dx

)IEIE(

hM dx y

2

d dx ds φεs

∫+=

L

0(x)

sscc

0

max dx M )IEIE(2

h s (4.9)

Onde: ∫L

0(x)dx M = área do diagrama de momento fletor.

A expressão (4.9) fornece o valor do deslizamento relativo, na interface de contato,

para o caso de interação nula, sendo estabelecido assim o limite superior para o deslizamento

no caso de interação parcial.

4.3.2. ANÁLISE ELÁSTICA COM INTERAÇÃO PARCIAL

Quando ocorre a interação parcial na conexão aço-concreto, aparecem os

deslizamentos relativos na interface de contato que devem ser considerados no equilíbrio das

seções transversais.

A figura 4.6 apresenta a configuração proposta para a análise estrutural

(unidimensional) de uma viga mista com interação parcial, formada por um perfil metálico

conectado a uma laje de concreto.

Para se apresentar uma análise mais genérica do problema, será considerado a

possibilidade da viga metálica possuir a mesa inferior maior que a superior, isto é, y1 ≥ ds / 2.

Na figura são apresentadas as seguintes informações:


• distribuição dos esforços internos devido ao momento M agindo na seção

homogeneizada;

• diagrama resultante de deformações;

• as parcelas do diagrama de tensões correspondentes aos momentos centroidais Mc e

Ms e às forças axiais Nc e Ns.



(c) Diagrama de deformações resultantes, para o caso de interação parcial


(e) Diagrama de tensões correspondentes às parcelas Nc e Ns

FIGURA 4.6: Análise estrutural de uma viga mista, com interação parcial

A seguir são apresentadas as equações de equilíbrio e compatibilidade elástica para

esta viga.

• Equações de equilíbrio:

Nc = Ns (equilíbrio horizontal) (4.10)

M = Mc + Ms + Nch0 (equilíbrio de momentos) (4.11)

• Equação de compatibilidade elástica:

hsss

s

c c

c

I E

M

I E

M

IE


onde: Es Ih = Ec Ic + Es Is

εd

Ns

ac

as

h0

dc

ds

Nc

Ns

Mc

Ms

M

εcO

εsO

(a)

Mc

Ms

Nc

Gs

Gh

Gc

(c)(b) (d) (e)

φ y1

n1

n2


Aplicando-se a semelhança de triângulos à figura 4.6, tem-se que:

−=

2

d c

10 ncφε (deformação total no centróide da laje) (4.13)

( )210 nys −=φε (deformação total no centróide da viga de aço) (4.14)

E mediante o uso das tensões longitudinais σc0 e σs0, nos centróides da laje de concreto

e da viga de aço, é possível se obter as forças axiais Nc e Ns, pelo método da superposição.

Assim:

=⇒=

2

d - nAE N E c

1cccc0cc0 φεσ (4.15)

( )21ssss0ss0 n - yAE N E φεσ =⇒= (4.16)

Da figura 4.6 obtém-se ainda que a diferença de deformações εd na interface de

contato é dada por:

)n - n (d 12cd +=φε (4.17)

E das equações (4.11) e (4.12) obtém-se que o momento fletor é dado por:

0csscc N )IE I(E M h++=φ (4.18)

A seguir será mostrado que a força de compressão axial Nc depende tanto do momento

fletor M, aplicado à seção transversal, como da diferença de deformações εd que surge na

interface aço-concreto. Para tanto, serão isolados n1 e n2 nas expressões (4.15) e (4.16), a fim

de utilizá-los na equação (4.17) e obter-se a curvatura φ em função de Nc e εd. Finalmente a

expressão desejada, será obtida substituindo-se a curvatura φ em (4.18).

Assim, das equações (4.15) e (4.16) obtém-se que:

2

d

AE

N c

cc

c

1 +=φ

n e ss

c

12AE

N y φ

−=n

Substituindo n1 e n2 na equação (4.17) e isolando a curvatura φ, obtém-se:

0ccss

ccss

cdh

1

)AEAE(

)AE A(EN

++= εφ (4.19)


Substituindo-se a curvatura φ em (4.18), obtém-se:

+++

++

= 1 )hAEA(E

)IE IE()AE A(EN

h

)IE IE( M

2

0ccss

ssccccss

0c

0

sscc

d hε (4.20)

Para que se tenha a equação (4.20) definida apenas pelas variáveis M e Nc, a diferença

de deformações εd deverá ser expressa em termos de Nc. Para tanto, considere a figura 4.7

onde serão estabelecidas correlações entre alguns parâmetros chave:

FIGURA 4.7: Equilíbrio longitudinal em um elemento infinitesimal de laje

A deformação relativa aço-concreto na interface de contato é dada por:

dx

ds d =ε

repetida

(4.8)

Considerando-se o equilíbrio estático longitudinal em um elemento infinitesimal de

laje, com comprimento dx (figura 4.7), obtém-se:

dx

dN - q qdx - dN c

c =⇒= (fluxo de cisalhamento na interface viga-laje) (4.21)

A relação necessária entre o fluxo de cisalhamento q e o deslizamento s na interface, é

obtida por meio da força Fconec atuante em cada conector da ligação aço-concreto. Sendo k o

módulo de rigidez do conector, p o espaçamento constante entre linhas transversais de

conectores ao longo da viga e n0 o número de filas longitudinais de conectores, obtém-se que:

0

conecn

(pq) F = ; Fconec = k s

p

skn q 0=⇒ (4.22)

dx

qdx

Nc + dNc Nc

LAJE

meio de conexãocontínuo

dc

q = força de cisalhamento na interface por unidade de comprimento


Igualando-se (4.21) e (4.22) obtém-se:

dx

dN

nk

p - s c

0

= (4.23)

Portanto: 2

2

0

ddx

Nd

nk

p -

dx

ds c==ε (4.24)

Ao substituir-se a equação acima, na equação (4.20), obtém-se a equação diferencial

(4.25), que permite obter o valor de Nc em função de M, do módulo de rigidez k dos

conectores, do módulo de elasticidade dos materiais e de algumas propriedades geométricas

da viga.

1 h

)IE IE(

AE

1

AE

1hN

dx

Nd

h

)IE IE(

nk

p M

2

0

sscc

sscc

0c2

2

0

sscc

0

-

+

+

++

+= c

(4.25)

Esta equação, que foi obtida para vigas mistas em regime elástico, com interação

parcial, apresentando espaçamento uniforme de conectores, ainda pode ser apresentada da

seguinte forma:

Sendo:

0 Mb Na dx

Nd0c02

c

2

=+−

+++=

)IE IE(

h

AE

1

AE

1

p

kn a

sscc

2

0

sscc

0

0 e )IE IE(p

hkn b

sscc

00

0 +=

(4.26)

4.3.3. ANÁLISE ELÁSTICA COM INTERAÇÃO TOTAL

O uso da análise elástica em vigas mistas, tem por objetivo avaliar o seu

comportamento em situação de serviço.

Para se estabelecer interação total, a ligação aço-concreto na mesma, deve ser

projetada para resistir rigidamente ao fluxo de cisalhamento longitudinal q na conexão, de

maneira a restringir o deslizamento relativo aço-concreto. Neste tipo de interação, a diferença

de deformações na interface pode ser desprezada (εd = 0) , e as duas partes conectadas

comportam-se como uma.


A figura 4.8 apresenta um esquema genérico para a análise de uma viga mista em

regime elástico com interação total.



(c) Diagrama de deformações resultantes para interação total


(e) Diagrama de tensões correspondentes às parcelas Nc e Ns

FIGURA 4.8: Análise estrutural de uma viga mista, com interação total

As equações de equilíbrio e compatibilidade elástica para esta viga são as mesmas já

apresentadas para o caso de interação parcial, isto é:

• Equações de equilíbrio:

Nc = Ns (equilíbrio horizontal) (4.10)

M = Mc + Ms + Nch0 (equilíbrio de momentos) (4.11)

• Equação de compatibilidade elástica:

hsss

s

c c

c

I E

M

I E

M

IE


Onde: Es Ih = (Ec Ic + Es Is)

Aplicando-se a semelhança de triângulos na figura 4.8, tem-se que:

−=

2

d c

30 ncφε (deformação total no centróide da laje) (4.27)

( )3c10 d nys −+= φε (deformação total no centróide da viga de aço) (4.28)

Ns

ac

as

h0

dc

ds

Nc

T

Mc

Ms

M

εcO

εsO

(a)

Mc

Ms

Nc

Gs

Gh

Gc

(c)(b) (d) (e)

φ

y1

3n


E mediante o uso das tensões longitudinais σc0 e σs0, nos centróides da laje de concreto

e da viga de aço, é possível obter-se as forças axiais Nc e Ns, pelo método da superposição.

Assim:

=⇒=2

d - AE N E c

3cccc0cc0 nφεσ (4.29)

( )3c1ssss0ss0 - d yAE N E n+=⇒= φεσ (4.30)

A profundidade do eixo neutro é obtida igualando-se as equações (4.29) e (4.30):

)AE A(E

)/2d(AE )y d(AE

ccss

ccc1css

3 +++

=n (4.31)

E das equações (4.11) e (4.12) obtém-se que o momento fletor resistente é dado por:

0cscc N )IE I(E M h++=φ (4.32)

A seguir, equação (4.32) será apresentada de outra forma, para que se possa incorporar

o “fator de rigidez mista” α, que depende apenas das propriedades geométricas da seção e dos

módulos de elasticidade dos materiais (Yam, 1981). Este fator representa a intensidade da

ação mista que a viga poderá desenvolver. Note que a equação (4.2) pode ser obtida fazendo-

se α = 0 na equação (4.33) .

A obtenção do fator α é feita através da substituição das equações (4.29) e (4.31) na

equação (4.32). Assim:

) )(1IE I(E M sscc αφ ++= (4.33)

++=

)IE IE()AE A(E

)hAEA(E

ssccccss

2

0ccssα (4.34)

A seguir, será calculada a expressão do fluxo de cisalhamento q atuante na interface de

contato de uma conexão rígida (interação total), a fim de se obter o limite superior para este

fluxo, nos casos de interação parcial.


Por meio do equilíbrio estático em um elemento infinitesimal de laje, com

comprimento dx (figura 4.1), foi visto que:

dx

dN - q qdx - dN c

c =⇒= (fluxo de cisalhamento na interface viga-laje) (4.21)

O cálculo de q será obtido isolando-se a força Nc na expressão (4.32) e em seguida

diferenciando-a em relação à variável x. Para tanto, os valores de φ e n3 serão obtidos das

equações (4.29) e (4.31) respectivamente (Yam 1981). Com isto obtém-se que:

M) (1

h N 0

c αα

+= (4.34)

E assim:

V ) (1

h

dx

dM-

) (1

h q 00

αα

αα

+=

+= (4.35)

Em que: ==

V dx

dM- força cortante em uma determinada seção transversal da viga.

Na figura 4.3, são comparados os diagramas do fluxo de cisalhamento q (equação

(4.35)) para uma viga bi-apoiada, submetida a uma carga concentrada no meio do vão,

considerando as três condições de interação estudadas neste capítulo.

DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS, BIAPOIADAS, SOB ANÁLISE DE LONGA DURAÇÃO 40

DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS BIAPOIADASSOB ANÁLISE DE CURTA DURAÇÃO

5.1. TEORIA SOBRE DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS COM

INTERAÇÃO PARCIAL E DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE

CONECTORES

O estudo de deflexões em vigas mistas com interação parcial, é realizado através da

teoria linear elástica. Este tipo de análise é de grande importância dentro do regime de

utilização, situação na qual a carga atuante no conector não excede a 50% da sua resistência

última. Nestas condições, o trecho inicial OB da curva carga-deslizamento, apresentado na

figura 5.1, pode ser substituído pela linha reta OB, sendo insignificante o erro admitido

(Johnson 1975).

A razão obtida entre a força aplicada ao conector, Fconec, e o deslizamento s na

interface segundo a linha reta OB, é conhecida como o módulo de rigidez do conector, k.

FIGURA 5.1: Diagrama típico carga-deslizamento obtido p/ conectores pino c/ cabeça

(Johnson 1975)

CA

PÍT

UL

O

5

40

80

O 1 2 3

colapso

s

Fconec

Deslizamento [mm]

C

arg

a p

or

con

ecto

r [k

N]

BTrecho OB

Os conectores respondemelasticamente às ações docarregamento


Para o estudo deste problema são consideradas as seguintes hipóteses (Jasim 1997):

(a) A armadura na laje é desprezada;

(b) O concreto e o aço são considerados materiais elásticos, possuindo cada qual, o mesmo

módulo de elasticidade, tanto à tração como à compressão;

(c) A conexão de cisalhamento é considerada contínua ao longo da viga;

(d) A quantidade de deslizamento, na interface, permitida por um conector, é diretamente

proporcional à carga transmitida pelo mesmo;

(e) A laje de concreto e a viga de aço possuem a mesma curvatura para qualquer seção

transversal ao longo da viga;

(f) os conectores de cisalhamento apresentam a mesma rigidez e são igualmente espaçados ao

longo da viga.

Considere agora uma viga mista simplesmente apoiada, de vão L, que possua interação

parcial e esteja submetida a uma carga uniformemente distribuída w por unidade de

comprimento.

A figura 5.2 apresenta o diagrama de corpo livre de um elemento infinitesimal desta

viga.

A laje e o perfil metálico são mostradas separadamente. As deformações e os

deslocamentos agindo em cada sub-elemento estão proporcionalmente ampliados, para se

favorecer a uma melhor visualização do deslizamento relatimo na interface de contato.

FIGURA 5.2: Esforços atuantes em um elemento infinitesimal de uma viga mista aço-

concreto, com interação parcial

w

dc

ds

Mc+dMc

Ms

Laje de concreto

y1

q.dx

q.dx

r.dx

Vc+dVc

Nc+dNc

Vc

Nc

Mc

Vs+dVs

Ns+dNs Ms+dMs Ns

Vs

dx

Viga de Aço

dc/2

s s+ds

H0

Viga de

aço


Aplicando-se a teoria elástica na análise de um elemento de viga, pode-se reduzir as

equações de equilíbrio e compatibilidade referentes a este elemento, em diferentes equações

diferenciais, cuja variável principal, depende do foco de interesse do problema (Adekola

1968; Johnson 1975; Newmark et al. 1951; Plun & Horne 1975). Newmark et al. (1951), por

exemplo, obtiveram uma equação diferencial ordinária de segunda ordem em termos das

forças que atuam na viga; por sua vez, Johnson (1975) obteve uma equação diferencial

similar, em termos do deslizamento relativo na interface de contato. O objetivo do presente

capítulo, é o de obter a equação diferencial de segunda ordem que governa as deflexões,

y = f(x), em vigas mistas com interação parcial, sob análise de curta duração.

Do equilíbrio longitudinal do elemento da figura 5.2, tem-se que as forças Nc e Ns,

atuantes no concreto e no aço são iguais. O fluxo vertical r, por unidade de comprimento,

atuante na interface é desconhecido, assim não se pode assumir que Vc seja igual a Vs

(Johnson 1975).

Se o fluxo longitudinal de cisalhamento na interface, por unidade de comprimento é q,

a força de cisalhamento atuante em cada elemento infinitesimal desta viga é q.dx.

Por meio da força atuante, Fconec, em cada conector da ligação aço-concreto, é possível

estabelecer a relação entre o fluxo de cisalhamento q e o deslizamento s na interface. Sendo k

o módulo de rigidez do conector, p o espaçamento uniforme entre linhas transversais de

conectores ao longo da viga e n0 o número de filas longitudinais de conectores, obtém-se que:

Fconec= k s ⇒ 0n

(pq) ks =

p

skn q 0=⇒ (4.22)

Através das equações de equilíbrio, elasticidade e compatibilidade, aplicadas ao

elemento de viga da figura 5.2, obtém-se a seguinte equação diferencial, conforme já

demonstrado no item 4.2.2:

Sendo:

0 Mb Na dx

Nd0c02

c2

=+−

+++=

)EI IE(

h

AE

1

AE

1

p

kn a

scc

20

sscc

00 e

)IE IE(p

hkn b

sscc

000 +

=

(4.26)

Introduzindo-se o conceito de seção transformada, esta equação ainda pode ser

modificada com o uso do fator de homogeneização n, que estabelece a equivalência entre os

módulos de elasticidade dos materiais.

Por meio deste artifício, a seção de concreto é transformada em uma seção equivalente

de aço. Neste caso, a seção mista pode ser tratada como sendo constituída por um só material.


Desta forma tem-se que:

0 M)I I(pE

h nk N

)1/A )(1/AI I(

h 1

A

1

A

1

pE

nk

dx

Nd

stcs

00c

sctsc

20

stc

0

2

c2

=+

+

+++

+−

(5.1)

ou ainda: 0 Mc c dx

Nd212

c2

=+− cN (5.2)

onde:

+=

mm

20

ms

01 AI

h 1A

pE

kn c ;

ms

002 IpE

hkn c = ;

n

AA c

ct =

n

II c

ct = ; sctm I I I += ; sct

m A

1

A

1 A += ;

+=2

d y h c

10

Por meio da equação (5.2), obtém-se a equação (5.3), que fornece a expressão da forçaNc atuante na laje de concreto. Conhecendo-se a expressão do momento fletor atuante naseção, basta realizar uma dupla integração da equação (5.3) em relação à variável x para que aforça Nc seja determinada.

Mc

c

dx

Nd

c

1 N

1

22

c2

1c += (5.3)

Para se determinar a equação diferencial que governa as deflexões em vigas mistascom interação parcial, considere uma viga carregada em seu plano de simetria xy e quetrabalhe no regime elástico (figura 5.3). Sob a ação deste carregamento, seu eixo longitudinal,inicialmente reto, transforma-se numa linha curva.

Considerando-se que, na grande maioria das aplicações práticas, as linhas elásticas

das vigas, y = f (x), são curvas muito aplainadas (Timoshenko & Gere 1986), tem-se que osângulos de giro, θ, das seções transversais, e as deflexões, y, são grandezas muito pequenasem relação às dimensões das seções transversais da viga.

(a) Vista longitudinal da viga indeformada

(b) Representação da linha elástica p/ viga deformada

FIGURA 5.3: Linha elástica de uma viga carregada em seu plano de simetria vertical

A B

.C

P

dθ

ρ = 1/φ

ds

y

NM

x y

y(x) = eq. da linha elástica

x dx

O

P

·

θ = rotação ou ângulo ≅ dy/dx de giro da seção

A B

(a) (b)

! = raio de curvatura da viga deformada


Admitindo-se a igualdade de curvaturas entre a laje de concreto e o perfil metálico

para a viga mista deformada, obtém-se que o momento fletor externo M, aplicado à seção

transversal, é dado por:

0csscc N )IE I(E M h++=φ repetida(4.18)

Isolando-se a curvatura φ na equação anterior, tem-se que:

)IE I(E

N - M

sscc

0c

+=

hφ (5.4)

Sabendo-se que no regime elástico as vigas de edifícios e pontes apresentam

declividades dy/dx ≅ θ muito pequenas, a expressão que fornece a curvatura φ de sua linha

elástica em um ponto qualquer, pode ser simplificada, sendo escrita da seguinte forma:

2

2

dx

yd

dx

d� ==φ (5.5)

Igualando-se as expressões (5.4) e (5.5), tem-se que:

)IE I(E

N -

)IE I(E

M

dx

yd

sscc

0c

sscc2

2

++=

h(5.6)

A equação (5.3) permite que a equação (5.6) seja escrita da seguinte forma:

2

c2

ms1

0

ms1

02

ms2

2

dx

Nd

IEc

h - M

IEc

hc -

IE

1

dx

yd

= (5.7)

Finalmente, substituindo-se c2 e c1 na equação (5.7), obtém-se a forma final da

equação diferencial de segunda ordem que governa as deflexões em vigas mistas com

interação parcial, sendo a força longitudinal Nc obtida com o uso da equação (5.2) (Jasim

1997):

2

c2

ms1

0

s2

2

dx

Nd

IEc

h -

IE

M

dx

yd= (5.8)

onde:

+=

mm

20

0

mm21 AI

h 1

h

AIc c ;

ms

002 IpE

hkn c =

m

20

m A

h I I += ;

sctm A

1

A

1 A += ;

+=

2

d y a c

1


5.2. DEFLEXÕES CENTRAIS DE CURTA DURAÇÃO EM VIGAS

MISTAS SIMPLESMENTE APOIADAS, COM INTERAÇÃO

PARCIAL

Neste ítem, apresenta-se o realizado por Jasim & Mohamed Ali (1997), para a

obtenção das expressões das deflexões centrais iniciais de uma vigas mista simplesmente

apoiada, possuindo interação parcial e distribuição uniforme de conectores, submetidas a

cinco diferentes tipos de carregamentos.

Para tanto, são utilizadas duas equações básicas: a equação (5.9), que fornece o valor

absoluto da deflexão parcial yp para vigas mistas simplesmente apoiadas, e a equação

diferencial (5.2), que permite obter o valor da força longitudinal Nc em função do momento

fletor M e de algumas propriedades físicas e geométricas da viga mista e dos materiais que a

constituem (Jasim & Mohamed Ali 1997).

cms1

0fp N

IEc

h y y −= (5.9a)

onde:

yp = deflexão em uma viga simplesmente apoiada, com interação parcial, e submetida aum carregamento qualqueryr = deflexão em uma viga mista simplesmente apoiada, com interação total, e submetidaa um carregamento qualquer

O sinal negativo na equação (5.9a) indica que a deflexão yp obtida apresenta

deslocamento para baixo do eixo das abscissas indicado na figura 5.3. A equação (5.9)

fornece o valor absoluto desta deflexão.

Assim:

cms1

0fp N

IEc

h y y += (5.9)

Sendo Nc a solução da equação diferencial (5.2).

A seguir, são apresentadas as expressões das deflexões centrais obtidas para uma viga

mista simplesmente apoiada, com interação parcial, submetida a cinco diferentes tipos de

carregamentos (Jasim & Mohamed Ali 1997).


Caso 1 – Carregamento em forma trapezoidal

FIGURA 5.4: Viga mista simplesmente apoiada submetida a um carregamento trapezoidal

Para se obter a deflexão yp = f(x) da viga representada na figura 5.4, inicialmente

determina-se a expressão da força Nc, atuante no centróide da laje de concreto, através do uso

do momento fletor M = M(x) ao longo desta viga. O momento fletor atuante em uma seção

transversal a uma distância x do apoio A desta viga é dado por:

( ) ( ) 312

2121 x w w

6L

1 - xw

2

1 -x w 2w

6

L M −+= (5.10)

Substituindo-se o momento fletor M na equação (5.2), a força Nc pode ser obtida

mediante a soma da função complementar Ncc, para a equação homogênea, com a

correspondente solução da integral particular Ncp.

Ou seja: cpccc C N N += (5.11)

onde:

)ccosh(xD )csenh(xD N 1211cc +=

3

1

1222

1

122

1

122

1

21212

1

2cp x

6Lc

) w w(c - x

2c

wc -x

Lc

) w L(wc -

6c

) w L(2wc w

c

c N

−

−++−=

)cLtanh(c

wc

)cLsenh(c

wc D

12

2

12

12

1

221 −=

121

22 w

c

c D =

+=2

d y h c

10

W2

A

B

x

L

W1


A expressão geral da deflexão yf desta viga, correspondente ao caso de interação

completa, pode ser obtida através da dupla integração da equação (5.12), que fornece duas

constantes de integração.

IE

M

dx

yd

s2f

2

= (5.12)

Estas constantes são determinadas utilizando-se as condições de contorno desta viga,

para a qual as deflexões yf são nulas nos apoios (yf = 0 para x = 0 e x = L). Desta forma, a

expressão para a deflexão yf é dada por:

512413213

21f x

LEI120

) w- (w x

24EI

w x

36EI

L) w (2w -x

360EI

L)7w (8w y ++

++= (5.13)

A substituição das equações (5.11) e (5.13) na equação (5.9), fornece a expressão geral

para a deflexão yp de uma viga mista simplesmente apoiada, com interação parcial e

submetida a um carregamento trapezoidal (Jasim e Mohamed Ali 1997). Entretanto, para se

determinar a deflexão ypm correspondente ao meio do vão, faz-se necessário utilizar o

valor x = L/2 para a distância x e assim, a equação (5.9) pode ser reescrita da seguinte forma:

mms1

0fmpm C

IEc

h y y += (5.14)

onde:

( )( )

+

+=

16

L

2c

1 -

cLsenhc

cL/2senh

c

c ) w (w C

2

111

1

1

221m

IE

)L w (w

768

5 y

s

421

fm

+=

Finalmente, após algumas simplificações algébricas, obtém-se:

+

+=

4

1

2

1 -

)K2senh(

)Ksenh(

K

1

5K

1)- 48(B 1

y

y

0

02

02

0fm

pm(5.15)

Onde:2

cL 1

0 =K e B =

+

mm

20

AI

h 1 (5.16)


Caso 2 – Carga concentrada fora do ponto médio

FIGURA 5.5: Viga mista simplesmente apoiada submetida a uma carga concentrada fora do

ponto médio

Considerando-se o caso particular de uma carga concentrada a ¼ do vão, conforme

figura 5.5, e utilizando-se o mesmo processo de solução aplicado ao caso anterior, com as

devidas condições de contorno, são obtidas as seguintes equações:

+

+=

4

1 )cosh(K -

)tanh(2K

)senh(K

K

/2)senh(K

K11

1) - 96(B 1

y

y0

0

0

0

02

0fm

pm(5.17)

eIE

PL

768

11 y

s

3

fm = (5.18)

Caso 3 – Carga uniformemente distribuída

FIGURA 5.6: Viga mista simplesmente apoiada submetida a uma carga uniformemente

distribuída

Aplicando-se o processo de solução já adotado anteriormente, e ainda considerando-se

a simetria do carregamento e as condições de contorno adequadas, são obtidas as seguintes

equações:

[ ]

++= ))senh(K tanh(K )cosh(K- 1K

1 -

2

1

5K

1) - 24(B 1

y

y0002

02

0fm

pm(5.19)

eIE

wL

384

5 y

s

4

fm = (5.20)

P

A

B

x 3L/4 L/4

A

B

x

L

W


Caso 4 – Carga concentrada no centro do vão

Figura 5.7: Viga mista simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada no

centro do vão

Para este tipo de carregamento, as condições de contorno são as mesmas utilizadas no

caso anterior, e as equações obtidas são:

+= )tanh(K

K

1 - 1

K

1) - 3(B 1

y

y0

02

0fm

pm(5.21)

eIE48

PL y

s

3

fm = (5.22)

Caso 5 – Duas cargas concentradas de mesma intensidade

Figura 5.8: Viga mista simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada P a ¼ de

cada apoio

O caso particular onde a primeira carga está a uma distância L/4 do apoio esquerdo e a

outra a 3L/4 do mesmo apoio, fornece as seguintes equações:

+=

)cosh(KK

/2)senh(K -

2

1

11K

1) - 48(B 1

y

y

00

02

0fm

pm(5.23)

eIE

PL

384

11 y

s

3

fm = (5.24)

P

A

B

x L/2 L/2

P

A

B

x L/4 L/4

P

L/2


5.3. EXPRESSÃO GERAL, PROPOSTA POR JASIM E MOHAMAD ALI

(1997), PARA O CÁLCULO DAS DEFLEXÕES CENTRAIS DE

VIGAS MISTAS SIMPLESMENTE APOIADAS, COM INTERAÇÃO

PARCIAL – ANÁLISE DE CURTA DURAÇÃO

No ítme anterior, foram obtidas as equações (5.15) – (5.23), que fornecem as

expressões para o cálculo das deflexões centrais de vigas mistas simplesmente apoiadas,

apresentando interação parcial e distribuição uniforme de conectores, quando submetidas a

cinco diferentes tipos de carregamentos.

Estas equações podem ser condensadas na seguinte forma:

0fm

pmD 1

y

y+=

onde D0 representa a percentagem de aumento na deflexão de uma viga mista com interação

parcial, em relação à deflexão que esta mesma viga teria com interação total.

Observa-se, nestas equações, que o parâmetro D0 é expresso em termos de apenas duas

variáveis adimensionais, isto é B e K0, que juntas agrupam todas as variáveis que podem

influenciar as referidas deflexões (Johnson & May 1975).

Na tabela (5.1), são apresentados os valores numéricos de ypm/yfm, obtidos para

diversos valores dos fatores B e K0, onde:

Onde: B =

+

mm

20

AI

h 1 e

2

cL 1

0 =Krepetida

(5.16)

e

BApE

kn c m

s

01 =

sctm I I I +=

sct

m A

1

A

1 A +=

+=2

d y h c

10


Tabela 5.1: Comparação entre os valores ypm/yfm obtidos para os cinco tipos de

carregamentos do item 5.3, e diversos valores dos fatores B e K0

Eq. (5.15) Eq. (5.17) Eq. (5.19) Eq. (5.21) Eq. (5.23)

0,01 1,150 1,150 1,150 1,150 1,1500,1 1,149 1,149 1,149 1,149 1,1490,7 1,125 1,125 1,125 1,125 1,1251 1,107 1,106 1,107 1,107 1,1063 1,032 1,031 1,032 1,033 1,0314 1,020 1,019 1,020 1,021 1,0197 1,007 1,007 1,007 1,008 1,00735 1,000 1,000 1,000 1,000 1,00070 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

0,01 1,500 1,500 1,500 1,500 1,5000,1 1,498 1,498 1,498 1,498 1,4980,7 1,417 1,416 1,417 1,418 1,4161 1,355 1,354 1,355 1,358 1,3543 1,107 1,104 1,107 1,111 1,1044 1,066 1,064 1,066 1,070 1,0647 1,023 1,022 1,023 1,026 1,02235 1,001 1,001 1,001 1,001 1,00170 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

0,01 2,000 2,000 2,000 2,000 2,0000,1 1,996 1,996 1,996 1,996 1,9960,7 1,834 1,832 1,834 1,836 1,8321 1,711 1,708 1,711 1,715 1,7083 1,213 1,208 1,213 1,223 1,2084 1,132 1,127 1,132 1,141 1,1277 1,047 1,044 1,047 1,052 1,04435 1,002 1,002 1,002 1,002 1,00270 1,000 1,000 1,000 1,001 1,000

0,01 2,500 2,500 2,500 2,500 2,5000,1 2,494 2,494 2,494 2,494 2,4940,7 2,251 2,249 2,251 2,255 2,2491 2,066 2,062 2,066 2,073 2,0623 1,320 1,312 1,320 1,334 1,3124 1,198 1,191 1,198 1,211 1,1917 1,070 1,066 1,070 1,079 1,06635 1,003 1,003 1,003 1,004 1,00370 1,001 1,001 1,001 1,001 1,001

0,01 3,000 3,000 3,000 3,000 3,0000,1 2,992 2,992 2,992 2,992 2,9920,7 2,668 2,665 2,668 2,673 2,6651 2,421 2,416 2,421 2,430 2,4163 1,427 1,416 1,427 1,446 1,4164 1,264 1,255 1,264 1,281 1,2557 1,094 1,088 1,094 1,105 1,08835 1,004 1,004 1,004 1,005 1,00470 1,001 1,001 1,001 1,001 1,001

0,01 3,500 3,500 3,500 3,500 3,5000,1 3,490 3,490 3,490 3,490 3,4900,7 3,084 3,081 3,084 3,091 3,0811 2,777 2,771 2,777 2,788 2,7713 1,533 1,521 1,533 1,557 1,5214 1,330 1,318 1,330 1,352 1,3187 1,117 1,110 1,117 1,131 1,11035 1,005 1,004 1,005 1,006 1,00470 1,001 1,001 1,001 1,002 1,001

2,00

2,50

3,00

3,50

1,50

ypm/yfm = 1 + DK0 B

1,15


Observa-se na tabela 5.1 que, mantendo-se constantes os parâmetros B e K0, os valores

numéricos de ypm/yfm são aproximadamente os mesmos em todos os cinco casos de

carregamento estudados. A diferença numérica máxima obtida entre as grandezas ypm/yfm

apresentadas na tabela, considerando-se os valores de B e K0 analisados, é de 2,53%, e ocorre

entre o caso de carga concentrada no meio do vão e o caso de uma carga concentrada a ¼ do

vão.

Em se tratando de deflexões, pode-se admitir que as diferentes expressões do

parâmetro D0 apresentam valores numericamente iguais, e assim, qualquer uma das equações

(5.15) – (5.23) pode ser empregada no cálculo das deflexões centrais em vigas mistas

simplesmente apoiadas, com interação parcial, independentemente do tipo de carregamento

aplicado.

Dentre estas equações, a equação (5.21) é a mais simples, e será adotada para o

cálculo das deflexões centrais, ypm, em vigas mistas simplesmente apoiadas, com interação

parcial.

Assim a equação adotada será:

+= )tanh(K

K

1 - 1

K

1) - 3(B 1

y

y0

02

0fm

pm repetida(5.21)

onde: B =

+

mm

20

AI

h 1 e

2

cL 1

0 =Krepetida (5.16)

e

BApE

kn c m

s

01 =

sctm I I I +=

sct

m A

1

A

1 A +=

+=2

d y h c

10

O valor de yfm depende do tipo de carregamento considerado.


5.4. ESTUDO PARAMÉTRICO REALIZADO POR JASIM, VISANDO

ESTABELECER OS INTERVALOS USUAIS DE PROJETO PARA

OS PARÂMETROS “B” E “K0”

Em seu artigo sobre deflexões de vigas mistas com conexão parcial de cisalhamento

(Jasim & Mohamed Ali 1997), Jasim faz menção às pesquisas teóricas apresentadas em sua

tese de doutorado entitulada “The effect of partial interaction on behaviour of composite

beams” – University of Basrah, Iraq, 1994, na qual inúmeras vigas mistas são teoricamente

examinadas, visando alcançar dois objetivos principais:

• especificar os intervalos dos valores dos parâmetros B e K02

• comparar os resultados fornecidos pelo método gráfico, obtido através da solução

exata, com os fornecidos pelo método aproximado de Jhonson & May (1975)

Em seu trabalho, foram consideradas 51 vigas de aço, de 610mm x 305mm x 238kg/m

até 203mm x 133mm x 25kg/m, juntamente com 18 tipos de lajes de concreto, totalizando 918

seções de vigas mistas. Duas classes de aço, 43 e 50, com tensão de escoamento de 250MPa e

350MPa, respectivamente, além de três tipos de concretos, com resistências características de

20, 30 e 40MPa, obtidas com corpos de prova cúbicos. Além disso, visando levar em conta a

flexibilidade dos conectores, foram considerados dois valores para o grau de conexão parcial,

isto é, 50% e 75%. Os conectores de cisalhamento utilizados foram do tipo pino com cabeça e

o valor constante para o módulo de rigidez dos conectores, k, foi usado de acordo com o grau

de conexão e determinado segundo a curva da figura 9 fornecida por Menzies (1971). A força

média, correspondente à carga de serviço agindo sobre os conectores, foi considerada de 50%

da resistência última Pu.

O módulo de elasticidade, Es, utilizado para o aço foi de 205KN/mm2 e o módulo de

elasticidade, Ec, do concreto foi determinado de acordo com o CP 110 (1972). A fim de se

considerar os efeitos da fluência no concreto, foi utilizado um módulo de elasticidade efetivo,

Eef, baseado no valor do coeficiente de fluência de 1,8 que fornece:

Eef = Ec/2,8

Os resultados deste estudo encontram-se resumidos na tabela 1 da referência (Jasim &

Mohamed Ali 1997), onde os valores de B e K02 foram obtidos para seções mistas típicas

utilizadas na prática. O parâmetro B varia entre 1,16 e 2,98, enquanto o parâmetro K0 varia

entre 3,06 e 6,97 para 50% de conexão de cisalhamento e entre 4,06 e 9,85 para conexão total.


5.5. GRÁFICO PARA O CÁLCULO DAS DEFLEXÕES CENTRAIS DE

VIGAS MISTAS SIMPLESMENTE APOIADAS, COM INTERAÇÃO

PARCIAL

Na tabela (5.2) são apresentados diversos valores para a razão ypm/yfm, calculados a

partir da equação (5.21), em função de alguns valores dos parâmetros B e K0. Tais valores de

B e K0 foram utilizados, porque englobam vigas mistas com todas as faixas de conexão, isto é,

desde conexão nula até a interação total.

Tabela 5.2: Valores de ypm/yfm, obtidos a partir da equação (5.21), para diversos valores

dos fatores B e K0.

Nesta tabela também encontram-se destacadas as duas faixas de variação dos

parâmetros B e K0, obtidas através de estudos paramétricos, para seções mistas típicas

utilizadas na prática, onde K0 varia entre 3,06 e 6,97 para conexão parcial de 50% e entre

4,06 e 9,85 para conexão total, enquanto o parâmetro B varia entre 1,16 e 2,98.

Em seus estudos sobre deflexões em vigas mistas, Jasim construiu o gráfico (ypm/yfm) x

log(K02) (Jasim e Mohamed Ali 1997), para determinação da deflexão central, ypm, em vigas

simplesmente apoiadas com conexão parcial.

F

aixa

méd

ia p

/ v

igas

c/ 5

0% d

e co

nexã

o

Fai

xa m

édia

p/ v

igas

c/ c

onex

ão to

tal

1,15 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 3,00 3,25 3,50

0,01 1,15 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 3,00 3,25 3,500,1 1,15 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,49 2,99 3,24 3,490,5 1,14 1,23 1,45 1,68 1,91 2,14 2,36 2,82 3,05 3,270,7 1,13 1,21 1,42 1,63 1,84 2,05 2,25 2,67 2,88 3,091 1,11 1,18 1,36 1,54 1,72 1,89 2,07 2,43 2,61 2,792 1,06 1,10 1,19 1,29 1,39 1,49 1,58 1,78 1,87 1,973 1,03 1,06 1,11 1,17 1,22 1,28 1,33 1,45 1,50 1,564 1,02 1,04 1,07 1,11 1,14 1,18 1,21 1,28 1,32 1,355 1,01 1,02 1,05 1,07 1,10 1,12 1,14 1,19 1,22 1,246 1,01 1,02 1,03 1,05 1,07 1,09 1,10 1,14 1,16 1,177 1,01 1,01 1,03 1,04 1,05 1,07 1,08 1,10 1,12 1,138 1,01 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,08 1,09 1,109 1,00 1,01 1,02 1,02 1,03 1,04 1,05 1,07 1,07 1,0810 1,00 1,01 1,01 1,02 1,03 1,03 1,04 1,05 1,06 1,0735 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 1,0170 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

K0

B

Eq. (5.21)

+= )tanh(K

K

1 - 1

K

1) - 3(B 1

y

y0

02

0fm

pm


Com o uso da equação (5.21), é apresentado a seguir um gráfico, semelhante ao

proposto por Jasim, que permite o cálculo da deflexão central, ypm, em termos da razão

(ypm/yfm) e do fator K0.

Figura 5.9: Gráfico para o cálculo da deflexão central em vigas mistas simplesmente

apoiadas, submetidas a qualquer tipo de carregamento

Tanto na tabela 5.2, como no gráfico da figura 5.9, pode-se constatar que o valor

máximo da razão (ypm/yfm), que corresponde ao caso de interação nula, é igual ao valor do

parâmetro B. À medida que o grau de conexão aumenta, isto é, conforme o fator K0 aumenta,

a razão (ypm/yfm) diminui. Também se verifica que conforme K0 se aproxima do caso de

interação total, a razão (ypm/yfm) se aproxima da unidade.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

-2 -1 0 1 2

B = 2.0

B = 1.75

B = 1.5

B = 1.25

B = 1.15

B = 3.25

B = 3.0

B = 2.75

B = 2.5

B = 2.25

Ypm

/yfm

Log(K0)


5.6. ESTUDOS REALIZADOS POR WANG PARA CONFIRMAR A

VALIDADE DA EXPRESSÃO GERAL DA RAZÃO (ypm/yfm) EM

VIGAS MISTAS BIAPOIADAS COM INTERAÇÃO PARCIAL

Em seus estudos, Wang (1998) propôs uma expressão geral para o cálculo da razão de

deflexão central, ypm/yfm, de vigas mistas simplesmente apoiadas com interação parcial.

Esta expressão foi obtida mediante um rearranjo nos termos da solução analítica,

apresentada por Girhammer & Gopu (1993), para a deflexão central de uma viga mista

biapioada com interação parcial e submetida a um carregamento uniformemente distribuído.

Tal expressão é equivalente àquela proposta por Jasim & Mohamed Ali (1997), pois

ambas foram diretamente obtidas da deflexão central de uma viga mista com as mesmas

condições de apoio, interação e carregamento.

Com o objetivo de verificar a validade desta expressão, Wang realizou um estudo

comparativo entre as deflexões calculadas com esta fórmula e outros métodos teóricos.

• Análise pelo Método dos elementos finitos

Primeiramente verificou-se a precisão dos cálculos obtidos pela análise proposta por

Porco et al. (1994), que utiliza o método dos elementos finitos, comparando-os com os

resultados fornecidos pela solução analítica exata, apresentada por Girhammer & Gopu

(1993), para a deflexão de uma viga mista simplesmente apoiada, submetida um carregamento

uniformemente distribuído. Nesta verificação, considerou-se a rigidez da conexão variando

desde a interação nula até as proximidades da interação total, e as diferenças entre os

resultados obtidos foram inferiores a 1% (Wang 1998).

• Alteração de outros parâmetros em vigas simplesmente apoiadas

A influência da variação de outros parâmetros na precisão do valor da deflexão

central, calculada segundo o método dos elementos finitos (Porco et al. 1994) e o método

proposto por Wang, também foi verificada.

O resultado deste estudo comparativo mostrou que mudanças no comprimento da viga

não afeta a precisão dos cálculos, e que mudanças nas dimensões da laje de concreto e no

perfil de aço apresentam um efeito muito pequeno sobre os resultados.

• Influência causada por diferentes tipos de carregamento

Foram considerados cinco modelos de carregamento: (1) carga concentrada no meio

do vão; (2) carga concentrada à ¼ do vão; (3) três cargas concentradas igualmente espaçadas;

(4) momento uniformemente distribuído ao longo do vão; (5) distribuição triangular de

momento entre os apoios. Nesta verificação, a rigidez da conexão também foi considerada

variando desde a interação nula até as proximidades da interação total.


Tabela 5.3: Diferença máxima entre as deflexões centrais calculadas pelo método dos

elementos finitos e a expressão geral proposta por Wang (Wang 1998)

Tipo de carregamento Diferença máxima entre deflexões calculadas(%)

(a) Viga simplesmente apoiada

Carga concentrada no meio do vão Carga concentrada a ¼ do vão

Três cargas igualmente espaçadas Momento uniformemente distribuídoDistribuição triangular de momento

21

0,522

Na tabela 5.3 estão apresentadas as diferenças máximas percentuais, obtidas entre os

valores das deflexões centrais calculadas pelo método dos elementos finitos, proposto por

Porco et al. (1994), e pela expressão geral de Wang (1998). Verifica-se que para os cinco

casos de carregamento estudados, a maior diferença obtida é de até 2%.

Baseando-se nestes resultados, pode-se admitir que a expressão geral de Wang (1998),

equivalente àquela apresentada por Jasim & Mohamed Ali (1997), pode ser empregada como

um método aproximado para o cálculo das deflexões centrais de vigas mistas simplesmente

apoiadas com interação parcial, independentemente do tipo de carregamento aplicado.

DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS BIAPOIADAS,

SOB CARGAS DE LONGA DURAÇÃO

6.1. INTRODUÇÃO

Quando os dispositivos de conexão das vigas mistas aço-concreto apresentam

deformação, as ações internas nas seções transversais também são influenciadas pelo

comportamento dos conectores. Nestes casos, a análise da viga conduz a um sistema

composto por quatro equações, sendo duas que descrevem a condição de equilíbrio estático

das seções (equilíbrio longitudinal interno de forças e equilíbrio interno e externo de

momentos fletores), e as outras duas que descrevem respectivamente a condição de

compatibilidade de curvaturas entre a laje de concreto e o perfil metálico, e a condição de

compatibilidade existente entre o fluxo de cisalhamento absorvido pelo meio de conexão e o

deslizamento relativo que ele provoca na interface aço-concreto.

Para a análise dependente do tempo (análise viscoelástica), é necessário que sejam

estabelecidas relações que reflitam a natureza dos materiais, i.e., uma relação elástica para a

parte metálica e uma relação que reflita os efeitos da fluência e retração do concreto sobre a

viga.

6.2. MODELO TEÓRICO PARA ANÁLISE DE LONGA DURAÇÃO EM

VIGAS MISTAS BIAPOIADAS

Seja a figura 6.1 na qual são mostradas a seção transversal, a vista lateral e o diagrama

de deformações de uma viga mista simplesmente apoiada, submetida a um carregamento

arbitrário. Os momentos fletores geram tração nas fibras inferiores e são nulos nas

extremidades da viga.

CA

PÍT

UL

O

6

DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS, BIAPOIADAS, SOB CARGAS DE LONGA DURAÇÃO 5959

FIGURA 6.1: Viga mista: (a) Seção transversal; (b) Elevação; (c) Deformações

A formulação matemática para este problema envolve equações de equilíbrio,

compatibilidade e relações que refletem a natureza dos materiais, i.e., uma relação elástica

para a parte metálica e uma expressão na forma de uma integral para considerar a fluência do

concreto. Isto faz com que o problema seja governado por um sistema acoplado de três

equações, do qual duas são do tipo integral-diferencial.

Na análise realizada por Tarantino & Dezi (1992), sobre o comportamento de vigas

mistas aço-concreto, submetidas a cargas de longa duração, com conectores flexíveis, são

apresentadas as seguintes equações que governam o comportamento destas vigas ao longo do

tempo:

• Condições de equilíbrio:

),( ),( ),( txNtxNtxN sc =−= (6.1a)

)( ),(),( ),( 0 xMhtxNtxMtxM sc =++ (6.1b)

• Condições de compatibilidade (igualdade de curvaturas para as duas partes):

)2,( )2,(1

),(),(

),(

0

00 xdMxJ

ItxJ

I

txM

IE

txMc

t

tcc

c

ss

s ∫+

+= (6.2)

• Condições de compatibilidade na interface de contato:

),(),(),(

),(),(

)( ),(

000

2

2

0

+

−+−+−=

∂∂

ttJhI

txM

A

txNh

IE

txM

AE

txNt

x

txN

kn

pc

c

c

c

s

ss

s

ss

shε

)�,( )�,()�,( )�,(1

00

xdMtJI

hxdNtJ

Ac

t

tc

c

t

tc

∫∫++

−+(6.3)

x

L

bc

hc= dc/2

hs=ds/2

(b) (a)

h0

Gs

Gc

Nc(x,t)

Ns(x,t)

Mc(x,t)

Ms(x,t)

M(x)εc(x,t)

εs(x,t)

(c)


Onde

Ac = área da seção transversal da laje;

As = área da seção transversal da seção metálica;

Ec(t0) = módulo de elasticidade do concreto no instante t0;

Es = módulo de elasticidade da seção metálica;

Ic = momento de inércia da seção de concreto em relação ao seu próprio eixo centroidal;

Is = momento de inércia da seção metálica em relação ao seu próprio eixo centroidal;

J(t,t0) = função de fluência;

k = módulo de rigidez do conector (constante ao longo do eixo longitudinal da viga);

p = espaçamento uniforme entre linhas transversais de conectores ao longo da viga;

n0 = número de filas longitudinais de conectores;

t0 = idade do concreto no instante do carregamento [dias];

t = idade do concreto num instante considerado [dias];

εsh(t) = deformação devida à retração.

As incógnitas do problema em questão são N(x,t), Mc(x,t) e Ms(x,t), que dependem

tanto da abscissa ao longo do eixo longitudinal da viga, x, como do tempo t.

As equações (6.2) e (6.3) foram obtidas assumindo uma relação linear de fluência

para a seção de concreto e um comportamento linear elástico tanto para o perfil metálico

como para os conectores.

6.3. MÉTODOS ALGÉBRICOS PARA ANÁLISE DA FLUÊNCIA

Mediante o emprego de métodos algébricos aproximados, para análise da fluência,

torna-se possível realizar uma análise simplificada de vigas mistas com conectores flexíveis.

Estes métodos introduzem sensíveis simplificações na formulação matemática do problema,

tornando possível a obtenção de soluções na forma analítica. De fato, mediante o uso destes

métodos, a análise da fluência e da retração pode ser realizada numa única etapa. Neste grupo

de métodos algébricos, o mais importante é o do módulo-efetivo-ajustado-pela-idade

(AAEM) recomendado pelo EC 4 para análise de fluência, cujas vantagens nas aplicações

práticas têm sido reconhecidas a mais de três décadas. Deste método, primeiramente proposto

por Trost (1967a, b) e mais tarde por Bazant (1972), dois métodos mais simples podem ser

obtidos: o método do módulo-efetivo (EM) e o método da tensão-média (MS).


6.3.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO AAEM

O estudo a seguir, tem como base a análise desenvolvida por Dezi et al.(1993), para

vigas mistas com conectores flexíveis.

Com o uso de métodos algébricos, o sistema integral-diferencial, (6.2) e (6.3), reduz-

se a um sistema de equações diferenciais ordinárias; isto permite obter soluções analíticas

para o problema. Utilizando-se o método AAEM, as equações (6.2) e (6.3) podem ser

reescritas da seguinte forma:

),(),(

)(

1.

),( )],(1[

),(),(

),( 00

00

00

++−=

ccc

c

cc

c

ss

s

E

tttt

tEI

txMtt

E

tt

I

txM

IE

txM ϕχχ

ϕ(6.9)

+

−+−

−+−+−=

∂∂

cc

c

c

c

c

c

c

c

c

c

s

ss

s

ss

sh

E

tttt

tEh

I

txM

A

txNtt

E

tth

I

txM

A

txNh

IE

txM

AE

txNt

x

txN

kn

p

),(),(

)(

1.

),(),( )],(1[

.),(

.),(),(

),(),(

)( ),(

00

00

0002

2

0

ϕχχ

ϕε

(6.10)

Onde

ϕ(t,t0) = coeficiente de fluência;

χ(t,t0) = coeficiente de envelhecimento.

Introduzindo (6.9) em (6.10), obtém-se:

)],(1[),(),(

),(),(

)( ),(

000

02

2

0

ttE

tt

A

txNh

IE

txM

AE

txNt

x

txN

kn

p

ccss

s

ss

sh χϕ

ε −+−+−=∂

∂

++

ccc E

tttt

tEA

txN ),(),(

)(

1.

),( 00

0

ϕχ(6.11)

Levando-se em conta a condição de compatibilidade no instante t0, isto é,

sscccc

c

IEItE

htxNxM

ItE

txM

+−

=)(

),()(

)(

),(

0

00

0

0 (6.12)

pode-se encontrar uma expressão para o momento fletor Ms(x,t), introduzindo-se (6.1b) em

(6.9). Assim:


[ ] [ ]+−

+−= ),(1

),(

)(

)(),()(),( ),( 0

0

0

0000 tt

E

tt

IEItE

tEhtxNxMttGtxM

csscc

c

s χϕ

[ ]

+

−+

ccc E

tttt

tEI

htxNxM ),(),(

)(

1),()( 00

0

0 ϕχ(6.13)

onde:

++

==

cccss E

tttt

tEIIE

tGttG),(),(

)(

111

1)( ),(

00

0

0ϕχ (6.14)

Finalmente, substituindo-se (6.13) em (6.11), obtém-se:

)(),( ),(),(),( ),(

00002

2

tDtx)NC(t,tM(x)ttBtxNttAx

txN++=−

∂∂

(6.15)

onde:

+

++==

cccsscss E

tttt

tEI

ttG

IE

h

AAEp

kntAttA

),(),(

)(

1.

),(11 )( ),( 00

0

0200

0

ϕχ (6.16)

[ ]

+−++

−== ),(1),(

)(

)(),( )( ),( 0

0

0

00000 tt

E

tt

IEItE

tE

IE

h

p

knttGtBttB

csscc

c

ss

χϕ

++

ccc E

tttt

tEI

),(),(

)(

11 00

0

ϕχ(6.17)

[ ]),(1),(

.)(

)(),(

1 )( ),( 0

020

0

00

00 tt

E

tt

IE

h

IEItE

tEttG

Ap

kntCttC

csssscc

c

c

χϕ

−

+

+== (6.18)

)(0)( sh0 tp

kntD −= (6.19)

A Eq. (6.15) é uma equação diferencial linear para o cálculo da incógnita N(x,t); a ela

devem ser associadas às condições de contorno. Aplicando esta equação para o estudo de uma

viga simplesmente apoiada com comprimento L, as condições de contorno são:

N(0,t0) = N(L,t0) = 0 (6.20a)

para o tempo inicial t0 (solução elástica), e

N(0,t) = N(L,t) = 0 (6.20b)

para o tempo t > t0 (solução viscoelástica).


• Solução elástica

Fazendo-se t = t0 em (6.15), a solução elástica pode ser obtida. Conseqüentemente

A(t0,t0) = a (6.21a)

B(t0,t0) = b (6.21b)

C(t0,t0) = 0 (6.21c)

D(t0,t0) = 0 (6.21d)

onde

+

++=ssccsscc IEItE

h

AEAtEp

kna

)(

1

)(

1

0

20

0

0 (6.22a)

sscc IEItE

h

p

knb

+−=

)( 0

00 (6.22b)

e a equação (6.15) se reduz a (Tarantino & Dezi 1992)

)(),(),(

020

2

xbMtxaNx

txN=−

∂∂

(6.23)

Aplicando-se as condições de contorno expressas em (6.20a), a solução de (6.23), para

carregamento uniformemente distribuído é:

[ ]

[ ]

−

−+

−−= 1

2/.cosh

)2/.(cosh

2

141),( 2

2

10La

Lxa

L

xtxN ββ (6.24)

• Solução viscoelástica

A solução geral de (6.15) é obtida somando-se a solução particular com a solução

homogênea associada [que é similar em ambas, (6.15) e (6.23)]. Isto conduz a

[ ]

[ ] +

−

−+

−−−= 1

2/.)(cosh

)2/.()(cosh)(

2

141)(),( 4

2

31LtA

LxtAt

L

xttxN βββ

[ ]

[ ][ ]

[ ] −

−−

−++

2/.)(cosh

)2/.()(cosh)(

2/.cosh

)2/.(cosh)(1).( 765

LtA

LxtAt

La

Lxatt βββ (6.26)

[ ]

[ ]

−−−

2/.)(cosh

)2/.()(cosh1)(8

LtA

LxtAtβ


onde:

8

2

1

qL

a

b−=β (6.27)

22

8

aL=β (6.28)

−=

a

tC

b

tB

tA

at

)()(

)()(3β (6.29)

24

)(

8)(

LtAt =β (6.30)

25

)(

)(8)(

LtaA

tCt =β (6.31)

)(

)()(6

tAa

tAt

−=β (6.32)

)(

)(7tAa

at

−=β (6.33)

)(

)()(8

tA

tDt =β (6.34)

Uma vez obtida a força normal N(x,t), os momentos Mc(x,t) e Ms(x,t) podem ser

calculados, através das expressões (6.12) e (6.13), e conseqüentemente, as tensões em cada

fibra. Derivando-se a força N(x,t) com relação à variável x, obtém-se o fluxo de cisalhamento,

q(x,t), agindo sobre os conectores.

6.3.2 DEFLEXÕES DE LONGA DURAÇÃO EM VIGAS MISTAS

BIAPOIADAS, COM CONEXÃO PARCIAL, E CARREGAMENTO

UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO

Conhecendo-se a distribuição dos momentos fletores Mc(x,t) e Ms(x,t), torna-se fácil

o cálculo das deflexões verticais da viga. O cálculo da deflexão vertical pode ser obtido

através da dupla integração da curvatura (Eq. 6.36) de uma das partes que formam a viga (por

exemplo o perfil metálico). Para a eliminação das duas constantes de integração que surgem

no processo de integração, são levadas em consideração as condições de contorno, que, para o

caso de uma viga simplesmente apoiada, de vão L, e submetida a um carregamento w,

uniformemente distribuído são:

• deflexões nulas nos apoios: y(0,t) = y(L,t) = 0 (6.35a)

• ângulo de giro da seção transversal nulo no meio do vão: 0),2/(

=∂

∂x

tLy (6.35b)


A expressão (6.9) apresenta a igualdade de curvaturas entre as duas partes que formam

a viga mista (laje de concreto e perfil metálico), ou seja, a própria equação diferencial da linha

elástica da viga. Ou seja

),(),(

)(

1.

),( )],(1[

),(),(

),(),( 00

00

002

2

++−==

∂∂

ccc

c

cc

c

ss

s

E

tttt

tEI

txMtt

E

tt

I

txM

IE

txM

x

txy ϕχχ

ϕ(6.9)

Substituindo-se o valor de Ms(x,t) em (6.9), a expressão da curvatura será a de uma

equação diferencial ordinária de segunda ordem em relação à variável x (equação diferencial

da linha elástica), i.e.:

[ ]{ [ ]}0300212

2

),()()(),()()()( ),(

htxNxMthtxNxMttx

txy−+−=

∂∂

ααα (6.36)

onde:

ss IE

ttGt

),()( 0

1 =α (6.37)

[ ]),(1),(

)(

)()( 0

0

0

02 tt

E

tt

IEItE

tEt

csscc

c χϕ

α −+

= (6.38)

cccc IE

tttt

ItEt

),(),(

)(

1)( 00

03

ϕχα += (6. 39)

Aplicando-se a equação (6.36) ao estudo de uma viga mista simplesmente apoiada, e

considerando as condições de contorno expressas por (6.35a) e (6.35b), obtém-se assim a

equação da linha elástica de longa duração (dependente do tempo), ou seja:

{{

{ {}}}} {

}}]L .2/1tanh[].senh[)]()()()([A(t)]. )(2/1sech[

)].2.( )(2/1cosh[)]()()()()([)(].cosh[

)].()()()()([)(24)()(3)]()(3

)()()(3)()(2)(3)(2[4)]()([

)]()()([8)]()()([8)]()([

)]()([))(()]()()()()([

).(24{)]()()()([)(24)(24

)(),(

653221

87514313

6532212

08353

43383222103222

83212

083210323

324

8751431

32

06532212

021

axattttLtA

xLtAttttttaxa

ttttttALhtttt

ttttttthttxwL

tttxhtttLxhttwxL

ttwLxxLtAttttt

tLhattttLhtALtaA

ttxy

ββαβαβ

βββββββα

ββαβαββαβα

ββαβαβααβαα

βααββααβαα

ααβββββββ

αββαβαβα

++

−+−−

+−++−

−+−+−−+−

−+++−++

++−−+−

++=

(6. 40)


Finalmente, a equação que fornece a deflexão central de longa duração, para vigas

mistas simplesmente apoiadas de vão L, com conexão parcial e submetidas a um

carregamento, w, uniformemente distribuído é obtida substituindo-se x = L/2 em (6.40).

Assim:

{

{

}}}}

{

(6.41) .2

1tanh.

2

1senh)]()()(

)([A(t). )(2

1sech)].()()()()([

).(.2

1cosh)].()()()()([)(24

)()(3)]()(3)()()(3)()(2)(3

)(2.[4)]()([4

1 )]()()([2

)]()([2

3)(

4

1)]()()()()([

).(24{)]()()()([)(24)(24

)()(

653

2218751431

36532212

0

83534338322

2103222

83212

0

32

42

8751431

32

06532212

021

max

+

++

+−

−

+−+

++−+−+

+−−+−+−

−+−+−

++=

LaLattt

tLtAttttt

taLattttttALh

tttttttttt

thttLwLtttLh

ttwLLtAttttt

tLhattttLhtALtaA

ttyp

ββα

βαββββββββ

αββαβαβ

βαβαββαβαβα

αβααβααβ

ααβββββββ

αββαβαβα

6.3.3 COMPARAÇÃO ENTRE DEFLEXÕES OBTIDAS PELA

EQUAÇÃO (6.41) E PELO MÉTODO NUMÉRICO PROPOSTO

POR TARANTINO & DEZI (1992)

Neste item, são realizadas comparações entre os resultados numéricos para a deflexão

central de uma viga, obtidos segundo a equação (6.41) e segundo o método numérico

proposto por Tarantino & Dezi (1992) (Método Geral), que utiliza o processo numérico

passo-a-passo associado ao método das diferenças finitas.

A figura (6.2) apresenta o exemplo básico estudado por Dezi et al. (1993), para o qual,

utilizando o método numérico proposto por Tarantino & Dezi (1992), obtiveram a sua

deflexão central.


FIGURA 6.2: Seção transversal e vista longitudinal

Os parâmetros adotados neste exemplo encontram-se listados a seguir:

• Construção escorada

• Peso específico do concreto: γc = 2,4 KN/m3

• Limite nominal de escoamento para o aço da viga: fy = 250 MPa

• Comprimento da viga: L = 12000 mm

• Resistência característica do concreto: fck = 30 MPa

• Módulo de elasticidade do concreto: Ec = 33620 MPa

• Módulo de elasticidade do aço: Es = 200000 MPa

• Área da laje: Ac = 270000 mm2

• Área da viga de aço: As = 12500 mm2

• Momento de inércia da laje: Ic = 50625 x 104 mm4

• Momento de inércia da viga de aço: Is = 750 x 106 mm4

• Carga estática uniformemente distribuída: w = 25 N/mm

• Idade do concreto no início do carregamento: t0 = 28 dias (análise elástica)

• Tempo final para análise viscoelástica: t∞ = 25550 dias (i.e., 70 anos)

• Coeficiente de fluência: ϕ(t,t0) = conforme CEB Model Code 1990 (Anexo A)

• Função de retração : εsh = conforme EC 2 (Anexo A)

• Rigidez da conexão: kn0/p = 150 N/mm2

• Umidade relativa: RH = 80%

• Coeficiente de envelhecimento para longos intervalos: χ(t,t0) = 0,80

bc

375

Gs

Gc

150

600

1800

A

B

L = 12000

w = 25


O coeficiente de envelhecimento, χ(t,t0), geralmente varia entre 0,6 e 1,0; e na maioria

dos casos de longos intervalos de tempo, encontra-se na faixa de 0,75 a 0,85 (Gilbert 1989).

Alguns métodos para o cálculo do coeficiente de envelhecimento encontram-se resumidos em

algumas referências, incluindo Neville et al. (1983) e Gilbert (1988).

• Apresentação dos resultados comparativos

A tabela 6.1, apresenta a comparação entre os valores numéricos, obtidos para as

deflexões do exemplo da figura 6.2, calculada através do algoritmo proposto por Dezi et al.

(1992) e por meio da equação (6.41).

Tabela 6.1: Deflexão no centro do vão da viga da figura 6.2, calculada através do algoritmo

proposto por Dezi et al. (1992) e por meio da equação (6.41)

* Dezi et al. 1993(vide Nota 1)

** Equação (6.41)

Valoresypmax(t)*

(mm)

ypmax(t)**

(mm)

Iniciaist0 = 28 dias

21,5 21,56

Finais t∞ =70anos

Método geral

AAEM [χ(t,t0) = 0,80]

EM [χ(t,t0) = 1,00]

MS [χ(t,t0) = 0,50]

31,4

31,2

31,0

31,7

____

31,32

31,06

31,76

Nota 1: As deflexões apresentadas na 2ª coluna (* Dezi et al. 1993), foram calculadas por meio do

algoritmo proposto por Tarantino & Dezi (1992) para o método geral

Nota 2: Através do método AAEM, também é possível obter os métodos EM e MS; para tanto,

deve-se adotar respectivamente os valores 1,00 e 0,50 para o coeficiente de envelhecimento, χ(t,t0)

e Ec(t0) = Ec (Amadio 1993, Dezi et al. 1993, Amadio & Fragiacomo 1997)

A tabela 6.1, obtida com o uso de quatro diferentes métodos para a análise dependente

do tempo, fornece um quadro completo sobre o comportamento das deflexões inicial e final

de uma viga mista simplesmente apoiada, com conectores de cisalhamento flexíveis.

Observa-se também, que o método AAEM fornece resultados muito próximos àqueles

obtidos pelo método geral proposto por Tarantino & Dezi (1992), e que os resultados

numéricos obtidos com os métodos EM e MS são ligeiramente menos precisos.


6.3.4 DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS SEGUNDO A NBR 8800

De acordo com a NBR 8800, o cálculo das deflexões das vigas mistas pode ser

realizado com o uso do momento de inércia da seção mista transformada, Itr, obtido através da

homogeneização teórica da seção transversal mista.

Em se tratando de interação parcial, a NBR 8800 recomenda o uso do momento de

inércia efetivo da seção mista transformada, Ief , dado pela seguinte expressão:

)( atr

h

n

aef IIV

QII −+= (6.42)

onde:

Ief = momento de inércia efetivo da seção mista transformada;

Ia = momento de inércia da seção de aço;

Qn = ∑qn = somatório das resistências nominais individuais “qn” dos conectores de

cisalhamento situados entre a seção de momento máximo e a seção adjacente de

momento nulo;

Itr = momento de inércia da seção mista transformada;

Vh = força de cisalhamento longitudinal.

O efeito da deformação lenta do concreto é considerado mediante o aumento da

relação modular ou fator de homogeneização da seção mista. Na prática, as deflexões de curta

duração são consideradas utilizando-se para a relação modular o valor n = E/Ec, e para cargas

de longa duração n = 3E/Ec.

6.3.5 DEFLEXÕES DE VIGAS MISTAS DE ACORDO COM O

EUROCÓDIGO EC 4

Pelo Eurocódigo, quando N/Nf ≥ 0,4, a deflexão máxima de uma viga mista com

interação parcial pode ser calculada da seguinte forma:

• Caso de construção escorada:

Eurocódigo EC (1992) Eurocódigo EC (Draft 2000)

)(15,0 ca

f

cN

N δδδδ −

−+=

−

−+

= 2

1

5

3

a

c

a

c

c

δδ

ηδδ

δδ

α


• Caso de construção não-escorada:

Eurocódigo EC (1992) Eurocódigo EC (Draft 2000)

)(13,0 ca

f

cN

N δδδδ −

−+=

−+

=

a

c

a

c

c

δδ

ηδδ

δδ

α 1

Onde:

δ = deflexão máxima da viga mista com interação parcial;

δc = deflexão da viga mista com interação total;

δa = deflexão da viga com todo o carregamento resistido pelo perfil metálico;

η = N/Nf = grau de conexão da viga;

α = função do vão, dado na tabela 6.3. Valores intermediários podem ser calculados por

interpolação linear.

Tabela 6.2: Expoente α nas expressões do Eurocódigo EC (DRAFT 2000)

L [m] 5 10 15 20

α 1,5 1,0 0,8 0,7

Nos carregamentos usuais de edifícios, o Eurocódigo 4 permite que os efeitos da

deformação lenta sejam considerados utilizando-se os valores E/Ec e 3E/Ec para a relação

modular. Para os locais destinados a depósitos com cargas elevadas, o Eurocódigo 4 fornece

uma equação que considera o tipo da ação e a idade do concreto, no momento do

carregamento e no instante em que se deseja calcular o deslocamento (ver item 5.4.2.3 do

Eurocódigo 4 - DRAFT 2000 para maiores detalhes).

6.3.6 COMPARAÇÃO ENTRE DEFLEXÕES CALCULADAS PELA

NBR 8800, EUROCÓDIGO EC4 E PELA EQUAÇÃO (6.41)

A seguir, será calculada a deflexão central da viga mista apresentada no exemplo da

figura 6.2 (Dezi et al. 1993), segundo as normas NBR 8800 e Eurocódigo EC 4, assim como

pela equação (6.41). Os cálculos serão realizados admitindo-se o uso de conectores do tipo

pino com cabeça - φ = 19,1 mm (¾”), e que a viga trabalhe com 50% de conexão parcial.


(a) Resolução segundo a NBR 8800 (1986)

- Dados do problema: fck = 30 MPa e Ec = 33620 MPa

Nota: Caso o módulo de elasticidade secante, Ec, não tivesse sido dado no problema,

ele poderia ter sido obtido segundo a expressão 2/32/1 )()(42 γckc fE = (vide

NBR 8800 -1986)

- Resistência nominal ao cisalhamento dos conectores (Rn):

Rn ≤ KNxxEfA cckcs 14433620302865,05,0 ≅=

KNxfA ucs 119415286 ≅= ⇒ Rn = 119 KN

- Número de conectores para interação completa (n = Vh/Rn):

Vh ≤ KNxfA ys 125.3250500.12 ≅=

KNxxxhbf cefck 885.615018003085,085,0 ≅= ⇒ Vh = 3125 KN

∴ conectores 273,26119

125.3=⇒== nn

- Espaçamento entre conectores para interação completa:

mm 22027

60002/%100 ≅==

n

Lp

- Espaçamento entre conectores para 50% de conexão parcial:

mm 4402 %100%50 == pp

- Cálculo da rigidez do dispositivo de conexão (Ktot = kn0/p):

O cálculo da rigidez do dispositivo de conexão, Ktot, é feito por intermédio da rigidez

dos conectores utilizados na viga. Tarantino & Dezi (1992) estudando os efeitos da fluência

do concreto sobre o comportamento das vigas mistas fabricadas com conectores flexíveis,

observaram que a rigidez dos conectores apresenta pouca influência na evolução das

deflexões com o tempo. O gráfico carga-deslizamento dos conectores de cisalhamento é uma

curva não-linear. Johnson & May (1975) definiram a rigidez dos conectores, como a rigidez

secante relativa à metade da carga cisalhante última do conector. Wang (1998), através de

observações, sugeriu que a rigidez dos conectores de cisalhamento pode ser estimada, de

maneira conservativa, como a rigidez secante relativa à resistência nominal de projeto com

um deslizamento equivalente de 0,8 mm. Este conceito encontra-se ilustrado na figura 6.3, e

está baseado nas seguintes observações:


1. A resistência nominal Rn, é adotada como 80% da resistência máxima Pu (Lawson

1990);

2. A carga de serviço média no conector de cisalhamento equivale a 0,5Pu (Johnson &

May 1975; Lawson 1990);

3. Para esta carga de serviço, Lawson (1990) sugeriu que o deslizamento do conector é

inferior a 0,5 mm;

4. Alguns poucos resultados de ensaios push-out disponíveis, parecem confirmar esta

observação (vide Wang 1998).

FIGURA 6.3: Determinação da rigidez de conectores de cisalhamento (Wang 1998)

Baseando-se no conceito acima exposto, a rigidez do conector será:

KN/mm 75,148mm 8,0

KN 119

mm 8,0=== nR

k

Finalmente, a rigidez do dispositivo de conexão (Ktot = kn0/p) para 50% de conexão

parcial será:

2

%50

0%50 KN/mm 338

mm 440

KN/mm.(1) 75,148≅==

p

knK tot

Pu

0.8 Pu

0.5Pu

Carga de serviço (média)Regime de utilização


Fo

rça r

esis

ten

te a

o c

isalh

am

en

to (

P)

0.0Deslizamento relativo (s)

Rigidez em regime de utilização k = 0,5 Pu

sserviço

P

s

Sequivalente = 0,8 mm

sserviço = 0,5 mm

Resistência nominalde projeto


- Deflexão da viga segundo a NBR 8800 (1986):

Nos casos de interação parcial, a deflexão da viga será calculada utilizando-se o

momento de inércia efetivo da seção mista transformada, Ief , dado por:

efEI

qL

384

5 4

=δ

onde o momento de inércia efetivo da seção mista transformada será:

)( __ acdtr

h

n

acdef IIV

QII −+= para cargas de curta duração, e

)( __ aLdtr

h

n

aLdef IIV

QII −+= para cargas de longa duração.

O momento de inércia da seção mista transformada, Itr, será:

])([])([ 2_

2GcGtrtrccGsGtrsstr yyAIyyAII −++−+=

onde:

Ac_tr = (Ac/n), sendo:

n = ncd =E/Ec para cargas de curta duração e

n = nld =3E/Ec para cargas de longa duração;

yGh = ordenada do centróide da seção mista transform. em relação à face superior da laje

• para cargas de curta duração:

mmAA

nAAy

cs

cdcs

cdGh 98,155)2/150)(/()1502/600(

_ =+++

=

42__

2__ 66075.484.634.2])([])([ mm,yyAIyyAII GccdGtrcdctrcGscdGtrsscdtr =−++−+=

• para cargas de longa duração:

mmAA

nAAy

cs

Ldcs

LdGh 66,244)2/150)(/()1502/600(

_ =+++

=

42__

2__ 1,47218.787.38.2])([])([ mmyyAIyyAII GcLdGtrLdctrcGsLdGtrssLdtr =−++−+=

• finalmente o momento de inércia efetivo da seção mista transformada, será:

4

66__

mm 89,254.163.101.2

)1075066,075.484.634.2(3125

)1195,13(10750)(

=

=−+=−+= xx

xIIV

QII acdtr

h

n

acdef

para carga de curta duração e


4

66__

mm 14,334.111.803.1

)1075047,381.787.218.2(3125

)1195,13(10750)(

=

=−+=−+= xx

xIIV

QII aLdtr

h

n

aLdef

para carga de longa duração.

Finalmente a deflexão central da viga, para 50% de interação parcial será:

mm 06,1689,254.163.101.2102384

12000255

384

55

4

_

4

_ ===xxx

xx

EI

qL

cdef

cdparδ (curta duração)

mm 72,1814,334.111.803.1102384

12000255

384

55

4

_

4

_ ===xxx

xx

EI

qL

Ldef

Ldparδ (longa duração)

(b) Resolução segundo o Eurocódigo EC 4 (1992 e DRAFT 2000)

No caso de viga mista escorada com interação parcial, a deflexão será calculada

utilizando-se a seguinte expressão:

• EC 4 (1992): )(15,0 ca

f

cN

N δδδδ −

−+= e

• EC 4 (DRAFT 2000):

−

−+

= 2

1

5

3

a

c

a

c

c

δδ

ηδδ

δδ

α

Onde:

tr

fullcEI

qL

384

5 4

== δδ

Desta forma as deflexões de curta e longa duração serão:

mm 86,20%50 =cdpar

δ (curta duração) EC 4 (1992)

mm 66,22%50 =Ldpar

δ (longa duração)

mm 96,22%50 =cdpar

δ (curta duração)EC 4

(DRAFT 2000) mm 99,25%50 =Ldpar

δ (longa duração)


• Apresentação dos resultados comparativos

A tabela 6.3, apresenta os valores numéricos, obtidos para a deflexão central da viga

mista apresentada na figura 6.2, segundo a equação (6.41) e as normas NBR 8800 e

Eurocódigo EC 4, admitindo-se o uso de conectores do tipo pino com cabeça - φ = 19,1 mm

(¾”), e estando a viga com 50% de conexão parcial.

Tabela 6.3: Deflexão no centro do vão da viga mista apresentada na figura 6.2

Equação(6.41)

NBR 8800(1986)

EC 4(1992)

EC 4 DRAFT(2000)Valores

ypMax [mm] ypMax [mm] ypMax [mm] ypMax [mm]

Inicial(t0 = 28 dias)

18,49(referência)

16,06(-13,14%)

20,86(+12,82%)

22,96(+24,18%)

Final(t∞ = 70 anos)

29,60(referência)

18,72(-36,76%)

22,66(-23,45%)

25,99(-12,20%)

A validade da equação (6.41), obtida com o método algébrico AAEM, foi

anteriormente confirmada mediante da comparação entre os seus resultados e os fornecidos

pelo algoritmo numérico proposto por Tarantino & Dezi (1992) (Dezi et al. 1993).

Tomando portanto, como referência os resultados fornecidos pela equação (6.41), o

aumento final na deflexão da viga do exemplo proposto, devido à fluência e retração do

concreto, foi de 60 %. Observa-se também a existência de grandes diferenças relativas, entre

as deflexões calculadas pelas equações das normas analisadas e aquelas obtidas pela equação

6.41. Para o exemplo estudado, verifica-se que a NBR 8800 (1986) subestimou a deflexão

inicial da viga em cerca de 13% e a deflexão final em cerca de 37%; o Eurocódigo EC 4 1992

superestimou a deflexão inicial em cerca de 13% e subestimou a deflexão final em cerca de

23%; já o Eurocódigo EC 4 DRAFT 2000 superestimou a deflexão inicial em 24,16%

(resultado mais distante da referência) e subestimou a deflexão final em cerca de 12%

(resultado mais próximo da referência).

As divergências, verificadas neste exemplo, entre os valores das deflexões obtidas

pela equação (6.41) e as fornecidas pelas normas analisadas, originam-se na existência de um

maior número de variáveis consideradas na formulação da expressão (6.41), variáveis que, em

conjunto, tendem a fornecer resultados mais próximos da realidade do que as recomendações

empíricas de projeto. Isto representa um importante avanço sobre as recomendações destas

normas, cujos cálculos são baseados na capacidade nominal dos conectores.

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

7.1 CONCLUSÕES

As principais conclusões deste estudo podem ser resumidas nos itens a seguir:

• O primeiro objetivo deste estudo, foi o de apresentar uma expressão geral aproximada

para o cálculo das deflexões centrais iniciais de vigas mistas simplesmente apoiadas,

com distribuição uniforme de conectores, submetidas a qualquer tipo de cargas de

serviço e possuindo qualquer grau de conexão. Tal expressão foi obtida através da

solução exata das equações diferenciais que governam o comportamento das vigas

mistas de acordo com a teoria linear de interação parcial. A grande vantagem desta

expressão é que ela pode ser usada independente das variações que ocorram no tipo de

carregamento, geometria da viga ou propriedades dos seus materiais. Através desta

expressão, um grande número de variáveis, que podem influenciar as deflexões, são

agrupadas em apenas dois fatores adimensionais, i.e., os fatores B e K0. Isto representa

um importante avanço sobre as recomendações de algumas normas de projeto que

tratam sobre o assunto, cujos cálculos são baseados na capacidade nominal dos

conectores.

CA

PÍT

UL

O

7

CONCLUSÕES 7777

• O segundo foi o de propor uma nova expressão analítica, baseada em métodos

algébricos, para o cálculo da deflexão central de longa duração, em vigas mistas aço-

concreto, quando submetidas a um carregamento permanente uniformemente distribuído

e apresentando qualquer grau de conexão.

Utilizando-se o método algébrico simplificado denominado método do módulo-efetivo-

ajustado-pela-idade, AAEM, recomendado pelo eurocódigo 4 para análise de fluência,

a formulação matemática do problema simplificou-se consideravelmente (praticamente

sem perda de precisão), permitindo-se assim, a obtenção da expressão analítica proposta,

cujos resultados são muito próximos aos obtidos pela solução numérica exata

apresentada por Tarantino & Dezi (1992), economizando-se tempo e esforço.

A nova expressão obtida pela aplicação do método AAEM, embora apresente uma

forma extensa, fornece resultados numéricos razoavelmente precisos, sendo portanto

uma boa ferramenta para o projeto de vigas mistas com conectores de cisalhamento

flexíveis.

7.2 SUGESTÕES

• Realização de um estudo comparativo entre resultados experimentais e valores

calculados pela equação 6.41, para deflexões centrais de longa duração de vigas mistas

aço-concreto, visando-se avaliar a precisão da nova expressão proposta, ao serem

considerados os efeitos de retração e fluência do concreto.

• Realização de um estudo paramétrico para se avaliar o grau de influência que cada

parâmetro presente na equação 6.41 exerce sobre as deflexões de longa duração de vigas

mistas aço-concreto.

• Desenvolvimento de um estudo científico para a análise do comportamento gráfico das

deflexões centrais de longa duração de vigas mistas aço-concreto, utilizando-se a

equação 6.41, com o objetivo de se introduzir melhorias e/ou avanços nas atuais

fórmulas empíricas de projeto.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 7878

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FUNÇÕES DE FLUÊNCIA E

RETRAÇÃO DO CONCRETO

(a) Fluência

A função de fluência do concreto, proposta pelo Código Modelo do Comitê Euro-

Internacional do concreto (CEB-FIP 1991), apresenta a seguinte forma:

cc E

tt

tEttJ

),(

)(

1),( 0

0

0

ϕ+= (a.1)

onde

Ec(t0) = módulo de elasticidade instantânea do concreto no tempo t0;

Ec = módulo de elasticidade do concreto aos 28 dias de idade;

ϕ(t, t0) = coeficiente de fluência;

• O módulo de elasticidade instantânea é expresso por:

Ec(t0) = βE(t0)Ec (a. 2)

com

3/1410 cmc fE = [MPa] (a. 3)

e

[ ] 2/1

00 )()( tt ccE ββ = (a. 4)

sendo

fcm = (fck + 8) = resistência média a compressão do concreto aos 28 dias [Mpa]

fck = resistência característica a compressão do concreto aos 28 dias [Mpa]

( )[ ]0/3,51

0 )(ts

cc et−=β (a. 5)

t0 = idade do concreto no instante do carregamento [dias]

t = idade do concreto num instante considerado [dias]

0,20 p/ cimentos de alta resistência e rápido endurecimento

s = 0,25 p/ cimentos de endurecimento normal e rápido

0,38 p/ endurecimento lento

A

NE

XO

A

coefic. que depende

do tipo de cimento

ANEXO A: FUNÇÕES DE FLUÊNCIA E RETRAÇÃO DO CONCRETO 88

• O coeficiente de fluência é calculado de acordo com a seguinte fórmula:

)()()(),( 000 tttftt ccmRH −= βββφϕ (a. 6)

onde

3/1

010,0

100/11

h

RHRH

−+=φ (a. 7)

2/1)10,0(

3,5)(

cm

cmf

f =β (a. 8)

5/1

0

0)(1,0

1)(

tt

+=β (a. 9)

3/1

0

0

0)(

)()(

−+

−=−

tt

tttt

H

c ββ (a. 10)

1500250100

2,115,1

18

0 ≤+

+=

RHhH

β (a. 11)

sendo

uAh c /20 = = espessura fictícia da laje [mm];

Ac = área da seção transversal;

u = perímetro da parte de concreto em contato com a atmosfera.

RH = umidade relativa do meio ambiente [%]

(b) Retração

A função de retração do concreto, proposta pelo Código Modelo do Comitê Euro-

Internacional do concreto (CEB-FIP 1991), é dada por:

)(),(0 ssshssh tttt −= βεε (b.1)

onde

ts = idade do concreto quando a retração tem inicio [dias]

εsh0 = coeficiente básico de retração

βs(t-ts) = coeficiente que expressa o desenvolvimento da retração com o tempo

• O coeficiente básico de retração εsh0 e o coeficiente βs(t-ts) podem ser obtidos por:

εsh0 =10-6βRH [160+βsc(90-fcm)] (b. 2)

ANEXO A: FUNÇÕES DE FLUÊNCIA E RETRAÇÃO DO CONCRETO 89

2/1

2

0 )(035,0

)()(

−+−

=−s

s

sstth

ttttβ (b. 3)

com

4 p/ cimentos de endurecimento lento

βsc = 5 p/ cimentos de endurecimento normal ou rápido

8 p/ cimentos de elevada resistência e rápido endurecimento

e

βRH =–1,55(1–RH/100)

3 p/ 40% ≤ RH < 99%

0,25 p/ RH ≥ 99%

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