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DEFINIÇÕES Sistema : é um conjunto de componentes que atuam conjuntamente e realizam um certo objetivo. Assim um sistema é um arranjo de partes ou componentes, sem limitações de quantidade ou qualidade. Um sistema pode ter qualquer tamanho ou de quaisquer proporções dimensionais. Por exemplo: o sistema elétrico de uma casa tem dimensões completamente diferentes das de um sistema elétrico de um país. Além disso, um sistema não está limitado a algo físico. O conceito de sistema também pode ser aplicado para fenômenos dinâmicos abstratos como aqueles encontrados em economia.

Dinâmica : refere-se a uma situação ou estado que é dependente do tempo. Mesmo uma variável que não sofre mudanças em função do tempo é considerada dentro do estudo da dinâmica uma vez que uma constante é também uma função do tempo.

O estudo de um sistema dinâmico pode ser entendido como sendo o estudo do comportamento, em função do tempo, de grandezas relacionadas com uma parte do universo que foi imaginariamente separada para esse fim.

Controle : é o ato de comandar, dirigir, ordenar, manipular alguma coisa ou alguém.

Assim, um Sistema de controle: é uma disposição de componentes, conectados ou relacionados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas. A abaixo é mostrado um sistema de controle elementar onde um espelho controla o feixe de luz.

Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.


Entrada : é o estimulo ou excitação aplicados a um sistema de controle por meio de uma fonte de energia externa, geralmente a produzir uma resposta especifica do sistema de controle.

ENTRADAS = SINAIS ATUANTES = EXCITAÇÕES

Saída: é a resposta, obtida de um sistema de controle. Ela pode ser ou não igual à resposta específica inferida da entrada.

SAÍDAS = VARIAVEIS CONTROLADAS

Variável controlada : é uma grandeza ou condição que é medida e controlada. Normalmente é a saída ou resposta do sistema.

Variável manipulada : é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para que modifique o valor da variável controlada.

No controle pode-se medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar uma ação ao sistema através da variável manipulada para corrigir ou limitar o desvio do valor medido em relação a um valor desejado.

Perturbações (ou distúrbios): Sinais indesejados (internos ou externos). São sinais que tendem a afetar adversamente o valor da saída do sistema. Se a perturbação for gerada dentro do sistema, ela é denominada perturbação interna, enquanto que uma perturbação (distúrbio) externa é gerada fora do sistema e constitui uma entrada.

Planta : é uma parte de um equipamento, eventualmente um conjunto de itens de uma máquina que funcionam juntos, cuja finalidade é desempenhar uma certa operação. No nosso caso é qualquer objeto físico a ser controlado. Exemplo: um forno, uma aeronave, etc.

Processo : é uma operação ou desenvolvimento natural, que evolui progressivamente, caracterizado por mudanças graduais que se sucedem, um em relação às outras, de um modo relativamente fixo (ordenado) e conduzindo a um resultado ou finalidade particular; - uma operação artificial ou voluntária, que evolui progressivamente e que consiste em uma série de ações controladas ou movimentos sistematicamente dirigidos objetivando um resultado ou finalidade particular. Processo é qualquer operação a ser controlada. Ex: processos químicos, econômicos biológicos.


Controle realimentado : refere-se a uma operação que, mesmo na presença de perturbações ou distúrbios, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e alguma entrada de referência e que opera com base nessa diferença.

Sistema de controle realimentado : é um sistema que mantém uma determinada relação entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um meio de controle.

Sistema regulador automático : é um sistema de controle realimentado em que a entrada de referência ou a saída desejada ou é constante ou varia lentamente com o tempo e que tem como tarefa principal manter a saída real no valor desejado na presença de perturbações.

Controle em Malha Aberta (MA) Neste sistemas o sinal de saída não é medido, e não afeta a ação de controle. A exatidão do sistema depende de uma calibração. Portanto são usados quando não existe distúrbio atuando.

Ex.: Maquina de lavar roupas Controle em Malha Fechada (MF) Neste sistemas o sinal de retroação da variável controlada é comparado com o set-point. A diferença obtida desta comparação (o erro) é utilizada como parâmetro de entrada do controle, que então atua na planta com o objetivo de diminuir o próprio erro.

“Este tipo de controle torna o sistema insensível as perturbações externas. A partir da medição da variável controlada e da comparação do seu valor com o set-point atua para garantir a estabilidade. Contudo esta estabilidade nem sempre é fácil de se garantir, e para isto torna-se necessário sintonizar o controle de tal modo que atue o suficiente para corrigir os erros, nem mais nem menos. Exemplo: A maioria dos sistemas industriais atua em controle MF (controle de pressão, de nível, de vazão, de separação de peças, etc)


TEORIA DE CONTROLE MODERNA A abordagem é centrada no domínio do tempo. Aplicável em sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas, lineares ou não-lineares, variantes ou invariantes no tempo. TEORIA DE CONTROLE CONVENCIONAL A abordagem é no domínio da freqüência. Aplicável em sistemas com uma entrada e uma saída, lineares e invariantes no tempo. MODELAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS Conceitos Estado, Variáveis de Estado, Vetor de Estado, Espaço de Estado, Equações no Espaço de Estados. a) Estado - É o menor conjunto de valores das variáveis ditas variáveis de estado. O conhecimento deste valores para t>to e t=to determina o comportamento do sistema em qualquer instante nesta faixa de tempo. b) Variáveis de Estado - Conjunto de valores que determina o estado do sistema. Pode ser um conjunto de variáveis x1, x2, x3 e xn. É desejável que sejam variáveis mensuráveis e observáveis. c) Vetor de Estado - Vetor que determina o estado x(t) do sistema para qualquer instante de tempo t=to e t>to. d) Espaço de Estados e Equações de Espaço de Estados - Envolve 3 tipos de variáveis na modelagem: variáveis de entrada, variáveis de saída e variáveis de estado.”


A TRANSFORMADA DE LAPLACE Objetivo: Resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada.

Aplicações: Circuitos elétricos; Condução de calor; Flexão de vigas; Problemas econômicos.

Etapas da resolução de um problema através da transformada de laplace

Vantagem de aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais é que encontramos a solução particular, sem determinarmos a solução geral, pois as condições iniciais são incorporadas inicialmente na resolução da equação.

Cálculo da transformada de laplace através da utilização da tabela e do teorema da linearidade.

1: F(t) = 3(t) + 5L( F(t) )= ?


ETAPAS:

1. Um problema difícil é transformado em uma equação simples (equação subsidiária) 2. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas 3. A resolução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado (tabela)

DEFINIÇÃO

Seja f(t) uma função qualquer no domínio do tempo (t > 0). Assim a transformada de Laplace de f(t) é dada por:

sendo s um número complexo: s = σ + jω

Não vamos entrar em detalhes sobre condições e definições, vamos aprendê-la por meio de exemplos. I Inicialmente faremos a transformada de algumas funções e depois veremos algumas aplicações.


EXEMPLO 1: A FUNÇÃO DEGRAU

EXEMPLO 2: A FUNÇÃO EXPONENCIAL


MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS

MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas.

Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitores, resistores e indutores.

As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que estabelecem:

A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é igual a zero. A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero. A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se soluciona a Função de Transferência.


Exemplo:

Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão de entrada, V(s), da figura 1.

RESOLUÇÃO:

Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito. Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a equação íntegro-diferencial.

Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação

= resulta:

A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1:

Realizando a substituição


Aplicando Laplace:

Calculando a função de transferência:


SISTEMAS MECÂNICOS EM TRANSLAÇÃO

Os sistemas mecânicos obdecem à lei fundamental onde o somatório de todas as forças é igual a zero. Isto é conhecido como lei de Newton e pode ser dito da seguinte forma: a soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de reação.

Iniciaremos arbitrando um sentido positivo para o movimento, por exemplo, para direita. Usando o sentido escolhido como positivo para o movimento, desenhamos em primeiro lugar um diagrama de corpo livre, posicionando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele no sentido do movimento ou no sentido oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a equação diferencial do movimento somando as forças e igualando a soma a zero. Finalmente, supondo as condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial, sepramos as variáveis e chegamos à função de transferência. A Tabela 2 apresenta os elementos mecânicos comuns em sistemas de translação como suas relações.

Tabela 2 – Relações força-velocidade, força-deslocamento, e impedância de translação de molas, amortecedores e massas.

Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste texto: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).


Exemplo

Obter a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo:

RESOLUÇÃO:

Desenhando o diagrama de corpo livre para o sistema proposto e arbitrando o sentido do movimento para direta, obtemos:

Utilizando a Lei de Newton escrevemos a equação diferencial do movimento.

Aplicando Laplace,

Resolvendo para obter a função de transferência,


FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Analisamos a função no domínio dos números complexos

Utilizando o método das frações parciais

Para calcular o valor de A, devemos proceder da seguinte forma:

1º Passo

Multiplicar toda expressão pelo denominador de A e realizar as derivadas simplificações

2º Passo

Fazer s ser igual ao valor que faz o denominador de A ser igual a zero

3º Passo

Calcular o valor de A

Assim a transformada de laplace inversa:

A função f(t) será:

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