DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua TRANSFORMADA DE FOURIER...
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DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
TRANSFORMADA DE FOURIERTRANSFORMADA DE FOURIER
Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos
Transformada e série de Fourier de sinais contínuos periódicos
Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais contínuos
Função resposta em frequência e resposta impulsional
Funçao resposta em frequência e equação diferencial
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
thTF
Motivação
tjetx th ?ty
SLIT
tjj
tj
edeh
deh
dtxh
txthty
jH
tjtj ejHtyetx
dtetxjX tj
dejXtx tj
2
1
Particularização da transformada de Laplace ao eixo imaginário do plano s
Espectro de frequência
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Definição
dtetxjXtx tj
Exponencial direitaExponencial direita
0;1 tuetx t
1
tx
t0
1lim
1
0
01
tj
t
tj
tjtjt
ejj
e
dtedtetuejX
0 para
0
jtue t
10;1
AlternativaAlternativa
s
stue t Re;
1TL 1
RCj 0
jsXjX
js
1
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Espectro de frequência da exponencial realEspectro de frequência da exponencial real
jtue t
10;1
22
11
jjX
arctanargarg jjX
DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Definição
dejXtxjX tj
2
1
1
jX
11
jXarg
1
2
1
2
jXjejXjX arg
deejXtx tjjXj
arg
2
1
deedee tjjtjj 1
0
20
1
2
2
1
jj
dede
j tjtj 1
0
0
12
1
0
0
12 jt
e
jt
ej tjtj
11
2
1 jtjt ee
t tcos2
1cos1
tt
tx
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Condições de Dirichlet
Condições suficientes para a existência de transformada de Fourier:
1. é absolutamente integrável, i.e., tx
dttx
2. possui um nº finito de máximos e mínimos e um nº finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalo de tempo finito.
tx
Estas condições incluem os sinais de energia finita, i.e., sinais tais que
dttxdttx
T
TT
222
2limE
mas não os de potência média finita, i.e, sinais tais que
dttx
TP
T
TT
22
2
1lim
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
sinal de potência média finitasinal de potência média finita
2
12cos2sin
2
1lim
2
cossin
2
1limsin
1lim
0
00
2
20
002
2
2
0
TTT
T
ttt
Tdtt
TP
T
T
TT
T
TT
sinal de potência sinal de potência média finitamédia finita
sinal de energia infinitasinal de energia infinita
2
1
2
1lim
1lim
2
2
2
1
T
Tdttu
TP
T
T
TT
sinal de energia finitasinal de energia finita
Exemplos
1.1. tuetx t1
2
1
20
2
0
22
1
ttt edtedttueE
2.2. tutx 1
2lim1limlim
2
0
2
2
2
1
TdtdttuE
T
T
T
T
TT
3.3. ttx 0sin
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
jX
0 0
jX2
Sinais periódicos
Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é ? tx 02 jX
tjtjtj ededejXtx 002
2
1
2
1
Ex. 1Ex. 1 2TF1 0 tjejXttx
00
000 222
1
2TFcosTF
00
tjtj eetEx. 2Ex. 2
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Sinais periódicos
k
tjkkeatx 0
Combinação linear de exponenciais complexas de período 02 kTk
é periódico com período
0
0
2mmc
kTT
tx
e, portanto, com frequência fundamental 0
k
k kajX 02
TF
Série de Fourier do sinal periódico tx
Coeficientes da série de Fourier:
dtetxT
atjk
Tk
0
00
1
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
2a3a 3a2a
tjtjtjtj eej
ej
e 3223
2
1
2
1
2
1
2
1
Série de Fourier
k
tjkkeatx 0 dtetx
Ta
tjk
Tk
0
00
1
Ex. 1Ex. 1 tttx 3cos2sin
210 3
20
),mdc(21 000
22
3322 tjtjtjtj ee
j
ee
3,2;0
3;2
1
2;2
1
2;2
1
k
k
kj
kj
ak2 k
ka21
4 0 2 4
2 k
kaarg2
4 02
4
2
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Série de Fourier
k
tjkkeatx 0 dtetx
Ta
tjk
Tk
0
00
1
Ex. 2Ex. 2 Onda quadradaOnda quadrada
dteT
aT
T
tjkk
1
1
0
0
1 1
1
0
00
1T
T
tjk
jk
e
T
0
02
1 1010
Tjk
ee
T
TjkTjk
2
sin2 10
jk
Tkj
k
tjkk e
k
Tktx
k
Tka 01010 sinsin
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
40
1
TT
Série de Fourier vs.Transformada de Fourier
k
k kajX 02 Ex. 2Ex. 2 Onda quadrada (cont.)Onda quadrada (cont.)
k
tjkek
Tktx 010sin
k
kk
TkjX 0
10sin2
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P1. LinearidadeP1. Linearidade jbXjaXtbxtax 21
TF
21
kbXkaXtbxtax 21
SF,
21
0
Ex.Ex. tttx 3cos2sin
2
2sin22
1 j
eettx
tjtj
2;0
2;21
2;21
1
k
kj
kj
kX
2
3cos33
2
tjtj eettx
3;0
3;212 k
kkX
2 k
ka21
4 0 2 4
2 k
kaarg2
4 02
4
2
0
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P2. Translação no TempoP2. Translação no Tempo jXettx tj 0
TF
0
kXettx tjk 000SF,
0
Ex.Ex.
2
1sin tty
ttx sin 0
1;0
1;21
1;21
k
kj
kj
kX
tj
j
tj
jtjtj
ej
ee
j
e
j
ee
222
222
1
2
1
1;0
1;2
1;22
2
k
kje
kje
kY j
j
0
kXekYtxty jk 20
2
1
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P3. Translação na FrequênciaP3. Translação na Frequência 0
TF0 jXtxe tj
0
SF, 000 kkXtxe tjk
Ex.Ex.
tety tj sin5
ttx sin 0
1;0
1;21
1;21
k
kj
kj
kX
tjtjtjtj
tj ej
ejj
eee
465
2
1
2
1
2
6,4;0
4;21
6;21
k
kj
kj
kY
0
50
5
kXkYtxety tj
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P4. Mudança de EscalaP4. Mudança de Escala
a
jX
aatx
1TF
0,0SF,
akXatxa
Ex.Ex.
ttx sin x0
1;0
1;21
1;21
k
kj
kj
kX
tty 2sin 20 y
1;0
1;21
1;21
k
kj
kj
kY
kXkYtxtyxy
00 2
2
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P5. ConvoluçãoP5. Convolução jXjXtxtx 21
TF
21
0
0210
SF,
21
2,
0
TkXkXTtxtx
0
2121 Tdtxxtxtx Convolução circular:
Ex.Ex.
tx1 periódico com período 310 T
tx2
t02
3 32
9 62
33
1
62
9
23
20 T
3
2,3),mmc( 0000 21
TTT
23
23
11
2
1 1
txtx
dttx txtx 21
2
1
3
2
2 233
1dtettkXtjk
jke 13
1
jkekXkXkXT 11210
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P6. Diferenciação no TempoP6. Diferenciação no Tempo jXjdt
tdx TF
kXjkdt
tdx0
SF, 0
Ex.Ex.
ttx sin 10
1;0
1;21
1;21
k
kj
kj
kX
tty cos 10
1;0
1;21
k
kkY
kjkXkYdt
tdxty
10
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P7. Diferenciação na FrequênciaP7. Diferenciação na Frequência
d
jdXjttx
TF
P8. Integração no TempoP8. Integração no Tempo
0
1TF
jXjXj
dxt
jjU
11
TFEx.Ex.
t
dtu 1
1
t
1TF
t
21
t21
21
t
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P9. SimetriaP9. Simetria Se tx é uma função real, então
jXjX *TF: kXkX *SF:
jXjX * jX jXjX argarg * jXarg
tuetx t1
Espectro de frequência de
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P9. ModulaçãoP9. Modulação
jPjSjRtptstr
2
1TF
kPkSkRtptstr 0SF,
Ex.Ex. tjets 2
tjetp 3 tjtj eetptstr 32
210 3
20
3,2mdc0 22;0
2;1
kk
kkS
33;0
3;1
kk
kkP
532
kkkR
tjetr 5
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P10. DualidadeP10. Dualidade jXtx
TFSe
então xjtX 2TF
Propriedades: Translação no Tempo vs. Translação na Frequência Convolução vs. Modulação Diferenciação no Tempo vs. Diferenciação na Frequência
Pares sinal/transformada:
21
1TF
TF
t
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P10. DualidadeP10. Dualidade
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Exemplos
Ex. 1Ex. 1
tT T
tx1
TtuTtu 11
jeejUejUejX TjTjTjTj 1
11
jjUtu
11
TF
1
Tabela:Tabela:
Tj sin2
Tj
T
jTj sin2
sin21sin2
0
T
jXsin2
Linearidade + Translação no Tempo
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Exemplos
Ex. 2Ex. 2
tuttx 10cos tuetue tjtj11
00
2
1
2
1
Linearidade + Translação na Frequência
jjUtu
11
TF
1
Tabela:Tabela:
0101 2
1
2
1 jUjUjX
0
00
0
1
2
11
2
1
jj
0000 2
11
2
1
jj
002
02 2
j
j
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Exemplos
Ex. 3Ex. 3 ty
t32
1
01234 1
sin(t) f(t)
tfej
tfej
tftty tjtj 2
1
2
1sin
00 2Tperiódico: ty
Linearidade +
Translação na Frequência
12
1)1(
2
1 kF
jkF
jkY
t2
3
2
1
1 tx
2
12
5
2
72
92
3
2
5
k
kkX
2sin
,0
2
1txtf Translação no Tempo
k
kekXekF
jkjk
2
sin22
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
2
22
jk
jjk
je
ee
2
22
jk
jjk
je
ee
Exemplos
Ex. 3 (cont.)Ex. 3 (cont.) ty
t32
1
01234 1
sin(t) f(t) 12
1)1(
2
1 kF
jkF
jkY
k
kekXekF
jkjk
2
sin22
00 2Tperiódico: ty
12
1sin
12
1sin
2
11
2
1)1(
2
1 21
21
k
ke
k
ke
jkF
jkF
jkY
kjkj
12
1sin
12
1sin
2
1, 2
0 k
k
k
kekY
kj
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Resposta Impulsional Resposta em Frequência
txthty tx th jXjHjY jX jH
jHthTF
jX
c2c2
2
Espectro do sinal de entrada
Ex.Ex.
jH
cc
1
Filtro passa-baixo ideal
jY
cc
2
Espectro do sinal de saída
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
SLITs em série – propriedade da convoluçãoSLITs em série – propriedade da convolução
Resposta Impulsional Resposta em Frequência
ty tx th2 th1 thth 21 tx ty
jX jH1 jH 2
jY jHjH 21
jX jY
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Resposta Impulsional Resposta em Frequência
SLITs em paralelo– propriedade da linearidadeSLITs em paralelo– propriedade da linearidade
thth 21 tx ty ty tx
th2
th1
jH1
jH 2
jX jY jHjH 21 jX jY
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Resposta em Frequência RealimentaçãoRealimentação
Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples;
Obter a resposta em frequência do do sistema é imediato. jZ
jE jX jY jH1
jH 2
jYjHjZ 2
jYjHjXjZjXjE 2
jYjHjXjHjEjHjY 211
jXjHjYjHjH 1211
jHjH
jH
jX
jYjH
21
1
1
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Equação Diferencial Resposta em Frequência
tySLIT
tx
M
kk
k
k
N
kk
k
k txdt
dbty
dt
da
00
M
kk
k
k
N
kk
k
k txdt
dbty
dt
da
00
TFTF
M
kk
k
k
N
kk
k
k txdt
dbty
dt
da
00
TFTFLinearidade
Diferenciação no tempo jXjbjYja kM
kk
N
k
kk
00
jXjbjYja kM
kk
N
k
kk
00
N
k
kk
kM
kk
ja
jb
jX
jYjH
0
0
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Modulação de Amplitude
ttxty 0cos
t0cos
tx
Sistema linear mas variante no tempo
jX1
txetxety tjtj 00
2
1
2
1 002
1 jXjXjY
jY
21
00
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
Multiplexagem na Frequência ty1
t5cos
tx1
t15cos
ty2
ty
tx2
jY1
21
55
jY21
5515 15
jY2
21
5515 15
jX11
jX 2
1
2 222
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Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua
tw
t5cos
ty jH tz
Multiplexagem na Frequência
jY21
5515 15
jH2
2 2
2
2 2
jX11
22
tx1
jW
21
1020 10 20
52
1jY 5
2
1jY