DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas SINAIS E SISTEMAS Sinais O que são...

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas

SINAIS E SISTEMASSINAIS E SISTEMAS

• SinaisO que são sinais?Transformações lineares da variável independente

Reflexão em relação à origem; Mudança de escala; Translação no tempo.Propriedades dos sinais

Paridades; Periodicidade.Sinais contínuos básicos

Impulso unitário de Dirac; Escalão unitário; Exponencial complexa.Sinais discretos básicos

Impulso unitário; Escalão unitário; Exponencial complexa.

• SistemasSistema físico, modelo, representação matemática.Propriedades dos sistemas

Sistemas com e sem memória; Invertibilidade e sistema inverso;Causalidade; Estabilidade; Invariância temporal; Linearidade.



Sinais e SistemasSinais e Sistemas

sinal de entrada: fala (pressão acústica)sinal de saída: corrente eléctrica

sinal de entrada: posição do aceleradorsinal de saída: velocidade do veículo

circuito elétrico

sinais: tensões e correntes

sinal de entrada: luzsinal de saída: fotografia

microfone

automóvel

máquina fotográfica

luz



Sinais e SistemasSinais e Sistemas

Fala

Sismologia

Sinal contínuo: domínio real

Electrocardiograma



Sinal discreto: domínio inteiroSinais e SistemasSinais e Sistemas



Sinal discreto: domínio inteiroSinais e SistemasSinais e Sistemas

Amostragem de sinal analógico



Transformações lineares da variável independenteTransformações lineares da variável independente

O sinal y relaciona-se com o sinal x através de uma transformação linear da variável independente quando

R, babatxty - sinal contínuo

Zbabanxny , - sinal discreto




Inversão temporal (ou reflexão em relação à origem)Inversão temporal (ou reflexão em relação à origem)

txty

nxny

Exemplo: passagem de fita magnética em sentido inverso ao de gravação mas à mesma velocidade




Mudança de escalaMudança de escala RaatxtySinal contínuo:

Exemplo: passagem de fita magnética a uma velocidade diferente da original

: fita tocada a velocidade superior compressão temporal

: fita tocada a velocidade inferior expansão temporal

1a

1a




Mudança de escalaMudança de escala ZaanxnySinal discreto:

No caso discreto só faz sentido falar em compressão temporal ; Na compressão temporal de um sinal discreto há sempre perda de informação.

1a




Translação no tempoTranslação no tempo

R bbtxty

Z bbnxny : atraso

: avanço

0b0b

Exemplo: propagação de um sinal entre dois pontos distantes no espaço




t

x(t)

1

--1

2

2

1txty

tx 2 txtz

z(t)

t

--1

-2 -1

tztw 2 tx

w(t)

t

--1

21

twty

2

1

2

2

1tx

y(t)

t

--1

42




t

y(t)

--1

31

x(t)

t-2

1

2

z(t)

t-1

1

1

1. Compressão temporal: txtz 2w(t)

t-1

1

1

2. Inversão temporal: tztw

3. Translação no tempo: )2( twty 2 tz 4222 txtx



Propriedades dos sinais: ParidadesPropriedades dos sinais: Paridades

nxnx

txtx Um sinal diz-se par quando

Um sinal par é simétrico em relação à origem




nxnx

txtx Um sinal diz-se ímpar quando

Se um sinal ímpar estiver definido para o instante t=0 então x(0)=0




Qualquer sinal x pode ser decomposto na soma de um sinal par com um sinal ímpar

txtxtx ip

em que txtxtx p 2

1 txtxtxi 2

1e

t

x(t)--

--

--1 2

1

2--

t

xp(t)--

--

--

1 2

1

2

------

-1-2 t

xi(t)--

--

--

1 2

1

2

------ -1-2

-- -1



Propriedades dos sinais: PeriodicidadePropriedades dos sinais: Periodicidade

Sinal periódico sse R:0R, TTtxtxTt

Z:0Z, NNnxnxNn

T, N - periodo

… … tx

t1 32102

Um sinal periódico é um sinal bilateral; Se x(t) é periódico com periodo T, também é periódico com periodo 2T, 3T, 4T… Periodo fundamental T0 é o menor valor positivo do periodo.



Sinais básicos: escalão unitárioSinais básicos: escalão unitário

contínuocontínuo discretodiscreto

0;1

0;01 t

ttu

0;1

0;01 n

nnu

tu 1

t

… …1

nu 1

n

… …1

0 2 4 86 1410 12



Sinais básicos: impulso unitário de DiracSinais básicos: impulso unitário de Dirac

tudt

dt 1

Função generalizada definida de forma explicita por

ou de forma implícita por

dtut

1

O impulso unitário de Dirac é nulo para ;0t

Em o impulso unitário de Dirac tem amplitude infinita; 0t

O impulso unitário de Dirac é caracterizado por ter área unitária, i.e.,

1

dtt



Sinais básicos: impulso unitário de DiracSinais básicos: impulso unitário de Dirac representação gráficarepresentação gráfica

t

t1

0

área =1

aproximaçãoaproximação

t0

área=1

área=1

área=1

propriedadespropriedades

t0

x(t)

txttx 0

(t)

0t

(t-t0)

000 tttxtttx

dtxtx



Sinais básicos: impulso unitário discretoSinais básicos: impulso unitário discreto

0;1

0;0

n

nn … …

n0

1 n

relação com o escalão unitáriorelação com o escalão unitário

111 nunun

n

k

knu 1

propriedadespropriedades

nxnnx 0

n

n 1

000 nnnxnnnx

k

knkxnx



Sinais básicos: exponencial complexa contínuaSinais básicos: exponencial complexa contínua

atCetx jeCC

0jra

tjrj eeC 0 tjrteeC 0

tjteCtx rt00 sincos




I.I. raCC ,00,00 jeCC

0jra

atCetx

rteCtx




jeCC

0jra

atCetx

II.II. 0,0 jaeCCr j

tjtCeCtx tj00 sincos0




tjtetx tj00 sincos0 é periódico?O sinal

Ttxeetx Ttjtj 00

10

Tje Z,20 kkT Z,

2

0

kk

T

tjetx 0 é sempre periódico;O sinal

00

2

TO período fundamental é ;

Quanto maior for , menor é e maior é a rapidez de oscilação.0T0



Sinais básicos: exponencial complexa discretaSinais básicos: exponencial complexa discreta

anCenx jeCC

0 jra

njrj eeC 0 njrneeC 0

njneCnx rn00 sincos




I.I. kjraCCk 2,00,20 jeCC

0 jra

anCenx

rneCnx knjrneeCnx 21




II.II. 12,00,120 kjraCCkjeCC

0 jra

anCenx

nkjrneeCnx 12 1

njnkjrn eeeC 2

n1

rnn eCnx 1




III.III. 0,0 jaeCCr j

njnCeCnx nj00 sincos0

jeCC

0 jra

anCenx




njenx 01

representam o mesmo sinal.

As exponenciais complexas Z22

0 kenx nkj e

nkjenx 22

0 nxe nj1

0 knjnj ee 201




0Quando aumenta, a rapidez de oscilação de aumenta para , e diminui para . inteiro212 0 kkk 122 0 kk

nje 0

nenx nj0cosRe 0 Exemplo:

...2,00

...2

5,

2

3,

20

...3,0




njnenx nj00 sincos0

é periódico?O sinal

Nnxeenx Nnjnj 00

10

Nje Z,20 kkN Z,2

0

kN

k

00

2

kN

O período fundamental é o menor inteiro positivo tal que ;

njenx 0O sinal é periódico sse é um número racional;2

0

A frequência fundamental é , em que e não têm factores comuns. kN

0

0

2

k 0N



SistemasSistemassistema

sinal entrada sinal saída

sérieparalelo realimentação

Diagrama de blocosDiagrama de blocos

S1

S2

+ S4S3 + S5

S6

x y

Sistema contínuo: transforma sinais de entrada contínuos em sinais de saída contínuos; Sistema discreto: transforma sinais de entrada discretos em sinais de saída discretos.



sistema com memória

Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas

1. Memória1. Memória

Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempodepende apenas da entrada nesse instante de tempo.

sistema sem memória

tRitv ti

Exemplos:

tv

ti

R

tv

ti

C

t

diC

tv 1 ti

sistema com memória

1 nxny nx



sistema causal


2. Causalidade2. Causalidade

Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo dependeapenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores.

sistema causal

tRitv ti

Exemplos:

tv

ti

R

tv

ti

C

tdi

Ctv 1 ti

sistema não causal

1 nxny nx

Todos os sistemas sem memóriasão causais.




3. Invertibilidade e sistema inverso3. Invertibilidade e sistema inverso

Um sistema diz-se invertível quando sinais de entrada distintos conduzem a sinais de saída distintos.

sistema não invertível

nxny 2 nx

sistema invertível

txty 2 tx

Exemplos:

sistemainverso

tw txty 2

1

sistema invertível

t

dxty tx sistemainverso

tw txtydt

d

nynx



sistema instável


4. Estabilidade4. Estabilidade

sistema instável

nnxny nx

t

dxty tx

Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,

yyxx BtyBtBtxBt :0,:0,

sistema estável

nxnyn

2

1 nx

Exemplos:

nxnyn

2

1 xBnx

1 xB

xB

nnynnx 1

limitado não limitado

ttudutytutxt

111 limitado não limitado



Sistema invariante no tempo


5. Invariância temporal5. Invariância temporal

Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinalde entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e.,

00 ttyttxtytx

t

dxty tx

Exemplo:

t

dxtytx 222

01 ttx 01 tx

t

dtx 01

0

1

ttdx

0

1

ttdx

012 ttyty

tdxtytx 111 01 tty



sistema variante no tempo

012

1nnx

n

01 nnx


Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinalDe entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e.,

00 nnynnxnynx

5. Invariância temporal5. Invariância temporal

nxnyn

2

1 nx

Exemplo:

nxnynxn

222 2

1

01 nnx

01

0

2

1nnx

nn

nxnynxn

111 2

1

01 nny

012 nnyny



sistema não linear


6. Linearidade6. Linearidade

Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e.,

Kktytx kk ,,2,1

K

kkk

K

kkk tyatytxatx

11

sistema linear

nxanxany

nxanxanx

n

2211

2211

2

1

nxanxann

2211 2

1

2

1

nyanya 2211

nxnyn

2

1 nx

Exemplos: txty sin tx

txatxatytxatxatx 22112211 sin

tyatya 2211 txatxa 2211 sinsin

tyatyaty 2211




6. Linearidade6. Linearidade

Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e.,

Kktytx kk ,,2,1

K

kkk

K

kkk tyatytxatx

11

ttyttx 00)(linearsistema Propriedade:

32 txty tx

Exemplo:

ttyttx 30

sistema não linear

txtz 2 tx

ttw 3

32 txtysistema

linear

sistema incrementalmente linear

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