Dedução Simplificada da Massa Relativística

1

Toda vez que pesquisamos a razão para a massa relativística ser definida da

forma que ela é (massa de repouso multiplicada pelo fator

√

), encon-

tramos alguma afirmação direta, dizendo que ela se deve à conservação da

quantidade de movimento ou, algumas vezes, encontramos um experimento

básico sobre as componentes perpendiculares do momento durante uma coli-

são simples de duas partículas.

Esta é uma explicação bastante superficial, e não uma demonstração, pois a

mais importante influência dos efeitos da relatividade estão exatamente na di-

reção paralela ao movimento (direção do movimento relativo). Portanto, desta

maneira, é como, a partir de um caso particular, concluir pelo caso geral.

Se tentarmos pesquisar além, podemos encontrar equações envolvendo trans-

formações de energia e de momento, e obter expressões com radicais de radi-

cais, como esta:

( )

√{ [(

)

(

( ) ( )

)

(

( ) ( )

)

]}

E assim por diante...

O problema deve ser tornado simples!

A conservação do momento é um princípio inevitável e tem de ser sustentado

pela relatividade. A razão para isto é que a conservação do momento (ou seja,

a conservação do momento em um sistema implica necessariamente a conser-

vação do momento em todos os sistemas em movimento relativo entre si)

mantém a coerência física entre todos os sistemas em movimento relativo en-

tre si. Isto significa que, se uma bola quebra um vidro em um determinado sis-

Dedução Simplificada da Massa Relativística

2

tema, ela irá quebrar o vidro em qualquer outro sistema movendo-se relativa-

mente a este. Ela poderá até quebrar o vidro em câmera lenta, mas quebrará!

Esta é a razão pela qual a relatividade deve preservar a conservação da quanti-

dade de movimento.

O problema surge com a transformação de Lorentz para as coordenadas.

Como já vimos, a principal equação, que sintetiza todas essa transformações

relativísticas, é dada pela expressão:

que é obtida pela experiência mental do raio de luz refletido em um espelho

localizado perpendicularmente ao movimento do observador.

Desta expressão, nós podemos derivar fisicamente as transformações de Lo-

rentz para todas as coordenadas ( é a velocidade relativa entre os sistemas):

( )( )

( ) (

)

Como sempre, em relatividade, a coisa mais importante é o tempo, ou melhor

ainda, a relação que conecta o tempo de um sistema a outro.

É importante ter em mente que estas transformações também fornecem a rela-

ção entre os diferenciais das coordenadas.

Dedução Simplificada da Massa Relativística

3

Vamos supor agora uma colisão genérica entre duas partículas em um sistema

movendo-se com velocidade em relação a “ ” (a conservação do mo-

mento para sistemas mais complexos é simplesmente a composição de vários

sistemas de duas partículas):

Empregando a expressão diferencial para a velocidade, teremos:

Se aplicássemos agora, como de costume, a transformação de coordenadas pa-

ra velocidades, para obtermos o que o sistema , movendo-se com velocida-

de em relação a , mede para o momento, nós iríamos obter aquelas ex-

pressões com radicais de radicais….

Vamos, em vez disso, considerar apenas uma componente perpendicular do

momento ( ):

Tendo em mente a equação fundamental da relatividade, ou seja:

√

É fácil de ver que para :

(2)

Dedução Simplificada da Massa Relativística

4

√

( )

Nós podemos ver imediatamente que, se multiplicarmos a massa de cada partí-

cula pelo seu respectivo fator , todos os termos da equação resultarão com

o tempo próprio de cada partícula, em cada trecho da colisão, no respectivo

denominador. Assim, multiplicando pelo respectivo fator , obtemos:

( )

( )

( )

( )

Então, aplicando a transformação de coordenadas , resulta a seguinte

equação:

Mas o “tempo próprio” de cada partícula, em cada parte da colisão, é uma

quantidade comum (invariante) para todos os sistemas em movimento relativo

entre si.

Isto significa duas coisas:

Primeira – A expressão dada pela equação (3) é válida em todos os sistemas

em movimento relativo.

Segunda – A expressão dada pela equação (2) não é válida em todos os siste-

mas em movimento relativo.

(3)

Dedução Simplificada da Massa Relativística

5

Disso seguem duas conclusões:

Primeira – A definição clássica de momento (2) não atende à necessidade in-

variância da conservação da quantidade de movimento.

Segunda – Uma vez que a coordenada tem a mesma regra de transforma-

ção (coordenada perpendicular), a expressão dada pela equação (3)

também é válida para a coordenada de , implicando que a conservação

das componentes perpendiculares do momento são invariantes sob a condição

de multiplicação das massas pelos respectivos fatores .

Resta, portanto, verificar que esta condição (multiplicação de cada massa pelo

respectivo fator ) garante a invariância para a componente “ ” do momento

(direção paralela) para “ ”.

O momento para a direção “ ” é dado pela equação:

Assim, multiplicando pelo fator e aplicando a transformação de Lorentz

para a coordenada “ ”, obtemos:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

Cancelando o termo comum ( ) e tendo em mente que:

( )

( )

Dedução Simplificada da Massa Relativística

6

obtemos:

( )

(

) ( )

(

)

( )

(

) ( )

(

)

( )

( )

( ) (

)

( )

( )

( ) (

)

A fim de obtermos para a conservação do momento (da mesma maneira

que obtivemos para ), ou seja, para que seja válida a expressão:

( )

( )

( )

( )

deve ser satisfeita, conforme podemos ver na equação obtida, a seguinte con-

dição:

( ) (

) ( ) (

)

deve ser válida.

E de fato, esta é a mesma condição que obteria no caso da transformação

inversa.

Observação: Esta é a expressão de conservação relativística da massa, condi-

ção para se ter a conservação da quantidade de movimento relativística (tal

condição está implícita e é automaticamente satisfeita no momento clássico,

pois este não inclui o fator ( ))

Fica claro ao longo destas equações o papel do tempo próprio como a chave

comum para todos os sistemas em relação à medida da conservação do mo-

(4)

Dedução Simplificada da Massa Relativística

7

mento. Também é importante notar a condição para a conservação do momen-

to relativístico (4), que é a conservação da massa relativística.

Assim o momento relativístico torna-se logicamente:

√

Onde e

Portanto, para se obter a energia relativística, devermos considerar na respecti-

va equação:

∫ ∫ ( )

( ) no lugar da massa (massa de repouso), ou seja, o momento

relativístico ( ) .

Deste ponto, considerando, como já mostramos, a massa relativística, podemos

deduzir a famosa equação de Einstein para a energia relativística:

( )

( )

√

(

)

(

)

( )

Dedução Simplificada da Massa Relativística

8

( )

( )

Observação: Hoje em dia, a Física Moderna já não se emprega mais o conceito

de “massa relativística”, mas apenas o de “ massa de repouso” e o de “momen-

to relativístico”.