MergeSortIntercalação

David Menotti

Algoritmos e Estruturas de Dados I

DECOM – UFOP

© David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I

Dado um arranjo com n números naturais, ordenar estes números em ordem crescente.

Entrada: 95 48 70 86 21 37

Saída: 21 37 48 70 86 95

Problema de Ordenação

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Método em Computação que consiste em Dividir a entrada em conjuntos menores Resolver cada instância menor de maneira

recursiva Reunir as soluções parciais para compor a

solução do problema original.

Abordagem Dividir-para-Conquistar

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Métodos de ordenação de divisão por conquista SelectSort QuickSort (pior caso?)

Divisão do problema de forma balanceada MergeSort

Abordagem Balanceamento

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Entrada: 47 26 33 05 99 38 64 15

1. Divide: 47 26 33 05 99 38 64 15

2. Resolve Recursivamente:1. Primeira metade 47 26 33 05

(Divide, Resolve recursivamente, Intercala Obtendo 05 26 33 47 )

2. Segunda metade 99 38 64 15

(Divide, Resolve recursivamente, Intercala Obtendo 15 38 64 99 )

Exemplo de MergeSort

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Entrada: 47 26 33 05 99 38 64 15

2. Resolve Recursivamente:1. (Retorna 05 26 33 47 )

2. (Retorna 15 38 64 99 )

2. Intercala as soluções parciais:

05 15 26 33 38 47 64 99

Exemplo de MergeSort

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Algoritmo MergeSortvoid MergeSort(Item* A,int ini,int fim) { int meio; if (fim == ini) return; else { meio = ( ini + fim ) / 2; MergeSort(A, ini, meio ); MergeSort(A, meio+1, fim); Intercala(A, ini, meio, fim ); return; }}

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Implementação de IntercalaIntercalaAB(Item* c,Item* a,int N,Item* b,int M)

{

int i, j, k;

for (i = 0, j = 0, k = 0; k < N+M; k++)

{

if ( i == N ) { c[k] = b[j++]; continue; }

if ( j == M ) { c[k] = a[i++]; continue; }

if ( a[i] < b[j] )

c[k] = a[i++];

else

c[k] = b[j++];

}

}

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6 2 8 5 10 9 12 1 15 7 3 13 4 11 16 142 6 8 5 10 9 12 1 15 7 3 13 4 11 16 142 6 5 8 10 9 12 1 15 7 3 13 4 11 16 142 5 6 8 10 9 12 1 15 7 3 13 4 11 16 142 5 6 8 9 10 12 1 15 7 3 13 4 11 16 142 5 6 8 9 10 1 12 15 7 3 13 4 11 16 142 5 6 8 1 9 10 12 15 7 3 13 4 11 16 141 2 5 6 8 9 10 12 15 7 3 13 4 11 16 141 2 5 6 8 9 10 12 7 15 3 13 4 11 16 141 2 5 6 8 9 10 12 7 15 3 13 4 11 16 141 2 5 6 8 9 10 12 3 7 13 15 4 11 16 141 2 5 6 8 9 10 12 3 7 13 15 4 11 16 141 2 5 6 8 9 10 12 3 7 13 15 4 11 14 161 2 5 6 8 9 10 12 3 7 13 15 4 11 14 161 2 5 6 8 9 10 12 3 4 7 11 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Exemplo de MergeSort

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Implementação do MergeSort O procedimento Intercala requer o uso de um

segundo arranjo, B, para receber os dados ordenados.

Note que no retorno de Mergesort com um arranjo de tamanho 1, a resposta encontra-se no arranjo A (o arranjo original de entrada).

No próximo nível (arranjo de comprimento 2) o resultado da intercalação estará no arranjo B.

Podemos administrar este problema de duas maneiras.

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Implementação do MergeSort Podemos administrar este problema de duas

maneiras: Copiando a porção do arranjo referente ao

resultado de volta para o arranjo A, ou Utilizando uma chave para indicar a “direção”

dos movimentos de Intercala.

© David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I

TMergeSt(n) = 2 TMergesort(n/2) + cte n + cte

Desenvolvendo

TMS (n) = 2 TMS(n/2) + c n + c = 2 [ 2 TMS(n/4) + c n/2 + c ] + c n + c = 4 TMS(n/4) + 2c n + 3c = 4 [ 2 TMS(n/8) + c n/4 + c ] + 2c n + 3c = 8 TMS(n/8) + 3c n + 7c = ...

TMS (n) = 2i TMS(n/2i) + i c n + (2i-1) c

Complexidade do MergeSort

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Complexidade do MergeSort Temos que TMS(n) = 2i TMS(n/2i) + i c n + (2i-1) c.

Tem-se que TMS(1) = 1 e (n/2i) = 1 (i = log2n).

TMS(n) = 2log2n cte + (log2n) c n + (2log2n - 1) c

= n cte + c n log2n + c (n-1)

= c n log2n + (cte+c) n - c

TMS(n) = O(n log2n)

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MergeSort Vantagens

Como HeapSort, MergeSort é O(n log n) Indicado para aplicações que exigem restrição de

tempo (executa sempre em um determinado tempo para um dado n)

Passível de ser transformado em estável Implementação de intercala

Fácil Implementação Desvantagens

Utiliza memória auxiliar – O(n) Na prática mais lento que HeapSort