O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 20

08

Versão On-line ISBN 978-85-8015-039-1Cadernos PDE

VOLU

ME I

Ficha Catalográfica Artigo – trabalho final

Professor PDE/2008

Título Sequências Especiais

Autor Ailton M. Bach

Escola de Atuação Colégio Estadual Dom Alberto Gonçalves

Município da escola Palmeira

Núcleo Regional de Educação Ponta Grossa

Orientador Luiza Takako Matumoto

Instituição de Ensino Superior UEPG

Área do Conhecimento/Disciplina Matemática

Público Alvo Alunos

Localização Colégio Estadual Dom Alberto Gonçalves, Rua Santos Dumont 268 - Centro

Resumo:

O trabalho tem como objeto as progressões aritméticas e geométricas que estão presentes no cotidiano dos alunos e apresenta uma sequência de atividades diferenciadas para estudá-los. É uma proposta para sair do comum ensino aos alunos somente de forma mecânica, pontuada, por meio de fórmulas prontas e o aprendizado pelo uso de técnicas de repetição e tem como intenção ajudar os alunos a compreender as progressões. Para atingir o objetivo, foi realizada a construção de progressão aritmética e geométrica através de relatos históricos curiosos, do uso de situações problema instigantes e de aplicações cotidianas ilustrativas. Para o desenvolvimento do conteúdo, usou-se também aritmética, álgebra, potenciação, resolução de equações e matemática financeira, entre outras. A intervenção foi em uma turma da 1ª série do ensino médio e teve a TV multimídia, atividades individuais e em grupo e materiais de manuseio como ferramentas de apoio para a execução do trabalho. Verificou-se que para o aluno possa ter sucesso em matemática, não

basta ensinar definições, regras, esquemas e treinar tais procedimentos repetidamente, deve-se preocupar muito mais com a compreensão e com a formação dos conceitos levando assim ao desenvolvimento do pensamento matemático.

Palavras-chave “Progressões; História; Situações-problema;

Pedagógico”.

ESTADO DO PARANÁSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

CONTRATO DE CESSÃO GRATUITA DE DIREITOS AUTORAIS

Pelo presente instrumento particular, de um lado Ailton Cesar Monteiro Bach , brasileiro, casado, Professor, CPF nº 742106379-04, Cédula de Identidade RG nº 43888587 residente e domiciliado à Rua das Aleluias 14, na cidade de Palmeira, Estado do Paraná, denominado CEDENTE, de outro lado a Secretaria de Estado da Educação do Paraná, com sede na Avenida Água Verde, nº 2140, Vila Izabel, na cidade de Curitiba, Estado do Paraná, inscrita no CNPJ sob nº 76.416.965/0001-21, neste ato representada por seu titular Yvelise Freitas de Souza Arco-Verde, Secretária de Estado da Educação, brasileiro, portadora do CPF nº 392820159-04, ou, no seu impedimento, pelo seu representante legal, doravante denominada simplesmente SEED, denominada CESSIONÁRIA, têm entre si, como justo e contratado, na melhor forma de direito, o seguinte:

Cláusula 1ª – O CEDENTE, titular dos direitos autorais da obra (título ou descrição do texto / poesia / letra de música / ilustração / fotografia / filme / painel / pintura / obra / discurso / palestra / melodia / outros arquivos de áudio / etc.), cede, a título gratuito e universal, à CESSIONÁRIA todos os direitos patrimoniais da obra objeto desse contrato, como exemplificativamente os direitos de edição, reprodução, impressão, publicação e distribuição para fins específicos, educativos, técnicos e culturais, nos termos da Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998 e da Constituição Federal de 1988 – sem que isso implique em qualquer ônus à CESSIONÁRIA.

Cláusula 2ª – A CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra autoral ao qual se refere a cláusula 1.ª deste contrato em qualquer tipo de mídia, como exemplificativamente impressa, digital, audiovisual e web, que se fizer necessária para sua divulgação, bem como utilizá-la para fins específicos, educativos, técnicos e culturais.

Cláusula 3ª – Com relação a mídias impressas, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra em tantas edições quantas se fizerem necessárias em qualquer número de exemplares, bem como a distribuir gratuitamente essas edições.

Cláusula 4ª – Com relação à publicação em meio digital, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra, objeto deste contrato, em tantas cópias

quantas se fizerem necessárias, bem como a reproduzir e distribuir gratuitamente essas cópias.

Cláusula 5ª - Com relação à publicação em meio audiovisual, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar e utilizar a obra, objeto deste contrato, tantas vezes quantas se fizerem necessárias, seja em canais de rádio, televisão ou web.

Cláusula 6ª - Com relação à publicação na web, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra, objeto deste contrato, tantas vezes quantas se fizerem necessárias, em arquivo para impressão, por escrito, em página web e em audiovisual.

Cláusula 7ª – O presente instrumento vigorará pelo prazo de 05 (cinco) anos contados da data de sua assinatura, ficando automaticamente renovado por igual período, salvo denúncia de quaisquer das partes, até 12 (doze) meses antes do seu vencimento.

Cláusula 8ª – A CESSIONÁRIA garante a indicação de autoria em todas as publicações em que a obra em pauta for veiculada, bem como se compromete a respeitar todos os direitos morais do autor, nos termos da Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998 e da Constituição Federal de 1988.

Cláusula 9ª – O CEDENTE poderá publicar a obra, objeto deste contrato, em outra(s) obra(s) e meio(s), após a publicação ou publicidade dada à obra pela CESSIONÁRIA, desde que indique ou referencie expressamente que a obra foi, anteriormente, exteriorizada (e utilizada) no âmbito do Programa de Desenvolvimento Educacional da Secretaria de Estado da Educação do Paraná – SEED-PR.

Cláusula 10ª – O CEDENTE declara que a obra, objeto desta cessão, é de sua exclusiva autoria e é uma obra inédita, com o que se responsabiliza por eventuais questionamentos judiciais ou extrajudiciais em decorrência de sua divulgação.

Parágrafo único – por inédita entende-se a obra autoral que não foi cedida, anteriormente, a qualquer título para outro titular, e que não foi publicada ou utilizada (na forma como ora é apresentada) por outra pessoa que não o seu próprio autor.

Cláusula 11ª – As partes poderão renunciar ao presente contrato apenas nos casos em que as suas cláusulas não forem cumpridas, ensejando o direito de indenização pela parte prejudicada.

Cláusula 12ª – Fica eleito o foro de Curitiba, Paraná, para dirimir quaisquer dúvidas relativas ao cumprimento do presente contrato.

E por estarem em pleno acordo com o disposto neste instrumento particular a CESSIONÁRIA e o CEDENTE assinam o presente contrato.

Curitiba, 04 de dezembro de 2009.

______________________________________CEDENTE

______________________________________CESSIONÁRIA

______________________________________TESTEMUNHA 1

______________________________________TESTEMUNHA 2

SEQUÊNCIAS ESPECIAIS

Ailton Cesar Monteiro Bach1

Luiza Takako Matumoto2

RESUMO

O trabalho tem como objeto as progressões aritméticas e geométricas que estão presentes no cotidiano dos alunos e apresenta uma sequência de atividades diferenciadas para estudá-los. É uma proposta para sair do comum ensino aos alunos somente de forma mecânica, pontuada, por meio de fórmulas prontas e o aprendizado pelo uso de técnicas de repetição e tem como intenção ajudar os alunos a compreender as progressões. Para atingir o objetivo, foi realizada a construção de progressão aritmética e geométrica através de relatos históricos curiosos, do uso de situações- problema instigantes e de aplicações cotidianas ilustrativas. Para o desenvolvimento do conteúdo, usou-se também aritmética, álgebra, potenciação, resolução de equações e matemática financeira, entre outras. A intervenção foi em uma turma da 1ª série do ensino médio e teve a TV multimídia, atividades individuais e em grupo e materiais de manuseio como ferramentas de apoio para a execução do trabalho. Verificou-se que para o aluno possa ter sucesso em matemática, não basta ensinar definições, regras, esquemas e treinar tais procedimentos repetidamente, deve-se preocupar muito mais com a compreensão e com a formação dos conceitos levando assim ao desenvolvimento do pensamento matemático.

Palavras-chave: Progressões. História. Situações-problema. Pedagógico.

SPECIAL SEQUENCES

ABSTRACT

The paper studies the arithmetic and geometric progressions that are present in the daily life of students and presents a sequence of different activities to study them. It is a proposal to get out of the ordinary school students only in a mechanical way, punctuated by means of formulas and learning by using techniques of repetition and is intended to help students understand the progressions. To achieve the goal, was carried out the construction of arithmetic and geometric progression through historical accounts curious, use of intriguing problem-situations in everyday applications and illustrations. For the development of content, it also used to arithmetic, algebra, empowerment, solving equations and financial mathematics, among others. The intervention was in a class of 1st grade school and had the TV media, individual activities and group and material handling as tools to support the execution of work. It was found that for students to succeed in mathematics, not just teach definitions, rules, schedules and train these procedures repeatedly, you should worry much more about the understanding and the formation of concepts thus leading to the development of mathematical thinking.

Keywords: Progressions. History. Problem-Situations. Teaching.

1 Profº. de Matemática, SEED, Colégio Estadual Dom Alberto Gonçalves. Rua Santos Dumont, 268 – Centro, Palmeira. Escola Estadual Quero Quero, Colônia Quero Quero, Escola do campo, Palmeira. CEP: 84.130-000. E-mail: ailtonmbach@ibest.com.b r , Professor PDE.2 Profª. Ms. do Departamento de Matemática e Estatística, UEPG, Avenida Carlos Cavalcanti, 4748 – Bairro Uvaranas, Ponta Grossa. CEP: 84.030-900. E-mail:luizapg@gmail.com, Orientadora PDE .

21 INTRODUÇÃO

A realização desta pesquisa justifica-se pelas dificuldades que influenciam o

processo de aprendizagem dos conceitos de sequências especiais, particularmente

de progressões aritméticas e geométricas.

Acreditando que um estudo histórico e uso de situações problema para

introduzir os conceitos são fatores de suma importância para todos os participantes

do processo de ensino aprendizagem, por considerar como um enriquecimento para

as aulas, assim como ser esta uma maneira de fornecer a todos os alunos uma

visão das dificuldades encontradas na época para a construção da teoria do

conhecimento de um conceito. Com o estudo das dificuldades vividas pelos

matemáticos do passado, tem-se a possibilidade de obter algumas explicações a

respeito das dificuldades que se apresentam em tempos atuais.

A preocupação é essencialmente pedagógica, e tem a finalidade de criar

situações que possibilitem surgir discussões para a aprendizagem dos conceitos de

progressões aritméticas e geométricas. Com esse intuito procurou-se buscar

procedimentos diferentes daqueles que atualmente possuem certa preponderância

no ensino de matemática, utilizando a história e situações problema para a

promoção de uma aprendizagem mais significativa.

A intenção é associar o conhecimento atualizado de matemática e suas

aplicações, o que levaria o estudante a perceber a matemática como sendo uma

criação humana, buscando razões pelas quais é feita, assim como as conexões que

existem entre a matemática e as outras ciências ou conhecimentos.

Enfatiza-se em nosso estudo sobre as progressões, as necessidades práticas

e sociais, que frequentemente servem de estímulo ao desenvolvimento de ideias

matemáticas, assim como a percepção por parte do aluno da natureza e do papel

desempenhado pela abstração e generalização na história do pensamento

matemático.

Para que o ensino da matemática possa alcançar esse objetivo, a orientação

do professor é fundamental para o desenvolvimento da investigação como princípio

da aprendizagem matemática, o mesmo deve perceber a necessidade da inserção

em suas aulas de uma dinâmica de investigação, a qual deve ser vista como

3

princípio que norteará o processo educativo, ou seja, como o fator formativo dos

alunos.

Por isso deve-se estimular a curiosidade, o interesse e a criatividade do

aluno, para que ele explore novas ideias e descubra novos caminhos na aplicação

dos conceitos adquiridos e na resolução de problemas.

Assim as aplicações do conhecimento matemático, que incluem a resolução

de problemas, são uma arte intrigante que, por meio de desafios, desenvolve a

criatividade, estimula a imaginação e recompensa o esforço de aprender.

Além disso, as aplicações constituem a principal razão pela qual o ensino da

matemática é tão difundido e necessário, desde o início da civilização até os dias de

hoje e certamente cada vez mais no futuro.

É comum os professores sugerirem que o ensino de matemática seja

realizado em práticas contextualizadas, ou seja, parta-se de situações do cotidiano

para o conhecimento elaborado cientificamente. Entretanto, ficar apenas na

perspectiva do dia-a-dia é ensinar matemática sob uma ótica funcionalista; isto é,

perde-se o caráter científico da disciplina e do conteúdo matemático. Não é com

essa atitude superficial e de senso comum que se entende o ensino de Matemática.

“Os conceitos entendidos como cotidianos são as aparências reais, porém

superficiais, que, ao serem registradas como ideias espontâneas dos indivíduos,

fazem parte do senso comum” (VYGOTSKY, 2000).

“Ir além do senso comum pressupõe conhecer a teoria científica, cujo papel é

oferecer condições para apropriação dos aspectos que vão além daqueles

observados pela aparência da realidade” (RAMOS, 2001).

Procurando nunca se esquecer do caráter científico da disciplina este trabalho

tem por objetivo partir de situações do cotidiano, mostrando que o aluno vivencia a

utilização de sequências, mesmo sem percebê-las. Se as sequências numéricas

seguem uma regularidade, passam passam a se chamar progressões e o importante

é saber quais são os elementos e a ordem em que são colocados.

Aplica-se o conceito dessas sequências em aritmética, álgebra, potenciação e

resolução de equações. Esses conceitos são utilizados em vários exemplos do

mundo real como em aplicações financeiras, crescimento populacional (animal,

vegetal), construção de escadas, crescimento/decrescimento de substâncias

radioativas, altura de uma pessoa no passar do tempo, entre outros.

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Comumentemente progressões é ensinado aos alunos de forma mecânica,

por meio de fórmulas e o aprendizado do uso por técnicas de repetição. Os

conceitos não são construídos e nem abordados historicamente.

Visando mudar essa situação se faz necessário a construção destes

conteúdos através da história e de situações problema, pois a história mostra os

processos geniais que tantos homens encontraram para enfrentar os problemas do

dia-a-dia e as situações problema instigam os alunos na busca de respostas e na

consequente necessidade de aprender os conceitos para solucionar os problemas. É

proveitoso trabalhar os conteúdos sempre que possível e for interessante vinculada

à sua aplicação, pois vale ressaltar que os conceitos, fórmulas e suas

demonstrações não são inventadas, são construídas.

Com respeito ao objeto de estudo através dos tempos, o homem tem

mostrado enorme interesse em sequências numéricas.

Os árabes, hindus e gregos estudaram sequências de números e alguns

grupos chegaram mesmo a atribuir poderes místicos a certas combinações

numéricas.

As sequências numéricas estão estreitamente associadas aos processos de

contagem e com respeito ao objeto de estudo, através dos tempos, o homem tem

mostrado desenvolvimento dos sistemas de numeração. Por essa razão,

encontramos registros de problemas envolvendo diversos tipos de sequências nos

principais documentos das civilizações antigas.

2 POR QUE TRABALHAR COM A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA?

A história pode ser um recurso para atingir o objetivo de formação acima

citado, pois seria uma saída para retirar o aluno da condição passiva. Mesmo com

algumas dificuldades, sua utilização pode tornar a aprendizagem mais significativa.

A história da construção do conhecimento dá oportunidade ao aluno para

estabelecer um diálogo tanto com o professor, quanto com seu objeto de

conhecimento, levando a uma reflexão contínua sobre o ensino dado pelo professor

e as suas experiências.

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O contexto histórico em sala de aula é de grande valor, pois procura que o

aluno veja a matemática como uma criação humana, e o professor tenta criar

condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis e motivos

para estudar história.

O conhecimento histórico pode contribuir para que os alunos reflitam,

formalizem leis matemáticas a partir de certas propriedades e artifícios usados hoje,

mas que foram construídos no passado, o que poderá dar ao aluno a oportunidade

de compreender mais amplamente essas propriedades.

A história da matemática atuaria como um elemento de motivação e geração

de habilidades, cuja apresentação traria o esclarecimento de “porquês” matemáticos

que comumente são questionados pelos alunos em quase todos os níveis de ensino.

3 POR QUE TRABALHAR COM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ?

“ Um dos principais objetivos do ensino da matemática é fazer o aluno pensar

produtivamente e para isso, nada melhor que apresentar-lhes situações problemas

que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las”. ( DANTE, 2000,

p.11).

O aluno precisa compreender o problema, mas não só isto: deve também desejar resolve-lo. Se lhe faltar compreensão e interesse, isto nem sempre será culpa sua. O problema deve ser bem escolhido, nem muito difícil nem muito fácil, natural e interessante, e um certo tempo deve ser dedicado à sua apresentação natural e interessante. (POLYA, 2006, p.5) .

As situações problema propostas, neste trabalho, procuram apresentar uma

sequência que possam desencadear questionamentos e descobertas por parte dos

alunos.

Os problemas são de grande importância, pois a matemática se desenvolveu

pela necessidade de resolver problemas, desde os mais simples presentes no dia-a

dia, até os mais complicados.

Buscam-se com as situações-problema os fatos que de uma forma ou outra

provocam discussões ou estudos.

6

4 INSERÇÃO HISTÓRICA DE SEQUÊNCIAS

Os babilônios (aproximadamente 2000 a.C.) possuíam tábuas de cálculo

muito interessantes onde era comum encontrar sequências de quadrados e cubos

de números inteiros, mas nenhuma delas foi tão extraordinária quanto a tábuas

Plimpton 322 ( 1900 a 1600 a.C.). Numa dessas tábuas, a sequência

1,2,22 , ... ,29 é somada de forma que a série de quadrados 122232.. .102

é achada. Uma sequência numérica como a dada acima em que cada termo, a partir

do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante foi chamada

progressão geométrica. Nesse período, os egípcios utilizavam sequências

numéricas para fazer a decomposição de frações em soma de outras frações, como

indicam os registros encontrados no papiro de Ahmés (entre 2000 e 1700 a.C.). O

papiro de Ahmés data aproximadamente de 1650 a.C. e nada mais é do que um

texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas. No papiro

de Ahmés aparece um dos únicos problemas sobre progressões geométricas do

antigo Egito que é conhecido, sendo ainda o primeiro exemplo de matemática

recreativa. Trata-se de uma progressão geométrica em que o primeiro termo e a

razão são ambos 7. O enunciado do problema está exposto de uma forma estranha

e diz: 7 casas, 49 gatos, 343 ratos, 2401 espigas de trigo, 16807 hectares de trigo.

Supõe-se que Ahmés se referia a um problema, possivelmente já conhecido,

em que cada casa há 7 gatos, cada gato comeu 7 ratos, cada rato comeu 7 espigas

de trigo, cada espiga produziu 7 hectares de trigo e se pretende saber a soma de

todos as coisas enumeradas.

Na civilização grega, encontramos diversos exemplos de sequências

numéricas notáveis. Entre elas destacam-se aquelas estudadas pela escola

pitagórica (séc. VI a.C.) que envolviam números denominados figurados.

Os números figurados são números que podem ser representados por uma

construção geométrica de pontos equidistantes. Se o arranjo formar um polígono

regular, estes números chamam-se números poligonais. Dentro destes vamos

destacar os números triangulares, quadrados e hexagonais.

Os números figurados também podem ter outras formas ou dimensões, como

por exemplo, os números “pentatopes” ou num espaço tridimensional, os números

tetraédricos.

7

Euclides (século III a.C.) apresentou no livro IX de Os Elementos uma regra

que se destinava ao cálculo da soma dos termos de determinadas sequências, as

chamadas progressões geométricas: Se tantos números quantos quisermos estão

em proporção continuada, e se subtrai do segundo e último número iguais ao

primeiro, então assim como o excesso do segundo está para o primeiro, o excesso

do último estará para todos os que o precedem (BOYER, 1974).

Esse enunciado, é claro, é equivalente à fórmula:

an+1−a1a1+a2. ..an

=a2−a1a1

que por sua vez equivale a:

Sn=an .q−a1q−1

O matemático hindu mais importante do século doze foi Bhaskara (1114 a

cerca de 1185). Ele foi também o último matemático medieval importante da Índia, e

sua obra representa a culminação de contribuições hindu anteriores. Conta-se que

Bhaskara tinha uma filha chamada Lilavati. Quando essa menina nasceu, consultou

ele as estrelas e verificou, pela disposição dos astros, que sua filha, condenada a

permanecer solteira toda a vida, ficaria esquecida pelo amor dos jovens patrícios.

Não se conformou Bhaskara com essa determinação do destino e recorreu aos

ensinamentos dos astrólogos mais famosos do tempo. Como fazer para que a

graciosa Lilavati pudesse obter marido, sendo feliz no casamento? Um astrólogo,

consultado por Bhaskara, aconselhou-a a casar Lilavati com o primeiro pretendente

que aparecesse, mas demonstrou que a única hora propícia para a cerimônia do

enlace seria marcada, em certo dia, pelo cilindro do tempo.

Os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio

de um cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro, aberto apenas em

cima, apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base. À proporção

que a água, entrando pelo orifício da base, invadia lentamente o cilindro, este

afundava no vaso e de tal modo que chegava a desaparecer por completo em hora

previamente determinada.

Lilavati foi, afinal, com agradável surpresa, pedida em casamento por um

jovem rico e de boa casta. Fixado o dia e marcada a hora, reuniram-se os amigos

para assistir à cerimônia.

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Bhaskara colocou o cilindro das horas e aguardou que a água chegasse ao

nível marcado. A noiva, levada por irreprimível curiosidade, verdadeiramente

feminina, quis observar a subida da água no cilindro. Aproximou-se para

acompanhar a determinação do tempo. Uma das pérolas de seu vestido

desprendeu-se e caiu no interior do vaso. Por uma fatalidade, a pérola levada pela

água foi obstruir o pequeno orifício do cilindro, impedindo que nele pudesse entrar a

água do vaso. O noivo e os convidados esperaram com paciência largo período de

tempo. Passou-se à hora propícia sem que o cilindro indicasse o tempo como

previra o sábio astrólogo. O noivo e os convidados retiraram-se para que fosse

fixado, depois de consultados os astros, outro dia para o casamento. O jovem

brâmane, que pedira Lilavati em casamento, desapareceu semanas depois e a filha

de Bhaskara ficou para sempre solteira.

Reconheceu sábio geômetra que é inútil ir contra o destino e disse à sua filha:

“Escreverei um livro que perpetuará o teu nome e ficarás na lembrança dos homens

mais do que viveriam os filhos que viessem a nascer do teu malogrado casamento.”

O “lilavati” contém numerosos problemas sobre os tópicos favoritos dos

hindus: equações lineares e quadráticas, tanto determinadas quanto indeterminadas,

simples mensuração, “progressões aritméticas e geométricas”, radicais, tríadas

pitagóricas e outros.

“Há uma lenda famosa sobre o inventor do jogo de xadrez (um sábio

matemático chamado Sessa) . Ele pediu ao rei, como recompensa por sua invenção,

que enchesse os quadrados do tabuleiro de grãos de trigo, colocando um grão no

primeiro quadrado, dois no segundo, quatro no terceiro, e assim por diante, até o

sexagésimo quarto quadrado. O resultado foi assombroso, um número de grãos tão

impressionante que o rei não poderia pagar.”

Já no século XIII, na Europa, o italiano Leonard de Pisa, também conhecido

como Fibonacci (1175-1240), em seu livro Líber Abacci (1202), propôs o problema

dos pares de coelhos (paria coniculorum): Quantos pares de coelhos podem ser

gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos

em um ambiente inteiramente fechado. Deseja-se saber quantos pares de coelhos

podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre

a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois

meses de vida.

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Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo

mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos

jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém-

nascido.

No início do 3° mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que

o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir,

assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto +

1 par com 1 mês de idade + 1 par recém-nascido.

No início do 4° mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já

produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2

pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém- nascidos.

No início do 5° mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já

produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim

teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares (1 mês) + 3 pares recém-nascidos.

No início do 6° mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já

produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13

pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês + 5 pares recém-nascidos.

Esquematicamente temos:

Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano.

Observa-se que a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci,

indica o número de pares ao final de cada mês:

1,1,2,3,5,8,13,21,34 ,...

10

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada

recursividade:

• 1° termo somado com o 2° termo gera o 3° termo

• 2° termo somado com o 3° termo gera o 4° termo

• 3° termo somado com o 4° termo gera o 5° termo

e assim por diante.

Denotando a sequência por an como o número de pares de coelhos ao

final do mês n , poderemos escrever:

a1a2=a3

a2a3=a4

a3a4=a5

a4a5=a6

... ... ...

que é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em função

dos termos anteriores. No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser

144.

Em geral, temos:

an1=an−1an

Além do problema dos coelhos, a sequência de Fibonacci pode ser associada

a outros fenômenos naturais. Entre eles temos o crescimento dos galhos de certas

espécies botânicas.

O termo progressão foi utilizado, pela primeira vez, em 1249, para designar

determinados tipos de sequências, por J. Holiwood - conhecido por Sacrobosco -,

em sua obra Tractatus de Arte Numerandi, publicada somente em 1488.

11

Abraham De Moivre (1667-1754) era um huguenote francês que buscou

abrigo no clima politicamente mais ameno de Londres, depois da revogação do edito

de Nantes em 1685. De Moivre ganhava a vida na Inglaterra como professor

particular e tornou-se amigo íntimo de Isaac Newton.

Há uma lenda interessante envolvendo a morte De Moivre. Segundo ela, De

Moivre teria revelado, certa ocasião, que daí para frente teria que dormir, em cada

dia, quinze minutos a mais do que no dia precedente. E quando essa “progressão

aritmética”, que é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo,

é igual à soma do termo anterior com uma constante atingiu 24 horas, ele de fato

teria morrido.

Johann Friedrich Karl Benz Gauss, físico, matemático e astrônomo alemão,

nasceu a 30 de abril de 1777, em Braunshweig, filho de uma família de camponeses

muito pobres.

Gauss deu sinais de gênio antes dos três anos de idade. Nesta idade

aprendeu a ler e a fazer cálculos aritméticos mentalmente. Aos dez anos de idade,

durante uma aula de matemática seu professor pediu para que todos os alunos

obtivessem a soma dos números de 1 a 100. Em poucos minutos Gauss apresentou

o resultado correto. Até então ninguém era capaz desse feito. Ele se baseou no fato

de que a soma dos números opostos é sempre constante.

A relação de Gauss com as progressões geométricas foi influenciado pelas

ideias do famoso economista Thomas Robert Malthus (1766-1834), em seu trabalho

Ensaio sobre a População. Malthus diz que "As populações crescem em progressão

geométrica ao mesmo tempo em que as reservas alimentares para elas crescem

apenas em progressão aritmética". Assim, a fome acabaria por se impor a toda a

humanidade. As ideias de Malthus, refletidas neste trabalho, foram adotadas pelos

industriais que argumentavam ser prejudicial à sociedade melhorar a condição de

vida dos operários, pois estes assim teriam mais filhos, aumentando a população,

enquanto a quantidade de alimento permaneceria a mesma.

O Darwinismo é a teoria estudada em Biologia, criada por Charles Robert

Darwin. Na doutrina de Darwin também podemos encontrar as progressões

aritméticas e geométricas.

12

5 DESENVOLVENDO SEQUÊNCIAS

Abordaremos os conceitos e propriedades de sequência, com ênfase nas que

possuem uma fórmula bem definida que permite calcular qualquer um de seus

termos. Ou seja, sequências que possuem uma lei de formação que estabelece uma

relação entre o valor de seus termos e sua posição, especificamente, duas das mais

conhecidas: a Progressão Aritmética e a Progressão Geométrica.

As sequências numéricas estão associadas aos processos de contagem e ao

desenvolvimento dos sistemas de numeração.

Sequência é um conjunto no qual se estabelece uma ordem, de tal forma que

cada elemento é associado a uma posição dentro do conjunto.

Logo a sequência está diretamente vinculada à ideia de ordem, pressupondo-

se a existência de um 1º termo, um 2º termo, um 3º termo e assim sucessivamente.

Podemos encontrar sequências em nosso dia-a-dia como a sequência dos

dias de uma semana, da organização dos livros de uma biblioteca, da enumeração

das casas de uma determinada rua, as estações do ano, os números das placas dos

veículos ou ainda se aplicamos dinheiro em um determinado período de tempo, com

rendimento mensal.

Como já sabemos as sequências especiais são chamadas progressões e

podem ser aritméticas ou geométricas.

Para diferenciar bem uma da outra, antes de detalhar cada uma delas, vamos

fazer uso de alguns materiais de manuseio como as moedas e a torre de Hanói.

Consideremos a relação do número de moedas e possibilidade de resultados:

Número de Moedas Resultados1 22 43 84 16

e assim sucessivamente.

13

Dizemos que o número de moedas forma, nessa ordem, uma progressão

aritmética e os resultados também, nessa ordem, formam uma progressão

geométrica.

Consideremos agora a torre de Hanói, aonde teremos o número de discos e a

quantidade mínima de movimentos.

Número de Discos Número de Movimentos1 12 33 74 155 316 63

e assim sucessivamente.

Dizemos que o número de discos forma, nessa ordem, uma progressão

aritmética, e o número de movimentos também, nessa ordem, tende a uma

progressão geométrica.

5.1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

Imaginemos a seguinte situação:

Um contribuinte observou sua conta de água, e verificou que se gastar até

10m³ (10000 litros) paga um valor de R$ 16,35; e que a cada m³ (1000 litros) gasto a

mais vai pagar R$ 2,45. Se este cidadão gastar 21m³ (21000 litros) de água, qual

será o valor que ele vai pagar?

14

Conta de água (m³) Valor (R$)

10 16,35+0.2,45

11 16,35+1.2,45

12 16,35+2.2,45

13 16,35+3.2,45

... ...

Conforme vemos a sequência de valores, podemos deduzir que este cidadão

vai pagar de água 16,35 + 11.2,45 = 16,35+26,95 = 43,30.

Note que, na sequência (16,35; 18,80; 21,25; 23,70,...), cada termo, a partir

do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante (no caso a

constante é 2,45) que como sabemos são chamadas progressões aritméticas.

De um modo geral, chamamos de progressão aritmética toda sequência

numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior

com uma constante r, que é chamada de razão.

As olimpíadas que são realizadas de 4 em 4 anos, são um outro exemplo

disso. Se em 1896 ocorreu à primeira olimpíada temos a seguinte sequência: (1896,

1900, 1904, 1908,...).

5.1.1 TERMO GERAL DE UMA PA

Consideremos um sobrado onde uma escada com oito degraus une o

pavimento térreo ao pavimento superior. Ao pavimento térreo associamos o primeiro

número representado por a1 e aos patamares da escada associamos os respectivos

números obtendo a1 ,a2 , a3 , a4 ,a5 , a6 , a7 , a8 , a9 e ao pavimento superior associamos

o número representado por a10 .

Sendo r a altura de cada degrau, observe que forma, nessa ordem, uma PA

a1 ,a2 , a3 , a4 ,a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 . Se o indivíduo estiver no piso inferior a1 , quantos

degraus deverá subir para atingir o sétimo patamar a7 ?

15

Percebemos que o indivíduo deve subir seis degraus, ou seja 6r . Assim, a7

é igual à soma a16r , isto é: a7=a16r .

Logo, se o indivíduo estiver no piso inferior a1 , não terá subido nenhum

degrau; no a2 terá subido um degrau; no a3 terá subido dois degraus; e assim por

diante. Ou seja: a1=a10r , a2=a11r , a3=a12r , a4=a13r e assim

sucessivamente.

Generalizando, podemos dizer que para subir até o patamar an , o indivíduo

terá subido n−1 degraus. Assim, o patamar an pode ser expresso como

an=a1 n−1 r ,

para qualquer n , sendo que n pertence aos naturais, exceto o zero e r é a

razão.

Essa sentença é chamada de fórmula do termo geral da PA.

5.1.2 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA

Em uma pequena escola na Alemanha, em 1785, o professor propôs a seus

alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois,

um menino de oito anos de idade aproximou-se da mesa do professor e, mostra o

resultado. O professor, admirado, verificou que o resultado estava correto.

Aquele menino viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos:

Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples: o menino

percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a

soma segundo número, 2, com o penúltimo, 99, é igual a 101; também a soma do

terceiro número, 3, com o antepenúltimo, 98, é igual a 101; e assim por diante.

Ele observa que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à

soma dos extremos. Concluiu que:

S100=1100.100

2

Logo como são possíveis cinquenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que

a soma é:

101.50 = 5050

16

Generalizando, podemos concluir que a soma dos n primeiros termos de

uma progressão aritmética qualquer é:

S n=a1an.n

2

5.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

É fato conhecido que o jogo de xadrez se originou na Índia. Foi passado para

o ocidente medieval pelo intermédio dos persas e árabes. Na famosa lenda sobre o

inventor do jogo (um sábio matemático chamado Sessa). Ele pediu ao rei, como

recompensa por ter inventado tão brilhante jogo, que enchesse os quadrados do

tabuleiro de xadrez de grãos de trigo, colocando um grão no primeiro quadrado, dois

no segundo, quatro no terceiro, e assim por diante, até o sexagésimo quarto

quadrado. O monarca, no início admirado com tal ”modéstia”, ordenou que

contassem e lhe entregassem tal quantia. Qual não foi seu espanto quando soube

do resultado total da soma de todos os grãos. Seria o número

18.446.744.073.709.551.616, um número de grãos impossível de se pagar.

Na situação descrita acima os grãos de trigo crescem pelo produto de uma

taxa constante. Como visto antes esse tipo especial de sequência é chamado de

progressão geométrica.

Progressão Geométrica (PG) é toda sequência numérica em que cada termo,

a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante

chamada razão.

5.2.1 TERMO GERAL DE UMA PG

Uma pessoa aplica R$ 10000 ,00 durante quatro meses à taxa de 10 ao

mês. Qual o montante acumulado ao final da aplicação?

17

Capital Aplicado 10000Montante no 1° mês 10000 1000 = 11000Montante no 2° mês 11000 1100 = 12100Montante no 3° mês 12100 1210 = 13310Montante no 4° mês 13310 1331= 14641

Assim o montante acumulado ao final do quarto mês será de

R$ 14641 .

Esse problema pode ser resolvido de um modo muito mais simples. Observe

que o montante acumulado num determinado mês é igual ao do mês anterior

multiplicado por 1,1 :

11000 = 10000 .1,1 ;12100 = 11000 .1,1 ;13310 = 12100 .1,1 ;14641 = 13310 .1,1 .

Portanto o montante acumulado ao final do quarto mês pode ser calculado

como:

M=10000 . 1,1 4

Seguindo o mesmo raciocínio tem-se:

a1=10000;a2=10000.1,1;

a3=10000.1,12 ;

a 4=10000.1,13 ;

a5=10000.1,14 .

Conclui-se que qualquer termo da PG é igual ao produto do primeiro termo

por uma potência da razão, que será denominada q .

Generalizando, obtém-se:

an=a1 . qn−1

que é a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.

5.2.2 SOMA DOS n TERMOS DE UMA PG

Considere que o seu pai comprou uma moto e vai pagá-la em 6 prestações

crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das

seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço pago pela moto?

18

Observe que a sequência das parcelas é uma PG de razão 2 :

( 100 , 200 , 400 , 800 , 1600 , 3200 )

As parcelas representam a soma dos seis termos dessa PG, e indicando essa

soma por S6 , tem-se:

S6=10020040080016003200

Fatorando todos os termos, tem-se:

S6=100100 .2100.22100. 23100 .24100 .25 (I)

Multiplicando pela razão ambos os membros da igualdade acima, obtém-se:

S6 .q=100. 2100 .22100 .23100. 24100.25100 .26 (II)

Subtraindo, membro a membro, as igualdades (II) e (I), tem-se:

S6 .q=100. 2100 .22100 .23100. 24100.25100 .26

−S6=100100.2100.22100.23

100.24100.25

S6 .q−S 6=100 .26−100

Logo:

S6=10026−1

2−1=

10064−11

=100 .63=6300

Ele pagou pela moto R$ 6300 ,00 .

Esse método para somar os termos da PG pode ser generalizado:

Sendo Sn a soma dos n primeiros termos de uma PG de razão q , temos:

S n=a1q

n−1

q−1

5.2.3 SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-

euclidiana.

Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto

geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao

objeto original.

19

A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1cm , é

constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de

etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado L

acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três

novos quadrados de lado L3

. As três primeiras etapas de construção de F são

apresentadas a seguir.

Na etapa 1 a área é:

S= 1x1 cm2 .

Na etapa 2 tem-se a área:

S=113

2

13

2

13

2

=13 19 =11

3.

Na terceira etapa tem-se a área

S=11391

9 2

=113

19

.

Na quarta etapa tem-se a área:

S=113

1927 1

27 2

=113

19

127

.

e assim por diante. Então, a área do fractal é a soma infinita

S=113

19

127

.

Observe que S é a soma dos termos de uma PG infinita: a1=1 e a razão

q=13

.

20

Perceba que a razão está compreendida entre -1 e 1 −1q1 e o número

de parcelas tende ao infinito n∞ , enquanto a expressão qn tende a zero e fica

sendo q n0 . Nessas condições, a fórmula da soma dos n termos de uma PG:

S n=a1q

n−1

q−1

fica:

Sn=a1q

n−1

q−1=a10−1q−1

=a1 .−1q−1

=−a1

q−1=

a1

1−q

Consequentemente a soma dos termos de uma PG infinita, fica definida

como:

S=a1

1−q , com −1q1

Logo a soma da área do fractal F é:

S=1

1−13

=123

=32= 1,5 cm2

6 ATIVIDADE LÚDICA E SITUAÇÕES-PROBLEMA

Para uma melhor compreensão e diferenciação entre PA e PG, outros

exercícios com situações problema foram dados. Alguns deles foram relacionados

com física, biologia e com juros. Um exemplo foi: “Durante nove semanas, um

biólogo estudou o crescimento de uma planta. Observou que na primeira semana a

planta havia crescido 16 mm . Constatou ainda que em cada uma das oito

semanas seguintes o crescimento foi a metade do da semana anterior. Quanto

cresceu a planta nessas nove semanas?”

Para fixar o conteúdo trabalhado foi dado uma atividade lúdica, que

chamaremos de corrida.

Instruções: Com um tabuleiro que representa a trilha do caminho a ser

percorrido, pinos que representam a equipe participante e um baralho com questões

21

sobre progressões aritméticas e geométricas que indicam quantas casas cada

participante deve percorrer caso acerte a questão ou quantas deve recuar caso erre.

Dividi-se a turma em equipes e para saber quem começa é feito um sorteio. A

primeira equipe deve virar a primeira carta da pilha e seguir as instruções da

mesma, respondendo a questão proposta e andando ou recuando tantas casas

quanto indicar, caso acerte ou erre a questão. Os demais grupos devem fazer o

mesmo, seguindo a ordem do sorteio dos grupos. Ganha o jogo a equipe que cruzar

primeiro a linha de chegada.

O andamento das equipes no tabuleiro depende da resposta para a questão,

se acertar anda 2 casas e se errar volta 1 casa. Para todas as questões que não

forem respondidas a equipe deve voltar 3 casas e essa carta volta para o final da

pilha. Além disso, há também 3 cartas curinga: uma, passe a vez, outra avance 2

casas e outra volte 3 casas.

7 INTERVENÇÃO

O objetivo desta intervenção foi de trabalhar com progressões aritméticas e

progressões geométricas utilizando a história da matemática e a resolução de

situações-problema.

O trabalho foi desenvolvido na 1ª série C, do ensino médio no período

vespertino do Colégio Estadual Dom Alberto Gonçalves – Ensino Fundamental e

Médio, na cidade de Palmeira.

A turma conta com 36 alunos matriculados, sendo que 25% da turma é

oriunda da zona rural. Este trabalho foi uma proposta de intervenção desenvolvida

no ano de 2008, para ser aplicada no primeiro semestre de 2009, e faz parte das

atividades atribuídas aos participantes do Programa de Desenvolvimento

Educacional – PDE. O PDE é um programa de formação continuada, implementado

pela Secretaria de Estado da Educação, em parceria com a Secretaria de Estado da

Ciência, Tecnologia e Ensino Superior e Universidades Públicas Estaduais e

Federais do Paraná, direcionado para a melhoria das práticas docentes e de gestão

escolar, através do aperfeiçoamento dos professores da educação básica.

22

8 DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS DA INTERVENÇÃO

A implementação começou utilizando a TV multimídia para a apresentação de

slides sobre a parte histórica das progressões.

A TV aproxima a sala de aula do cotidiano, a um contexto de lazer, e

entretenimento, que passa imperceptivelmente para a sala de aula. Aproveitando

essa expectativa positiva foi utilizada uma apresentação de slides para iniciar o

conteúdo a ser trabalhado.

Os alunos receberam o conteúdo dos slides em folhas, para que não

precisassem copiar e consequentemente prestassem atenção no que estava sendo

explicado.

Eles acharam muito interessante iniciar um conteúdo de matemática com a

parte histórica, pois quase não se trabalha com a história da matemática e

dificilmente se inicia um conteúdo fazendo-se um histórico dele através de slides.

Logo após a apresentação dos slides sobre a história das progressões, foi

discutido com os alunos:

• Como é contada essa história;

• O que lhe chamou a atenção;

• O que você destacaria;

• O que diz claramente esta história.

Após essa discussão, verificou-se que os alunos compreenderam que a

matemática foi sendo criada ao longo dos séculos, por várias pessoas, para suprir

suas necessidades e das outras. Eles enxergaram que a matemática sempre foi

muito útil para o desenvolvimento das civilizações.

Feita essa discussão sobre a parte histórica, os alunos observaram várias

sequências através de exemplos e chegaram a conclusão que as mesmas estão

presentes no seu dia-a-dia, em seguida foi passado alguns slides sobre uma

sequência famosa chamada de sequência de Fibonacci.

Nestes slides é mostrado o problema dos pares de coelhos e em seguida os

alunos fizeram alguns problemas utilizando essa sequência.

Continuando o desenvolvimento do conteúdo foi mostrada a diferença de

duas sequências especiais, através de materiais de manuseio como moedas e a

torre de Hanói.

23

Jogando uma moeda, em seguida duas, depois três, os alunos observaram

que conforme aumentava o número de moedas o número de possibilidades de cair

cara ou coroa aumentava muito mais rápido. Com essa observação foi feita a

introdução as progressões aritméticas e progressões geométricas, mostrando que o

número de moedas representa uma progressão aritmética (PA) e a quantidade de

possibilidades de cair cara ou coroa representa uma progressão geométrica (PG).

Com a torre de Hanói foi interessante, pois nenhum dos alunos tinha ouvido

falar sobre ela, diante disso foi contada a história da torre de Hanói e em seguida

mostrado como se joga. Após mostrar qual é o objetivo do jogo, foi explicado com

uma torre que conforme aumenta o número de discos numa progressão aritmética o

número de movimentos tende a uma progressão geométrica.

Feita a explicação os alunos receberam torres confeccionadas pelo professor

para jogarem entre eles na sala. Os alunos ficaram animados e começaram a

interagir entre eles e a manusear progressões.

Para começar as progressões aritméticas e mostrar porque ela é uma

sequência especial foi pedido para que os alunos trouxessem a conta de água, a

maioria dos alunos trouxe, e observando elas notei que em algumas tinha sido gasto

mais que a taxa mínima. Os alunos ficaram interessados em saber o que tinha haver

a sua conta de água com uma progressão aritmética. Foi explicado que cada m³

gasto acima da taxa mínima que é de 10m³ mês é somado um valor constante.

Nota-se que esse valor, a partir do segundo, é igual à soma do anterior com uma

constante chamada razão e que sequências como essa são denominadas

progressões aritméticas. Feita essa introdução das progressões aritméticas usando

a conta de água, os alunos compreenderam e se surpreenderam como essa

sequência está presente no seu cotidiano.

Depois de mostrar quando uma sequência é chamada progressão aritmética e

feito atividades para fixar bem essa definição, foi demonstrada a fórmula do termo

geral de uma progressão aritmética, utilizando como exemplo a escada do colégio,

aonde os alunos usam todo dia para chegar a sua sala de aula.

Considerou-se a escada que une o pavimento térreo ao pavimento superior.

Ao pavimento térreo associamos o primeiro número e aos patamares da escada

associamos os números seguintes. Sendo que a razão representava a altura de

cada degrau. Com esse exemplo eles observaram que se algum deles estiver

24

parado no pavimento térreo e quiser subir até o patamar seis, vai ter de subir cinco

degraus, logo se o aluno estiver no térreo não terá subido nenhum degrau, se estiver

no patamar dois terá subido um degrau, se estiver no patamar três terá subido dois

degraus, e assim por diante.

Os alunos entenderam o significado da fórmula através do exemplo e na

sequência fizeram atividades e resolveram outras situações problema.

A soma dos termos de uma progressão aritmética foi iniciada propondo um

desafio para os alunos.

O aluno que somasse em três minutos os números de 1 a 100, sem usar

calculadora, ganharia um prêmio. Após esse desafio foi iniciada a soma dos termos

de uma progressão aritmética contando a história de um menino de oito anos que

em apenas três minutos fez a soma dos números de 1 a 100. Aquele menino viria a

ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Gauss.

Através da história foi mostrado como ele fez a soma e consequentemente

criou a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética.

Após feito o desafio, e contada a história desse menino prodígio a maioria

dos alunos entendeu a importância de se padronizar um conceito por

procedimento.

Para fixar bem a progressão aritmética e iniciar a progressão geométrica,

mostrando novamente a sua diferença foi contada uma lenda famosa sobre o

inventor do jogo de xadrez, só que em vez de grãos de trigo foi usado chocolates.

Como todos os alunos sabem que o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, foi pedido

que eles somassem quantos chocolates ganharia o inventor do jogo de xadrez se

este pedisse como recompensa, um chocolate na primeira casa, dois chocolates na

segunda casa, três na terceira casa, e assim por diante até a sexagésima quarta

casa.

Após a resolução foi pedido que fizessem o mesmo problema, mas agora com

um chocolate na primeira casa, dois chocolates na segunda casa, quatro chocolates

na terceira casa, e assim por diante até a sexagésima quarta casa.

Resolvidos os dois problemas os alunos ficaram surpresos e não imaginavam

resultados tão diferentes. Com esse exemplo foi mostrado como se define uma

progressão aritmética e uma progressão geométrica.

25

Para chegar à fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, foi

utilizada como exemplo a caderneta de poupança. Foi mostrado que se eles aplicam

uma quantia x, durante um determinado tempo a uma taxa y ao mês, teremos após

esse tempo o montante acumulado ao final da aplicação.

Conhecida a fórmula da progressão geométrica, os alunos resolveram

atividades e várias situações-problema para assimilar o conteúdo.

Continuando com o conteúdo, foi iniciada a soma dos termos de uma

progressão geométrica com o seguinte exemplo: Supondo que eles seriam

contratados para trabalhar como vendedores de segunda a sábado nas últimas

semanas que antecederiam o natal e que o dono da loja ofereceu um real pelo

primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que eles receberam no dia

anterior. Num primeiro momento os alunos acharam a proposta humilhante e

recusariam o trabalho, mas com a explicação do exemplo, eles observaram que a

proposta era excelente.

Após ser mostrada a fórmula da soma dos termos de uma progressão

geométrica, os alunos resolveram situações problemas para assimilar o conteúdo.

Em seguida, através de slides, foi mostrado exemplos de fractais. De modo

simples, um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços,

sendo cada um desses pedaços uma reprodução do todo.

Depois da explicação foi iniciada a soma das áreas das partes de um fractal

associada a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita mostrando

que não se pode ver um fractal porque é uma figura limite, mas através das etapas

de sua construção pode-se ter uma ideia da figura toda.

Com o exemplo dos fractais foi determinada a fórmula da soma dos termos de

uma progressão geométrica infinita e em seguida resolvidos exercícios utilizando a

fórmula.

Após encerrar o conteúdo os alunos resolveram atividades com o objetivo de

diferenciar progressão aritmética de progressão geométrica.

Procurando fixar o conteúdo trabalhado os alunos fizeram uma atividade

lúdica.

Essa atividade foi uma corrida feita através de um tabuleiro que representava

a trilha do caminho a ser percorrido, pinos que representavam as equipes

participantes e um baralho com questões sobre progressões aritméticas e

26

geométricas que indicavam quantas casas cada participante deveria percorrer caso

acertasse ou quantas deveria recuar, caso errasse.

Esta forma de trabalhar o conteúdo causou um pouco de relutância, pois os

alunos não estavam acostumados a esse tipo de atividade, mas durante o

transcorrer da atividade observou-se que a mesma promoveu um melhor

entendimento do conteúdo bem como os alunos, entre eles e com o professor

tiveram um melhor relacionamento.

Além de o jogo desenvolver nos estudantes a capacidade de trabalhar em

equipe, oportunizou um melhor entendimento do conteúdo de uma maneira

divertida.

9 CONCLUSÃO

A proposta deste trabalho foi desenvolver uma maneira diferente da

tradicional de ensinar os conteúdos de progressão aritmética (PA) e geométrica (PG)

ao aluno. A finalidade foi de fazer os alunos compreenderem e observarem que há

ligação entre ideias de um escrito que se aprende e que é possível aplicar esse

conhecimento em diversas situações.

Desde o início, foi pensado em desenvolver o projeto em sala de aula, com

alunos de uma 1ª série do ensino médio regular. A partir da experiência

desenvolvida com essa turma foi possível concluir que os objetivos do trabalho foram

atingidos satisfatoriamente.

Durante a execução do projeto a maior dificuldade encontrada na turma foi o

comprometimento dos alunos, os quais acharam que PA e PG seriam apenas mais

um conteúdo para se “decorar” fórmulas, mas isso mudou conforme a intervenção foi

ocorrendo.

Outro ponto foi que o desenvolvimento do trabalho demandou mais tempo

que o normal para um único assunto e por isso, um projeto amplo como esse, se

mostra praticamente impossível de aplicar a todos os conteúdos durante o ano letivo.

Se o fosse, em virtude disso os alunos seriam prejudicados, pois não receberiam

todo o conteúdo programado e necessário para aquela série.

27

Foi trabalhado junto com os alunos a diferença entre progressão aritmética e

geométrica, utilizando materiais de manuseio como a torre de Hanói e as moedas.

Verificou-se que essa ferramenta foi válida, pois motivou os alunos e o resultado

esperado foi alcançado.

Dando continuidade ao conteúdo foi usada a TV multimídia para explanar

sobre progressões em diferentes momentos históricos. Foi uma ferramenta útil

porque deu agilidade e facilitou o processo de mostrar que a matemática faz parte

da história do ser humano, foi construída por ele ao longo dos séculos e está viva e

em constante transformação.

Em seguida os conceitos matemáticos foram abordados por meio de

situações-problema. As resoluções desses problemas foram o ponto de partida para

a construção dos conceitos. Dessa forma foi possível expressar conceitos

matemáticos em uma linguagem não necessariamente formal, pelo uso de um

vocabulário mais acessível, sem abrir mão do necessário rigor matemático, tudo em

prol de uma melhor compreensão. Na sequência houve a oportunidade de se ver as

demonstrações mais formais dos mesmos, onde é passado um melhor entendimento

mostrando a necessidade, a generalização e a padronização de um conceito por um

procedimento.

No que diz respeito às aplicações dos conceitos em nosso cotidiano, alguns

alunos se conscientizaram com as atividades aplicadas que alguns desses conceitos

estavam presentes no nosso dia-a-dia em diferentes situações.

Para fixar o conteúdo trabalhado optou-se por fazer uma atividade lúdica.

Esta forma de trabalhar o conteúdo, causou um pouco de relutância, pois os alunos

não estão acostumados a esse tipo de atividade, mas durante o transcorrer da

atividade observou-se que a mesma foi estimulante e promoveu um melhor

entendimento do conteúdo bem como os alunos entre eles e com o professor

tiveram um melhor relacionamento. Foi uma boa escolha, uma vez que promoveu

outros benefícios como a sociabilidade, a interação e estimulou a capacidade de

trabalhar em grupo.

Pode-se observar que a matemática como um todo, se mostra importante na

medida em que a sociedade necessita e se utiliza dos conhecimentos dessa área,

que por sua vez são essenciais para a inserção das pessoas como cidadãos no

mundo do trabalho, da cultura e das relações sociais.

28

Os alunos perceberam que a matemática não é uma disciplina em que só se

trabalha com um grande número de fórmulas sem sentido e com cálculos

intermináveis.

O resultado obtido mostrou que ensinar matemática de uma maneira diferente

da tradicional aos alunos, às vezes é viável.

Esse tipo de proposta é interessante em relação a alguns conteúdos e seria

proveitoso aplicar a outras turmas e séries para promover a um melhor

entendimento do que é matemática.

Portanto para que o aluno possa ter sucesso em matemática é necessário,

preocupar-se muito mais com a compreensão e com a formação dos conceitos que

levam ao desenvolvimento do pensamento matemático do que ensinar definições,

regras, esquemas e treinar tais procedimentos repetidamente.

10 REFERÊNCIAS

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FACCHINI, Walter. Matemática. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.

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