DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · Às minhas amigas, Elisangela, Fátima, Marilise e Rosângela...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

Universidade

Estadual de Londrina

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL –SEED/PR

CADERNO PEDAGÓGICO – A NOÇÃO DE FUNÇÃO POR

MEIO DA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

ANA MÁRCIA MILANI PEREIRA

Londrina

2010

ANA MÁRCIA MILANI PEREIRA

CADERNO PEDAGÓGICO - A NOÇÃO DE FUNÇÃO POR MEIO DA

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

Trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR sob orientação da Profª Ms. Magna Natalia Marin Pires.

Londrina

2010

DEDICATÓRIA

Ao Altair, marido e companheiro,

pelo apoio e incentivo.

Aos meus filhos, Lucas e Mariana,

motivo de orgulho.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por mais esta oportunidade em minha vida e por me sustentar nos

momentos difíceis.

À minha orientadora, Magna Natalia Marin Pires pela paciência, disponibilidade e

pelos seus ensinamentos que tanto me fizeram e, ainda, farão crescer.

Aos colegas PDE pela troca de conhecimentos, experiências e pela amizade.

Às minhas amigas, Elisangela, Fátima, Marilise e Rosângela pela amizade, carinho e

pelos bons momentos que partilhamos.

À minha família que, com ternura, paciência e amor, soube compreender minha

ausência em alguns momentos que exigiram maior dedicação.

A todos aqueles que, de algum modo, contribuíram para a realização deste trabalho.

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 5

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 6

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................... 8

2.1 A Matemática ....................................................................................................... 8

2.2 A Álgebra ............................................................................................................... 9

2.3 Função ................................................................................................................ 10

3 AS TAREFAS ....................................................................................................... 13

4 OS ALUNOS .......................................................................................................... 15

5 O PROFESSOR ..................................................................................................... 16

6 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO .............................................................. 17

7 AS TAREFAS ........................................................................................................ 18

7.1 Voo em V ............................................................................................................. 18

7.2 Tabela de Números 1 .......................................................................................... 20

7.3 Tabela de Números 2 .......................................................................................... 24

7.4 Mesa de Quadradinhos ....................................................................................... 27

7.5 Padrões em Azulejos .......................................................................................... 30

7.6 Observando a Variação... .................................................................................... 34

7.7 O que escondem os gráficos? ............................................................................. 38

7.8 Passeio a pé ........................................................................................................ 42

7.9 Viagem a Nova Iorque ......................................................................................... 44

7.10 Qual escolher? .................................................................................................. 47

8 REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 49

5

APRESENTAÇÃO

Esse material é um Caderno de Atividades que apresenta uma proposta

de trabalho com o conteúdo de Noção de Função para o Ensino Fundamental que

será aplicado a turmas de oitava série (nono ano). As atividades desse caderno têm

o objetivo principal de fazer com que o aluno desenvolva capacidade de pensar

algebricamente, em diferentes contextos, pensar genericamente, perceber

regularidades, estabelecer relações entre grandezas variáveis e outras. São

atividades de observação, análise e investigação de padrões que favorecem o

desenvolvimento do raciocínio de generalização, chegando ao conceito de Função.

Na Matemática escolar, o estudo das funções tem assumido uma

importância cada vez maior. A exploração da Noção de Funções, por meio das

tarefas deste caderno, permite o estabelecimento de relações entre variáveis, a

busca de padrões e regularidades e a formulação de generalizações. Esta

abordagem pode tornar significativa a utilização dos símbolos e a linguagem

algébrica.

O estudo de Funções proporciona o domínio da linguagem mais utilizada

para a expressão das relações existentes entre grandezas nas mais diversas áreas

do conhecimento. Utilizando-se dessa linguagem podemos analisar interpretar e

descrever diversos fenômenos naturais e sociais, bem como fazer previsões para

uso em desenvolvimento tecnológico, projetos de pesquisa e interações com o meio

que nos cerca.

As tarefas deste Caderno Pedagógico são para alunos de 8ª série ou 9º

ano do Ensino Fundamental. Com algumas variações, estas tarefas podem ser

trabalhadas em séries anteriores, onde a generalização e a noção de função seriam

trabalhadas de forma mais intuitiva, sem grande preocupação com a notação mais

formal. No Ensino Médio, algumas destas tarefas podem ser trabalhadas e

aprofundadas tratando de conteúdos como domínio, contradomínio e imagem de

uma função e poderiam ser usadas para introduzir Progressão Aritmética e

Progressão Geométrica.

6

1. INTRODUÇÃO

Constata-se que, muitas vezes as crianças chegam a escola gostando de

Matemática e com o passar dos anos esse gosto passa a ser um sentimento de

repulsa, desinteresse e incapacidade diante dela. Os motivos são vários, dentre eles

podemos destacar: formação inadequada do professor, condições inadequadas de

trabalho, dificuldades de aprendizagem dos alunos, desvalorização da escola,

currículos e programas de ensino ultrapassados, etc.

Deve-se considerar que o conhecimento matemático não é um conjunto

de ideias prontas e procedimentos repetitivos que devem ser memorizados. Mas,

pelo contrário, deve ser visto como um processo significativo que está em

construção e que permiti aos alunos estabelecer relações entre fatos e conceitos.

Quando o aluno chega à escola, ele já possui alguns conhecimentos de

Matemática e faz uso de sistemas expressivos como símbolos. Portanto, na

formação de conceitos matemáticos, segundo Miguel (2005), é importante levar em

conta: (i) as situações vivenciadas por eles fora da escola; (ii) que a Matemática

evolui formando um todo orgânico e flexível; (iii)organizar as ideias matemáticas em

articulação com as diversas áreas do conhecimento; (iiii)incentivo ao raciocínio

criativo, ao cálculo mental e ao desenvolvimento da capacidade de estimativa. Esta

maneira de proceder é que poderá fazer com que aprender Matemática tenha mais

significado, seja mais prazeroso e que essa aprendizagem seja duradoura.

Em se tratando do assunto Álgebra, Pensamento Algébrico e mais

especificamente, Funções, faz-se urgente uma retomada na reorganização

curricular, em adotar novas estratégias metodológicas, repensar o papel do

professor, o envolvimento de toda a comunidade escolar, possibilitando pensar a

Matemática na escola como um processo de formação de conceitos.

Para tanto é importante oportunizar situações em que os alunos

questionem, reflitam, explorem e estabeleçam conexões matemáticas para

acontecer, de maneira efetiva, a aprendizagem. Tarefas que estimulam a percepção

7

e exigem do aluno a organização de regularidades prepara o aluno para a

aprendizagem da Álgebra.

O pensamento algébrico pode ser desenvolvido desde as primeiras séries

de escolaridade. Para isso é preciso submeter o aluno a atividades que o levem a

estabelecer relações; fazer comparações entre padrões geométricos, numéricos, e

situações que apresentem regularidades; desenvolver algum tipo de processo de

generalização; perceber e expressar regularidades; desenvolver uma linguagem que

o torne capaz de expressar-se matematicamente.

Escrever matematicamente, fazendo uso da simbologia adequada, é

ponto importante na construção do raciocínio algébrico. Essa habilidade é

desenvolvida quando o aluno realiza atividades sobre sequências, ressaltando sua

regularidade. Tais atividades fazem com que os alunos formalizem generalizações e,

portanto estimulam o raciocínio algébrico e sua representação por meio de uma

linguagem simbólica.

8

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 A MATEMÁTICA

A Matemática ao longo do tempo e do desenvolvimento da humanidade

contribuiu como ferramenta fundamental para o desenvolvimento da ciência, da

cultura, dos saberes e da tecnologia. Vista muitas vezes, erroneamente, como um

conhecimento pronto, acabado e imutável, ela foi e é construída diante das

necessidades e dos problemas enfrentados pela sociedade ao longo do tempo. Foi

historicamente construída e desenvolvida para atender necessidades sociais e

teóricas de cada época. Portanto, é preciso conduzir uma prática em sala da aula,

levando em consideração que o conhecimento matemático deve ser situado

historicamente, que faz parte de um contexto cultural e foi sendo desenvolvido a

partir da necessidade do homem e da sociedade.

De acordo com D’Ambrósio (2009, p.86), ”A missão da escola é conduzir

uma educação renovada, que leve a um sistema de valores que seja transcultural e

transdisciplinar, recusando os fundamentalismos”. É preciso desenvolver no aluno,

além dos conhecimentos matemáticos, valores como a ética, o respeito,

solidariedade e cooperação com o outro que são valores imprescindíveis ao ser

humano. Portanto, é preciso repensar o papel da escola e um novo currículo

fundamentado não na transmissão de conteúdos disciplinares, mas no fornecimento,

aos alunos, de instrumentos intelectuais que permitam acessar, socializar e ampliar

o conhecimento.

D’Ambrósio (2009, p.90), escreve que a Matemática é um produto do

pensamento humano e tem muito a ver com as percepções que o homem tem de

tempo e espaço. A partir daí a matemática gerou uma sequência, uma lógica interna

e um estilo próprio, que constituem um sistema formal. Uma preocupação que afeta

a todos é o mau desempenho das crianças e jovens na escola. As causas, segundo

D’Ambrósio (2009, p.91), não estariam nas crianças e nos jovens que gostam de

coisas novas, são curiosos e interessados em novidades e nem nos professores que

são dedicados, mas sim no conteúdo que se pretende transmitir, dominado pelo

9

formalismo. É obsoleto, desinteressante e inútil. Uma maneira de rejeitar é ir mal nas

provas.

O conhecimento matemático deve ser capaz de desenvolver no indivíduo,

relações necessárias para a vida em sociedade. Deve subsidiar o desenvolvimento

de um pensamento criativo, e precisa dar suporte necessário, principalmente nos

dias atuais, para que o aluno consiga lidar de maneira positiva com informações e

com a tecnologia.

2.2 A Álgebra

Nas escolas o ensino da álgebra está centrado no domínio de técnicas

que os alunos devem adquirir para resolver exaustivos exercícios, sendo que já

temos softwares que ajudam o professor a demonstrar e explorar conceitos

importantes como as funções e seus gráficos. No passado era necessário o domínio

de técnicas para resolver problemas e estudar funções, pois tudo era feito com lápis

e papel. Hoje, com os computadores todas essas técnicas tornam-se secundárias,

sendo importante ver a álgebra como estudo de relações entre quantidades, meio de

resolver problemas e ainda como aritmética generalizada.

O conceito de Álgebra é muito abrangente e possui uma linguagem permeada por convenções diversas de modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples manipulação dos conteúdos abordados isoladamente. Defende-se uma abordagem pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e tragam significado aos conteúdos abordados. (PARANÁ, 2009, p.52)

Os conceitos algébricos deverão ser trabalhados em todas as séries da

educação básica, evoluindo, por meio do trabalho com classificações, padrões e

relações, operações com números inteiros, explorações de funções, de forma

gradativa. Embora os conceitos sejam algébricos, não significa que os alunos desde

cedo terão que utilizar o simbolismo da Álgebra. Quando os alunos reconhecem,

comparam e analisam padrões, além de constituir um elemento importante do

desenvolvimento intelectual, também estão desenvolvendo o pensamento algébrico.

A experiência prática mostra também que o ensino direto de conceitos é impossível e infrutífero. Um professor que tenta fazer isso geralmente não obtém qualquer resultado, exceto o verbalismo vazio, uma repetição de

10

palavras pela criança, semelhante à de um papagaio, que simula um conhecimento dos conceitos correspondentes, mas que na realidade oculta um vácuo. (Vygotsky, 1998, p. 104)

A Álgebra deve ser um fio condutor desde as séries iniciais, os

professores poderão construir uma base sólida com base na compreensão como

preparação para um trabalho algébrico mais aprofundado posteriormente. Quando o

professor realiza atividades com seus alunos sobre padrões poderá vir a

desenvolver a compreensão da noção de função e, atividades com os números e as

suas propriedades embasam o trabalho posterior com símbolos e expressões

algébricas.

Para muitos a Álgebra se resume em resolução de equações e

simplificação de expressões algébricas. Os símbolos algébricos e os procedimentos

de trabalho com os mesmos são importante nos trabalho matemático, mas a

Álgebra, segundo Portugal (2008) é:

[...] mais do que a manipulação de símbolos. Os alunos necessitam de compreender os conceitos algébricos, as estruturas e os princípios que regem a manipulação simbólica, e o modo como os próprios símbolos podem ser utilizados para registrar idéias e tirar lições face a certas situações. Hoje em dia, as tecnologias informáticas conseguem produzir gráficos de funções, executar operações com símbolos e instantaneamente efectuar cálculos envolvendo colunas de dados. Actualmente os alunos necessitam de aprender a interpretar as representações e a usar a tecnologia, de forma eficaz e criteriosa. (PORTUGAL, p. 39)

2.3 Função

A Matemática ocidental sofreu várias influências. Primeiro com os gregos

com uma visão geométrica, depois com os árabes, utilizando a Álgebra, mas sem se

preocuparem com as suas aplicações. Nos séculos XVI e XVII, com a introdução

dos infinitésimos e do Cálculo Diferencial e Integral, a Matemática ocidental pode dar

um grande salto teórico e isso só foi possível com a construção do conceito de

Função.

Segue um resumo da história da função, do livro de Bourbaki, que pode ser

encontrado em Ferreira (2001):

O conceito de função aparece bem tarde na história da matemática, apesar de ser central principalmente no cálculo. Ele foi usado desde os egípcios,

11

babilônios e gregos antes de Cristo, e mesmo na Europa do século XVI “implicitamente”, como dizem os historiadores. Nos papiros egípcios e nas tábuas babilônicas já temos representações de funções em forma de tabelas; na Grécia antiga ela aparece como gráficos de curvas, principalmente em Arquimedes e Apolônio. Na Europa da Idade Média, iniciou-se a busca da expressão algébrica de uma função e quem primeiramente, pelo que se sabe, preocupou-se com isto foi Oresme (1323-1387), na França, ele procurava a dependência das duas magnitudes velocidade e tempo. Leibniz (1646-1716) usa pela primeira vez a palavra “função” como um termo para designar as várias quantidades geométricas associadas com a curva, elas eram “funções” da curva. Depois dele, John Bernoulli, em 1698, adota a terminologia de Leibniz – função – para uma magnitude variável, uma quantidade que é composta de qualquer maneira possível desta variável e de constantes. Euler, que foi aluno de Bernoulli, em 1748 escreveu que: “Uma função é um valor variável numa expressão analítica, que é composta do valor variável e valores constantes”. Então, para Bernoulli e Euler a função era o que hoje chamamos do “valor da função” e não exigiam a unicidade. Euler dá como exemplo de função a raiz quadrada de uma variável. Para ele, também só tinha sentido funções contínuas, mas já assumiam que a função podia ter duas representações, sua expressão analítica e a “curva traçada a mão livre”. Fourier (1768-1830) restringe de alguma maneira o domínio de definição da função, que não era para qualquer número, mas poderia ser só para um intervalo, mais geralmente para um conjunto. Outro fator importante estudado por Fourier foi o de funções não contínuas. Finalmente, em 1837, aparece a definição de Dirichlet que introduz o sentido mais amplo de função, a que conhecemos até hoje: “A função f: A B consiste de dois conjuntos não vazios, o domínio A e a imagem B, e de uma regra que faz corresponder a cada xA um único elemento yB. Esta correspondência é denotada por y=f(x) ou x f(x). Dizemos que y é a imagem de x e que x é uma imagem inversa de y. (BOURBAKI, apud FERREIRA , 2001, p. 6-8).

O conceito de Função permitiu “estabelecer uma correspondência entre

as leis matemáticas e as leis geométricas, entre as expressões analíticas e os

lugares geométricos (conjunto de todos os pontos que gozam de uma mesma

propriedade)” (CARAÇA, 2002, p.130-131).

Até hoje, um dos processos mais utilizados nas escolas é o da

memorização da definição dos conceitos que não leva à formação de conceitos.

Para Vygotsky, a palavra é muito importante na construção de um conceito: “as

palavras exercem a função de conceito e podem servir como meio de comunicação

muito antes de atingir o nível de conceitos característico do pensamento plenamente

desenvolvido” (VYGOTSKY, 1989, p.48).

Muitas vezes, o estudo de Funções inicia-se com a análise de exemplos

de correspondência entre conjuntos ou simplesmente com a introdução da definição

de Função de maneira abstrata, sendo esta uma das razões pela qual os alunos

apresentem dificuldades na compreensão deste conceito. Enquanto que o trabalho

12

com sequências de padrões e situações-problemas podem facilitar a aprendizagem

de Função e embasar a construção do seu conceito.

No trabalho com sequências, os alunos podem desenvolver atividades

importantes, como: (i) o reconhecimento da existência de um padrão numa

sequência; (ii) a construção da sequência; (iii) prever os termos seguintes numa

sequência; (iv) descobrir a regra de formação da sequência; (v) generalizar essa

regra através de palavras ou símbolos algébricos. Com este tipo de atividades, os

alunos poderão compreender melhor a noção de Função.

13

3 AS TAREFAS

As tarefas serão desenvolvidas no segundo semestre do ano letivo. Serão

tarefas investigativas e desafiadoras, em que os alunos terão que explorar

situações-problemas, levantar questões, organizar dados, construir conjecturas,

testá-las e validá-las.

Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), sugerem algumas estratégias de ação,

dividindo-as em três fases em uma aula de investigação: introdução da tarefa, a

realização da investigação que pode ser individual, em pares ou pequenos grupos

e, por último, a discussão dos resultados realizada no grande grupo.

A introdução da tarefa deverá ser feita com dinamismo, pois dela

depende o seu sucesso. O professor deve apresentá-la de maneira clara, seja por

escrito ou complementando com uma explicação oral, sem detalhar demais para não

atrapalhar a investigação.

A tarefa poderá ser apresentada por escrito, sem a discussão inicial do

enunciado, e isso exigirá uma atenção maior aos alunos, por parte do professor

durante o desenvolvimento da mesma, ou poderá distribuir o enunciado por escrito e

para complementar faz-se uma apresentação oral para toda a turma, tomando o

cuidado para não fazer muitos comentários, atrapalhando a investigação.

Durante a realização da investigação, o professor deve evitar dar

respostas, assumindo uma atitude questionadora. Porém, o professor deverá

orientar os grupos que estão com dificuldades, para que a investigação possa

caminhar. Ou ainda, quando a investigação está levando os alunos por caminhos

que não levarão a encontrar respostas, ele deverá dar um tempo para que

descubram seus erros. Caso isso não aconteça, antes que eles se desanimem, o

professor deverá orientá-los.

A discussão final com a turma toda, que também poderá ocorrer durante

a realização da investigação quando necessário é o momento de reflexão sobre a

investigação realizada. Ela permite aos alunos compararem suas hipóteses,

14

estratégias e justificações com outros grupos. É o momento de clarificarem as

idéias, sistematizarem as conclusões e validarem os resultados.

De acordo com Fernandes, Fiorentini e Cristóvão quando existe uma

grande quantidade de grupos na sala de aula, para

[...] evitar a socialização de resultados parecidos ou repetitivos na fase final de uma IM

1, João Pedro da Ponte, em um Seminário realizado na Unicamp,

sugeriu reduzir o número de grupos que apresentarão seus resultados, procurando alterná-los de uma tarefa para outra. (2005. p. 22).

1 IM – Investigação Matemática

15

4 OS ALUNOS

As tarefas serão realizadas em pares ou em pequenos grupos de três

elementos. As tarefas serão de investigação possibilitando a troca de ideias e o

desenvolvimento das capacidades de comunicação e argumentação tanto na

interação do pequeno grupo como na discussão em grande grupo. Há momentos em

que o trabalho será individual, mas em seguida, deverão trocar ideias com seus

pares e comparar suas resoluções, preparando o momento da discussão no grande

grupo. Deverão registrar as conclusões a que chegaram, para mais tarde colocá-las

para toda a sala. É o momento da partilha.

Para que as tarefas se desenvolvam de maneira harmoniosa é necessário

o respeito às opiniões dos colegas, o saber ouvir e o saber falar. Deverão expressar

seus pensamentos de maneira clara e precisa. A discussão no grande grupo será

um espaço para

(i) esclarecer dúvidas;

(ii) corrigir erros;

(iii) sistematizar conceitos fundamentais e

(iv) construir novos conhecimentos.

16

5 O PROFESSOR

De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), os papéis do professor

numa aula de investigação são os seguintes:

desafiar os alunos: os alunos deverão sentir-se motivados ao iniciar uma

atividade investigativa, em um ambiente adequado, com questões que sejam

desafiadoras;

avaliar o progresso dos alunos: acompanhar, de perto, o trabalho em

grupo, recolhendo informações sobre o desenrolar da investigação.

Compreender o pensamento dos alunos, fazendo perguntas e pedindo

explicações, com muita paciência, se esforçando para compreendê-los;

raciocinar matematicamente: muitas vezes, os alunos poderão levantar

conjecturas (hipóteses) em que o professor não pensou anteriormente. Para

isso ele deverá esforçar-se em entender o que o aluno está dizendo e

aproveitar a oportunidade para demonstrar como é pensar matematicamente

realizando o teste de conjecturas;

apoiar o trabalho dos alunos: numa aula com investigações, o professor

deve adotar uma postura interrogativa para clarificar as ideias, tanto para a

turma quanto para ele mesmo. Muitas vezes quando o aluno pergunta, o

professor deve devolver a pergunta para que ele pense de maneira melhor

sobre a questão. Uma das vantagens em adotar uma postura interrogativa

nas aulas é de que os alunos entendem que o papel do professor é de apoiar

e não dar todas as respostas. Às vezes é necessário o professor recordar

conceitos estudados para que o fluxo da investigação não se perca. O

professor deve também promover a reflexão dos alunos sobre suas

investigações, ajudando-os a fazer uma síntese da atividade.

17

6 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

Para desenvolver o raciocínio algébrico e facilitar a aprendizagem do

conteúdo de Função, foram escolhidas tarefas que exigem observação de

regularidades a partir de sequências e padrões. Os alunos realizarão tarefas com

várias sequências numéricas, geométricas e problemas, que incluem situações

diversificadas possibilitando a compreensão e o envolvimento no processo

investigativo.

Procura-se, por meio dessas tarefas, a identificação de padrões e

regularidades e, sempre que possível a generalização e a expressão dessa

generalidade por meio da linguagem formal desenvolvendo assim o pensamento

algébrico nas relações funcionais.

Para realizá-las, os alunos estarão organizados em pares ou em

pequenos grupos e, deverão discutir com os colegas, resolvê-las e, em seguida,

colocar suas conclusões no grande grupo, envolvendo toda a classe. Assim, terão a

oportunidade de expor suas ideias, ouvir a de seus colegas, interagindo com a

turma, por meio do diálogo e do respeito.

18

7 TAREFAS

7.1 Voo em V 2

OBJETIVOS:

descobrir relações entre números;

identificar a sequências de números;

descobrir o padrão e as regularidades;

generalizar o cálculo dos termos da sequência;

representar relações numéricas por escrito.

Certamente já repararam que algumas espécies de aves migratórias

voam em bando, formando uma configuração em V. Este tipo de organização poderá

ser uma estratégia encontrada por estas espécies para facilitar o vôo e poupar

energia. Não é, pois, de admirar que diversas equipes de cientistas se tenham

dedicado a investigar este tipo de organização, procurando compreender as

vantagens que podem surgir da aplicação deste tipo de conhecimento da natureza à

aviação. Cabe-lhes agora o papel de investigadores...

Na sequência que se segue, cada figura representa um bando, cada

ponto simboliza uma das aves que lhe pertence e, de figura para figura, o número de

aves vai sempre aumentando. Em seguida estão representadas, as primeiras quatro

figuras desta sequência:

2 Tarefa adaptada da dissertação de mestrado Explorando Relações Funcionais no 8º Ano – Um estudo sobre o

desenvolvimento do pensamento algébrico (MATOS, A., 2007, p. 210-211).

1 2 3 4

19

1. Descrevam de que modo podemos construir a figura número 5? Quantos pontos

terão, no total? O que podem dizer quanto às figuras 6 e 7?

2. Quantos pontos terão, no total, a 100ª figura desta sequência? Explique o seu

raciocínio.

3. Existirá alguma figura, nesta sequência, constituída por 135 pontos? Se existir,

determinem a posição em que se localiza nesta sequência. Apresente o seu

raciocínio.

4. Descrevam, por escrito, uma regra geral que permita determinar o número total de

pontos existentes em qualquer figura desta sequência.

CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAREFA:

Esta tarefa envolve a exploração de padrões em sequências associadas a

representações geométricas e em sequências numéricas, com grau de dificuldade

não muito elevado. O estudo dessa sequência pode levar ao reconhecimento dos

números ímpares. É uma oportunidade para que os alunos comecem a sentir-se

mais à vontade na generalização de padrões, recorrendo, ou não, ao uso da

linguagem formal da Álgebra.

A tarefa “Voo em v” apresenta um padrão em que o número de pontos de

cada figura está relacionado com a sua ordem. Os conteúdos matemáticos que

aparecem nesta tarefa são: (i) reconhecimento dos números ímpares; (ii) relação

numérica: entre o número de pontos e a sua ordem; (iii) expressão algébrica: 2p + 1.

Ao determinar a regra geral para calcular o número total de pontos existentes em

qualquer figura desta sequência, o aluno terá uma ideia do que é Função, pensando

em duas grandezas que variam, uma dependendo da outra.

20

7.2 Tabela de Números 13

OBJETIVOS:


identificar sequências simples de números;

generalizar cálculos para a formação das sequências identificadas;

compreender a lei de construção da grelha e utilizá-la em casos semelhantes;

explorar regularidades;

comunicar oralmente e por escrito as conclusões obtidas.

Considerem a seguinte tabela quadrada de números de 0 a 99:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

1- Descubram sequências de números nesta tabela.

1.1. Indiquem-nas.

1.2. Qual a lei de formação de cada uma das sequências que encontraram?

Expliquem-na.

3 Tarefa adaptada da dissertação Álgebra e Pensamento Algébrico de Alunos do 8º Ano (PESQUITA, I., p. 205-

208, 2007).

21

2. Estão indicadas a seguir partes da tabela inicial de 10x10. Completem-nas,

indicando o raciocínio elaborado.

2.1

2.2

2.3

2.4

3

13

26

45

59

16

28

34

22

3. A seguir existem partes de uma tabela de 10x10, mas não sabemos de onde é.

Como é que se poderia completar?

3.1

3.2

a

3.3

a

3.4

a

a

23


O objetivo desta tarefa é de que os alunos levantem todas as sequências

possíveis existentes na tabela. Algumas dessas sequências têm por base a mesma

lei de formação: a adição de um determinado número natural, começando em 0.

Uma outra sequência começa em 9, sendo a lei de formação a adição de 9. Duas

sequências tem uma lei de formação diferente das outras, dado que recorrem

simultaneamente a adições e subtrações. Uma dessas sequência é: 29, 28, 38,

37,47,46,56,55,65,64,74,73,83,82,92,91. E a lei de formação é -1, +10, -1, +10. A

outra é 7,16,25,34,43,52,61,70. Esta última tem por base a diagonal da tabela

começando em 7.

Em seguida, são direcionados a um trabalho de preenchimento de alguns

trechos da tabela em que é exigido inicialmente o cálculo aritmético. A explicitação

do raciocínio e estratégias utilizadas para esse fim deve conduzir à identificação de

regularidades e à generalização (questão 2). Assim, os alunos podem ser capazes

de compreender o pensamento algébrico envolvido e utilizar uma linguagem mais

formal utilizando a letra “a” como parâmetro para definir os termos vizinhos ao termo

que ela representa (questão 3).

Aproveitar a ocasião para introduzir as expressões utilizadas nas

sequências de números tais como ordem e termos, por meio de tabelas:

ordem termo

1 0

2 5

3 10

4 15

n 5n-5

24

7.3 Tabela de Números 24

OBJETIVOS:


generalizar cálculos para a formação das sequências identificadas;

compreender a lei de construção da tabela e utilizá-la em casos semelhantes;

fazer e testar conjecturas;

explorar regularidades;


1. Completem as tabelas de 4x4, 5x5 e 7x7. Indiquem as regras de construção de

cada uma das tabelas (em termos da vertical, horizontal e diagonal).

0

0


210, 2007).

25

0

2. Explicando a estratégia utilizada, completem as partes da tabela, sabendo que

pertencem a uma tabela de:

a) 10x10

b) 5x5

14

14

26

c) 6x6

d) 8x8


A tarefa consiste em construção de tabelas de números de diferentes

dimensões, procurando que os alunos compreendam a relação entre os números

(questão 1).

Em seguida, são direcionados a completarem partes da tabela de

diferentes dimensões, sendo necessário o cálculo aritmético. A identificação de

regularidades e a generalização acontecerão na explicitação das estratégias

utilizadas para esse fim (questão 2).

14

14

27

7.4 Mesa de Quadradinhos5

OBJETIVOS:

encontrar a relação entre a dimensão da mesa e a dimensão do percurso

realizado;

reconhecer esta relação como sendo o menor múltiplo comum das

dimensões;

procurar relações entre a dimensão da mesa, o número de toques e o canto

onde a bola cai;



Uma mesa é composta por quadradinhos e em cada um dos cantos A, B,

C e D existe um buraco que recebe as bolas que lá tocarem.

Suponham um jogo com as seguintes regras:

- A bola começa na posição A

- A bola inicia o movimento através de um toque segundo um ângulo de 45° para o

interior da mesa.

- Se a bola bate num dos lados da mesa, ela continua a sua trajetória segundo um

ângulo de 45º.

- Quando a bola cai num dos buracos do canto, o jogo termina.

Exemplo: As dimensões desta mesa são de 6 por 4.As linhas diagonais indicam o

percurso da bola. A bola parou no canto C ao fim de 5 toques na mesa (um no início,

três ao longo do percurso e um no fim) e percorreu 12 diagonais de quadradinhos.


212, 2007).

28

Imaginem que tinham as seguintes mesas:

Registrem: Dimensões da mesa: ______ Dimensões da mesa:______

Canto onde terminou: _____ Canto onde terminou: _____

Número de toques: _______ Número de toques: _______

Diagonais percorridas: _____ Diagonais percorridas: _____

2. Construam outras mesas e registrem os resultados obtidos.

3. Conseguem prever o número de diagonais de quadradinhos percorridas sabendo

a dimensão da mesa?

4. Será que existe um modo de prever o canto em que a bola irá parar? Quantos

toques terão sido efetuados?

Elabore, em grupo, um relatório escrito.

29


A tarefa ”Mesa de Quadradinhos” consiste numa investigação do

movimento de uma bola ao longo de uma mesa composta por quadradinhos. O

principal objetivo é a descoberta de relações entre números, recorrendo para esse

efeito às dimensões da mesa, ao número de diagonais dos quadradinhos

percorridos pela bola, ao número de toques que a bola dá na borda da mesa e ao

canto em que a bola cai.

Após construírem e registrarem os resultados obtidos com diferentes

dimensões de mesa, a questão 3 levará os alunos a descobrirem a relação existente

entre o número de diagonais de quadradinhos percorridas pela bola e o menor

múltiplo comum das dimensões da mesa. Por exemplo: uma mesa com dimensões

8x6, a quantidade de diagonais de quadradinhos percorridas pela bola será o MMC

(8,6) que é 24. A questão 4 ajudará na descoberta da relação entre os toques da

bola na borda da mesa e o maior divisor comum de suas dimensões. Utilizando o

exemplo acima, a quantidade de toques será T= )6,8(

68

mdc

. O resultado obtido será

T= 2

14 que é T = 7 toques.

30

7.5 Padrões em azulejos6

OBJETIVOS:

representar, analisar, descrever e generalizar padrões por meio de palavras,

tabelas e expressões simbólicas;

estabelecer relações entre quantidades (noção de função);

expressar a maneira de se obter a figura relacionada com sua ordem na

sequência.

reconhecer expressões algébricas equivalentes.

1- Sara tem várias calçadas no jardim. Como quer colocar azulejos nas calçadas,

desenhou o padrão que estes devem ter. As calçadas são de diferentes tamanhos e,

portanto, utilizou pequenos quadrados para construir os azulejos adequados a cada

calçada e numerou os azulejos.

Azulejo Azulejo Azulejo

número 2 número 3 número 4

a) O que é que o número do azulejo representa?

b) Quantos quadrados brancos têm o azulejo número 5? E quadrados cinzentos?

c) Sem desenhar, digam, justificando, quantos quadrados brancos têm o azulejo

número 7? E quadrados cinzentos?

6 Tarefa adaptada da dissertação O Estudo de Padrões e Regularidades no Desenvolvimento de Pensamento

Algébrico (BRANCO, N., p. 212-214, 2008).

31

d) Quantos quadrados, no total, têm o azulejo número 10?

e) O que podem dizer acerca do número de quadrados cinzentos em qualquer

azulejo? Representem as suas conclusões sob a forma de uma expressão.

f) E em relação ao número total de quadrados utilizados em qualquer azulejo?

Representem as suas conclusões sob a forma de uma expressão.

1.1 A Sara decidiu desenhar outro padrão que fosse um pouco mais elaborado. A

figura seguinte mostra a transformação que a Sara fez, no azulejo número 3.

Azulejo número 3 Novo azulejo número 3

Este novo azulejo número 3 tem de comprimento 5 quadrados.

a) Desenhem o novo azulejo número 7 e comparem-no com o anterior azulejo

número 7.

b) A Sara fez um novo azulejo que, com este padrão, tem 53 quadrados de

comprimento. Qual é o número deste azulejo?

c) Qual o número do azulejo que tem, no total, 81 quadrados? Expliquem o

raciocínio de vocês?

d) O Jorge e a Sara tem no total 100 quadrados para desenhar um azulejo. O Jorge

pergunta à Sara se existe um azulejo que utilize exatamente os 100 quadrados. O

que acham?

e) A Sara fez uma tabela para facilmente encontrar o número de quadrados que

necessita para fazer um novo azulejo. Completem a tabela.

32

Número do azulejo

(N)

Número de quadra-

dos cinzentos

Número de quadra-

dos brancos

Número total de

quadrados (Q)

1

2

3 8 7 15

4

5

6

f) O Jorge escreveu uma fórmula direta para calcular o número total de quadrados

(Q) que constituem cada azulejo numerado (N). Escrevam a fórmula que pensam ter

sido usada pelo Jorge e expliquem-na.

g) Usem a fórmula que escreveram no item anterior para calcular o total de

quadrados (Q) que o Jorge precisou para construir os azulejos números 17, 20, 35 e

86. Apresentem os cálculos que efetuaram.

h) Usem a fórmula que encontraram para descobrir qual o número do azulejo que

tem 63 quadrados. Apresentem os cálculos que efetuaram.

i) A Sara e o Jorge gostariam de saber se existem outras fórmulas para encontrar o

número total de quadrados (Q) para cada azulejo numerado (N). A Sara sugeriu a

seguinte fórmula:

Q = (N+2) + (N+2) + (N+2)

Será que esta fórmula também dá o número total de quadrados para cada número

do azulejo? Usem a representação de um azulejo para explicar a resposta de vocês.

j) O Jorge diz que a fórmula Q = 3 x (N + 2) também se pode escrever da forma Q =

3(N + 2). Concordam com ele? Encontrem outra forma de escrever esta fórmula.

33


Esta atividade é uma investigação de um padrão linear. O número total de

quadrados que formam uma figura é o triplo da ordem da figura. Há quadrados

cinzentos e quadrados brancos. Na primeira questão os alunos deverão

compreender o padrão e generalizar as partes do todo. O número de quadrados

brancos é associado à ordem da figura e cada número de quadrados cinzentos é o

dobro da sua ordem; o número total de quadrados é o triplo da ordem da figura,

verificando que n+2n e 3n são equivalentes.

Em seguida, são adicionadas mais duas colunas de quadrados, cada uma

com dois quadrados brancos e um cinzento no meio. O novo padrão ocupa a

mesma posição na sequência, mantendo a ordem com o comprimento diferente. Os

alunos são levados a refletir sobre este novo padrão e a estabelecer novas relações

entre o número e ordem da figura e a quantidade de quadrados utilizada nesse

azulejo.

34

7.6 Observando a variação7

OBJETIVOS:

representar, analisar, descrever e generalizar padrões por meio de palavras,

tabelas e expressões simbólicas;

estabelecer relações entre ordem e termos;

resolver equações simples;



1. Observem as sequências que se seguem e completem os espaços em branco

com o(s) termo(s) que estão em falta:

a) 1,2,3,...,5,6,7,...

b) 2,4,6,...,10,12,14,...

c) 1,3,5,...,11,13,...

d) 3,6,9,12,...

e) 1,4,9,...,49,...

f) 2,4,8,16,...128,...

g) 5, 25, 125, 625,...

h) 1,8,27,...125,...

1.1. Representem cada uma das sequências anteriores preenchendo as tabelas que

se seguem e registrem todas as regularidades que conseguirem encontrar.



35

a) b)

Ordem Ordem

Termo Termo

c)

d)

Ordem Ordem

Termo Termo

e) f)

Ordem Ordem

Termo Termo

g) h)

Ordem Ordem

Termo Termo

1.2. Completem a coluna sombreada, em cada uma das tabelas anteriores, com a

regra geral que permite encontrar qualquer termo de cada uma das sequências (ou

seja, a sua lei de formação).

1.3. O número 81 é simultaneamente, um termo de cada uma das sequências dos

itens c, d e e. Usando a respectiva lei de formação, determinem a ordem a que

corresponde este termo, em cada uma delas.

1.4. Usando uma folha quadriculada, representem graficamente as sequências

anteriores e analise, a partir do gráfico, o modo como vão variando os seus termos,

em cada uma delas.

36

2. Na figura seguinte estão representados diversos números figurados.

a) para cada uma destas sequências, representem as próximas três figuras;

b) escrevam uma sequência de números que possa estar associada a cada

sequência de figuras;

c) descrevam a lei de formação de cada uma dessas sequências de números.

Números Triangulares

Números Quadrados

3. Observem as duas sequências que se seguem:

a) 1,1,2,3,5,8,13,...

b) 1000, 100, 10, ...

3.1. Descreva a lei de formação de cada uma das sequências apresentadas.

3. Descubra qual é o 20º termo de cada uma das sequências anteriores.

37


Nesta tarefa os alunos encontrarão sequências lineares, como: números

naturais, números pares, números ímpares e múltiplos de três; e sequências não-

lineares, como: quadrados perfeitos, cubos perfeitos, potências de base dois e

potências de base cinco.

Quando resolvem esta tarefa, os alunos trabalham também com

sequências onde é possível encontrar facilmente uma relação de correspondência

entre as variáveis e outras que a relação de covariação e a construção recursiva são

mais úteis e intuitivas (questão 2 e 3). Surge a oportunidade para a generalização de

padrões, em que a expressão algébrica deverá ser feita formalmente. Nesta tarefa

são resolvidas equações simples relacionadas com a procura de ordens e termos

que pertençam a cada uma das sequências.

38

7.7 O que escondem os gráficos?8

OBJETIVOS:

identificar termos de sequências representados graficamente;

descobrir o padrão e as regularidades;

generalizar o cálculo dos termos da sequência;

representar relações numéricas por escrito.;

resolver equações simples.

Observem as sequências representadas através dos gráficos que se seguem e

descrevam todas as regularidades que se encontrarem.



41


São apresentados aos alunos, vários gráficos em que estão

representados os nove primeiros termos de cada uma das sequências. Os alunos

deverão associar os gráficos à sequência numérica respectiva. A escala, em cada

gráfico, está pouco explícita, sendo necessário os alunos estimarem os valores que

correspondem a cada termo para conseguirem associar o gráfico à sequência

numérica respectiva. Para determinar esses valores, os alunos recorrerão à

resolução de equações simples, utilizando a letra como número generalizado e

como incógnita.

42

7.8 Passeio a pé9

OBJETIVOS:

interpretar gráficos;

elaborar uma estória representada pelos gráficos;

explorar a relação entre velocidade e inclinação da reta;

compreender a noção de variável e dependência.

Observem os quatro gráficos que se seguem e, com base na informação

que todos eles trazem, escrevam uma história sobre o passeio a pé do José e da

Mariana.

.


desenvolvimento do pensamento algébrico (MATOS, A., 2007, p. 220).

43


Nesta tarefa os alunos deverão escrever uma estória sobre o passeio a

pé do José e da Mariana, baseados na interpretação de gráficos distância-tempo. Os

alunos deverão levar em conta os quatro gráficos simultaneamente. Explorar

intuitivamente, a relação entre velocidade e a inclinação da reta que descreve o seu

movimento. Nesta tarefa, o ponto mais importante é o desenvolvimento da noção de

variável e dependência e, também permiti trabalhar com a comunicação matemática

escrita.

44

7.9 Viagem a Nova Iorque10

OBJETIVOS:

representar funções na forma algébrica, gráfica e por meio de tabelas;

resolver equações simples;


A Mariana participou de um concurso e ganhou uma viagem a Nova

Iorque para passar o fim-de-semana. Entusiasmada com a oportunidade de

conhecer um país que nunca tinha visitado antes, resolveu procurar, na internet,

algumas informações sobre a temperatura local nos próximos dias. Na figura pode

observar a informação que a Mariana encontrou na sua pesquisa, relativa aos dias

21, 22 e 23 de abril de 2009:

Nos Estados Unidos da América, a temperatura é medida em graus Fahrenheit. A

conversão entre graus Fahrenheit e graus Celsius pode ser efetuada usando a

fórmula:



45

Convertam, em graus Celsius, as temperaturas referentes a cada uma das

previsões.

Em que dia é menor a diferença entre a temperatura mínima e a temperatura

máxima registrada em Nova Iorque? De quantos graus Celsius é essa

diferença? Expliquem o seu raciocínio.

Resolvam a equação literal em ordem a F, isolando C.

4. Prevê-se que, em São Paulo, a temperatura máxima registrada no

próximo domingo seja de 20°C. A quantos graus Fahrenheit corresponde esta

temperatura? Justifiquem, apresentando todos os cálculos que efetuarem.

5. Completem a tabela seguinte, acrescentando, nos espaços em branco, outras

temperaturas à sua escolha. Encontram alguma regularidade?

C -20 -15 -10 -5 0 5

F

6. Representem graficamente a função e indiquem se a mesma é, ou não, de

proporcionalidade direta. Justifique a sua resposta.

46


O objetivo nesta tarefa é reforçar o estudo sobre funções fazendo uso de

uma fórmula dada, onde os alunos terão que transformar temperaturas que estão na

escala Fahrenheit para a escala Celsius. Por meio de tabelas e gráficos

representarão e identificarão a proporcionalidade direta da função.

47

7.10 Qual escolher?11

OBJETIVOS:

representar funções na forma algébrica, gráfica e por meio de tabelas;

resolver funções afins;


O Carlos viu dois anúncios de duas companhias telefônicas. A “Contacto”,

oferecia um serviço telefônico com uma mensalidade de R$ 40,00, mais R$ 0,25 por

cada minuto de chamadas. A “Fala-Barato” não possuía nenhuma mensalidade,

embora cobrasse R$0,75 por minuto. Ambas as companhias usam uma tecnologia

que permite cobrar o tempo exato de utilização do telefone; não “arredondam” o

tempo ao minuto mais próximo, como outras companhias concorrentes fazem.

Compare os preços praticados pelas companhias, relativamente ao tempo das

chamadas feitas durante um mês.

http://daniloegle.com.br/wp-content/uploads/2009/11/celulares.jpg

a) Quanto é que cada companhia cobraria por 25 minutos de chamadas? E por 100

minutos?

b) De que forma podemos determinar o preço para quaisquer minutos de chamadas,

no plano de tarifas da “Contacto”? E no plano de tarifas da “Fala-Barato”?

c) Qual a companhia mais barata, se não usarem o telefone frequentemente? E se

usarem com frequência?

d) Se não puderem gastar mais de R$ 100,00 num mês, mas quiserem falar durante

tanto tempo quanto possível, qual companhia será a melhor opção?

11 Tarefa adaptada de Princípios e Normas para a Matemática Escolar (PORTUGAL, A.P.M., 2008. p.263).

48

e) Alguma vez o mesmo número de minutos tem o mesmo preço nas duas

companhias?


Nesta tarefa os alunos deverão fazer uso de tabelas, gráficos e

expressões simbólicas para representar e analisar funções e padrões de variação.

A tarefa apresenta o preço cobrado por duas companhias de telefonia

celular. Para responder as questões propostas, o aluno fará a representação da

função na forma algébrica, gráfica e por meio de tabelas. Nas tarefas anteriores foi

dado ênfase ao ensino e aprendizagem da representação da função na forma

algébrica. Nesta tarefa o foco de atenção deverá ser na representação gráfica

abordando conteúdos como, pares ordenados (tempo, preço) e sistema cartesiano.

Ao construir no mesmo gráfico as duas funções, será visto com facilidade a

intersecção das duas retas em que o mesmo número de minutos terá o mesmo

preço nas duas companhias telefônicas, aproveitando para reforçar o conteúdo

Sistema de Equações que já foi visto em séries anteriores.

49

8 REFERÊNCIAS

BRANCO, Neuza Cristina Vicente. O Estudo de Padrões e Regularidades no

Desenvolvimento do Pensamento Algébrico, p. 212-214. 2008. Dissertação

(Mestrado em Educação) – Universidade de Lisboa, Portugal.

CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 4.ed. Lisboa: Gradiva,

2002.

D’AMBRÓSIO, U. Os fundamentos filosóficos e epistemológicos do e no ensino da

matemática. In: FÁVERO, M. H.; CUNHA, C. (Org.). Psicologia do conhecimento:

o diálogo entre as ciências e a cidadania. Brasília: Liber Livro, 2009. p.85-113.

EGLE, Danilo. Celulares. Disponível em:

<http://daniloegle.com.br/wpcontent/uploads/2009/11/celulares.jpg . Acesso em: 01 de junho de

2010.

FIORENTINI, Dario; FERNANDES, Fernando L. P.; CRISTOVÃO, Eliane M. Um

estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no

desenvolvimento do pensamento algébrico. In: SEMINÁRIO LUSO-BRASILEIRO DE

INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS NO CURRÍCULO E NA FORMAÇÃO DO

PROFESSOR, 2005, LISBOA. Anais...Lisboa: Faculdade de Ciências da

Universidade de Lisboa, 2005. Disponível em:

<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/seminario_lb.htm>. acesso em: 28 set.

2009.

MATOS, Ana Sofia da Silva Mesquita de. Explorando Relações Funcionais no 8º

Ano – Um estudo sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico. 2007.

Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade de Lisboa, Portugal.

MIGUEL, José Carlos. O Ensino de Matemática na perspectiva da Formação de

Conceito: implicações teórico-metodológicas. 2005. Dissertação (Mestrado em

Educação) - Faculdade de Filosofia e Ciências – UNESP. Marília.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação.

Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, 2009.

http://daniloegle.com.br/wpcontent/uploads/2009/11/

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/seminario_lb.htm

50

PESQUITA, Idália Maria Pereira./ Álgebra e Pensamento Algébrico de Alunos do

8º Ano./ 2007./ Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade de Lisboa,

Portugal.

PONTE, J.P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala

de Aula. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2009.

PORTUGAL. Associação de Professores de Matemática APM. Princípios e Normas

para a Matemática Escolar. 2.ed. Lisboa: Gabinete de edição da APM, 2008. p. 38-

45. 105-110. 182-188. 263-272. 352-363.

SEBASTIANI FERREIRA, E. Laboratório de História da Matemática. SBHMat, Natal,

v.7, p.6-8, 2001.

VYGOTSKY, L. S. Pensamento e Linguagem. Tradução Jefferson Luiz Camargo;

revisão técnica José Cipolla Neto. 2. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998.

DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · Às minhas amigas, Elisangela, Fátima, Marilise e Rosângela...

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