O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ

UNIOESTE CAMPUS FOZ DO IGUAÇU

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

PALOTINA – PR

2010

ILIANA SALETE DELAI RIBEIRO

O NÚMERO NO ENSINO DA MATEMÁTICA: HISTÓRIA E APLICAÇÕES EM

SALA DE AULA

Proposta de Caderno Pedagógico apresentado ao Curso PDE – Plano de Desenvolvimento Educacional promovido pela SEED, como Produção Didático-Pedagógica na área de Matemática, sob a orientação da professora Dra. Kelly Roberta Mazzutti Lübeck.

PALOTINA – PR

2010

CADERNO PEDAGÓGICO

1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Iliana Salete Delai Ribeiro

Área: Matemática

NRE: Foz do Iguaçu - PR

Professor Orientador IES: Dra Kelly Roberta Mazzutti Lübeck

IES vinculada: Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE –

Campus de Foz do Iguaçu

Escola de Implementação: Colégio Estadual “Santo Agostinho”

Público objetivo da Intervenção: 8ª série do Ensino Fundamental

2 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE

Geometria.

3 TÍTULO

O Número no Ensino da Matemática: História e Aplicações em Sala de

Aula.

4 APRESENTAÇÃO

Em matemática, assim como em outras disciplinas, o professor pode perceber

em sua rotina pedagogia o quão difícil é para o aluno compreender um assunto

quando este não é abordado sob o ponto de vista da praticidade, do encontro com a

sua realidade.

Trabalhadores em educação, particularmente em educação matemática, se

deparam com muitos problemas que influenciam no interesse e na aquisição do

conhecimento por parte dos alunos. É preciso resgatar o direito a uma educação que

respeite o processo de construção do pensamento.

Baseados nisso, buscamos metodologias para obtermos melhores resultados,

tentando driblar, a todo custo, uma educação que nada acrescenta, passiva e

alienante. Nos últimos anos observamos um crescente aumento pelo uso da

metodologia História da Matemática no ensino da matemática como proposta

pedagógica.

Segundo Miguel e Miorim (2004), podemos buscar na História da Matemática

apoio para se atingir, com os alunos, objetivos pedagógicos que os levem a perceber, por exemplo: (1) a matemática como uma criação humana; (2) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; (3) as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem de estímulo ao desenvolvimento das ideias matemáticas; (4) as conexões existentes entre matemática e lógica, etc.; (5) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de ideias e teorias; (6) as percepções que os matemáticos têm do próprio objetivo da matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo; (7) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova (p. 53).

Quando se faz referência a intervenção na educação com a História da

Matemática, devemos ter o cuidado de não a utilizarmos pura e simplesmente como

um repasse de informações, história de épocas, de estilos de vida e dados pessoais

das pessoas envolvidas no processo.

Segundo Miguel e Miorim

a história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática. Assim, pode promover uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais (MIGUEL e MIORIM, 2004).

Deste modo, este trabalho vem oferecer ao aluno, a possibilidade de trabalhar

matemática com exercícios que apresentam situações e ações que ocorrem em seu

cotidiano e que mostram como, historicamente ocorreu a evolução da matemática.

Nele, apresento atividades que foram elaboradas com a finalidade de evidenciar o

que a metodologia da História da Matemática propõe, esperando assim, que os

objetivos se concretizem de forma mais significativa. Busca-se assim, oportunizar

maior participação e melhor nível de aprendizado ao aluno e consequentemente

mais sucesso em sua empreitada acadêmica.

As atividades aqui apresentadas serão trabalhadas na 8ª série do ensino

fundamental, no período matutino, no Colégio Estadual Santo Agostinho, na cidade

de Palotina - PR e visam, além de um aprendizado significativo dos alunos

envolvidos no processo, incentivar professores a utilizarem estratégias

metodológicas diferenciadas para trabalhar os conteúdos matemáticos. A

implementação do projeto será realizada durante 3º e 4º períodos do programa,

sendo que a princípio se promoverá discussões de socialização e divulgação da

proposta, com gestores do estabelecimento, equipe pedagógica e professores, cujo

objetivo é de que haja um desenvolvimento cooperativo e comprometido durante a

aplicação e avaliação do projeto.

Trabalhar-se-á em específico a história do número PI, o comprimento da

circunferência, a área do círculo e demais idéias matemáticas necessárias para a

apreensão eficiente destes conceitos.

Os conteúdos serão trabalhados utilizando-se uma estratégia metodológica

que possa fazer com que o aluno conheça como a construção matemática se deu no

decorrer da evolução da humanidade.

Em especial, a geometria é uma parte da matemática e tem uma longa

história que remonta épocas anteriores aos gregos, que por sinal, foram os primeiros

a sistematizarem e ampliarem o conhecimento geométrico.

A fascinação pelo e pela determinação (exata) de seu valor acompanha a

matemática desde seu início quando se verificou que tal razão é constante. Dados

históricos apontam que no Antigo Testamento, no Livro de Reis e nas Crônicas, o

valor de era aproximado por 3, já na Babilônia o valor utilizado era de 25/8 e para

os egípcios era 4(8/9)² ou aproximadamente 3.16, valores estes que foram obtidos

por meio de variadas medições. No decorrer do trabalho, criaremos situações

(atividades) que levem a compreensão do raciocínio que se acredita que os egípcios

utilizaram para o emprego da constante 4(8/9)² .

Além disso, matemáticos de várias eras tentaram provar a racionalidade de ,

ou seja, tentaram descrevê-lo como uma razão = p/q, onde p e q são números

inteiros e q é não nulo. Esses estudos culminaram ao se provar que é irracional, ou

seja, não pode ser representado por um número racional na forma p/q. A

irracionalidade de foi demonstrada em 1761 por Johann Heinrich Lambert.

Um dos mais conhecidos matemáticos da antiguidade, Arquimedes, que viveu

por volta do século III a.C. na Grécia, foi também o primeiro matemático a se

preocupar com uma boa aproximação e a obtenção de um método preciso para o

cálculo de PI, sem a preocupação de estabelecer um valor exato para esta

constante. Usando o método dos polígonos, ele mostra que a razão entre o

comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é um número aproximado

pelos valores 3.1408 < Pi < 3.1428, ou seja, está entre as frações 3 10/71 < PI < 3

1/7.

O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da

circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares

inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando.

Partindo de um hexágono regular, Arquimedes calculou os perímetros desses

polígonos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono

de 96 lados. Com esse perímetro calculado, ele definiu que o valor de estaria entre

3,1408 e 3,1428.

As atividades apresentadas neste material didático-pedagógico oportunizam a

apropriação do conhecimento por meio da história da matemática, visando despertar

a curiosidade do aluno e instigar a busca de estratégias para a execução das

tarefas.

5 PROPOSTA DE ATIVIDADES

ATIVIDADE 01: Redescobrindo o número Pi.

Introdução

A escola necessita formar cidadãos matematicamente alfabetizados, que

saibam como resolver, de modo inteligente, os problemas do dia a dia como também

os de economia, comércio, administração, engenharia, medicina e outros que por

ventura vierem a surgir. Para isso, é necessário que o aluno seja um estudante

participativo e atuante, tome decisões rápidas e precisas diante de situações novas,

habilidades que podem ser desenvolvidas em trabalhos de experimentos elaborados

de forma contextualizada, utilizando-se de material do cotidiano do aluno.

Objetivo

Resgatar o sentido do trabalho em equipe despertando o interesse dos alunos

em trabalhar uma atividade prática, utilizando objetos conhecidos e mostrando que a

matemática historicamente construída se aplica no dia a dia.

Materiais

- Latas de base circular e tamanhos diferentes;

- Cordão/barbante;

- Réguas de 30 cm;

- Tesouras;

- Papel;

- Canetas;

- Calculadoras.

Procedimentos

Para esta atividade, a classe deverá ser dividida em grupos de

aproximadamente 3 alunos, sendo que cada grupo precisa estar de posse do

material citado acima. Cada grupo escolhe várias (4 ou 5) latas de variados

tamanhos. Nas bases das latas serão medidos o comprimento e o diâmetro com o

auxílio do cordão/barbante, que serão medidos na régua e anotados na tabela. A

tabela abaixo é um exemplo de como isso pode ser feito.

Nome do

Grupo

Objeto Medido Comprimento Diâmetro Razão

A seguir, dividem-se as medidas obtidas, a do comprimento da circunferência

pelo seu diâmetro, que também terão seus resultados anotados na tabela. Na

sequência será confeccionado um quadro com os resultados obtidos por todos.

Depois de preenchido o quadro com os dados obtidos pelos grupos, podemos

debater os resultados no grande grupo de maneira a socializar os resultados e

orientar os alunos para que percebam: que relação existe entre o comprimento da

circunferência e o seu diâmetro? Por que as divisões não deram resultados

exatamente iguais? Qual é aproximadamente o valor de PI? Com esse material

serão realizadas comparações entre as diferentes medidas de comprimento da

circunferência e a medida do diâmetro de cada uma, buscando concluir que a

divisão do comprimento da circunferência pelo seu diâmetro sempre irá resultar em

um valor constante, uma razão denominada de número PI que se aproxima do valor

de 3,1415...

ATIVIDADE 02: Conhecendo um pouco mais a história do número PI

Introdução

É muito importante propiciarmos ao aluno o acesso e a utilização dos

computadores no laboratório da escola, inovando e dinamizando as aulas,

oportunizando o contato dos alunos com as novas tecnologias disponíveis, pois elas

abrem caminhos, facilitando a aproximação do conhecimento construído pela

humanidade ao longo de sua existência com as atividades desenvolvidas nos dias

de hoje. Poder pesquisar a história de um número fascinante, que a mais de dois mil

anos instigou a curiosidade de muitos “matemáticos” e que ainda hoje é objeto de

pesquisas, visando encontrar novos métodos para calcular o seu valor, é, sem

dúvida, uma atividade prazerosa e que também desperta a curiosidade do nosso

aluno.

Objetivo

Oportunizar ao aluno o acesso e a utilização de recursos das novas

tecnologias no contexto escolar para pesquisar a história do número PI.

Material

- Computadores com internet;

- Caderno e lápis/caneta para anotações.

Procedimento

No laboratório de informática, fazendo uso de computadores, os alunos em

duplas irão pesquisar sobre a história do número PI, resgatando informações

importantes que, no decorrer da construção do conhecimento elaborado pela

humanidade foram significativas. Investigar porque procura-se calcular PI com um

número de decimais cada vez maior e quantas casas decimais já foram definidas

para esse número. Investigar também de que forma a sua não periodicidade auxilia

nos problemas/questões que envolvem processos aleatórios

Observação

A título de curiosidade podemos adiantar que, a principal razão de PI ser tão

intrigante é o fato de ele não ser uma fração. PI é um irracional e sua representação

decimal não mostra nenhuma previsibilidade, acreditando-se que seus algarismos se

distribuam aleatoriamente, sendo esse um dos interesses no cálculo de grandes

quantidades de dígitos do PI.

ATIVIDADE 03: Quem foi Arquimedes?

Introdução

Proporcionar o acesso e a utilização dos equipamentos do laboratório de

informática ao aluno é essencial para que ele possa assimilar melhor os

conhecimentos usufruindo o material disponibilizado pela escola. Este material pode

servir de ponte para o aluno conhecer um pouco a história de vida do grande

matemático, físico e inventor grego, Arquimedes, relacionando toda sua contribuição

para a Humanidade e o trabalho que está sendo desenvolvido em sala de aula.

Objetivo

Oportunizar ao aluno o acesso e a utilização de recursos das novas

tecnologias no contexto escolar para pesquisar a história da vida de Arquimedes.

Material

- Computadores com internet;

- Caderno e lápis ou caneta para anotações.

Procedimento

No laboratório de informática, fazendo uso de computadores, os alunos em

dupla pesquisarão sobre a história da vida de Arquimedes e sua grande contribuição

para a história da humanidade.

ATIVIDADE 04: Uma maneira de obter PI

Introdução

Um dos mais conhecidos matemáticos da Antigüidade, Arquimedes, que viveu

por volta do século III a.C. na Grécia, também calculou (aproximadamente) a razão

entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. PI, a mais antiga

constante de que se tem ouvido falar. Para calcular o seu valor, Arquimedes usou o

método da exaustão, que consistia em calcular o comprimento da circunferência por

aproximação, servindo-se de polígonos inscritos e circunscritos à circunferência.

Partiu de um hexágono regular e calculou os perímetros dos polígonos

(inscritos e circunscritos) obtidos dobrando (6, 12, 24, 48, 96) sucessivamente o

número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Observou que, quanto maior

o número de lados do polígono, mais o seu perímetro se aproxima do comprimento

de uma circunferência (tanto para o polígono inscrito quanto para o circunscrito).

Com esses perímetros calculados, ele definiu que o valor de estaria entre 3,1408 e

3,1428.

Objetivo

Resgatar, na História da Matemática, a importante contribuição que

Arquimedes, um “gênio” ousado para o seu tempo, deixou para a humanidade.

Material

- Folhas de sulfite;

- Régua, Compasso, Esquadro, Transferidor

- Cartões contendo o passo a passo para a construção dos polígonos

Procedimento

Dividir a sala em grupos. Cada grupo será composto por 3 alunos. O grupo

receberá um cartão contendo o passo a passo para a construção de polígonos

inscritos e circunscritos. Colocar num mesmo cartão as informações para a

construção do polígono inscrito e circunscrito de mesma quantidade de lados (frente

e verso). O grupo terá uma folha de sulfite para fazer a construção. Alertar para que

se construam circunferências com o mesmo raio. Os polígonos deverão ter 3, 6 e 12

lados, Definir, qual polígono cada grupo irá desenhar. Sugestão: raio de 3 ou 4 cm.

Polígono de 3 lados inscrito numa circunferência

- Marque um ponto P para ser o centro da circunferência.

- Com o compasso, com abertura de 3 cm, construa a circunferência;

- Marque nessa circunferência um outro ponto qualquer A e por ele trace o

diâmetro;

- Na outra extremidade do diâmetro marque o ponto B;

- Com a ponta do compasso em A, construa outra circunferência que

contenha o ponto P;

- As duas circunferências se cruzam determinando os pontos C e D;

- Marque esses pontos.

- Ligue os pontos C e D por um segmento;

- Ligue também B com C e;

- Ligue B com D.

Pronto. Está construído o triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência.

Defina bem o polígono e também a circunferência principal. Os demais traços,

cuidadosamente deverão ser apagados.

Polígono de 3 lados circunscrito numa circunferência

O polígono circunscrito deverá ser construído nessa mesma folha, utilizando

essa mesma circunferência. Os lados do polígono circunscrito são tangentes à

circunferência e paralelos aos lados do polígono inscrito.

Para construir o polígono circunscrito, entenda bem o significado de paralelo

e também de tangente. Ouça seu professor.

Com segmentos de reta maior do que o lado do polígono inscrito, construa o

polígono circunscrito, obedecendo a orientação do professor. Onde os segmentos se

tocam, determinam um ponto. Assinale esse ponto. O excesso do segmento deverá

ser eliminado. Pronto? Muito bem.

Obs.: Para auxiliar na construção o professor pode solicitar aos alunos que

marquem os pontos médios dos segmentos BC, CD e DB. Os pontos médios destes

segmentos com os vértices opostos determinam retas que interceptam a

circunferência nos seus pontos de tangência.

FIGURA 1: Polígono de 3 lados Inscrito e Circunscrito numa circunferência.

Polígono de 6 lados inscrito numa circunferência

- Marque um ponto P para ser o centro da circunferência.

- Com o compasso, com abertura de 3 cm, construa a circunferência;

- Marque nessa circunferência um outro ponto qualquer A e por ele trace o

diâmetro;

- Na outra extremidade do diâmetro marque o ponto B;

- Com a ponta do compasso em A, construa outra circunferência que

contenha o ponto P;

- As duas circunferências se cruzam determinando os pontos C e D;

- Com a ponta do compasso em B, construa outra circunferência que

contenha o ponto P;

- As duas circunferências se cruzam determinando os pontos E e F;

- Marque esses pontos;

- Com segmentos, ligue os pontos, sempre na seqüência.

Pronto. Está construído o polígono de 6 lados inscrito numa circunferência.

Defina bem o polígono e também a circunferência principal. Os demais traços,

cuidadosamente deverão ser apagados.

Polígono de 6 lados circunscrito numa circunferência

O polígono circunscrito deverá ser construído nessa mesma folha, utilizando

essa mesma circunferência. Os lados do polígono circunscrito são tangentes à

circunferência e paralelos aos lados do polígono inscrito.

Para construir o polígono circunscrito, entenda bem o significado de paralelo e

também de tangente. Ouça seu professor.

Com segmentos de reta maior do que o lado do polígono inscrito, construa o

polígono circunscrito, obedecendo a orientação do professor. Onde os segmentos se

tocam, determinam um ponto. Assinale esse ponto. O excesso do segmento deverá

ser eliminado. Pronto? Muito bem.

FIGURA 2: Polígono de 6 lados Inscrito e

Circunscrito numa circunferência.

Polígono de 12 lados inscrito numa circunferência

- Marque um ponto P para ser o centro da circunferência.

- Com o compasso, com abertura de 3 cm, construa a circunferência;

- Marque nessa circunferência um outro ponto qualquer A e por ele trace o

diâmetro;

- Na outra extremidade do diâmetro marque o ponto B;

- Com a ponta fixa do compasso em A, construa outra circunferência que

contenha o ponto P;

- As duas circunferências se cruzam determinando os pontos C e D;

- Com a ponta fixa do compasso em B, construa outra circunferência que

contenha o ponto P;

- As duas circunferências se cruzam determinando os pontos E e F;

- Marque esses pontos;

- Você já marcou 6 vértices do polígono. Faltam ainda outros 6, que estarão

entre esses já definidos.

- Ligue todos os pontos sobre a circunferência (o que acaba gerando o

hexágono) e marque sobre cada lado do hexágono o ponto médio.

- Em cada ponto médio, determine a reta que passa por este ponto e pelo

ponto P. Estas retas interceptarão a circunferência em outros 6 pontos (G, H, I, J, K,

L).

- Apague cuidadosamente todos os traços, conservando os pontos e o

traçado da circunferência.

- Com segmentos, ligue os pontos, sempre na seqüência.

Pronto. Está construído o polígono de 12 lados inscrito numa circunferência.

Polígono de 12 lados circunscrito numa circunferência

O polígono circunscrito deverá ser construído nessa mesma folha, utilizando

essa mesma circunferência. Veja o procedimento descrito para os casos anteriores.

FIGURA 3: Polígono de 12 lados Inscrito e

Circunscrito numa circunferência.

Após essa atividade, os alunos irão fazer a exposição dos trabalhos e um

comparativo entre os desenhos, elaborando um pequeno texto para registrar as

observações feitas, baseados nas perguntas abaixo:

O que acontece...

a) se o polígono for construído com mais lados?

b) se desenharmos um polígono de 24 lados?

c) se o polígono tiver 48 lados?

d) quando o perímetro do polígono se afasta do perímetro da circunferência?

e) quando o perímetro do polígono se aproxima do perímetro da

circunferência?

Observação

É interessante ressaltar nesta atividade as duas formas de se aproximar da

circunferência, por excesso – circunscrito – e por falta – inscrito.

ATIVIDADE 05: Encontrando o comprimento da circunferência.

Introdução

Como vimos em atividades anteriores, até Arquimedes não entrar em cena,

nenhum matemático havia encontrado uma aproximação tão rigorosa para o número

PI.

Para chegar a esse grau de precisão Arquimedes construiu um polígono

regular com 96 lados. Tal polígono se assemelhava a um círculo. Então ele calculou

a razão do perímetro desse polígono pelo diâmetro.

FIGURA 4: Polígonos.

À medida que o número de lados aumenta, o perímetro do polígono aproxima-

se cada vez mais do perímetro do círculo.

Em uma circunferência temos que, a razão de seu comprimento (C) dividido

pelo seu diâmetro (d) é sempre uma constante, denominada de PI. Também

sabemos que o diâmetro é igual a medida de dois raios (2r). Portanto:

Polígono

de 6 lados

Polígono de 6 lados

Polígono de 12 lados

Polígono de 24 lados

C/d = ; sendo d = 2r; temos então C/2r = ; assim C = 2r. Essa é a fórmula que dá

o valor do comprimento de uma circunferência, quando a medida do raio é

desconhecida.

Objetivo

Dominar a melhor aproximação do PI e com ela determinar valores referentes

a comprimento, medida do raio e do diâmetro de uma circunferência.

Material

- Calculadora

Procedimento

Com a aproximação obtida na Atividade 01, cada aluno deverá calcular os

itens abaixo em seu caderno.

Enfatizar a fórmula: C = 2 . . r

Agora, você vai por a mão na massa e encontrar:

a) O comprimento de uma circunferência de raio = 4 cm;

b) O comprimento de uma circunferência de diâmetro = 13 cm;

c) A medida do raio de uma circunferência que tem 6,28 m;

d) A medida do diâmetro de uma circunferência que tem 9,42 m.

ATIVIDADE 06: Como determinar a fórmula da área do círculo?

Introdução

A forma circular é encontrada muito frequentemente no mundo material. Está

presente nas artes, na arquitetura das cidades e casas, na decoração de ambientes

e na própria natureza (sol, lua, troncos de árvores, no movimento das ondas do

mar). Saber como utilizá-la harmoniosamente requer conhecer também suas

medidas. Então, como podemos então calcular a área de círculos?

Conforme Garbi (2009, p. 81-82), hoje é possível calcular essa área já que

sabemos que o coeficiente de proporcionalidade da área do círculo em relação ao

quadrado do raio é o número PI, e que nenhum matemático antes de Arquimedes

encontrou uma forma de calculá-lo.

Determinar com precisão o valor de e dos coeficientes de proporcionalidades relativos a área do círculo era uma grande questão em aberto da Matemática da época e este foi um dos campos em que Arquimedes focalizou seu incomparável talento. Em um pequeno tratado denominado A Medida do Círculo, ele começou provando que a área daquela figura é igual à de um triângulo cuja base é o comprimento da circunferência e cuja altura é o raio do círculo (GARBI, 2009, p. 8).

É interessante mencionar que para mais essa demonstração Arquimedes

usou uma técnica chamada de “dupla redução ao absurdo”:

Sempre que era muito difícil demonstrar diretamente que uma grandeza era igual a outra, ele supunha que ela fosse maior ou menor e, de tais suposições, deduzia dois absurdos. Não podendo ser nem maior nem menor, só poderia ser igual (GARBI, 2009, p. 82).

Inspirados nas idéias de Arquimedes construiremos esta demonstração com a

utilização de material concreto1.

Objetivo

Reconhecer que a fórmula da área do círculo pode ser determinada através

da fórmula da área de um triângulo retângulo.

Material

- Papel sulfite ou cartão;

- Compasso;

- Régua;

- Barbante;

- Cola.

Procedimento

Desenhe numa folha de papel uma circunferência e em seguida cubra o

círculo com barbante. Inicie pelo centro, colando levemente, em espiral, cobrindo

toda a superfície do círculo, cuidando para não deixar espaços em branco.

1 Ressaltamos que esta atividade também pode ser encontrada na obra de Grasseschi et al. (1999, p. 209-210).

Corte o barbante por um raio da circunferência. Veja modelo abaixo.

FIGURA 5: Círculo.

Determine uma linha reta para iniciar a colagem do barbante e a partir dela,

por ordem de tamanho, vá colando os pedaços, formando assim um triângulo

retângulo.

Observe que esta idéia (comparar área da circunferência com a de um

triângulo retângulo) foi utilizada por Arquimedes.

FIGURA 6: Triângulo retângulo.

Perceba que a superfície do círculo “apareceu” na figura do triângulo que

você construiu. Perceba ainda que a altura (h) do triângulo é igual à medida do raio

da circunferência e que a base do triângulo equivale a medida do comprimento da

circunferência, ou seja, 2r. Se tratando de um triângulo retângulo, podemos

escrever também que o cateto maior é igual ao comprimento da circunferência e o

cateto menor é igual ao raio. Assim, conseguimos verificar que a área do círculo

equivale (conforme demonstração feita por Arquimedes – maiores detalhes veja

(GARBI, 2009, p.82)) a área do triângulo. Assim,

A = área da circunferência

A = área do triângulo retângulo (base: 2r ; altura r)

r

r

A = (2r x r)/2.

A = r2.

Conseguimos, através desse procedimento, mostrar que a área do círculo de

raio r, que é dada pela fórmula

A = . r2

Concluímos, assim, que a área do círculo é igual a vezes a medida do

quadrado de seu raio.

Observação

Durante a atividade, o professor deverá aproveitar o momento e expor aos

alunos algumas curiosidades a respeito da mesma, fazer ligação com a História da

Matemática, levando ao conhecimento dos alunos que Arquimedes foi a primeira

pessoa a provar esta relação e que ela foi estabelecida utilizando-se o método da

exaustão.

ATIVIDADE 07: Aproximando um valor para o número PI

Introdução

Em cálculos diários, não há necessidade de conhecer uma aproximação

melhor para PI do que 3,14. Em cálculos científicos, o valor não precisa ser mais

aproximado do que 3,1416 e apenas em cálculos matemáticos muito exigentes

precisaria saber mais do que 10 dígitos de PI.

Objetivo

Descrever como, historicamente, os egípcios determinaram uma aproximação

para o valor de PI.

Material

Cartolina, esquadros e compasso.

Procedimento

Construir uma circunferência. Em seguida, construir um quadrado circunscrito

a ela com lado igual ao seu diâmetro. Dividir os lados do quadrado em 3 partes

iguais. Construir um octógono regular também circunscrito à circunferência,

utilizando-se desses segmentos, como mostra a figura abaixo.

FIGURA 7: Área do círculo.

No desenvolvimento apresentado abaixo, apresentamos como possivelmente

os egípcios calculavam a área do círculo e, consequentemente uma aproximação

para PI. Veja:

Aoc = área do octágono

Aq = área do quadrado

Como Aq = l2 então Aq = d2

Aoc = Aq – (4. At) Aoc = d2 – 4.(1/2 . 1/3d . 1/3d)

Aoc = d2 – 2/9d2 Aoc = d2. (1 – 2/9)

Aoc = d2. 7/9 Aoc = d2.(7/9. 9/9)

Aoc = d2 . 63/81 Aoc d2 . 64/81

Aoc (8/9)2 . d2 Aoc (8/9)2 . (2r)2

Aoc (8/9)2 . 4 r2 Aoc (8/9 . 2)2 . r2

Aoc (16/9)2 . r2

Ac = . r2

Ac Aoc

. r2 (16/9)2 . r2 (16/9)2

3,16

D

1/3D

1/3D

1/3D

1/3D 1/3D

1/3D

1/3D

1/3D

Observação

O valor de = 3,16 determinado pelos egípcios foi uma aproximação bastante

boa para a época.

ATIVIDADE 08: Utilizando o PI para fazer cálculos

Introdução

Inúmeros problemas surgem na matemática envolvendo o perímetro de uma

circunferência e a área de um círculo. O mais importante, no entanto, é percebermos

que não podemos estudar geometria sem conhecer o número PI, uma das

constantes universais da Matemática. O fascínio e a determinação do seu valor

acompanham a matemática ao longo da sua história. Na vida real, você vai usar ou

não o PI, dependendo do que você faz. Se você for um engenheiro, um físico,

astrônomo, astrofísico ou matemático vai utilizar, e muito essa constante. Mas, como

aluno que você é, agora vai usar o PI para desenvolver a atividade abaixo.

Objetivo

Reconhecer que várias relações matemáticas dependem do conhecimento da

constante PI.

Material

- Atividade desenvolvida no caderno.

- Calculadoras.

Procedimento I

Utilizando a fórmula C = 2 . . r (que foi obtida na Atividade 05), calcular o

perímetro (comprimento) das circunferências.

1) Calcule:

a) O comprimento de uma circunferência de raio igual a 9 cm.

b) O comprimento de uma circunferência de diâmetro igual a 13 cm.

c) O raio de uma circunferência que tem 9,42 m de comprimento.

d) O diâmetro de uma circunferência que tem 25,12 m de comprimento.

Procedimento II

Utilizando a fórmula A = . r2 (obtida na Atividade 06), calcular a área dos

círculos.

2) Calcule:

a) A área de um círculo de 8,5 cm de raio.

b) A área de um círculo que tem 14 cm de diâmetro.

c) O raio de um círculo que tem 78,5 m2 de área.

d) O diâmetro de um círculo que possui de área 254,34 m2.

ATIVIDADES COMPLEMENTARES:

01. Calcular o comprimento de uma roda de bicicleta usando a fórmula C =

2..r.

Para essa atividade dividir a classe em grupos de 3 alunos. A atividade de

medição deverá ser feita fora de sala. Cada grupo deverá estar de posse de uma

bicicleta (procurar variar o tamanho dos aros das bicicletas), uma fita métrica,

caderno e lápis. Os alunos irão medir o raio e o comprimento da roda e anotar essas

medidas. Utilizando-se da fórmula irão calcular o comprimento e comparar o

resultado. Por fim, socializar a experiência.

02. Com esta mesma bicicleta, quantas voltas completas as rodas precisam

dar para fazer um percurso de 10 metros? (Fazer o experimento em 10 m). E em mil

metros? E para rodar 3,75 km?

03. Calcular o raio de uma roda gigante que em 15 voltas percorre uma

distância de 471 metros.

04. Uma praça quadrada de 80 metros de lado, foi projetada com um círculo

central e quatro outros círculos menores a sua volta. O círculo maior mede 30 m de

diâmetro e os outros círculos medem 7,5 m de raio, sendo os quatro círculos iguais.

Dentro dos círculos será plantado grama e no restante será feito calçamento. Qual a

área destinada ao calçamento?

FIGURA 8: Praça.

05. Um lago circular possui 25 m de diâmetro e é circundado por um jardim, a

partir das margens do lago, de 3 m de largura. Qual é a área desse jardim?

FIGURA 9: Lago.

06. Uma pizza tem diâmetro igual a 40 cm e está dividida em 12 partes iguais.

Qual é a área de cada uma das partes?

FIGURA 10: Pizza.

6 REFERÊNCIAS

ANDRINI, A.; ZAMPIROLO, M. J. C. V. Novo praticando matemática. São Paulo:

Editora do Brasil, 2002. BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.

BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica. Parâmetros Curriculares nacionais para o Ensino da matemática. Brasília. 1997. CONTADOR, P. R. M. Matemática, uma breve história. 2. ed. v III, Caderno de Práticas. São Paulo: Livraria da Férica, 2008. GARBI, G. G. A rainha das ciências. 3. ed. São Paulo: Livraria da Férica, 2009. GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. 2. ed. São Paulo: Saraiva,

2006. Geometria plana. Disponível <http://www.interaula.com/matweb/gplana/209/exe209b.htm> Acesso em 13 abr. 2010. GRASSESCHI, M. C. C.; ANDRETTA, M. C.; SILVA, A. B. S. PROMAT: projeto

oficina de matemática. São Paulo: FTD, 1999. KARLSON, P. A magia dos números. Globo – RS, 1961.

MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte, MG: Autêntica, 2004. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação, Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2008.

RODRIGUES NETO, A. Aplicações em geometria. Disponível <http://educacao.uol.com.br/matematica/numero-pi.jhtm> Acesso em 13 abr. 2010.O c