DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · 2013-06-14 · Normalmente, após a introdução da regra de...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

1

UNIDADE DIDÁTICA

1) DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Rosane Aparecida Galera Futigami

Área PDE: Matemática

NRE: Londrina

Professor Orientador IES: Profª Drª Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino

IES vinculada: Universidade Estadual de Londrina

Escola de Implementação: Colégio Estadual Marechal Castelo Branco – Ensino

Fundamental, Médio e Normal.

Público objeto da intervenção: alunos das 6ª séries

2) TÍTULO DO PROJETO: Pensamento proporcional: um estudo histórico e algumas

aplicações

3) TÍTULO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA: A proporcionalidade na

história da matemática e no cotidiano

4) INTRODUÇÃO

O pensamento proporcional é utilizado frequentemente no nosso

cotidiano, é um tema que permite o estabelecimento de relações com a realidade

dos alunos, pois são muitos os casos em que a ideia de proporção é vivenciada por

eles.

O pensamento proporcional envolve a comparação de grandezas e

ajuda na compreensão de situações práticas da vida, pois este é utilizado em

diferentes situações do cotidiano, tais como, no supermercado quando temos que

escolher um produto disposto em diferentes embalagens, na culinária para a

realização de algumas receitas que foram aumentadas ou reduzidas, dentre outras.

De acordo com Misailidou e Willians (2004), aprender a raciocinar

proporcionalmente é essencial para o desenvolvimento matemático do aluno.

As proporções nos permitem também estabelecer relações da

matemática escolar como outras áreas do conhecimento. As crianças usam o

2

pensamento proporcional desde cedo, mas quando chegam na 6ª série não

conseguem resolver problemas que envolvem este tipo de pensamento.

Consideramos que investigar aspectos históricos do desenvolvimento do

pensamento proporcional pode nos ajudar a refletir e propor alternativas para o

trabalho com este tema em sala de aula. Conhecer e compreender a matemática por

meio da sua história é uma estratégia de ensino que visa auxiliar na formação e

desenvolvimento integral do aluno, visto que oferece a possibilidade de pensar

matematicamente diferentes situações do cotidiano e humanizar a matemática.

As proporções, geralmente, vem sendo trabalhada de maneira

decorativa, sem que o aluno tenha que analisar se é ou não uma proporção. Os

problemas vem prontos, basta aplicar a regra de três e resolvê-los.

O tópico proporções é ensinado através da introdução do procedimento denominado “regra de três”. O aluno aprende expressões verbais como “x está para y, assim como z está para w” e expressões numéricas como “a/b = c/d”, sem que lhe seja explicada a natureza das relações envolvidas ou o modelo matemático em jogo na solução de problemas de proporções. Ensina-se, também, a distinção entre proporções diretas e proporções inversas, exemplificando os dois casos a fim de mostrar ao estudante que, no caso de proporções diretas, quando uma variável aumenta, a outra também aumenta, enquanto que, no caso de proporções inversas, o aumento da primeira variável está associado a diminuição da segunda variável. Normalmente, após a introdução da regra de três, pede-se ao estudante que resolva toda uma série de problemas utilizando a regra de três. Raramente é necessário que o estudante decida, por si só, se o problema envolve proporcionalidade ou não. Quando problemas de proporcionalidade são apresentados a estudantes que já estudaram a regra de três, sem que os identifiquemos como problemas de proporção, apenas uma parcela muita pequena dos estudantes utiliza o procedimento aprendido na escola para a solução dos problemas (CARRAHER et. al.,1986, p 93-107).

Quando colocamos as proporções de maneira decorativa, o aluno

não consegue compreendê-la, ele memoriza o assunto mas não sabe quando usá-

lo, pois não houve uma apropriação do conhecimento.

Buscamos na história da matemática um entendimento para as

proporções, pois acreditamos que conhecendo a sua história, o tema pode tornar-se

mais compreensível.

3

A história tem a sua importância, mas não devemos lhe atribuir uma

força que esta não possui, pois a história deve servir como ponto de referência para

a problematização pedagógica, isto é, a História da Matemática pode colaborar com

elementos que possibilitem ao aluno refletir e compreender o assunto a ser

trabalhado. É importante que o professor conheça o desenvolvimento histórico do

conceito a ser trabalhado para que possa utilizá-lo na construção de tarefas que

permitam problematização do conceito.

Entre as posições extremadas que tentam nos convencer de que a história tudo pode ou nada pode, parece-nos mais adequado assumir uma posição intermediária que acredita que a história – desde que devidamente constituida com fins explicitamente pedagógicos e organicamente articulada, com as demais variaveis que intervem no processo ensino-aprendizagem escolar da matemática – pode e deve se constituir ponto de referência tanto para a problematização pedagógica quanto para a transformação qualitativa da cultura escolar a da educação escolar e, mais particularmente, da cultura matemática que circula e da educação matemática que se promove e se realiza no interior da instituição escolar(MIGUEL e MIORIM, 2004, p. 151).

As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná também apontam

para a importância da História da Matemática na sala de aula.

É interessante que os estudantes compreendam a natureza da Matemática e sua relevância na vida da humanidade. A abordagem histórica não se resume a retratar curiosidades ou biografias de matemáticos famosos; vincula as descobertas matemáticas aos fatos sociais e políticos, às circunstâncias históricas e as correntes filosóficas que determinaram o pensamento que influenciaram o avanço científico de cada época (PARANÁ, 2006, p.44).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais defendem a importância da

História da Matemática, na medida em que sugerem aos professores de Matemática

que

ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento (1998, p.42)

4

Neste sentido, o presente trabalho visa adotar a História da

Matemática para encaminhar respostas à perguntas do tipo: “o quê?”, “como?”

“quando?”. Procurando, assim, despertar o interesse e a compreensão dos alunos

para o conceito de proporcionalidade.

Podemos entender ser possível buscar na história da Matemática apoio para se atingir, com os alunos, objetivos pedagógicos que os levem a perceber, por exemplo: (1) a matemática como uma criação humana; (2) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; (3) as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem de estímulo ao desenvolvimento das idéias matemáticas. (MIGUEL; MIORIM, 2004, p.53).

As atividades a seguir tem como objetivo geral possibilitar ao aluno

compreender os processos que envolvem cálculos com proporções.

Essas serão propostas a alunos da 6ª série, do Colégio Estadual

Marechal Castelo Branco – Ensino Fundamental, Médio e Normal, na cidade de

Primeiro de Maio – Pr.

5

5) UNIDADE DIDÁTICA

ATIVIDADE 1: INVESTIGAÇÃO BIBLIOGRÁFICA DO DESENVOLVIMENTO

HISTÓRICO DO CONCEITO DE PROPORÇÃO.

OBJETIVO: Conhecer uma história das proporções e compreender a sua utilização.

MATERAL NECESSÁRIO: Aspectos históricos das proporções (Anexo 1).

DESENVOLVIMENTO:

Formar grupos de 2 ou 3 alunos, entregar para cada aluno uma folha

xerocada com o texto sobre a história das proporções, para que os alunos

conheçam a importância da história das proporções, assim como a necessidade que

os povos tiveram antes do seu surgimento, a nomenclatura utilizada e a sua

aplicação nos problemas com proporções. Pedir aos alunos que leiam o texto e

troquem ideias no grupo, para que o professor possa verificar a produção de

significados dos alunos em relação ao texto sobre aspectos históricos das

proporções. Em seguida pedir a um aluno que explique para a classe a conclusão

que o grupo chegou sobre o texto, tendo em conta: a necessidade das proporções,

os termos empregados, a sua utilização e a aplicação em problemas. O professor

deverá observar as discussões realizadas nos grupos e verificar o caminho por eles

seguido e intervir, quando necessário, com perguntas que levem o aluno a refletir

sobre o texto. Serão propostas as questões problematizadoras a seguir:

1- Utilizando linguagem atual, escreva a relação matemática que

representa a definição apresentada por Euclides.

2- O que é proporcionalidade?

3- Qual processo é utilizado atualmente para verificar se duas

razões são proporcionais?

4- O que são grandezas diretamente proporcionais?

5- O que são grandezas inversamente proporcionais?

6- Investigue em seu livro didático como são definidos os conceitos

presentes nas questões anteriores.

6

AVALIAÇÃO

A avaliação será feita por meio da observação que o professor fará

das discussões sobre o texto e do envolvimento dos alunos com o conteúdo

matemático e com o texto sobre aspectos históricos das proporções.

COMENTÁRIOS

Na folha de tarefas entregue aos alunos, terá a explicação dos

termos: comensuráveis e incomensuráveis. O professor deve instigar o aluno a

questionar, caso perceba que ele não entendeu o significado. Se algum aluno

manifestar que não compreendeu, mesmo com a definição na folha, o professor

apresentará situações que permitam ao grupo atribuir significado para a palavra em

questão.

Os alunos poderão apresentar dificuldades em compreender

algumas palavras apresentadas no texto, neste caso o professor deve intervir

procurando relacionar as palavras apresentadas com os termos utilizados

atualmente, para promover o entendimento do aluno.

Espera-se que os alunos compreendam o conteúdo matemático

apresentado, sintam-se provocados a discutir, refletir, tirar conclusões, esclarecer

possíveis dúvidas que surgirem, e resolver os problemas que serão propostos nas

atividades seguintes.

Caso o professor perceba um envolvimento e um amadurecimento

maior da classe com o assunto em questão, pode sugerir leituras de livros de

história da matemática, como por exemplo: História da Matemática de Carl Benjamin

Boyer, Introdução a História da Matemática de Howard Eves, entre outros.

O professor pode propor discussões entre os grupos, para avaliar

quais os significados atribuídos pelos alunos para aspectos da história e da

utilização das proporções.

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ANEXO I - Aspectos históricos das proporções

ASPECTOS HISTÓRICOS DAS PROPORÇÕES

Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos

egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de

Moscou. O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente

5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858, no século

XIX, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido

também como Papiro de Rhind. Ele detalha a solução de 85 problemas que,

considerando as definições atuais, envolvem conteúdos de aritmética, frações,

cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de

três simples, equações lineares, trigonometria básica e geometria. É um dos

mais famosos antigos documentos matemáticos que chegaram aos dias de

hoje. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres.

A matemática dos egípcios e babilônios era essencialmente

empírica, utilizada para resolver problemas do cotidiano.

Os gregos antigos sentiram a necessidade de generalizar e

sistematizar os conhecimentos matemáticos.

Nessa época os números (que tinham outros símbolos e

seguiam regras diferentes das atuais) eram utilizados para contar o número de

ovelhas que um pastor levava para pastar, para medir as terras,

principalmente na época das cheias do Nilo, avaliar a quantidade de cereais

produzida, distribuir os grãos entre a população, comercializar os produtos

agrícolas, entre outros. Os números vão ganhando importância conforme o

homem vai intensificando suas relações uns com os outros.

Os gregos criaram seu próprio sistema de numeração, com

base 10, utilizando letras para representar os números, o que não facilitava os

cálculos.

Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado,

assim como, a temperatura, o peso, a área, o comprimento, o tempo, entre

outros. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza, com outra

quantidade de mesma grandeza. Quando se compara duas quantidades de

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Trigonometria_b%C3%A1sica&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_lineares&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_tr%C3%AAs_simples

http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_tr%C3%AAs_simples

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Reparti%C3%A7%C3%B5es_proporcionais&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%B5es

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Volumes&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%B5es

http://pt.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

8

grandezas elas precisam pertencer a mesma unidade, pois não podemos

medir, por exemplo, o comprimento de um terreno em quilogramas. Grandezas

que apresentam a mesma razão são chamadas de proporcionais, podendo ser

direta ou inversa.

A descoberta do incomensurável, pelos gregos antigos,

causou um transtorno, pois até então, só se conhecia números passíveis de

serem medidos. Eudoxo propôs uma definição para as proporções que veio a

minimizar esse transtorno , pois essa definição permitia a relação entre duas

grandezas comensuráveis1 ou incomensuráveis2.

Diz-se que grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta se, quando equimúltiplos3

quaisquer são tomados da primeira e da terceira e equimúltiplos quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos são ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que, os últimos equimúltiplos considerados em ordem crescente.(EUCLIDES, apud, BOYER, 1974, p.66).

Isto quer dizer que quatro grandezas A, B, C e D, onde A está

para B e C está para D, possuem a mesma razão.

A teoria das proporções criada por Eudoxo e publicada no livro

V de Euclides permitia a comparação dos incomensuráveis.

Sumário

1 Comensurável: grandeza que se pode medir2 Incomensurável: grandeza que não pode ser medida3 Equimúltiplo: produtos de um mesmo número

ATIVIDADE 2: APLICANDO A IDEIA DE PROPORCIONALIDADE 1.

OBJETIVO: Analisar se há proporcionalidade entre as grandezas; identificar se as

grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; e resolver os problemas.

MATERIAL NECESSÁRIO: Folha com tarefas1 (Anexo 2)1 Os problemas apresentados neste material foram adaptados do site: <www.malhatlantica.pt/mathis/egipto/rhind/Rhind5.htm>. Acessado em: 20 mai. 2010.

http://www.malhatlantica.pt/mathis/egipto/rhind/Rhind5.htm

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DESENVOLVIMENTO

Formar grupos de 2 ou 3 alunos, entregar a folha de tarefas em duas

etapas. Na primeira etapa será entregue a folha 1. Após a resolução e discussão do

problema da folha 1, será entregue a folha 2 com os problemas 2 e 3. De posse de

uma determinada folha cada aluno deverá resolver o problema e, após discussão no

grupo, registrar os processos de resolução encontrados. O professor deverá

observar como os alunos conduzem a discussão, que caminho estão seguindo, o

tipo de pensamento que estão a utilizar, e qual a conclusão ou possibilidades que

encontraram para o problema.

Pedir a um aluno que faça a sua resolução no quadro, para

desencadear discussão no grande grupo sobre o problema e os caminhos que

seguiram para a sua resolução. A partir daí, verificar com os demais alunos outros

tipos de resoluções possíveis encontradas pela classe. O professor poderá fazer

questionamentos ou apresentar outra possibilidade que não foi apresentada pela

classe, caso julgue necessário, a fim de provocar discussão sobre um determinado

aspecto. O professor deve perguntar se alguém resolveu de outra maneira e discutir

a validade das resoluções apresentadas.

O problema 1 pode ser resolvido de várias maneiras. Apresentaremos a seguir

algumas possibilidades:

Possibilidade 1:

100 pães pesu 10

50 pães pesu 5

150 pães pesu 15

Possibilidade 2:

Pães pesu

100 ---------- 10

X ----------- 15

10

= Para resolver esta equação devemos multiplicar os dois membros por 15

x.

= Agora devemos simplificar as frações, isto é, fazer os

cancelamentos que forem possíveis.

15.100 = 10.x

10x = 1500

X =

X = 150 pães

Possibilidade 3:

P é o número de pães, t é a quantidade de trigo ou farinha utilizada na produção e

pesu é a razão entre os pães e a quantidade de trigo.

= pesu

= 10 Para resolver esta equação devemos multiplicar os dois membros por a

=10.a Fazemos os cancelamentos possíveis, isto é, cancelamos a com a no

primeiro membro.

100 = 10a

10a =100

a =

= pesu

= 15.a

X = 15 a

15 a = x

a =

Se a = e a = , então :

11

= Agora devemos multiplicar os dois membros por 15.10

= Cancelamos o que for possível em cada um dos membros

10x = 100.15

10X = 1500

X =

X = 150

Os alunos poderão apresentar dificuldades em compreender a

linguagem utilizada no problema e também na interpretação do mesmo. Para sanar

a primeira possível dificuldade, na folha número 1 terá a explicação dos termos

utilizados no problema, e para a outra dificuldade o professor poderá intervir com

perguntas, tais como: Quantos pães de pesu 10 você tem? Qual o novo pesu que

você possui? Será que a nova quantidade de pães aumentará ou diminuirá?.

Depois de corrigir o problema 1, será entregue a folha número 2

para os alunos com os problemas 2 e 3. Pedir que eles resolvam os dois problemas.

Possíveis resoluções para os problemas 2 e 3.

Problema 2

Possibilidade 1:

100 pães pesu 10

50 pães pesu 5

450 pães pesu 45

Possibilidade 2:

Pães pesu

100 ---------- 10

X ----------- 45

12

= Para resolver esta equação, devemos multiplicar os dois membros por

45x.

= Simplificamos os termos, ou seja, cancelamos o que for possível.

45.100 = 10x

10x = 4500

X =

X= 450 pães

Possibilidade 3:


pesu é a razão entre os pães e a quantidade de trigo.

= pesu

= 10 Para resolver esta equação devemos multiplicar os dois membros por a

=10.a Fazemos os cancelamentos possíveis, isto é, cancelamos a com a no

primeiro membro.

= pesu

= 45

=a.45

45 a = x

a =

Se a = e a = , então:

= Agora devemos multiplicar os dois membros por 45.10

= Cancelamos o que for possível

10.x =45.100

13

10x = 4500

X =

X = 450

Problema 3

Possibilidade 1:

155 pães pesu 20

31 pães pesu 4

232,5 pães pesu 30

Possibilidade 2:

Seguir o mesmo processo de resolução do problema 2, possibilidade 2.

Pães pesu

155 ---------- 20

X ----------- 30

=

X = 232,5

Possibilidade 3:

Seguir o mesmo processo do problema 2, possibilidade 3.

= pesu

= 20

a =

= 30

a =

14

=

X = 232,5

COMENTÁRIOS

Na folha de tarefas entregue aos alunos, terá a explicação dos

termos desconhecidos por eles, como por exemplo: pesu. O professor deixará o

aluno questionar se não entendeu o significado. Caso algum aluno manifeste que

não compreendeu, mesmo com a definição na folha, o professor explicará para o

grupo o significado da palavra em questão.

Para os alunos que não tenham compreendido o problema

apresentado, o professor deve intervir com perguntas que desencadeiem uma

discussão que permita a interpretação do problema.

Espera-se que os alunos compreendam os problemas propostos

sobre as proporções, sintam-se provocados a discutir, refletir e tirar conclusões, para

que possam esclarecer as dúvidas que surgirem e resolver outros problemas que

envolvem essa ideia.

Se os alunos resolverem os problemas aritmeticamente, o professor

deve mostrar uma outra forma de resolução, por exemplo, usando representação

algébrica, para que os alunos possam verificar relações de proporcionalidade e

equivalência.

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre BA

e

DC

é a igualdade:

DC

BA =

A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes

de uma grandeza. É uma igualdade entre duas razões.

15

AVALIAÇÃO

O professor observará e analisará o debate do grupo, como os

alunos conduzem a resolução do problema apresentado, intervindo quando

necessário e verificando a conclusão que apresentaram.

O professor recolherá uma folha de cada um dos grupos e analisará

os registros das resoluções apresentadas pelos alunos.

ANEXO 2: Folha com tarefas

Folha 1:

Tarefa

1)100 pães de pesu 10 devem ser trocados por pães de pesu 15. Quantos

pães deste tipo é que haverá?

Antes de resolver o problema, responda as questões a seguir:

a) Quantos pães de pesu 10 você possui?

b) Qual o novo pesu apresentado pelo problema?

c) Quando você aumenta o pesu, o que acontece com o número de pães?

d) O problema apresenta proporcionalidade?

e) Quais são as grandezas envolvidas no problema? Elas são diretamente ou

inversamente proporcionais?

A seguir apresentamos a explicação dos termos utilizados no problema.

Pesu é a razão entre o número de pães confeccionados e o número de

héqats de cereal utilizado na sua produção.

Héqat é a unidade de volume ou capacidade usada para medir o trigo e a

cevada.

Quanto maior é o pesu, pior é a qualidade do produto.

16

ATIVIDADE 3: APLICANDO A IDEIA DE PROPORCIONALIDADE 2.

OBJETIVO: Resolver problemas que envolvam a ideia de proporção; conhecer e

aplicar propriedade fundamental das proporções; analisar se há proporcionalidade

Folha 2:

Tarefas

2)100 pães de pesu 10 devem ser trocados por pães de pesu 45. Quantos pães

deste tipo é que haverá?







3) 155 pães de pesu 20 devem ser trocados por um número de pães de pesu 30.

Quantos pães deste tipo é que haverá?








Pesu é a razão entre o número de pães confeccionados e o número de héqats de

cereal utilizado na sua produção.

Héqat é a unidade de volume ou capacidade usada para medir o trigo e a cevada.


17

entre as grandezas e identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente

proporcionais.

MATERIAL NECESSÁRIO: Folha com tarefas2 (Anexo 3) .

DESENVOLVIMENTO:

Formar grupos de 2 ou 3 alunos, entregar a folha número 3, do

anexo 3, para cada aluno e uma outra para o grupo.Pedir aos alunos que resolvam

os problemas. Dar tempo suficiente para que eles possam pensar nos problemas e

encontrar uma solução. O professor deverá observar como os alunos estão

conduzindo a discussão, que caminho estão seguindo, se estão usando os dados

ofertados na explicação dos termos do problema, e que tipo de estratégias estão

utilizando, qual a conclusão que chegaram ao realizar a atividade.

Pedir a um aluno que faça a sua resolução no quadro, para provocar

uma discussão sobre o problema e as estratégias que utilizaram para a resolução e,

a partir daí, verificar com os demais alunos outros tipos de resoluções possíveis que

foram feitas pela classe. O professor poderá elaborar questões ou apresentar outras

possibilidades que não foram utilizadas pelos alunos para desencadear a discussão.

Caso os alunos encontrem dificuldade para resolver os problemas, o

professor pode desencadear uma discussão por meio das seguintes perguntas:

- o que significa pesu?

- qual a relação entre pesu e o número de pães?

- como podemos representar uma razão?

O problema 1 pode ser resolvido da seguinte maneira:


pesu é a razão entre os pães e a quantidade de trigo. Os alunos poderão utilizar os

conhecimentos de equivalência de frações e equação para resolver os problemas e

iniciar o estudo das propriedades fundamentais das proporções.

2 Os problemas apresentados neste material foram adaptados do site: <www.malhatlantica.pt/mathis/egipto/rhind/Rhind5.htm>. Acessado em: 20 mai. 2010.


18

= pesu

= 10 podemos aplicar a propriedade fundamental das proporções, o produto

dos meios é igual ao produto dos extremos.

a =

= pesu

= 20 aplicar a propriedade fundamental das proporções

a =

= pesu

=30 aplicar a propriedade fundamental das proporções

a =

+ = 100 fazer o mínimo múltiplo comum de (20, 30) = 60

3x + 2x = 6000

5x = 6000

X = 1200



pesu é a razão entre os pães e a quantidade de trigo. Os alunos poderão utilizar os

conhecimentos de equivalência de frações e equação para resolver os problemas e

iniciar o estudo das propriedades fundamentais das proporções.

= pesu

19


a =

= pesu


a =

= pesu

=15 aplicar a propriedade fundamental das proporções

a =

+ = 200 fazer o mínimo múltiplo comum de (30, 15) = 60

2x + 4x = 12000

6x = 12000

X = 2000

COMENTÁRIOS:

. No processo de resolução os alunos poderão utilizar os

conhecimentos que têm sobre frações equivalentes e resolução de equação do 1º

grau. Ao representar as informações por meio de uma igualdade de duas razões

discutiremos algumas estratégias de resolução. Dentre elas, pretendemos discutir a

propriedade fundamental das proporções, ou seja, que o produto dos meios é igual

ao produto dos extremos.

Numa proporção:

20

DC

BA =

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os

meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos,

isto é: CBDA ⋅=⋅

AVALIAÇÃO



necessário e verificando a conclusão que apresentaram, para poder diagnosticar se

houve aprendizagem.


os registros das resoluções apresentadas pelos alunos e por meio dos registros

verificará se os alunos conseguiram compreender as proporções por meio da

história.

ANEXO 3: Folha com tarefas

Folha 3

Tarefas

1)1000 pães de pesu 10 devem ser trocados por um número de pães de pesu

20 e pelo mesmo número de pães de pesu 30. Quantos pães de cada tipo é

que haverá?

2) 1000 pães de pesu 5 devem ser trocados por um número de pães de pesu

30 e pelo mesmo número de pães de pesu 15. Quantos pães de cada tipo é

que haverá?


Pesu é a razão entre o número de pães confeccionados e o número de

héqats de cereal utilizado na sua produção.

21

Héqat é a unidade de volume ou capacidade usada para medir o trigo e a

cevada.


ATIVIDADE 4: DIVISÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAL

OBJETIVOS: Identificar e operar com frações; compreender o significado de uma

distribuição proporcional; identificar problemas que envolvam a ideia de divisão

proporcional; resolver problemas que envolvam a ideia de divisão diretamente

proporcional.

MATERIAL NECESSÁRIO: Folha com tarefas3 (anexo 4).

DESENVOLVIMENTO:

O professor poderá seguir os mesmos procedimentos de formar

grupos, de identificar as dificuldades, e de observar a produção dos alunos,

relatadas nas atividades anteriores.

Caso os alunos tenham dificuldades em compreender o problema, o

professor poderá propor que respondam as seguintes perguntas:

-.Como obter uma única fração a partir das frações apresentadas?

-..Que tipo de operação podemos utilizar para ficar com uma só

fração?

- Como repartir um valor em partes proporcionais às frações?

- Como dividir uma fração?

O problema 1 pode ser resolvido fazendo a adição de frações para

obter uma única fração e a partir daí dividir o valor apresentado pela fração obtida,

encontrando um determinado valor que será distribuído em partes proporcionais as

frações apresentadas no problema. Possíveis resoluções para o problema 1:3 Os problemas apresentados neste material foram adaptados do site: <www.malhatlantica.pt/mathis/egipto/rhind/Rhind5.htm>. Acessado em: 20 mai. 2010.


22

1ª possibilidade

+ + + faremos o mínimo múltiplo comum de ( 2, 3 e 4) = 12

=

=

= simplificamos a fração por 3

Podemos dividir o número de pães pela fração encontrada

: = 400

Pegamos o valor encontrado e dividimos pela respectiva fração, assim podemos

encontrar a parte de cada um. Conforme o esquema a seguir.

1º) 400:3.2= 266,66

2º) 400:2.1= 200

3º) 400:3.1= 133,33

4º) 400:4.1= 100

2ª possibilidade

A resolução também poderá ser feita por meio da propriedade das

proporções Ksrqp

MsrqpDCBA

sD

rC

qB

pA =

+++=

++++++==== , onde M é a

quantidade de pães; A, B, C e D são os quatro homens e p, q, r e s são as frações.

Ksrqp

MsrqpDCBA

sD

rC

qB

pA =

+++=

++++++====

Aplicamos a propriedade das proporções mencionada acima

= = = = 400

A = k.p

A= . = 266,66

23

B = . = 200

C = . = 133,33

D = . = 100

COMENTÁRIOS

Se os alunos resolverem os problemas aritmeticamente, o professor

deve mostrar uma outra forma de resolução, por exemplo, usando representação

algébrica, para que os alunos possam conhecer a propriedade fundamental das

proporções citada a seguir.

A partir de uma proporção pode também obter outras proporções

somando os numeradores e os denominadores entre si, a soma dos numeradores

pode ser um valor M e a razão entre o numerador e o denominador obtem uma

constante K.

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente

proporcionais a p e q, uma das estratégias que pode ser utilizadas é a de montar

um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes

seja A+B=M, mas

qB

pA =

A solução segue das propriedades das proporções:

Kqp

MqpBA

qB

pA =

+=

++==

K é a constante de proporcionalidade, e pode ser utilizada para encontrar os valores

de A e B.

KqBeKpA ==

24

AVALIAÇÃO




houve aprendizagem, se eles conseguiram compreender e usar a propriedade das

proporções.



verificará se os alunos conseguiram compreender e usar a propriedade das

proporções.

ANEXO 4 – Folha com tarefas

ATIVIDADE 5: APLICANDO AS PROPORÇÕES NA DIVISÃO.

OBJETIVOS: identificar problemas que envolvam a ideia de divisão proporcional;

resolver problemas que envolvam a ideia de divisão diretamente proporcional.

MATERIAL NECESSÁRIO: Folha com tarefas4 (anexo 5).

4 Os problemas apresentados neste material foram adaptados do site: <www.malhatlantica.pt/mathis/egipto/rhind/Rhind5.htm>. Acessado em: 20 mai. 2010.

Folha 4;

Tarefa

Divida 700 pães por quatro homens na proporção dos números 2/3, ½, 1/3 e

¼. Diga-me a parte que cada homem recebe.


25

DESENVOLVIMENTO:




Caso os alunos tenham dificuldades em compreender o problema, o

professor poderá propor que respondam as seguintes perguntas:

- Os pães ou cereais serão repartidos em quantas partes?

- Os números estão em partes proporcionais?

- Quem receberá mais pão ou cereal?

- O que significa uma porção dupla?

O problema 1 pode ser resolvido fazendo a divisão do número de

pães pela quantidade de partes ou pessoas a ser repartido e multiplicando pelas

partes proporcionais a cada um.


1ª possibilidade

= 7

2. = 15

7 homens receberão 7 e o porteiro, o barqueiro e o capataz receberão 15

2ª possibilidade

A resolução também poderá ser feita por meio da proporção =

K, onde M é a quantidade de pães; n é a quantidade de partes a ser repartida e K é

uma constante.

= K

26

= K

K =

A= k.p

A = . 1 = 7,7 ou 7

B = K.q

B = .2 = 15,4 ou 15

O problema 2 pode ser resolvido fazendo a divisão do número de

cereal pela quantidade de partes ou pessoas a ser repartido e multiplicando pelas

partes proporcionais a cada um.

1ª possibilidade

.12 =40

. 8 = 26,66

.6 = 20

. 4 = 13,33

2ª possibilidade

A resolução também poderá ser feita por meio da proporção =

K, onde M é a quantidade de cereal; n é a quantidade de partes a ser repartida e K é

uma constante.

= K

K=

27

A = K.p

A = . 12

A = 40

B= K.q

B = . 8

B = 26,66

C = K.r

C = . 6

C = 20

D = K.s

D = . 4

D = 13,33

AVALIAÇÃO





proporções.




proporções.

28

ANEXO 5 – Folha com tarefas

ATIVIDADE 6: APLICANDO AS PROPORÇÕES NO COTIDIANO

OBJETIVOS: Analisar se há proporcionalidade entre as grandezas; identificar se as

grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; aplicar as proporções no

cotidiano e resolver os problemas.

MATERIAL NECESSÁRIO: Folha com tarefas5 ( anexo 6).

DESENVOLVIMENTO:




5 Os problemas de 1 a 5 apresentados neste material foram adaptados do site: <revista.educ.fc.ul.pt/arquivo/vol_XVI_ 2 /Costa%20e%20Ponte > .Tese de. Mestrado, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Cramer, K., Post, T., ... Acessado em 20/05/2010Os problemas de 6 a 9 apresentados neste material foram adaptados do site:www.malhatlantica.pt/.../mat/.../problem_propor_cao.htm . Acessado em 20/05/2010

Folha 5:

Tarefas

1) Dividir 100 pães por 10 homens, incluindo um barqueiro, um capataz e

um porteiro que recebem uma porção dupla. Qual é a parte que cabe

a cada um?

2) Se um escriba te diz: quatro capatazes receberam o seu cereal na

quantidade de 100 grandes héqats quádruplos, o primeiro grupo

consiste de 12 homens, o segundo de 8, o terceiro de 6 e o quarto de

4. Quanto é que cada capataz recebe?

100 héqats quádruplos – medições maiores, usadas em armazéns.

http://www.malhatlantica.pt/.../mat/.../problem_propor_cao.htm

29

Os problemas 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9 podem ser resolvidos por meio da

propriedade das proporções em que o produto dos extremos é igual ao produto dos

meios, ou seja, = . Na qual A e D são os extremos e B e C são os meios.

Os problemas podem ser resolvidas das seguintes formas:

Problema 1

Letra a

Se um aluno chega à escola em 10 minutos, não importa a quantidade de aluno,

mas sim o espaço por eles percorrido, portanto, não são grandezas proporcionais.

Letra b

1ª possibilidade

5,49 . 2= 10.98 Multiplicamos o valor de uma caixa por 2 e encontramos o valor de

duas caixas

2ª possibilidade

Caixa preço

1 -------- 5,49

2 -------- x

= Aplicamos a propriedade fundamental das proporções, o produto dos

extremos é igual ao produto dos meios

X = 2.5,49

X= 10,98

Portanto, as grandezas são proporcionais

Letra c

Podemos concluir que não há proporcionalidade entre as grandezas, pois o fato de

uma pessoa fazer um modelo de carro em 2 horas, não implica em fazer 3 modelos

em 6 horas.

Letra d

Há proporcionalidade inversa, pois quanto maior o número de pessoas o trabalho

ficará pronto em menos dias, portanto se uma pessoa fez o trabalho em 1 dia, 3

pessoas farão o trabalho em menos tempo e não em 6 dias

30

Problema 2

1ª possibilidade

15 Km 10 min

30 Km 20 min

60 Km 40 min

90 Km 60 min

2ª possibilidade

Km min

15 ------ 10

90 ------ X


extremos é igual ao produto dos meios15x = 90.10

15x = 900

X = 60 min

Problema 3

1ª possibilidade

O “A” é o mais doce, pois ele possui uma quantidade maior de açúcar.

Dl g

3 ------- 10

15------ 50

Para que os dois fossem iguais, o “B” teria 50g de açúcar.

2ª possibilidade

Dl g

3 ------ 10

15 ---- x



31

3x = 15.10

3x = 150

X =

X= 50

Problema 4

1ª possibilidade

Pessoas pizzas

9 ------------ 3

15 ---------- X



9x = 15.3

9 X= 45

X =

X = 5 pizzas

2ª possibilidade

3 pizzas 9 pessoas

1 pizza 3 pessoas

5 pizzas 15 pessoas

Problema 5

Não há proporcionalidade, pois as razões entre os números são diferentes.

5,40: 3 = 1,80

7,10 : 4 = 1,775

8,70 : 5 = 1,74

Para que houvesse proporcionalidade entre o peso e o preço das maçãs as razões

tinham que ser iguais.

32

Problema 6

1ª possibilidade

4 toalhas 6 metros

1 toalha 1,5 metro

16 toalhas 24 metros

2ª possibilidade

Toalhas metros

4 ------------ 6

16 ------------ X



4x = 16.6

4X = 96

X =

X = 24 metros

Problema 7

1ª possibilidade

3 bobinas 18 reais

1 bobina 6 reais

26 bobinas 156 reais

2ª possibilidade

Bobinas Reais

3 --------- 18

26 --------- X



3x = 26.18

3X = 468

33

X =

X = 156 reais

Problema 8

1ª possibilidade

100 Km 9 litros

700 Km 63 litros

2ª possibilidade

Km litros

100 ------ 9

700 ------ X


extremos é igual ao produto dos meios.100x = 700.9

100x = 6300

X =

X = 63 litros

Não, ele terá que abastecer o carro, pois ele gastará em média, 63 litros de gasolina

e o tanque do seu carro só cabe 60 litros.

Problema 9

1ª possibilidade

180 Km/h 20 s

200 Km/h 18 s

2ª possibilidade

Km/h segundos

180-------- 20

200 ------- X

34


extremos é igual ao produto dos meios.

200x = 180.20

200X = 3600

X =

X = 18 s

AVALIAÇÃO





proporções.




proporções.

Anexo 6 – Folha com tarefas

Folha 6

Tarefas

1) Indique se cada frase é verdadeira ou falsa e explique o raciocínio que

usou em cada caso.

a) Se um aluno chega à escola em 10 minutos, dois alunos levam 20 minutos.

b) Se uma caixa de chocolate custa R$ 5,49, duas custam R$ 10,98.

c) Se um rapaz faz um modelo de carro em 2 horas, pode fazer 3 modelos

iguais em 6 horas.

d) Se o Hugo pinta um muro em 2 dias, então, o Hugo, o João e o Pedro

35

juntos pintam o mesmo muro em 6 dias.

2) Um automóvel que circula a uma velocidade constante demora 10 minutos

para percorrer 15 km. Quanto tempo leva para percorrer 90 km?

3) Observe a imagem. Que chá, A ou B, é o mais doce?Justifique a tua

resposta.

4) O grupo de amigos do Pedro foi à Pizzaria na 5.ª feira passada. Pediram 3

pizzas para 9 pessoas, para que todos comessem a mesma quantidade de

pizza. Na próxima 5.ª feira voltarão à Pizzaria, mas serão 15 pessoas.

Quantas pizzas têm de pedir para que cada um coma a mesma quantidade

da semana anterior?

5) A Gabriela foi a um supermercado onde o preço das maçãs era o seguinte:

Peso (em Kg) 3 4 5

Preço (em reais) 5,40 7,10 8,70

Analise se há proporcionalidade direta entre o peso das maçãs e o preço.

Explique como chegou à resposta.

6) O dono de um restaurante encomendou à D. Rosa a confecção de 16

toalhas de mesa todas iguais. Com 6 metros de tecido, D. Rosa fez 4

toalhas. Quantos metros de tecido ela irá gastar na confecção das 16

toalhas?

7) A D. Rosa pagou 18 Reais por 3 bobinas de linha. Qual o preço, em Reais,

de 26 bobinas da mesma remessa?

36

8) O Sr. Silva tem um carro que consome, em média, 9 litros de gasolina a

cada 100 km. Ele vai fazer uma viagem de ida e volta, percorrendo uma

distância de 350 Km de ida. Verificou que o tanque de combustível do carro

tem uma capacidade de 60 litros. A gasolina é suficiente para a viagem de ida

e volta?

9) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a

velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua

velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo

percurso?

37

6) REFERÊNCIAS

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Editora da universidade de São Paulo, 1974.

BRASIL. Ministério da Educação e do desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática, 5ª a 8ª séries. Brasília: MEC/SEF, 1998.

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa,1951.

CARRAHER,Terezinha Nunes et..al.”Proporcionalidade na educação científica e matemática: quantidades medidas por razões. Revista Brasileira de Estudos Pedagógic os . Brasília. v. 67, n. 155, p. 93-107, abr., 1986.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução: Higino H. Domingues. Campinas: Unicamp, 2004.

MIGUEL, Antonio; Miorin, Maria Angela. História na Educação Matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.

MISAILIDOU, C.e WILLIAMS,J.(,2004).Improving performance on ratio tasks: Can pupils convert their additive approach? Comunicação no ICME-10. (www.icme-organisers.dk/tsg01/Misailidou_rev1.doc.,em 10/02/2010).

PARANÁ. Secretaria de Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública do Estado do Paraná. Curitiba, 2006.

Papiro de Rhind. Disponível em:(www.malhatlantica.pt/mathis/egipto/rhind/Rhind5.htm). Acessado em: 20 mai. 2010.

COSTA, Sara; Ponte, João Pedro da. O raciocínio proporcional dos alunos do 2º ciclo do ensino básico. Disponível em: revista.educ.fc.ul.pt/arquivo/vol_XVI_ 2 /Costa %20e%20Ponte. Acessado em 20/05/2010. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

Resolução de problemas por meio de proporção. Disponível em: www.malhatlantica.pt/.../mat/.../problem_propor_cao.htm . Acessado em 20/05/2010

http://www.malhatlantica.pt/saobruno/Ano08/mat/propor_cao/proporc_html/problem_propor_cao.htm

http://www.malhatlantica.pt/.../mat/.../problem_propor_cao.htm


http://www.icme-organisers.dk/tsg01/Misailidou_rev1.doc.,em

http://www.icme-organisers.dk/tsg01/Misailidou_rev1.doc.,em

http://www.inep.gov.br/pesquisa/bbe-online/lista_perio.asp?tit=REVISTA+BRASILEIRA+DE+ESTUDOS+PEDAG%C3%93GICOS&nl=20

http://www.inep.gov.br/pesquisa/bbe-online/lista_perio.asp?tit=REVISTA+BRASILEIRA+DE+ESTUDOS+PEDAG%C3%93GICOS&nl=20

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