CURVATURA DE GAUSS

DEFINICION FORMAL

La curvatura   gaussiana   de   una   superficie es   un   número   real  (P0)   que   mide   la 

curvatura intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie. Esta curvatura puede 

calcularse   a   partir   de   los   determinantes   de   la primera   y   segunda   formas 

fundamentales de la superficie:

Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está 

relacionada   con   las curvaturas   principales de   cada   punto   (k1 y k2),   mediante   la 

relación K = k1k2.

Tres superficies con curvatura gaussiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva 

(derecha).

Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos 

sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la 

fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura 

gaussiana es igual en todos los puntos e igual a

.

Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura 

gaussiana debe verse como una relación

Donde 

(Una   función   diferenciable   sobre   S)   que   asigna   a   cada   superficie su función   de 

curvaturagaussiana.

La   manera   actual   de   definir   la   curvatura   gaussiana   es   mediante   el operador   de 

forma (del inglés shape operator) de la superficie S:

Definido mediante

Donde   son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la 

posición p.

Con la derivada (jacobiano) del operador de forma:

Uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de 

Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.

Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.

En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-

variedad diferenciables, uno encuentra la relación:

Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es:

Donde se ha usado la parametrización:

DEFINICIÓN INFORMAL

En cualquier punto en una superficie podemos encontrar un vector normal, que está 

en ángulo recto con respecto a la superficie. La intersección de un plano que contiene 

la normal con la superficie va a formar una curva de llama una sección normal y la 

curvatura de esta curva es la curvatura normal. Para la mayoría de los puntos en la 

mayoría de superficies, diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores 

máximo y mínimo de éstos se llaman las curvaturas principales, llamar a estos 1, 2 . La 

curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales? =? 1? 2.

El signo de la curvatura gaussiana puede ser utilizado para caracterizar la superficie.

Si   ambas   curvaturas   principales   son   el   mismo   signo:   1   2>   0,   entonces   la 

curvatura   gaussiana   es  positiva   y   la   superficie   se  dice  que  tiene  un  punto 

elíptico. En tales puntos de la superficie será similar a una cúpula, localmente 

tumbado sobre un lado de su plano tangente. Todas las curvaturas seccionales 

tendrán el mismo signo.

Si   las   curvaturas   principales   tienen   diferentes   signos:   1   2   <0,   entonces   la 

curvatura  gaussiana  es  negativa  y   la   superficie   se  dice  que  tiene  un  punto 

hiperbólico. En tales puntos de la superficie será en forma de silla de montar. 

Durante   dos   direcciones   las   curvaturas   seccionales   serán   cero   dando   las 

instrucciones asintóticas.

Si uno de la curvatura principal es cero: 1 2 = 0, la curvatura gaussiana es cero y 

la superficie se dice que tiene un punto parabólica

La mayoría  de  las  superficies  contienen regiones de curvatura  gaussiana positiva y 

regiones de curvatura gaussiana negativa separados por una curva de puntos con cero 

curvatura de Gauss llamó una línea parabólica.

CONTINUACIÓN DEL DEBATE INFORMAL

En geometría diferencial, las dos curvaturas principales en un punto de una superficie 

dada son  los  valores  propios  del  operador  de forma en el  punto.  Miden cómo  las 

curvas de superficie en diferentes cantidades en diferentes direcciones en ese punto. 

Nosotros representamos a la superficie por el teorema de la función implícita como la 

gráfica de una función, f, de dos variables, de tal manera que el punto p es un punto 

crítico, es decir, el gradiente de f se desvanece. A continuación, la curvatura gaussiana 

de la superficie en p es el determinante de la matriz Hessiana de f. Esta definición 

permite captar de inmediato a la distinción entre la copa/tapa contra punto de silla.

DEFINICIONES ALTERNATIVAS

También se da por

donde es la derivada covariante y g es el tensor métrico.

En un punto p en una superficie regular en R3, la curvatura gaussiana también está 

dada por

donde S es el operador de la forma.

Una fórmula útil para la curvatura gaussiana es la ecuación de Liouville en términos del 

Laplaciano en coordenadas isotérmicas.

Curvatura total

La   integral   de   superficie   de   la   curvatura   gaussiana   sobre   alguna   región   de   una 

superficie se denomina la curvatura total. La curvatura total de un triángulo geodésica 

es igual a la desviación de la suma de sus ángulos de p. La suma de los ángulos de un 

triángulo en una superficie de curvatura positiva será superior a p, mientras que la 

suma de  los  ángulos  de un triángulo  en una superficie  de  curvatura  negativa será 

menor que p. En una superficie de curvatura cero, tal como el plano euclidiano, los 

ángulos sumarán precisamente p.

Un resultado más general es el teorema de Gauss-Bonnet.

Teoremas importantes

Theorema egregium

Theorema egregium estados de Gauss que la curvatura gaussiana de una superficie 

puede determinarse a partir de las mediciones de longitud en la propia superficie. De 

hecho,   se   puede   encontrar   dado   el   conocimiento   completo   de   la   primera   forma 

fundamental y se expresa a través de la primera forma fundamental y sus derivadas 

parciales  de  primer  y   segundo  orden.  Equivalente,  el  determinante  de   la   segunda 

forma  fundamental  de  una   superficie  en  R3  puede  expresarse  así.   El   "notable",   y 

sorprendente,   característica   de   este   teorema   es   que,   aunque   la   definición   de   la 

curvatura gaussiana de una superficie S en R3 ciertamente depende de la forma en que 

la   superficie   se   encuentra   en   el   espacio,   el   resultado   final,   la   propia   curvatura 

gaussiana, se determina por la métrica interior de la superficie sin ninguna referencia 

adicional al espacio ambiente: es una invariante intrínseca. En particular, la curvatura 

gaussiana es invariante bajo deformaciones isométricas de la superficie.

En geometría diferencial contemporánea, una "superficie", consideradas en abstracto, 

es una variedad diferenciable de dos dimensiones. Para conectar este punto de vista 

de  la teoría clásica de superficies,  una superficie tan abstracto se  incrusta en R3 y 

dotado   de   la   métrica   riemanniana   dada   por   la   primera   forma   fundamental. 

Supongamos que la imagen de la incrustación es una superficie S en R3. A isometría 

local es un difeomorfismo f: U? V entre las regiones abiertas de R3 cuya restricción a S 

n U es una isometría en su imagen. Theorema egregium se indica a continuación, de la 

siguiente manera:

 La curvatura de Gauss de una superficie suave embebida en R3 es  invariante bajo 

isometrías locales.

Por ejemplo, la curvatura gaussiana de un tubo cilíndrico es cero, el mismo que para el 

tubo   "desenrollada".   Por   otro   lado,   desde   una   esfera   de   radio   R  tiene   curvatura 

positiva constante R-2 y un plano tiene curvatura constante 0, estas dos superficies no 

son isométrica, incluso localmente. Así pues, cualquier representación plana de incluso 

una parte de una esfera debe falsear las distancias. Por lo tanto, ninguna proyección 

cartográfica es perfecto.

Teorema de Gauss-Bonnet

El teorema de Gauss-Bonnet une la curvatura total de la superficie a su característica 

de   Euler   y   proporciona   un   vínculo   importante   entre   las   propiedades   geométricas 

locales y propiedades topológicas mundial.

Las superficies de curvatura constante

El   teorema   está   importando   de   que   todas   las   superficies   con   la   misma 

curvatura   constante   K   son   localmente   isométricas.   Una   consecuencia   del 

teorema   de   Minding   es   que   cualquier   superficie   cuya   curvatura   es 

idénticamente  igual  a  cero se puede construir  doblando un poco de región 

plana.   Tales   superficies   se   denominan   superficies   desarrollables.   Cuidar 

también planteó la cuestión de si una superficie cerrada con curvatura positiva 

constante es necesariamente rígido.

El teorema de Liebmann respondió la pregunta de Cuidar. Las únicas superficies 

regulares   cerrados,   en   R3   con   constante   curvatura   gaussiana   positiva   son 

esferas.

El teorema de Hilbert dice que no existe superficie regular analítica completa 

en  R3  de   constante   curvatura   gaussiana  negativa.  De  hecho,   la   conclusión 

también es válido para las superficies de clase C2 inmerso en R3, pero se rompe 

por   C1-superficies.   El   pseudoesfera   tiene   constantes   curvatura   gaussiana 

negativa, excepto en su singular cúspide.

Fórmulas alternativas

Gaussiana  curvatura  de una superficie  en R3  puede ser  expresado como  la 

relación de los determinantes de las segunda y primera formas fundamentales:

La   fórmula   Brioschi   da   curvatura   gaussiana   únicamente   en   términos   de   la 

primera forma fundamental:

Para una parametrización ortogonal, curvatura de Gauss es:

Para una superficie descrita como gráfica de una función z = F,  la curvatura 

gaussiana es:

Para una superficie F = 0, la curvatura gaussiana es:

Para una superficie con métrica conforme a la euclidiana, así F = 0 y E = G = es, 

la curvatura de Gauss está dada por:

La curvatura gaussiana es la diferencia entre la limitación de la circunferencia 

de un círculo geodésica y un círculo en el plano:

La   curvatura   gaussiana   es   la   diferencia   entre   limitar   el   área   de   un   disco 

geodésica y un disco en el plano:

La curvatura gaussiana puede expresarse con los símbolos de Christoffel:

ANÁLISIS COMPUTACIONAL DE CURVATURA

Este tipo de análisis resulta más fácil y didáctico.

Estas  herramientas  se pueden utilizar  para obtener   información sobre el  tipo y  la 

cantidad de curvatura en una superficie. El análisis de curvatura gaussiana y media 

puede mostrar si y dónde hay anomalías en la curvatura de una superficie.

Los   cambios   repentinos   como   relieves,   mellas,   áreas   planas,   ondulaciones   o,   en 

general,   áreas   de   curvatura   que   son   superiores   o   inferiores   que   la   superficie 

adyacente se pueden localizar y corregir si es necesario.

La  visualización  de   curvatura  gaussiana   sirve  para  decidir   si  una   superficie  puede 

desarrollarse y convertirse en un patrón plano.

Una   superficie   suave   tiene   dos   curvaturas   principales.   La   curvatura   gaussiana   es 

producto de las curvaturas principales. La curvatura media es el promedio de las dos 

curvaturas principales.

ANÁLISIS DE UNA CURVATURA GAUSSIANA

En   las   imágenes   inferiores,   el   rojo   se   asigna   a   un   valor   positivo   de   la   curvatura 

gaussiana,  el   verde   se  asigna  a   la   curvatura  gaussiana  de  cero  y,  el   azul,   al   valor 

negativo de la curvatura gaussiana.

Cualquier   punto   en   la   superficie   con   valores   de   curvatura   entre   los   valores   que 

especifique se mostrarán usando el color correspondiente. Por ejemplo, los puntos con 

un valor de curvatura a la mitad del valor especificado se verán verdes. Los puntos de 

la superficie que tengan valores de curvatura más allá de la punta final del área roja 

serán rojos y los puntos con valores de curvatura más allá del área azul serán azules.

RESULTADOS DEL ANALISIS

Curvatura positiva

El valor positivo de una curvatura Gaussiana significa que la superficie tiene forma de 

bol.

Curvatura negativa

Un valor negativo significa que la superficie tiene forma de silla de montar.

Curvatura cero

Un valor de cero significa que la superficie es plana al menos en una dirección. (Los 

planos, cilindros y conos tienen una curvatura gaussiana de cero).

Si conoce los intervalos de los valores de la curvatura que está interesado en analizar, 

introduzca dichos valores en los cuadros de edición al lado de las partes roja y azul del 

"arcoiris".  Los valores que utilice para el  color rojo deberían ser diferentes al  valor 

utilizado para el azul, pero el valor para el rojo puede ser mayores o menores que el 

valor para el azul.

MÁS OPCIONES DE ANÁLISIS

Media

Muestra el valor absoluto de la curvatura media. Sirve para hallar áreas de cambio 

brusco en la curvatura de la superficie.

Radio máx

Esta opción es útil para la detección de puntos planos. Defina un valor más bien 

alto para el azul (10 > 100 > 1000) y cerca del infinito para el rojo. Las áreas rojas 

indicarán los puntos planos donde la curvatura es prácticamente cero.

Radio mín

Si quiere desfasar una superficie a una distancia r o quiere fresar una superficie con 

una bola de corte de radio r, cualquier parte de la superficie que se curve con un 

radio menor que r causará problemas.

En el caso de un desfase, obtendrá un objeto retorcido que se atraviesa a sí mismo. 

En el caso del fresado, la bola de corte eliminará el material que quiera mantener.

En estos casos, debe ser capaz de contestar a la pregunta "¿Esta superficie 

presenta alguna parte demasiado doblada?" La opción Radio mín debería ayudarle 

a responder esta pregunta.

ROJO = r AZUL = 1.5 x r

No se puede desfasar/fresar en ninguna parte roja de la superficie. Las áreas de 

color azul no presentan ningún problema. Sin embargo, debería desconfiar de las 

áreas de verde a rojo.

Intervalo automático

Con el uso del mapeado de color falso, el comando AnálisisDeCurvatura analiza la 

curvatura de superficie. Debe mapear los valores correspondientes a los colores 

saturados del ordenador. En un punto de inicio, utilice la opción Intervalo

automático y ajuste los valores para que sean simétricos pero con magnitudes 

comparables a las seleccionadas por Intervalo automático.

El comando AnálisisCurvatura intenta recordar los parámetros utilizados la última 

vez que analizó una superficie. Si ha modificado totalmente la geometría de una 

superficie o ha cambiado a una nueva superficie, estos valores no serán adecuados. 

En este caso puede utilizar el comando Intervalo automático para calcular 

automáticamente un valor de curvatura en un mapeado de color que resultará en 

una buena distribución del color.

Intervalo máx

Escoja esta opción si desear que el máximo de curvatura se mapee en rojo y el 

mínimo en azul. En superficies con extrema variación de curvatura, esto puede dar 

lugar a una imagen que no proporciona ningún tipo de información.

Curvatura de curva

Para comprender la curvatura Gaussiana de un punto en una superficie, en primer 

lugar debe saber cuál es la curvatura de la curva.

En cualquier punto en una curva del plano, la línea que mejor se aproxima a la curva 

que atraviesa este punto es la línea tangente. También podemos encontrar el círculo 

más aproximado que atraviese este punto y sea tangente a la curva. La inversa del 

radio de este círculo es la curvatura de la curva en este punto.

El círculo más aproximado puede estar situado a la izquierda de la curva o a la derecha 

la curva. Si tenemos esto en cuenta, podemos establecer dar el símbolo positivo de 

curvatura si el círculo se encuentra a la izquierda y negativo si el círculo se encuentra a 

la derecha de la curva. Esto se denomina curvatura señalada.

La curvatura de sección normal es una generalización de la curvatura aplicada a las 

superficies. Dado un punto en la superficie y una dirección situada en el plano 

tangente de la superficie en ese punto, la curvatura de sección normal se calcula 

intersecando la superficie con el plano segmentado por el punto, la normal a la 

superficie en ese punto y la dirección. La curvatura de sección normal es la curvatura 

señalada de esta curva en el punto de interés.

Si miramos en todas las direcciones en el plano tangente a la superficie en nuestro 

punto y calculamos la curvatura de sección normal en todas esas direcciones, 

entonces habrá un valor máximo y un valor mínimo.

CURVATURA DE SUPERFICIE

Curvatura gaussiana

La curvatura gaussiana de una superficie en un punto es el producto de las curvaturas 

principales   en   ese   punto.   El   plano   tangente   de   cualquier   punto   con   curvatura 

gaussiana  positiva   toca   la   superficie   en  un   sólo  punto,  mientras  que  el   plano  de 

cualquier punto con curvatura gaussiana negativa corta la superficie. Cualquier punto 

con un curvatura media de cero tiene una curvatura gaussiana negativa o de cero.

Curvaturas principales

Las curvaturas principales de una superficie en un punto son el mínimo y el máximo de 

las curvaturas normales en ese punto. (Las curvaturas normales son las curvaturas de 

las curvas en la superficie situadas en planos que incluyen el vector tangente en un 

punto determinado.)  Las curvaturas principales se usan para calcular  las curvaturas 

gaussianas y medias de la superficie.

Curvatura media

La curvatura Media de una superficie en un punto es el  producto de  las curvaturas 

principales en ese punto. Cualquier punto con un curvatura media de cero tiene una 

curvatura gaussiana negativa o de cero.

Las   superficies   con   una   curvatura  media   de   cero   en   todas  partes   son   superficies 

mínimas. Las superficies con una curvatura media constante en todas partes a menudo 

se conocen como superficies de curvatura media constante (CMC).

Las superficies CMC tienen la misma curvatura media en toda la superficie.

Los   procesos   físicos   que   pueden   ser   modelados   por   superficies   CMC   incluyen   la 

formación   de   burbujas   de   jabón,   tanto   libres   como   asociadas   a   los   objetos.   Una 

burbuja de jabón, a diferencia de una simple capa de jabón, encierra un volumen y 

existe en un equilibrio donde la presión ligeramente mayor dentro de la burbuja queda 

compensada por las fuerzas de superficie mínima de la misma burbuja.

Las superficies mínimas son el subconjunto de superficies CMC donde la curvatura es 

cero en todas partes.

Los procesos físicos que pueden ser modelados por superficies mínimas incluyen la 

formación   de   capas  de   jabón  que   se   extienden   en   objetos   fijos,   como  bucles   de 

estructura alámbrica. Una capa de jabón no se deforma por la presión del aire (que es 

igual en ambos lados) y es libre de minimizar su área. Por el contrario, una burbuja de 

jabón encierra una cantidad fija de aire y tiene presiones desiguales en el interior y el 

exterior.