Curso MAT442 - EDP 442/2015-II/slides/Aula 5 e 6 - MA… · Xn k=1 a2 k + b 2 k 1 L Z L L jf...

Curso MAT442 - EDP

Anderson Luis Albuquerque de Araujo

Universidade Federal de VicosaUFV

6 de abril de 2015

Parte I

Convergencia das series de Fourier

Convergencia Pontual da serie de Fourier

Enunciamos agora um resultado sobre a convergencia da serie deFourier no ponto x .

Teorema(Teste de Dini). Seja f : R→ R uma funcao periodica de perıodo2L e `1 em [−L, L]. Fixado x, em [−L, L], suponha que f (x + 0) ef(x - 0) existam e que exista η > 0 tal que∫ η

0

∣∣∣∣g(x , t)

t

∣∣∣∣ dt <∞. (1)

Entao en(x)→ 0, ou seja, sn(x)→ [f (x + 0) + f (x − 0)]/2,quando n→∞.

Convergencia Pontual da serie de FourierDemonstracao do teste de Dini. Primeiramente, decompomosen(x) em duas partes:

en(x) =

∫ δ

0tDn(t)

g(x , t)

tdt +

∫ L

δsen

[(n +

1

2

)πt

L

]g(x , t)

2Lsenπt2L

dt.

A primeira integral sera feita pequena tomando-se δconvenientemente pequeno e usando (1). Quanto a segundaintegral, usaremos o lema de Riemann-Lebesgue. Vejamos osdetalhes: como

|tDn(t)| ≤ t

2Lsenπt2L

(2)

e como a funcao no segundo membro de (2) e contınua e crescenteem [0, L], obtemos a estimativa

|tDn(t)| ≤ 1

2, para t ∈ [0, L].

Convergencia Pontual da serie de Fourier

Logo, dado ε > 0, tome δ < minL, η, tal que∣∣∣∣∫ δ

0tDn(t)

g(x , t)

tdt

∣∣∣∣ ≤ 1

2

∫ δ

0

∣∣∣∣g(x , t)

t

∣∣∣∣ dt <ε

2,

o que e possıvel pela Hipotese (1). Agora com esse δ fixado, olhe asegunda integral. Para aplicar o lema Riemann-Lebesgue, bastaverificar se a funcao

h(t) =g(x , t)

2Lsenπt2L

, t ∈ [δ, L]

e integravel. Mas isso e imediato porque o denominador nunca seanula em [δ, L] e g e integravel. Logo, para n suficientementegrande ∣∣∣∣∫ L

δsen

[(n +

1

2)πt

L

]g(x , t)

2Lsenπt2L

dt

∣∣∣∣ < ε

2,

e o teste de Dini fica provado.

Convergencia Pontual da serie de FourierO teste de Dini pode ser utilizado para obter condicoes suficientespara convergencia da serie de Fourier, condicoes que sejam maisfacilmente verificaveis.Aplicacao 1: Suponha que f seja Holder contınua na vizinhancado ponto x , isto e, que existam constantes α > 0, δ > 0 e K > 0tais que

|f (t)− f (s)| ≤ K |t − s|α

para t, s ∈ [x − δ, x + δ]. Da desigualdade anterior, temos que f econtınua em x , e, portanto, f (x + 0) = f (x − 0) = f (x). Issojuntamente com a ultima desigualdade implica

|g(x , t)| ≤ |f (x + t)− f (x)|+ |f (x − t)− f (x)| ≤ 2K |t|α.

Logo, ∫ δ

0|g(x , t)

t|dt ≤ 2K

∫ δ

0tα−1dt <∞,

e assim mostramos que a condicao (1) do Teste de Dini se verifica.

Desigualdade de BesselMostremos inicialmente que as reduzidas sn(x) da serie de Fourierde uma funcao f de quadrado integravel sao os polinomiostrigonometricos que melhor aproximam f em media quadratica.Mais precisamente, considere um polinomio trigonometrico deordem n:

tn(x) =c0

2+

n∑k=1

(ck cos

kπ x

L+ dksen

kπ x

L

),

e sejam

en =

∫ L

−L|sn(x)− f (x)|2ds

e

en =

∫ L

−L|tn(x)− f (x)|2ds.

Entao, podemos provar que

en ≤ en. (3)

Desigualdade de BesselNa demonstracao de (3) usamos relacoes de ortogonalidade dasfuncoes trigonometricas. Usano as expressoes dos coeficientes deFourier, otemos

en =L

2c2

0 + Ln∑

k=1

(c2k + d2

k

)+

+

∫ L

−L|f (x)|2dx − La0c0 − 2L

n∑k=1

(akck + bkdk) .

Completando quadrados temos

en =L

2(c0 − a0)2 − La2

0

2+ L

n∑k=1

(ck − dk)2 +

+Ln∑

k=1

(dk − bk)2 +

∫ L

−L|f (x)|2dx − L

n∑k=1

(a2k + b2

k

).

Desigualdade de BesselAgora e so notar que o menor valor de en sera obtido quandoc0 = a0, ck = ak , dk = bk para k = 1, 2, . . . , n. Neste caso, temosque en coincide com en. Logo, em geral en ≤ en.Para provarmos a desigualdade de Bessel

a20

2+∞∑k=1

(a2k + b2

k

)≤ 1

L

∫ L

−L|f (x)|2dx , (4)

observemos que 0 ≤ en, para qualquer escolha dos coeficientes ck edk . Portanto, para ck = ak e dk = bk temos

0 ≤ en =

∫ L

−L|f (x)|2dx − L

a20

2− L

n∑k=1

(a2k + b2

k

), (5)

e daı,a2

0

2+

n∑k=1

(a2k + b2

k

)≤ 1

L

∫ L

−L|f (x)|2dx .

Como a desigualdade vale para todo n, segue (4).

Desigualdade de Bessel

Consideremos uma funcao f : R→ R seccionalmente contınua e2L-periodica. Representemos por sn(x) a reduzida de ordem n

sn(x) =a0

2+

n∑k=1

(ak cos

kπ x

L+ bksen

kπ x

L

),

e por σn+1, a media aritmetica de so , s1, ..., sn:

σn+1(x) =1

n + 1(s0 + ...+ sn).

Ja vimos anteriormente que

sn(x) =

∫ L

−LDn(x − y)f (y)dy ,

onde


Dn(x) =1

2L

sen(n + 12 )πxL

senπx2L

, (6)

para n 6= 0,±2π,±4π, .... Logo,

σn+1(x) =

∫ L

−LFn(x − y)f (y)dy , (7)

onde

Fn+1(x) =1

n + 1

n∑k=0

Dk(x),

que e chamdo nucleo de Fejer.


Teorema (Teorema de Fejer)

Seja f : R→ R uma funcao seccionalmente contınua, 2L-periodica.Entao,

i) para cada x,

limσ(x) =1

2[f (x + 0) + f (x − 0)],

ii) a sucessao (σn) converge uniformemente para f emtodo intervalo fechado I que nao contenha pontos dedescontinuidade de f .

Demonstracao: Exercıcio.

Identidade de Parseval

Agora provaremos a identidade de Parseval

a20

2+∞∑k=1

(a2k + b2

k

)=

1

L

∫ L

−L|f (x)|2dx . (8)

Notemos que para provar a identidade de Parseval, e suficientemostrar que

limn→∞

en = 0, (9)

ou seja, mostraremos que

limn→∞

∫ L

−L|sn(x)− f (x)|2ds = 0, (10)

para toda funcao quadrado integravel em [−L, L].


TeoremaSeja f : R→ R uma funcao 2L-periodica, e de quadrado integravelem [−L, L]. Entao a serie de Fourier da f converge em mediaquadratica para f , ou seja, a relacao (10) e valida.

Demonstracao no caso de f contınua: Pelo teorema de Fejer, asucessao (σn) das medias aritmeticas das reduzidas sn convergeuniformemente para f em [−L, L], i.e.,

max−L≤x≤L

|σn(x)− f (x)| → 0, n→∞.

Como ∫ L

−L|σn(x)− f (x)|2dx ≤ 2L max

−L≤x≤L|σn(x)− f (x)|2,

temos que


Demonstracao no caso geral: Podemos mostrar que toda funcaof quadrado integravel pode ser aproximada em media quadraticapor funcoes contınuas ψ. E, alem disso, se f for 2L-periodica,entao ψ tambem sera. Pordedemos a demonstracao do teorema.Dado ε > 0, devemos provar que existe n0 tal que∫ L

−L|sn(x)− f (x)|2dx < ε, (12)

para todo n ≥ n0. Pelo que acabamos de discutir, existeψ : R→ R contınua e 2L-periodica tal que∫ L

−L|ψ(x)− f (x)|2dx <

ε2

4. (13)

Identidade de ParsevalPor outro lado aplicado a parte do teorema ja demonstrado para ocaso de uma funcao cpontınua, segue-se a existencia de n0, tal quepara n ≥ n0, temos∫ L

−L|ψ(x)− sn(x)|2dx <

ε2

4, (14)

onde sn representa a reduzida de ordem n da serie de Fourier de ψ.Agora, pela desigualdade de Minkowski, tem-se[∫ L

−L|f (x)− sn(x)|2dx

]1/2

≤[∫ L

−L|f (x)− ψ(x)|2dx

]1/2

+

+

[∫ L

−L|ψ(x)− sn(x)|2dx

]1/2

,

e usando (13) e (14),∫ L

−L|f (x)− sn(x)|2dx < ε2 < ε,


se ε < 1. Como s e um polinomio trigonometrico de ordem n, peloque ja vimos antes∫ L

−L|f (x)− sn(x)|2dx ≤

∫ L

−L|f (x)− sn(x)|2dx < ε

para n ≥ n0, o que prova o teorema.

Convergencia Uniforme da serie de Fourier

Nesta secao, estudaremos condicoes suficientes sobre f(2L-periodica) demodo a garantir a convergencia uniforme de suaserie de Fourier. A ideia e aplicar o teste M de Weierstrass. Como

|an cosnπ x

L| ≤ |an|, |bn cos

nπ x

L| ≤ |bn|,

devemos ver em que condicoes a serie nu,erica

∞∑n=1

(|an|+ |bn|) (15)

converge.


Para isso, suponhamos que f seja contınua e que a derivadaprimeira seja uma funcao de L2. Entao, usando integracao porpartes concluimo que

an =−L

π nb′n, bn =

−L

π na′n,

onde a′n e b′n designam os coeficientes de Fourier de f ′. Portanto,a reduzida de ordem n de (15) e

n∑k=1

(|ak |+ |bk |) =L

π

n∑k=1

1

k(|a′k |+ |b′k |), (16)

aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz para vetores do Rn,temos


n∑k=1

(|ak |+ |bk |) ≤L

π

(n∑

k=1

1

k2

)1/2( n∑k=1

(|a′k |+ |b′k |)2

)1/2

≤√

2L

π

(n∑

k=1

1

k2

)1/2( n∑k=1

(|a′k |2 + |b′k |2)

)1/2

,

onde usamos que (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).Portanto, (15) e majorada por

≤√

2L

π

( ∞∑k=1

1

k2

)1/2( ∞∑k=1

(|a′k |2 + |b′k |2)

)1/2

,

onde ambas convergem, a segunda convergindo pela desigualdadede Bessel.


Resumindo provamos o seguinte teorema.

Teorema (Primeiro teorema sobre convergencia uniforme daserie de Fourier)

Seja f uma funcao 2L-periodica, contınua e com derivada primeirade quadrado integravel. Entao, a serie de Fourier de f convergeuniformemente para f .

Parte II

A equacao do calor

A equacao do calor

Neste capıtulo discutiremos alguns problemas envolvendo aequacao de calor a uma dimensao espacial. Primeiramenteestudaremos problemas em um intervalo finito e, depois, na retainteira, o que nos levara naturalmente a introducao datransformada de Fourier.

Separacao de Variaveis

Neste capıtulo, usaremos um problema envolvendo a equacao docalor para introduzir a ideia basica do metodo de separacao devariaveis o que nos levara, de forma natural as series de Fourier.Usaremos o problema:

µt = α2µxx em (0, l)× (0,∞),µ(0, t) = 0 = µ(l , t), t ≥ 0,µ(x , 0) = f (x), x ∈ [0, l ],

(17)

onde f tem que satisfazer a condicao de compatibilidade

f (0) = 0 = f (l)


Princıpio da Superposicao:

Proposicao

Seja L um operador diferencial parcial linear de ordem k cujoscoeficientes estao definidos em um aberto Ω ⊂ R2. Suponha queum+∞

m=1 e um conjunto de funcoes de classe C k em Ωsatisfazendo a EDP linear homogenea Lum = 0. Entao, seαm+∞

m=1 e uma sequencia de escalares tal que a serie

u(x) =∞∑

m=1

αmum(x)

e convergente e k vezes diferenciavel termo a termo em Ω, entao usatisfaz Lu = 0.

A ideia entao e procurar uma familia de solucoes um+∞m=1 de (17)

tal que todas as solucoes possam ser expressas da forma


µ(x , t) =∞∑n=1

αnun(x , t)

f (x) =∞∑n=1

αnun(x , 0)(18)

Vamos procurar solucoes da forma(Utilizando Separacao deVariaveis):

µ(x , t) = ϕ(x)ψ(t) (19)

Substituindo na EDP:

µt = ϕ2µxx ,

temos

ϕ(x)ψ′(t) = α2ϕ

′′(x)ψ(t).


Dividindo por α2ϕ(x)ψ(t) (onde ϕ e ψ nao se anulam),

ϕ′′

(x)ϕ(x) = 1

α2ψ′(t)

ψ(t)(20)

O lado esquerdo da equacao e uma funcao so de x e quanto o ladodireito depende apenas de t, logo ambos os lados tem que seriguais a uma mesma constante que chamaremos de −λ. Obtemosentao duas EDO’s

−ϕ′′ = λϕ(x),

ψ′

= −α2λψ(t).

Separacao de VariaveisEstamos procurando solucoesu ∈ C 2((0, l)× (0,+∞)) ∩ C ([0, l ]× [0,+∞]), logo queremos

ϕ ∈ C 2((0, l) ∩ C [0, l ]) e ψ ∈ C 2((0,+∞)) ∩ C ([0,+∞)).

Impondo a condicao de contorno,

ϕ(0)ψ(t) = 0 = ϕ(l)ψ(t), ∀t ≥ 0

e portanto, como nao queremos solucoes indenticamente nulas, ϕ esolucao do problema

ϕ′′

(x) + λϕ(x) = 0, 0 < x < l ,ϕ(0) = 0 = ϕ(l),

(21)

enquanto que ψ e qualquer solucao da EDO

ψ′′

(t) + α2λψ(t) = 0. (22)


Um valor de λ para o qual tem solucao trivial (isto e, que nao eidenticamente nula) e chamado de auto-valor do problema e assolucoes nao trivais correspondentes sao as auto-funcoescorrespondentes ao auto-valor λ.Como estamos procurando solucoes reais e - λ e igual a ambos oslados da equacao, e claro que so nos interessam os casos em queλ ∈ R . Mas de fato os auto-valores do problema sao sempre reaise positivos. Para provar isso, vamos adimitir por um instantesolucoes complexas e vamos introduzir um porduto interno noespaco CC([0, l ]), de todas as funcoes contınuas [0, l ]→ C : sef , g ∈ CC([0, l ]), definimos

(f |g) =

∫ 1

0f (x)g(x)dx , (23)

onde g(x) e o complexo conjugado de g(x), x ∈ [0, l ].


Proposicao

definido por 23 e um produto inteno em CC([0, l ]), isto e, satisfazas seguintes propriedades:

1. (f |f ) ≥ 0, ∀f ∈ CC([0, l ]);

2. (f |f ) = 0⇐⇒ f = 0;

3. (αf + g |h) = α(f |h) + (g |h),∀f , g , h ∈ CC(0, l), ∀α ∈ C;

4. (f |g) = (g |f ),∀f , g ∈ CC([0, l ]).

A demonstracao da proposicao e muito simples: basta escrever oproduto interno como uma integral e usar as propriedadeselementares da integral de funcoes contınuas.

Separacao de VariaveisVoltando ao problema (18), se λ ∈ C e um auto-valor e ϕ umaauto-funcao associada, ϕ ∈ C 2

C((0, l)) ∩ CC([0, l ]), note que, comoϕ′′

= −λϕ, existem os limites

limx→0+

ϕ′′

(x) = −λ limx→0+

ϕ(x) = −λϕ(0) = 0, limx→1−

ϕ′′

(l) = −λ limx→1−

ϕ(x) = −λϕ(l) = 0;

por outro lado, como ϕ e contınua no intervalo fechado,

λ

∫ x

0ϕ(y)dy = lim

a→0+

∫ x

aϕ′′

(y)dy = lima→0+

[ϕ′(x)− ϕ′(a)],

λ

∫ 1

xϕ(y)dy = lim

b→l−

∫ b

xϕ′′

(y)dy = limb→l−

[ϕ′(b)− ϕ′(x)],

logo existem os limites

lima→0+

ϕ′(a), lim

b→l−ϕ′(b).

Separacao de VariaveisEssas propriedades nos permitem integrar as funcoes ϕ

′′e ϕ

′no

intervalo [0, l ]. Usando a EDP e integrando por partes, obtemos:

λ(ϕ|ϕ) = (λϕ|ϕ) = (−ϕ′′ |ϕ) = −∫ 1

0ϕ′′

(x)ϕ(x)dx

= − lim(a→0+)→(b→l−)

∫ b

aϕ′′

(x)ϕ(x)dx

= − lim(a→0+)→(b→l−)

[ϕ′(x)ϕ(x)

∣∣∣ba − ∫ b

aϕ′(x)ϕ(x)dx

]= − lim

(a→0+)→(b→l−)

[ϕ′(b)ϕ(b)− ϕ′(a)ϕ(a)

]+

∫ 1

0|ϕ′(x)|2dx

= (ϕ′ |ϕ′) > 0

pois a unica solucao constante do problema e ϕ ≡ 0, logo, como(ϕ|ϕ) > 0, λ > 0. E interessante notar tambem que se ϕ1 e ϕ2

sao auto-funcoes correspondente a auto-valores distintos λ1 e λ2

entao ϕ1 e ϕ2 sao ortogonais em relacao ao produto interno (18),isto e, (ϕ1|ϕ2) = 0: de fato, tomando limites como acima, vemosque podemos integrar por partes duas vezes para obter


λ1(ϕ1|ϕ2) = (λ1ϕ1|ϕ2) = (ϕ′′1 |ϕ2)

= −∫ 1

0ϕ′′1(x)ϕ2(x)dx

=

∫ 1

0ϕ′1(x)ϕ

′2(x)dx

= −∫ 1

0ϕ1(x)ϕ

′′2(x)dx

= (ϕ1|ϕ′′2)

= (ϕ1|λ2ϕ2) = λ2(ϕ1|ϕ2)

logo, como λ1 6= λ2, (ϕ1|ϕ2) = 0. Logo, impondo condcoes depositividade temos que a solucao geral da EDO (21) e:

ϕ(x) = a cos(√λx) + b sin(

√λl)

onde a, b ∈ R sao arbitrarios.


Impondo as condicoes de contorno,

ϕ(0) = a = 0

ϕ(l) = b sin(√λl) = 0.

como ϕ 6= 0, b 6= 0 e sin(√λl) = 0, logo

√λl = nπ para algum

n ∈ Z, n 6= 0, e portanto

√λl = nπ

(√λ)2 = (nπl )2

λ = (n2π2

l2), n ∈ N

onde λ sao os auto-valores de

ϕ′′

(x) + λϕ(x) = 0, 0 < x < lϕ(0) = 0 = ϕ(l)

e ϕ(x) = b sin(nπxl ), x ∈ [0, l ] as auto funcoes associadas.


Vamos agora resolver a equacao (22):

ψ(t) = ke−α2λt ,k e constante

λ = n2π2

l2, entao

ψ(t) = e(−α2n2π2tl2

).

Voltando a EDP:

un(x , t) = b sin (nπxl )exp(−α2n2π2tl2

)x ∈ [0, l ], t ≥ 0, n ∈ N.

Formalmente, ou seja, sem levar em consideracao a convergenciada serie, pelo Princıpio da Superposicao

µ(x , t) =∞∑n=1

bn sin (nπx

l)exp(

−α2n2π2t

l2), x ∈ [0, l ], t ≥ 0

sera solucao de


µt = α2µxx em (0, l)× (0,+∞),µ(0, t) = 0 = µ(l , t), t ≥ 0.

Procuramos solucao da equacao

µt = α2µxx em (0, l)× (0,+∞),µ(0, t) = 0 = µ(l , t), t ≥ 0.µ(x , 0) = f (x), x ∈ [0, l ],

supondo a condicao inicial

f (0) = 0 = f (l)

entao

f (x) =∞∑n=1

bn sin(nπx

l), x ∈ [0, l ].

Curso MAT442 - EDP 442/2015-II/slides/Aula 5 e 6 - MA… · Xn k=1 a2 k + b 2 k 1 L Z L L jf...

Documents

Transcript of Curso MAT442 - EDP 442/2015-II/slides/Aula 5 e 6 - MA… · Xn k=1 a2 k + b 2 k 1 L Z L L jf...