Professora: Maria Gorete N. BrumOrientador: Profª. Dr. ELENI BISOGNI

Atividades Investigativas no Ensino de Matemática para

alunos de 5º Série do Ensino Fundamental

Junho - 2012

CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA

FRANCISCANO

CENTRO UNIVERSITÁRIO

IntroduçãoJoão Pedro da Ponte. Joana Brocardo e Hélia Oliveira (2003), afirmam que investigar constitui uma poderosa forma de construir o conhecimento e isso vem ao encontro dos propósitos deste trabalho. Isto é, buscar uma forma de ajudar os alunos a construírem seus conhecimentos em matemática e não simplesmente decorarem as fórmulas.

A exploração de padrões e regularidades em sequências numéricas e geométricas, por meio de atividades investigativas, contribui para a aprendizagem da matemática dos alunos de 5ª série do ensino fundamental?.

Problema de Pesquisa

OBJETIVO GERAL

Analisar as contribuições da utilização de atividades investigativas na exploração de padrões e regularidades em sequências numéricas e geométricas como elementos facilitadores da aprendizagem dos alunos de 5º série do Ensino Fundamental.

Objetivos Específicos• Analisar como os alunos identificam as regularidades das

figuras para construir generalizações.

• Analisar se os alunos estabelecem relações entre as representações geométricas e as expressões algébricas.

• Analisar se as atividades investigativas apresentadas propiciam aos alunos construir o conceito de número par, ímpar e múltiplos de números naturais.

• Analisar se as atividades investigativas apresentadas propiciam aos alunos construir conceito de potência de um número natural.

• Analisar se as atividades investigativas favorecem a construção do conceito de perímetro e área de uma figura plana.

METODOLOGIA DA PESQUISA

Pesquisa de cunho qualitativa interpretativa.

Goldenberg (2005) diz que :

Os dados qualitativos consistem em descrições detalhadas de

situações com o objetivo de compreender os indivíduos em seus

próprios termos. Estes dados não são padronizáveis como os

dados quantitativos, obrigando o pesquisador a ter flexibilidade e

criatividade no momento de coletá-los e analisá-los (p.53).

Lüdke e André (1986) afirmam “que a pesquisa qualitativa

tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o

pesquisador como seu principal instrumento. [...] A preocupação

com o processo é muito maior do que com o produto” (p.12). E,

que os dados coletados devem ser predominantemente

descritivos.

A coleta de dados dessa pesquisa foi realizada no próprio

local onde o fenômeno aconteceu, isto é, na sala de aula por

meio da observação, que é uma das modalidades destacadas por

Fiorentini e Lorenzato (2007).

INSTRUMENTOS DE PESQUISA

Utilizou-se os relatório escrito pelos integrantes dos grupos com suas conclusões, o raciocínio desenvolvido para chegar às conclusões, as idéias que foram surgindo durante o processo do trabalho investigativo.

Observou-se todas as ações desenvolvidas pelos alunos durante a realização das tarefas.

Manteve-se um dialogo constante com os alunos para verificar as dificuldades que iam surgindo, para melhor auxiliá-los.

Todas as observações foram anotadas em seu diário de campo.

As apresentações orais dos resultados obtidos pelo grupo ocorreu na fase final da investigação matemática.

Trabalhar as potências dos números naturais.

Explorar o conceito de padrões reconhecer, descrever e continuar a sequência.

Explorar a noção e a propriedade dos números pares , ímpares e seus múltiplos.

Conceito de área e de perímetro de figuras planas.

ATIVIDADES POR OBJETIVOS

1

3

2

4

Atividade 1

As figuras do desenho, a seguir, se repetem.

• Identifique o conjunto de elementos que se repete.

• Que figura estará na 15ª posição?

• Em que posição estará o décimo quadrado?

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?????

Alguns grupos contaram até a 10ª figura e responderam que era o 3º quadrado da sequência.

Outros para entender melhor desenharam até chegar ao 10º quadrado para contar e ver qual a posição que ocuparia.

Apresentou-se aos alunos a sequência, a seguir:

• Identifique o conjunto de elementos que se repete e continue o desenho.

Atividade 2

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Devido as dificuldades apresentada a professora começou a indagá-los:

A primeira figura é de que forma? A primeira figura

é um quadradinho

verde.A segunda figura é de que forma?

A segunda figura são dois quadradinhos na

vertical um verde ( em baixo) e um laranja ( em

cima).

E a terceira? A terceira figura é um quadradinho

laranja.

E a quarta figura como está representada?

A quarta figura é igual à segunda,

porém invertida. A quinta é igual a

primeira.

E a quinta figura como está representada?

O que vocês observam na quinta figura?Começa a repetir. A partir da quinta figura começa a repetir, professora. A fig1 repete nos números: 1, 5, 9, 13,17 e 21.A fig2 repete nos números: 2, 6, 10, 14, 18 e 22.

Que significa isso?

Quais os seis primeiros números que repetem as fig1 e a fig2?

Qual é a figura que estará na 61º posição?

A fig3 repete nos números: 3, 7, 11, 15, 19 e 23. A fig4 repete nos números: 4, 8, 12, 16, 20 e 24.A fig3 repete nos ímpares. A fig4 repete nos pares.

Analisem as fig3 e 4 e identifiquem em que fichas elas se repetem.

Os alunos perceberam que as fig 1 e a fig 3 poderiam estar na 61º posição.

Tiveram que fazer muitas representações para chegar à conclusão que na posição 61 a fig1 é que se repetia.

Atividade 3

...

Analise as figuras 1, 2, 3 e 4 a seguir, compare-as e escreva suas conclusões.

O que vocês observam ao comparar as figuras?

Qual a diferença da fig1. para a fig2., e da fig3. para a fig4.?Quantas bolinhas terá a fig. 10?

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É possível determinar quanto às figuras da sequência aumentaram?

Vocês notaram que as figuras estão aumentando?

Quais estão aumentando?

Professora! O número de bolinhas rosa aumenta e que o

número de bolinhas azuis permanece

constante.

De quanto é esse aumento?

As bolinhas cor de rosa

aumentam de 3 em 3.

Aumentam de que forma?

Na horizontal aumenta apenas uma e na vertical aumentam duas bolinhas cor de rosa. As bolinhas azuis permanecem

constantes.

Considerando as conclusões que vocês chegaram desenhem a fig5 e a fig 6.

A fig1 possui 3 bolinhas; A fig2 possui 6 bolinhas;A fig3 possui 9 bolinhas; A fig4 possui 12 bolinhas.

É possível saber de quantas bolinhas aumenta a próxima figura?

Professora! As figuras aumentam de 3 em 3, então, podemos multiplicar o

número da figura por 3 e temos o total de bolinhas.

Atividade 4Foi apresentada a sequência, a seguir, e solicitou-se aos alunos que construíssem as figuras 4 e 5.

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Quantas bolinhas azuis a fig1 tem ?

E quantas cor de rosa?

A fig.2 tem quantas bolinas azuis e quantas cor de rosa? E a fig3? E a fig4?

Os alunos respondiam oralmente e a professora colocava na lousa.

A partir das conclusões que vocês chegarem podem fazer qualquer figura sem precisar desenhar?

Esse momento em que os grupos expõem seus resultados é um momento muito rico para um debate com o grande grupo e também para o professor avaliar o trabalho desenvolvido.

Professora! Aumenta duas bolinhas na vertical (em pé) e duas bolinhas na horizontal (deitada), sempre com 4 bolinhas azuis.

Essas atividades iniciais serviram para os alunos terem um

contato com o material didático manipulável e as primeiras noções

com sequências de figuras. No primeiro momento eles não sabiam

o que era para fazer e ficaram um pouco perdidos, olhavam para a

sequência e não conseguiam perceber quase nada. No decorrer das

atividades foram se familiarizando com as questões e aprendendo a

olhar para a sequência e retirar algumas informações para

chegarem aos resultados.

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Atividade 5

Analise os desenhos a seguir e construa os dois próximos desenhos da sequência: Tente descobrir quantas bolinhas têm na 1º linha de cada figura.

...

a)

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A professora organizou um quadro com os resultados obtidos pelos alunos.

Perceberam que no primeiro desenho tinha1 bolinha, no segundo desenho tinha 3 bolinhas na primeira linha, no terceiro desenho tinha 5 bolinhas, no quarto desenho tinha 7 bolinhas. Logo concluíram que a primeira linha do desenho estava aumentando de acordo com a sequência: 1, 3, 5, 7, 9, ....

Professora! São os números

ímpares.

quantas bolinhas teriam a 1º linha do 6º desenho?

2 bolinhas, professora!

Como se escreve um número ímpar?

Olhando para a sequência dos números ímpares, o que vocês percebem?

????????????

Como podemos escrever um número ímpar utilizando os números naturais?

Como posso escrever o número 1 utilizando os números naturais a partir do número zero?

Depois de muitas tentativas de respostas um grupo conseguiu chegar a uma conclusão.

Professora! O número 1 é igual 2 vezes o zero mais

um!

E o número 3 como pode ser representado utilizando os números naturais?

O número 3 é duas vezes o número 1 mais um. É só multiplicar por

2 e somar 1.

A professora concluiu com eles que no segundo desenho a 1º linha tinha: 2 x nº da figura + 1, por exemplo:

fig2 = 2 x 2 + 1 = 5 . Este é o número de bolinhas da 1º linha.fig3 = 2 x 3 +1 = 7 . Número de bolinhas da 1º linha.fig4 = 2 x 4 + 1 = 9 . Número de bolinhas da 1º linha. Então, na n-ésima figura resultaFig n = 2 x n + 1

Esta foi uma forma de obter a generalização do resultado e escrever uma expressão para identificar um número ímpar qualquer.

b) A professora colocou mais uma sequência de figuras e solicitou aos alunos que analisassem os desenhos e construíssem os outros dois seguintes.

Quantas bolinhas tem a fig n? CLIQUE

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Como houve divergência com a quantidade de bolinhas das fig5 e fig6 a professora montou um novo quadro com a análise dos resultados, juntamente com os grupos.

Após analisarem a tabela os grupos perceberam que o número de linhas do desenho corresponde ao número da figura e que o número de colunas acrescenta uma unidade.

Fig1 1 X 2 2 BolinhasFig2 2 X 3 6 BolinhasFig3 3 X 4 12 BolinhasFig4 4 X 5 20 BolinhasFig5 5 X 6 30 BolinhasFig6 6 X 7 42 Bolinhas

Quantas bolinhas tem a fig n?

Da mesma forma

professora!

A fig n tem n x (n+1) bolinhas.

Atividade 6 O pedreiro está forrando de azulejos a parede do banheiro. Ele está usando azulejos verdes e rosa e colocou no centro da parede o seguinte desenho:

a) Quantos azulejos verdes há na fila 3?

b) Quantos azulejos há na fila 3?

c) Quantos azulejos há nas sete primeiras filas?

d) Quantos azulejos verdes e quantos azulejos rosa terão na décima fila?

h) Como você pode encontrar o número de azulejos das 12 filas? Como você pode verificar que 144 é a resposta correta?

g) Qual a relação entre o número de azulejos verdes da fila 12 e o número de filas?

- Professora! O número de azulejos verdes é o mesmo número da fila

- O número total de azulejos no desenho é o número de filas vezes ele mesmo.

Essa atividade foi muita rica em discussões, em debates pela diversidade das respostas dos grupos, pois teve mais de uma forma de interpretação e de representar a continuação do desenho.

Atividade 7Nas figuras abaixo, considere um quadradinho como uma unidade e responda:

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a) Quantos quadradinhos verdes e quantos quadradinhos rosa têm as fig 1, fig 2 e fig 3?

b) Compare a fig 1 com a fig 2, a fig 2 com a fig 3, e diga o que vc observa.

Qual a diferença entre elas?

Vamos construir uma tabela com os resultados obtidos até o momento, relacionando o número da figura com a quantidade de quadradinhos verdes e rosa de cada um dos desenhos que vocês construíram.

É possível descobrir quantos quadrados rosa terá a fig 7? Os alunos não perceberam que o número de quadradinhos rosa representava o quadrado do número da figura

Há alguma relação entre o número da figura e o número de quadrados verdes?

Levaram um tempo tentando achar uma relação.

Em um primeiro momento decompuseram o número da seguinte forma como mostram os quadros.

E para descobrir quantos quadrados rosa terá uma figura qualquer?

- Como podemos encontrar o número de quadradinhos verdes de uma figura qualquer?

Embora os alunos não tenham escrito uma expressão algébrica eles conseguiram compreender e expressar uma generalização.

- Como você faria para encontrar a quantidade de quadradinhos verdes da fig 10?

fig10 = 10 + ( 10 + 1)

-substitui pelo número da figura.

Atividade 8Você esta vendo no desenho abaixo, só o começo de uma

fita que tem 60 partes e uma sequência de 6 estampas diferentes que se repetem na mesma ordem.

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a) Continue desenhando a fita até a 12ª parte

b) Qual a estampa da 21ª parte?

E qual o próximo número?

O número 13.

Qual é a sequência que podemos formar com esses números?

Ímpares?

A professora escreveu no quadro os números que os alunos sugeriram: 1, 7, 13, 19, 25, ...

-

Qual é a sequência da segunda estampa, de listas verticais?

2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56.

Perceberam que se continuasse a sequência passaria de 60.

E da terceira estampa?

3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51,57.

E da quarta, quinta e sexta estampa?

4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52 e 58.

5 , 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53 e 59.

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 e 60.

Assim então puderam perceber que a última estampa era idêntica aquela que ocupa a 6ª posição. Era a estampa de linhas transversais que se cruzam. A penúltima estampa, a que ocupa e 59º posição era a estampa de linhas transversais, igual àquela da 5ª posição.

Atividade 9

Analise o desenho abaixo.

1º 2º 3º 4º 5º 6º

Você consegue descobrir qual é a cor da 10ª parte?

E da 15ª parte?

A 15ª parte é o quadradinho preto e a 23ª parte é um quadradinho preto novamente.

E da 23ª parte?

Sem desenhar a fita diga qual é a cor da 50ª parte da fita.

Qual a relação entre a cor da faixa e os números naturais?

Os retângulos pretos são representados pelos números ímpares e os retângulos azuis pelos números pares.

Azul, porque o

número 50 é um

número par.

Embora os alunos ainda precisassem desenhar a sequência para saber a cor do quadradinho em determinada posição, eles se mostraram mais seguros para responder às questões e isso os deixou mais confiantes, determinados e empolgados na realização das atividades. Passaram a olhar as atividades com mais curiosidade e atenção, sabendo que tinham muitas coisas a descobrir.

Atividade 10 Em uma brincadeira de roda as crianças iam falando os números naturais em ordem crescente. Cada criança, em ordem, fala em voz alta um número natural. Começou com o João que falou o número 1, depois Rafaela falou seu sucessor, Fabrício falou o sucessor do número 2 e assim por diante.

João irá falar o número 50?

1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50,...

sim

Quais os seis primeiros números que a Rafaela irá falar?

2, 9, 16, 23, 30, 37,...

Quais os seis primeiros números que Milena irá falar?

4, 11, 18, 25, 32, 39,...

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Em uma colônia de bactérias, observou-se que uma bactéria se divide em duas a cada hora.

Atividade 11

Analisem os números e busquem uma forma de decompô-los.

Devido as várias respostas a professora escreveu no quadro a sequências para analisarem juntos as soluções.

2, 4, 8, 16, 32,...

Como podemos escrever esses números?

Não sabemos

outra maneira!

Como assim

professora?

Então qual a conclusão que vocês chegaram?

Depois de uma hora tem 21bactérias, depois de duas horas tem 22 bactérias, depois de três horas tem 23 bactérias, depois de quatro horas tem 24

bactérias.

A hora vai em cima e o dois sempre em baixo. Após 6 horas é 26, após 7 horas é

27 bactérias e assim por diante.

Depois de n horas quantas bactérias teremos?

Professora é a mesma coisa, basta escrever na

potência n.

Atividade 12 Observe as figuras abaixo:

-A fig A tem uma unidade na base e uma unidade na altura. A fig B tem duas unidades na base e duas unidades na altura. A fig C tem três unidades na base e três unidades na altura. A fig D tem quatro unidades na base e quatro unidades na altura e a fig E tem cinco unidades na base e cinco unidades na altura.

c) Qual é o número de em relação a base e altura de cada uma das figuras?

A fig D tem 64 unidades e a fig E tem 125 unidades, uma diferença de 61 unidades.

d) Qual é a sua conclusão?Na 1º montagem: 1 unidade; Na 2º montagem: 8 unidades; Na 3º montagem: 27 unidades; Na 4º montagem: 64 unidades; Na 5º montagem: 125 unidades;

Observaram a sequência 1, 8, 27, 64 e 125.

1 = 1x1x1 = 18 = 2 x 2 x 2 = 23

27 = 3 x 3 x 3 = 33

64 = 4 x 4 x 4 = 43

125 = 5 x 5 x 5 = 53

- Quantas unidades teriam a 6º montagem? E a 7º montagem?

Professora! A base fica

elevado na três!

- Se tivéssemos necessitaríamos n unidades na base quantas unidades no total?

Essa forma de explorar a potenciação, por meio da montagem das figuras com material concreto, facilitou a compreensão e a aprendizagem dos alunos.

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Atividade 13

As atividades, a seguir têm como objetivo trabalhar o conceito de área e de perímetro de figuras planas.

Nessa atividade foram utilizadas as peças do pentaminó para representar as figuras planas. Um pentaminó é construído unindo-se cinco quadrados de mesma medida, lado a lado. As peças podem ser giradas em todos os sentidos que não formam um pentaminó diferente.

Descubra de quantas maneiras diferentes você consegue agrupar os cinco quadrados. Anote em seu caderno todas as maneiras diferentes que você conseguir.

• Construa uma tabela registrando a área e o perímetro de cada figura construída com as peças do pentaminó.

Professora! Como se calcula o

perímetro dos pentâmeros?

Eles consideraram até os lados internos da figura.

c) Utilizando algumas peças do pentaminó forme quadrados e retângulos. Anote quantos quadrados e quantos retângulos você consegue montar e quantas peças foram utilizadas em cada uma das construções.

Foi necessária a intervenção da professora para concluírem corretamente a questão.

Nessa atividade o desafio começou a aumentar. Encaixar as peças para formar um retângulo, ou quadrado, não foi uma tarefa fácil para eles.

f) Das figuras que você conseguiu montar diga qual tem o maior perímetro e qual tem o menor perímetro.

Quatro retângulos diferentes que um grupo conseguiu montar.

Dois quadrados diferentes que o grupo conseguiu montar.

f) Das figuras que você conseguiu montar diga qual tem o maior perímetro e qual tem o menor perímetro.

Cada grupo respondeu conforme as figuras que conseguiu montar. Alguns montaram figuras com o mesmo perímetro. Os grupos que conseguiram montar mais figuras já puderam fazer mais comparações entre as peças, como foi o caso do grupo 3.

Nenhum grupo conseguiu formar um retângulo utilizando as doze peças do pentaminó.

Atividade 14a) Observe as figuras abaixo e compare a fig 1 com a fig 2, a fig 2 com a

fig 3 e a fig 3 com a fig 4: O que você observa?

b) Qual foi a sua conclusão ao comparar as figuras?

Vocês são capazes de reproduzir estas figuras?

De que forma elas aumentam?

Qual foi a conclusão que vocês chegaram ao comparar as figuras?

A fig2 aumentou dois quadradinhos. A fig3 aumentou três quadradinhos. A fig4 aumentou quatro quadradinhos.

c) Considerando a fig 1 como unidade diga, quantos quadrinhos iguais à fig 1 tem cada uma das figuras?A fig1 tem uma

unidade. A fig2 tem três unidades. A fig3 tem seis unidades. A fig4 tem dez unidades.

d) Desenhe a fig 5 e a fig 6. Quantos quadradinhos unitários tem as fig 5 e fig 6 que você desenhou?

Aumenta um quadradinho na vertical e um na horizontal de cada linha e de cada coluna. A fig.5 tem 15 unidades e a fig.6 tem 20 unidades.

g) Qual a conclusão que vocês chegaram após verificarem os resultados?

h) Vocês conseguem fazer alguma relação do número da figura simples com o perímetro?

Figura Nº da figura X 4

Perímetro da fig simples

fig1 1 X 4 4fig2 2 X 4 8fig3 3 X 4 12fig4 4 X 4 16fig5 5 X 4 20fig6 6 X 4 24

E para uma figura qualquer?

E para o perímetro da figura que vocês construíram com o dobro de unidades?

É só pegar o número da figura e multiplicar por 4.

É só somar 2 ao perímetro da

figura simples.

figura Perímetro da fig simples + 2

Perímetro da fig construída

fig1 4 +2 6fig2 8 + 2 10fig3 12 + 2 14fig4 16 + 2 18fig5 20 + 2 22fig6 24 + 2 26

a) Considerando cada palito de fósforo como uma unidade de medida qual é o perímetro de cada uma das figuras acima?

Na fig 1 o perímetro é 3; Na fig 2 o perímetro é 4; Na fig 4 o perímetro é 7 fósforos.

fig1 fig2 fig3 fig4

Atividade 15

b) Desenhe a figura 5. Qual é perímetro da fig 5?

Após várias tentativas os grupos construírem a fig 5.

c) Quantos triângulos iguais ao da fig 1 você consegue visualizar nas fig 2, fig 3, fig 4 e fig 5?

Como assim!?

Olhando para cada uma das figuras, quantos triângulos iguais a primeira figura você visualiza?

Alguns grupos desmontaram as figuras para contar os triângulos.Após entenderam a pergunta e responderam:

Na fig 2 tem dois triângulos; Na fig 3 tem três triângulos; Na fig 4 tem 5 triângulos.

Qual é o nome das figuras planas que se obtêm em cada uma das figuras formadas pelos palitos de fósforo?

A fig1 tem a forma de um triângulo, a fig2 tem a forma de um paralelogramo e as demais figuras tem a forma de um trapézio.

d) Depois de descobrir quantos triângulos tem em cada uma das figuras, faça uma tabela com relação ao número de palitos e o número de triângulos em cada figura.

fig 1 2 3 4 5 6Nº de fósforo

3 5 7 9 11 13

Nº de triângulos

1 2 3 5 7 9

e) É possível obter qualquer termo da sequência a partir do termo anterior?

Ha é fácil professora, é só somar mais dois. Vai

acrescentando dois.Professora, são

números ímpares.

f) Qual o número de fósforos do 12º termo da sequência?

fig 7 8 9 10 11 12Nº de fósforo

15 17 19 21 23 25

g) É possível descobrir uma relação entre o número da figura e o número de fósforos?

Como se escreve um número ímpar?

Professora, é só somar uma unidade ao número par.

fig1 3 2x1+1

fig2 5 2x2+1

fig3 7 2x3+1

fig4 9 2x4+1

fig5 11 2x5+1

fig6 13 2x6+1

E a fig 15 quantos fósforos têm?

A fig 15 terá 2x15+1 fósforo.

Os alunos se mostraram mais independentes e seguros, em alguns momentos, apenas com algumas informações da professora já conseguiam desenvolver o raciocínio necessário. Em outras situações a professora precisou trabalhar junto com os grupos, montar esquemas para que eles compreendessem melhor a atividade. Os objetivos foram alcançados. Os alunos exploraram áreas e perímetros das figuras planas e conseguiram, em algumas situações, pensar em um termo geral. O material manipulável os auxiliou na compreensão das atividades.

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Considerações finais:

A realização dessa experiência teve como objetivo analisar

se as atividades investigativas explorando padrões e

regularidades em sequências numéricas e geométricas podem

contribuir para a aprendizagem da matemática dos alunos de 5º

série do Ensino Fundamental.

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