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Exemplos.

Curso de Complementos de FísicaAula 2

Afonso Henriques Silva Leite

Curso de Engenharia CivilFaculdade Campo Grande

27 de Agosto de 2015

Afonso Henriques Silva Leite Curso de Complementos de Física

Exemplos.

Plano de Aula

1 Exemplos.

Exemplos.

Exemplo 1

Um bloco, preso firmemente a uma mola, oscila verticalmente umafrequência de 4 Hertz e uma amplitude de 7 centímetros. Uma bolinhaé colocada em cima do bloco oscilante assim que chega ao ponto maisbaixo de sua trajetória. Suponha que a massa da bolinha seja tãopequena que seu efeito sobre o movimento do bloco seja desprezível.Para qual deslocamento, a partir da posição de equilíbrio, a bolinhadeve perder contato com um bloco?

Exemplos.

Solução

Figura: Diagrama esquemático ilustrando o sistema do problema.

Exemplos.

Solução

Figura: Diagrama de corpo livre da bolinha e da massa.

Exemplos.

Solução

A aplicação da SLN a bolinha gera

N = mg.

No bloco, a a aplicação da SLN na direção y gera a igualdade

−N−Mg+ kx = 0.

(m+M)g = kx.

Como M� m, M+m≈M,

Mg = kx.

Exemplos.

Solução

N = mg.

−N−Mg+ kx = 0.

(m+M)g = kx.

Mg = kx.

Exemplos.

Solução

N = mg.

−N−Mg+ kx = 0.

(m+M)g = kx.

Mg = kx.

Exemplos.

Solução

N = mg.

−N−Mg+ kx = 0.

(m+M)g = kx.

Mg = kx.

Exemplos.

Solução

Por fim, resolve-se para x:

x =Mgk

Determinação da constante k.

Como ω2 = kM , k = ω2M, e como ω = 2πf , então,

(2πf )2

Exemplos.

Solução

x =Mgk

(2πf )2

Exemplos.

Solução

x =Mgk

(2πf )2

Exemplos.

Solução

x =Mgk

(2πf )2

Exemplos.

Solução

=9.8m/s2

[2π (4s−1)]2

≈ 1.55cm.

Esse é o elongamento que a mola terá quando a bolinha perdercontato com a massa.

Em relação à posição mínima x = 7cm, a posição será na verdade

y≈ (7−1.55)cm = 5.45cm.

Exemplos.

Solução

=9.8m/s2

[2π (4s−1)]2

≈ 1.55cm.

y≈ (7−1.55)cm = 5.45cm.

Exemplos.

Solução

=9.8m/s2

[2π (4s−1)]2

≈ 1.55cm.

y≈ (7−1.55)cm = 5.45cm.

Exemplos.

Exemplo 2

É frequente que especificações militares exigiam que instrumentoseletrônicos sejam capazes de suportar federações de até 10g. Para secertificar de que os produtos de sua companhia atendam a essaespecificação, seu gerente o instrui a utilizar uma mesa vibratória quepode fazer comprar um produto com frequências e amplitudesajustáveis e controladas. Se um equipamento é colocado sobre a mesae posto a oscilar com amplitude de 1,5 centímetros, qual é afrequência que você deve estar para testar a concordância com asespecificações militares?

Exemplos.

Solução

Será necessário determinar a velocidade e aceleração de ummovimento de oscilação simples.

A velocidade é dada pela derivada da posição em relação aotempo:

v =dxdt

[xm cos(ωt+φ)]

= xm [−sin(ωt+φ)]ω

=−ωxm sin(ωt+φ) .

Exemplos.

Solução

v =dxdt

[xm cos(ωt+φ)]

Exemplos.

Solução

v =dxdt

[xm cos(ωt+φ)]

Exemplos.

Solução

v =dxdt

[xm cos(ωt+φ)]

Exemplos.

Solução

Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação aotempo:

a =dvdt

[−ωxm sin(ωt+φ)]

= [−ωxm cos(ωt+φ)]ω

=−ω2xm cos(ωt+φ) .

Exemplos.

Solução

a =dvdt

Exemplos.

Solução

a =dvdt

Exemplos.

Solução

a =dvdt

Exemplos.

Solução

a =dvdt

Exemplos.

Solução

O valor máximo de aceleração ≡valor máximo da funçãocosseno.

am = ω2xm.

Daí, basta relacionar ω e T e usar o valor de xm

am = 10g = ω2xm

⇒ 10g = (2πf )2 xm

Exemplos.

Solução

am = ω2xm.

am = 10g = ω2xm

⇒ 10g = (2πf )2 xm

Exemplos.

Solução

am = ω2xm.

am = 10g = ω2xm

⇒ 10g = (2πf )2 xm

Exemplos.

Solução

am = ω2xm.

am = 10g = ω2xm

⇒ 10g = (2πf )2 xm

Exemplos.

Solução

am = ω2xm.

am = 10g = ω2xm

⇒ 10g = (2πf )2 xm

Exemplos.

Solução

⇒ 10g = (2πf )2 xm

⇒ (2πf )2 xm = 10g

⇒ (2πf )2 =10gxm

⇒ 2πf =

√10gxm

Exemplos.

Solução

⇒ 10g = (2πf )2 xm

⇒ (2πf )2 xm = 10g

⇒ (2πf )2 =10gxm

⇒ 2πf =

√10gxm

Exemplos.

Solução

⇒ 10g = (2πf )2 xm

⇒ (2πf )2 xm = 10g

⇒ (2πf )2 =10gxm

⇒ 2πf =

√10gxm

Exemplos.

Solução

⇒ 10g = (2πf )2 xm

⇒ (2πf )2 xm = 10g

⇒ (2πf )2 =10gxm

⇒ 2πf =

√10gxm

Exemplos.

Solução

⇒ f =

√10gxm

√10(9.8m/s2)1.5×10−2m

= 8.08×101s−1

= 8.08×101Hz.

Exemplos.

Solução

⇒ f =

√10gxm

√10(9.8m/s2)1.5×10−2m

= 8.08×101s−1

= 8.08×101Hz.

Exemplos.

Solução

⇒ f =

√10gxm

√10(9.8m/s2)1.5×10−2m

= 8.08×101s−1

= 8.08×101Hz.

Exemplos.

Solução

⇒ f =

√10gxm

√10(9.8m/s2)1.5×10−2m

= 8.08×101s−1

= 8.08×101Hz.

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Exemplo 3

Em t = 0, o deslocamento x(0) de um bloco de um oscilador linearcomo o da Figura 3 é -8.50cm. (Leia x(0) como x no instante 0). Avelocidade do bloco é então -0.920m/s e sua aceleração é 47m/s2.

(a) Qual a frequência ω do sistema?

(b) Qual a constante de fase φ?

Figura: Diagrama esquemático do exemplo 3.

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Solução

Será preciso estabelecer uma relação entre as quantidades.

Determinar a velocidade e a aceleração como função da posição.

Aplicar em t = 0.

Resolver para ω e φ .

Exemplos.

Solução

Aplicar em t = 0.

Exemplos.

Solução

Aplicar em t = 0.

Exemplos.

Solução

Aplicar em t = 0.

Exemplos.

Solução

v = dxdt

v =ddt

[xm cos(ωt+φ)]

= xmddt

[cos(ωt+φ)] .

Considerando que f = cos(ωt+φ), então

f = y(x(t)) .

Sendoy = cos(x) ,

ex(t) = ωt+φ

Exemplos.

Solução

v = dxdt

v =ddt

[xm cos(ωt+φ)]

= xmddt

[cos(ωt+φ)] .

f = y(x(t)) .

Sendoy = cos(x) ,

ex(t) = ωt+φ

Exemplos.

Solução

v = dxdt

v =ddt

[xm cos(ωt+φ)]

= xmddt

[cos(ωt+φ)] .

f = y(x(t)) .

Sendoy = cos(x) ,

ex(t) = ωt+φ

Exemplos.

Solução

v = dxdt

v =ddt

[xm cos(ωt+φ)]

= xmddt

[cos(ωt+φ)] .

f = y(x(t)) .

Sendoy = cos(x) ,

ex(t) = ωt+φ

Exemplos.

Solução

v = dxdt

v =ddt

[xm cos(ωt+φ)]

= xmddt

[cos(ωt+φ)] .

f = y(x(t)) .

Sendoy = cos(x) ,

ex(t) = ωt+φ

Exemplos.

Solução

v = dxdt

v =ddt

[xm cos(ωt+φ)]

= xmddt

[cos(ωt+φ)] .

f = y(x(t)) .

Sendoy = cos(x) ,

ex(t) = ωt+φ

Exemplos.

Solução

Derivada determinada pela regra da cadeia:

No caso,dfdt

cos(x)][

(ωt+φ)

]= [−sin(x)] (ω)

Como x(t) = ωt+φ ,

cos(ωt+φ) =−sin(ωt+φ)ω

⇒ v(t) =−ωxm sin(ωt+φ) .

Exemplos.

Solução

No caso,dfdt

cos(x)][

(ωt+φ)

= [−sin(x)] (ω)

Exemplos.

Solução

No caso,dfdt

cos(x)][

(ωt+φ)

]= [−sin(x)] (ω)

Exemplos.

Solução

No caso,dfdt

cos(x)][

(ωt+φ)

]= [−sin(x)] (ω)

Exemplos.

Solução

Aplicando um raciocínio similar,

a =dvdt

Daí, em t = 0,x(0) = xm,

v(0) =−ωxm

ea(0) =−ω

Exemplos.

Solução

Aplicando um raciocínio similar,

a =dvdt

Daí, em t = 0,x(0) = xm,

v(0) =−ωxm

ea(0) =−ω

Exemplos.

Solução

Logo,a(0)x(0)

=−ω2xm

⇒ a(0)x(0)

=−ω2

⇒ ω2 =−a(0)

⇒ ω =

√−a(0)

√− 47.0m/s2

−0.0850m= 23.5rad/s.

Exemplos.

Solução

Logo,a(0)x(0)

=−ω2xm

⇒ a(0)x(0)

=−ω2

⇒ ω2 =−a(0)

⇒ ω =

√−a(0)

√− 47.0m/s2

−0.0850m= 23.5rad/s.

Exemplos.

Solução

Logo,a(0)x(0)

=−ω2xm

⇒ a(0)x(0)

=−ω2

⇒ ω2 =−a(0)

⇒ ω =

√−a(0)

√− 47.0m/s2

−0.0850m= 23.5rad/s.

Exemplos.

Solução

Logo,a(0)x(0)

=−ω2xm

⇒ a(0)x(0)

=−ω2

⇒ ω2 =−a(0)

⇒ ω =

√−a(0)

√− 47.0m/s2

−0.0850m= 23.5rad/s.

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Exemplo 4

Fortes ventos são capazes de produzir oscilações em prédios altos(http://sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/movpereosc2.php, http://www.cesec.ufpr.br/etools/oe3/applets/forca_vento/).Por exemplo, o Taipei 101 é um dos maiores prédios do mundo, econta com amortecedor especialmente desenhado para absorver essasinfluências externas (veja a Figura ??). Imagine que as oscilaçõesdurem 1s. Sabendo disso, determine o valor da constante das molasusadas no amortecedor, e qual deve ser a amplitude de oscilação doprédio todo, que tem uma massa total aproximada em 700.000toneladas.

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Solução

Figura: Edifício Taipei 101 a esquerda, e a massa do amortecedor, estimadaem torno de 728 toneladas.

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Solução

Para resolver esse problema, será necessário fazer uma série dehipóteses e aproximações que vão simplificá-lo.

A primeira hipótese a ser feita é que o período da oscilação nãoseja afetado pelo uso do amortecedor

T ′ = 2π

√M+m

k≈ 2π

√Mk= T.

Vejamos qual deve ser a constante das molas.

Exemplos.

Solução

T ′ = 2π

√M+m

k≈ 2π

√Mk= T.

Exemplos.

Solução

T ′ = 2π

√M+m

k≈ 2π

√Mk= T.

Exemplos.

Solução

T ′ = 2π

√M+m

k≈ 2π

√Mk= T.

Exemplos.

Solução

É de se esperar, visando manter o sistema estável, que sejautilizado na verdade um par de molas

Figura: Diagrama esquemático do sistema simplificado.

Exemplos.

Solução

Uma uma mola será equivalente a esse par de molas se, sujeitaao mesmo elongamento, produza a mesma força.

O elongamento sofrido por uma das molas tem que correspondera compressão da outra.

Figura: Diagrama esquemático ilustrando a relação entre a compressãoe o elongamento das duas molas. (a) Situação de equilíbrio. (b) Apósum pequeno deslocamento da massa, a mola a esquerda sofre umacompressão~x e a mola a direita um elongamento~x. Se fossemdiferentes, ocorreria o absurdo da posição extrema da mola a direita terpenetrado na massa, ou da mola a esquerda ter perdido contato com aela. (c) A mola equivalente, representada por keq deve produzir amesma força que as duas molas conjugadas em série dado o mesmodeslocamento da massa.

Exemplos.

Solução

Uma uma mola será equivalente a esse par de molas se, sujeitaao mesmo elongamento, produza a mesma força.O elongamento sofrido por uma das molas tem que correspondera compressão da outra.

Figura: Diagrama esquemático ilustrando a relação entre a compressãoe o elongamento das duas molas. (a) Situação de equilíbrio. (b) Apósum pequeno deslocamento da massa, a mola a esquerda sofre umacompressão~x e a mola a direita um elongamento~x. Se fossemdiferentes, ocorreria o absurdo da posição extrema da mola a direita terpenetrado na massa, ou da mola a esquerda ter perdido contato com aela. (c) A mola equivalente, representada por keq deve produzir amesma força que as duas molas conjugadas em série dado o mesmodeslocamento da massa.

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Solução

A aplicação da SLN na massa produz a equação

FRes = F1 +F2 = k1x+ k2x.

Como essa deve ser a força produzida pela mola equivalente:

k1x+ k2x = keqx.

Conclui-se que keq = k1 + k2.

Se as duas molas forem iguais, k1 = k2 = k

keq = 2k.

Exemplos.

Solução

k1x+ k2x = keqx.

keq = 2k.

Exemplos.

Solução

k1x+ k2x = keqx.

keq = 2k.

Exemplos.

Solução

k1x+ k2x = keqx.

keq = 2k.

Exemplos.

Solução

Então, esse é o plano: resolver o problema com a molaequivalente, e então dividi-la por 2 para obter a constante de cadauma dessas molas.

Sendo assim, do período T = 1s, deduz-se keq. Como ω = 2πf ,segue que ω = 2π

T , e daí,

T =2π

2π√kM

√Mkeq

⇒T2 = 4π2(

Exemplos.

Solução

Então, esse é o plano: resolver o problema com a molaequivalente, e então dividi-la por 2 para obter a constante de cadauma dessas molas.

Sendo assim, do período T = 1s, deduz-se keq. Como ω = 2πf ,segue que ω = 2π

T , e daí,

T =2π

2π√kM

√Mkeq

⇒T2 = 4π2(

Exemplos.

Solução

⇒ T2

4π2 =Mkeq

⇒ keq(T2)= M

2)⇒ keq =

4π2MT2

(728×103kg

)(1s)2 = 2.9×107N/m.

Exemplos.

Solução

Logo, a constante de cada mola será

k =keq

2= 1.4×107N/m.

Agora, vejamos a questão da oscilação do prédio.

Exemplos.

Solução

Logo, a constante de cada mola será

k =keq

2= 1.4×107N/m.

Agora, vejamos a questão da oscilação do prédio.

Exemplos.

Solução

A segunda hipótese que faremos será considerar que a força queo vento imprime ao prédio será transformada numa força internado sistema pelo amortecedor.

Sendo assim, a somatória das forças externas seria nula eportanto a posição do sistema de massa não seria alterada.

Desta forma, se o sistema de referência for centrado no sistemade massa do sistema, ele não será alterado, e permanecerá nuloapós o deslocamento da massa amortecedora.

Exemplos.

Solução

Exemplos.

Solução

Exemplos.

Solução

Figura: Diagrama esquemático ilustrando que a posição do centro de massase manterá inalterada durante uma oscilação do sistema prédio +amortecedor.

Exemplos.

Solução

Se o centro de massa permanece em zero, então,

x1M1 + x2M2 = 0.

Para determinar x1, pesquisei na rede qual pode ser a forçatransmitida pelos ventos, que é da ordem de 22680N.

Se ela for transformada completamente em uma força interna, amola deverá imprimir essa força ao amortecedor:

F = keqx1.

Daí, a amplitude dessa oscilação será

22680N1.4×107N/m

= 1.6×10−3m.

Exemplos.

Solução

x1M1 + x2M2 = 0.

F = keqx1.

22680N1.4×107N/m

= 1.6×10−3m.

Exemplos.

Solução

x1M1 + x2M2 = 0.

F = keqx1.

22680N1.4×107N/m

= 1.6×10−3m.

Exemplos.

Solução

x1M1 + x2M2 = 0.

F = keqx1.

22680N1.4×107N/m

= 1.6×10−3m.

Exemplos.

Solução

Bom, mas sendo assim, a amplitude da oscilação do prédio serádeterminada pela equação do centro de massa:

x1M1 + x2M2 = 0

⇒x2M2 =−x1M1

⇒x2 =−x1M1

= 1.6×10−6m.

Um resultado excelente!

Mas, muito cuidado!

Exemplos.

Solução

x1M1 + x2M2 = 0

⇒x2M2 =−x1M1

⇒x2 =−x1M1

= 1.6×10−6m.

Mas, muito cuidado!

Exemplos.

Solução

x1M1 + x2M2 = 0

⇒x2M2 =−x1M1

⇒x2 =−x1M1

= 1.6×10−6m.

Mas, muito cuidado!

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