PUB_190_1.0 UNISUL Análise de Redes

Sociais

Análise de Redes Sociais

Mauro Faccioni Filho

Objetivos de aprendizagem

Identificar como se formam as redes sociais e como estas redes reproduzem, na

forma de gráficos e diagramas gerais, uma determinada rede de relações.

Compreender os principais conceitos das redes sociais, desde os seus elementos

básicos, como atores e ligações, até as estruturas complexas de redes,

denominadas monomodais e duomodais.

Verificar como esses modelos podem representar casos reais e práticos de redes

de relações comerciais.

http://labspace.open.ac.uk/course/view.php?name=PUB_190_1.0

1. Conceitos Básicos

1.1 Introdução

Nesta unidade, você aprofundará os estudos sobre a formação de ambientes de relações

comercias, com a introdução dos conceitos básicos sobre redes sociais. Este estudo é

importante, pois lhe permitirá reconhecer os fundamentos, nem sempre aparentes, que

sustentam as redes de relações, sejam elas de amizade ou relações comerciais. Tais

relações baseiam-se sempre em interesses comuns, mas, para que existam, é necessário

que haja “caminhos” de comunicação, ou seja, ligações entre os participantes da rede.

As seções desta unidade estão divididas como segue. Na primeira seção, você estudará

como se formam as redes sociais e como essas redes podem representar - na forma de

gráficos, matrizes e diagramas gerais - uma determinada rede de relações entre atores

diversos. Na segunda seção, verá em detalhes os principais conceitos das redes sociais,

seus elementos básicos e fundamentais. Na terceira seção, verificará os tipos de redes

sociais, sejam os mais simples, como redes monomodais, sejam estruturas mais

complexas, como as redes duomodais.

Apesar da crescente complexidade do estudo, verificará como tais teorias, seus

conceitos e modelos podem ajudar a representar casos reais e práticos de redes de

relações comerciais. Para tanto, você estudará vários exemplos e exercitará seus

conhecimentos com atividades práticas sugeridas ao final da unidade. Bom estudo!

1.2 Formação de redes e Análise de Redes Sociais

Além do impacto das novas tecnologias e da recente globalização no ambiente

comercial, as redes sociais assumiram uma nova importância a partir da perspectiva

denominada de Análise de Redes Sociais, que é uma área de pesquisa recente, derivada

tanto das ciências sociais como das ciências exatas, especialmente pela capacidade

computacional para cálculos matemáticos e mesmo modelagens, antes impossíveis.

Com isso, uma nova fronteira vem se abrindo, com enorme influência empresarial e

acadêmica.

A grande distinção da Análise de Redes Sociais é a importância dada às relações entre

os seus participantes. Em geral, os estudos de redes baseiam-se no estudo dos

participantes e suas ações, com pouca ou nenhuma ênfase aos relacionamentos. Hoje,

percebemos, em relações comerciais e, especialmente, nas negociações, que o tipo e as

formas do relacionamento são fundamentais.

Chamaremos os participantes de uma rede, neste livro, de “atores”, e as suas relações de

“ligações”. Algumas vezes, na literatura, os atores também são chamados de “nós” ou

“unidades”, e as ligações de “links” ou “conexões”.

Segundo Wasserman (1994), algumas características importantes das redes de

relacionamento são:

Além disso, a visão das redes por essa perspectiva percebe-a como uma malha

duradoura em ambientes, sejam sociais, comerciais ou políticos, superposta à ação

individual e resultante das contribuições de cada um. Desta forma, é possível fazer

análises considerando o ator não apenas como indivíduo, mas também como um grupo

de indivíduos e, também, considerar a rede como detentora de certas características

comuns a todas as redes sociais. Assim, é possível a modelagem.

A aplicação da Análise de Redes Sociais tem ocorrido em vários campos

organizacionais e do conhecimento, tais como o estudo de redes de terroristas, sistemas

políticos e econômicos, inter-relações entre bancos e empresas, influência social,

sistemas educacionais e muitos outros.

Wasserman (1994) cita o exemplo dos estudos que se detêm sobre os veredictos de um

júri, por exemplo, sem se ater ao que ocorre nos movimentos da rede antes do veredicto.

A análise das redes sociais busca perceber a evolução das ligações durante o processo

de formação do veredicto. Ou seja, analisa os atores e suas ligações como causadores de

um determinado desfecho. Por esta análise seria possível, a partir de certos modelos,

verificar com antecedência, ou simular, os possíveis desfechos. O mesmo pode ser feito

nas relações comerciais, estrategicamente, e, com isto, buscar desenvolver as relações

faltantes, ou subtrair as prejudiciais. Exatamente assim agiu Jeff Bezos, ao dar início à

rede de clientes de sua Amazon.com, como você estudou na Unidade 1.

Nas redes sociais é fundamental considerar que o principal é a ligação entre atores e que

os atributos dos atores são secundários. Tais atributos podem ser importantes ao compor

estruturas ou conjuntos.

Apesar das redes entre indivíduos ou coletividades estarem presentes no nosso dia-a-

dia, os conceitos sobre redes sociais vieram a firmar-se nas últimas décadas. Estes

conceitos serão estudados na próxima seção.

1.3 Conceitos básicos

Por volta dos anos 50, no século passado, a expressão “redes sociais” foi usada pela

primeira vez. Uma de suas raízes foi a Sociometria, ciência que buscava levantar dados

de comportamentos sociais e analisá-los. No entanto, é com a incorporação de

ferramentas matemáticas e, posteriormente, com a computação que as análises de redes

sociais puderam evoluir.

A colaboração matemática, capaz de fundamentar as análises de redes sociais, proveio

da teoria de grafos, teoria estatística e de probabilidades, além de modelos algébricos.

Dessas teorias, especialmente de grafos, derivam muitos dos conceitos de redes que

usamos hoje na internet e em redes sociais diversas. Você estudará tais teorias na

próxima unidade, mas verá, agora, os conceitos principais.

Os conceitos fundamentais em Análise de Redes Sociais estão descritos como segue.

1.3.1 Ator

O ator é a entidade social que participa de determinada rede e é capaz de agir e formar

ligações com outros atores. Pode ser um indivíduo, uma corporação ou um coletivo

social. Como exemplos de atores, temos os alunos numa sala de aula, os departamentos

em uma empresa, os estados de uma federação, os websites num determinado setor

comercial, as nações da ONU, etc. Quando todos os atores de uma rede são do mesmo

tipo, chamamos esta rede de monomodal. Mas, há casos em que temos diferentes atores

numa rede, como veremos posteriormente. Num sistema multiagente, o ator é chamado

de agente.

1.3.2 Ligação

Uma conexão entre dois atores em uma rede social é chamada de ligação. É definida por

algum tipo de relação entre esses atores, conforme o tipo de sociedade. Entre empresas,

a ligação pode ser um contrato comercial de fornecimento, como mostrado na figura

1.3, da Unidade anterior. Entre pessoas, numa empresa, pode ser o laço hierárquico, se

considerarmos o organograma, ou pode ser o envio de e-mails, numa rede de relações de

amizade. Outros exemplos incluem as relações de amizade ou respeito entre alunos

numa sala de aula, as relações biológicas (numa família), as associações de membros a

clubes, as relações diplomáticas entre países, etc. Ao estudar grafos, veremos que as

ligações podem ter valor, assim como podem ser direcionadas.

1.3.3 Díade

É a rede mais simples que existe, formada por apenas dois atores e as possíveis ligações

entre si. Os atores podem estar conectados ou não, e a sua ligação é uma propriedade do

par.

1.3.4 Tríade

É a rede formada por três atores e as possíveis ligações entre si. A tríade traz alguns

conceitos importantes, como o equilíbrio e a transitividade, que discutiremos adiante.

Potencialmente, em uma tríade há três díades. Nas relações comerciais, isso pode ser um

importante fator, pois se o Ator 1 mantém relações com o Ator 2, e este com o Ator 3,

há um caminho possível, passando pelo Ator 2, para o Ator 1 realizar transações com o

Ator 3.

1.3.5 Grupo

Um grupo pode ser definido com o conjunto de todos os atores e suas ligações,

considerando um limite definido para o grupo. Por exemplo, o conjunto de nações

pertencentes à ONU, e suas transações comerciais, pode definir um grupo, sendo que as

ligações entre os países são as ligações entre eles. Se definirmos o conjunto de alunos

de uma sala de aula e suas relações de amizade, teremos um grupo. A definição do

limite é importante para poder estudar o grupo. Certamente, os alunos dessa sala de aula

mantêm relações de amizade com outros colegas fora desse limite, assim como as

nações podem ter relações comerciais com países fora da ONU. Mas, para efeito das

análises das redes sociais, a definição dos limites define o grupo.

1.3.6 Subgrupo

No interior de um grupo, encontraremos muitas díades e tríades, mas podemos estender

o conceito de pequenos conjuntos de atores, dentro de um grupo, como sendo um

subgrupo. Isto pode ser muito importante no estudo de redes sociais complexas e

extensas, com a análise de subgrupos específicos, delimitados dentro do grupo. A figura

2.3 ilustra um subgrupo como subconjunto de atores e ligações de um grupo.

1.3.7 Relação

O conjunto de ligações de um determinado tipo define a “relação” encontrada na rede

social em análise. Enquanto uma ligação se dá somente entre dois atores, a relação é

definida para todo o conjunto de ligações. Assim, falaremos de relações comerciais ou

relações de aprendizagem, etc. Na rede social, a ligação entre dois atores pode existir

(situação em que muitas vezes definimos como “1” em uma tabela ou matriz) ou não

existir (quando então a representamos com um “0”).

No entanto, há relações que implicam em valores, ou seja, em que há uma ligação e a

essa ligação pode-se atribuir um valor. Na figura 2.3, poderíamos atribuir, para cada

ligação, também o montante financeiro das relações comerciais entre as empresas. As

redes sociais onde temos valores são mais complexas. Além disso, as relações podem

ser direcionadas, ou seja, determinada empresa compra de outra, mas nada vende para

ela. Outro exemplo é o da pessoa que gosta de outra, mas não é correspondida. Veremos

a questão da diretividade das ligações no estudo de redes sociais com grafos.

1.3.8 Rede social (social network)

Com os conceitos de ator e de grupo, podemos definir de maneira concisa a rede social

como um “conjunto finito de atores e suas relações”. Este conceito é simples e direto, e

nos permite entender a rede social, segundo os dados de uma determinada rede que

somos capazes de levantar. Nem sempre é simples conhecer as relações de amizade de

um grupo de executivos que pertence à determinada associação, por exemplo. Mas,

podemos fazer a análise dessa rede considerando como “relações” a quantidade de vezes

que participam dos mesmos programas ou atividades. Estabelecida a fronteira do grupo

e o tipo de relações, está definida uma rede social que pode ser modelada.

A partir desses conceitos básicos, você irá aprofundar o conhecimento sobre os tipos de

redes sociais, assunto da seção que segue.

1.4 Tipos de Redes Sociais

Segundo Wasserman e Faust (1994), os tipos de redes podem ser definidos conforme a

natureza dos atores ou dos conjuntos de atores, se houver um tipo de atores ou vários

tipos, bem como em função das propriedades das ligações e relações entre eles. A

maioria das redes em análise é chamada de monomodais, mas as redes duomodais têm

encontrado diversos casos reais e, desta maneira, é importante criar modelos para sua

análise. Vejamos as suas definições.

1.4.1 Redes monodais

As redes monomodais são as redes de um modo só, onde o modo determina o conjunto

único de atores que se relacionam entre si. Na rede monomodal cada ator pode ter, ou

não, ligações com quaisquer dos atores pertencentes à sua rede. Todos os atores

participam da rede com ligações entre si, ou seja, um ator pode alcançar qualquer outro

ator. Um exemplo, já citado, é o dos alunos de uma sala de aula quando a “amizade”

define o tipo das relações. A figura 2.4 exemplifica a rede monomodal, onde

percebemos todos os atores como do mesmo tipo e as ligações entre eles.

Veja que não está definido no desenho da figura 2.4 qual é o tipo do ator. Cada ator

poderia ser uma pessoa, um determinado grupo de pessoas, uma organização, uma

comunidade ou mesmo uma nação. As ligações também podem representar diferentes

tipos de relações, tais como: transações comerciais, comunicação (e-mails, cartas, SMS,

etc.), amizade, parentesco, papel social, entre outros.

1.4.2 Redes duomodais

As redes duomodais são as redes de dois “modos”, ou seja, são constituídas de dois

conjuntos diferentes de atores ou de um conjunto de atores e um conjunto de eventos, e

das relações entre os atores de um conjunto e os atores (ou eventos) do outro. A figura

2.5 apresenta uma rede duomodal com dois conjuntos de atores. Neste caso, os atores

são do mesmo tipo. Porém, as relações se estabelecem de um conjunto ao outro e não

dentro de um mesmo conjunto (ao se considerar determinada análise). Este tipo de rede

de dois modos é também chamado de rede bipartida. Um exemplo desse tipo de rede é

o das relações heterossexuais de uma determinada população, onde um conjunto é

constituído de mulheres e o outro de homens. No ambiente comercial, um exemplo é o

das relações entre indústrias e prestadores de serviços, cada grupo ocupando um dos

conjuntos.

O segundo tipo de rede duomodal está apresentado na figura 2.6, onde você vê um

conjunto de atores e um conjunto de eventos. Os eventos não são do mesmo tipo dos

atores e representam oportunidades de relacionamento entre atores. As redes

duomodais desse tipo, com atores e eventos, são chamadas de redes de afiliação, pois os

atores são “afiliados” aos eventos. Como exemplos de eventos, temos as associações,

clubes, festividades, as ferramentas do ambiente virtual de aprendizagem, entre outros.

Para exemplificar, considere, na figura 2.6, que os eventos (primeiro “modo”, conjunto

A) são festividades em uma cidade e os atores (segundo “modo”, conjunto B) são as

pessoas que participam de tais festividades. As pessoas 2, 3 e 4 participam da festa 4 e,

então, o ator 2 está relacionado aos atores 3 e 4 porque ambos participam da mesma

festa. O ator 2 também está relacionado ao ator 1, mas este último não está relacionado

aos atores 3 e 4. Com isso, concluímos que, numa rede de afiliação, um determinado

ator estará associado a outro ator se ambos participarem de um mesmo evento.

Outro exemplo de rede de afiliação está apresentado na figura 2.7, onde os quadrados

representam associações comerciais ou sociais (eventos), e os círculos são as mesmas

empresas utilizadas nos exemplos anteriores (atores). Perceba que a Associação

Comercial é o principal ponto de convergência dessa rede de empresas, ou seja, esse

“evento” é o que tem o maior prestígio entre as empresas dessa rede.

Outra análise possível é prestarmos atenção aos atores e suas relações. A empresa XYZ,

por exemplo, ocupa uma posição de destaque, pois participa de vários eventos e, com

isso, pode interagir com mais atores do que qualquer dos outros atores dessa rede, o que

pode facilitar sua rede de relações comerciais.

Além de monomodais e duomodais, as redes podem, ainda, dividir-se em 3 modos ou

mais. No entanto, não discutiremos tais redes aqui, pois são mais complexas e raras.

Antes de encerrar esta unidade, cabe analisar como ocorre a coleta de informações para

montar uma rede social. Sabendo-se quais os atores que participam de determinada rede,

as ligações e as relações estabelecidas podem ser obtidas por métodos diversos. No caso

de afiliações empresariais, como as da figura 2.7, basta você verificar as fichas de

associação. No caso de relações sexuais, devem-se obter informações por entrevistas,

questionários ou observação. Outros dados podem ser obtidos diretamente com bancos

de dados, públicos ou privados, resultados de experiências, relatórios, etc.

A simples obtenção das informações não estrutura, por si, uma rede social. É preciso

analisar o tipo das relações para, então, construir os modelos de representação

correspondentes. Veremos, na próxima unidade, como as teorias matemáticas podem

ajudar-nos a construir tais modelos e, então, criar simulações que nos ajudam nas

análises e desenvolvimento de estratégias, seja no campo específico das relações

comerciais e das negociações, em sistemas de software empresariais, ou de modo geral

em redes sociais.

1.5 Síntese

Nesta unidade, você estudou conceitos fundamentais das redes sociais e como elas

podem modelar sistemas de relacionamento. Tais relacionamentos podem ser de ordem

pessoal, organizacional ou mesmo entre nações.

Aprendeu que as representações podem ocorrer utilizando teorias da matemática e, com

isso, é possível criar modelos simples, capazes de gerar simulações, permitindo fazer

análises sobre o funcionamento das redes e, então, criar estratégias comerciais, por

exemplo.

Junto aos conceitos básicos, conheceu, também, quais os tipos de redes e como elas

podem ficar complexas, dependendo da quantidade de atores ou, mesmo, de diferentes

tipos de atores. Na próxima unidade, você verá como a teoria de grafos pode ajudar a

compor, detalhadamente, redes comerciais, e como é possível utilizar essa teoria para o

entendimento e melhoria das redes. Até lá!

1.6 Atividades

1. Se, em uma rede, um ator pode ser uma composição de indivíduos, dê um exemplo de

rede social, no ambiente comercial, que assume este conceito.

2. Dê um exemplo de rede monomodal e de uma rede duomodal. O que as diferencia?

3. Considere a seguinte rede de relações com os atores “A” até “N”. Represente na

tabela tal rede, preenchendo com “1” quando há uma ligação e com “0” quando não há.

A matriz resultante será simétrica?

4. Veja novamente a Figura 1.7, reproduzida abaixo. Os quadrados representam os

eventos e os círculos representam os atores de uma rede de afiliação (duomodal).

Preencha a tabela correspondente, preenchendo com “1” quando há uma ligação entre o

ator e o evento e com “0” quando não há.

2. Teoria de grafos aplicada a redes sociais

2.1 Introdução

Nesta unidade, você aprofundará o conhecimento teórico sobre redes para poder criar

modelos de representação, que ajudem a analisar tais redes, bem como desenvolver uma

maior sensibilidade para interpretar e saber agir sobre redes de relações comerciais.

Primeiramente, aprenderá como pode ser feita a modelagem de uma rede comercial.

Depois estudará os fundamentos da Teoria de Grafos, importante base matemática que

ajudará a criar representações gráficas para visualização de rede. Distinguirá atores e

ligações, bem como redes direcionais e não-direcionais.

Aprofundará o estudo aplicando o conhecimento de grafos a redes de relacionamento

comercial. Há vários conceitos importantes e medições possíveis numa rede, tais como

atalhos entre dois atores e posições de prestígio e centralidade, que podem ser muito

úteis para os que se interessarem pela administração e análise de redes sociais aplicadas.

Apesar de parecer excessivamente teórica para alguns, esta unidade permite desenvolver

diversos conhecimentos importantes, seja para os que virão a fazer análises comerciais,

seja para os que serão desenvolvedores de programas computacionais para sistemas em

rede. Bom estudo!

2.2 Introdução à modelagem

Para estudarmos redes de relações comerciais, de uma forma objetiva, será necessário

criarmos modelos de representação. Considerando-as como redes sociais, há três

notações em uso atualmente:

Cada esquema de notação tem diferentes aplicações e possibilita diferentes

desenvolvimentos e análises. O modelo mais comum para uma representação visual é o

que utiliza grafos. E a notação que tem tido mais aplicações na literatura especializada é

a sociométrica, que usa representações em matrizes, também chamadas de

sociomatrizes. A notação algébrica pode ser utilizada para casos específicos, em

especial para múltiplas relações (WASSERMAN, 1994).

Na próxima seção, você verá detalhes da notação utilizada para representações com

grafos e com sociomatrizes. A combinação dessas duas técnicas tem sido útil para as

análises de redes sociais, e responsável pelo desenvolvimento recente das pesquisas na

área.

2.3 Fundamentos da Teoria de Grafos

A Teoria de Grafos tem sido muito utilizada em análises de redes sociais devido a sua

capacidade representacional e simplicidade. Basicamente, um grafo é constituído de nós

(n) e de ligações (l) que conectam os nós. Em redes sociais a representação por grafos

também é chamada de sociograma, em que os nós são os atores ou eventos e as linhas

de ligação estabelecem o conjunto de relações num desenho bidimensional. Veja, na

figura abaixo, um sociograma com dois nós (os atores a e b).

Adotando algumas das nomenclaturas, como em Wasserman e Faust (1994),

chamaremos os atores de uma rede com a notação n, e o conjunto de atores de N. As

ligações de uma rede terão a notação l, e o conjunto de ligações será L. Assim, uma rede

de “f” atores e de “h” ligações terá os conjuntos de atores e de ligações definidos

respectivamente por:

Como uma ligação se dá sempre entre dois atores, então uma ligação define um par de

atores (ou díade). Digamos que a ligação l1 seja referente à conexão entre os atores n2 e

n5, podemos então escrever:

Observe que, até aqui, definimos uma ligação entre dois atores sem nos importarmos

sobre o tipo da relação. Muitas dessas ligações são não-direcionais, ou seja, está

estabelecida uma conexão entre dois atores e tal relação é não-diretiva. Por exemplo,

um casamento estabelece uma relação que é não-direcional, ou seja, não é possível que

um membro esteja casado com o outro e o inverso não seja verdadeiro. Se

considerarmos que o tipo da ligação entre empresas é a existência ou não de um

contrato, tal ligação é não-direcional.

A ligação direcional é aquela que representa uma conexão que parte de um ator

(origem) e termina em outro (destino). Por exemplo, se estivermos fazendo uma análise

que considera compras e vendas entre empresas de uma rede, haverá uma direção nas

ligações. Considere os exemplos da figura 3.2. No primeiro caso, a direção da seta

mostra que o ator “a” vende para o ator “b”; no segundo, o ator “b” vende para “a”, e no

último caso o grafo representa que o ator “a” vende para o ator “b” e também que o ator

“b” vende para o ator “a”.

Então, se a ligação l1 é referente à conexão direcional do ator n2 para o ator n5, pode-se

escrever:

Para uma rede com o número de atores igual a “f”, o número máximo lmáx de ligações

em um grafo não-direcional poderá ser encontrado utilizando-se a expressão:

Ou seja, para dois atores o máximo é de uma ligação, para três o máximo é três, para

quatro é seis, e assim por diante, conforme se vê na figura 3.3.

Em grafos direcionais , o número máximo de ligações (setas) entre dois atores é de

duas setas (uma em cada sentido), para três atores o máximo é de seis, e assim por

diante. A expressão que define o número máximo de ligações direcionais é:

Um exemplo de grafo direcional que tem o número máximo de ligações é o campeonato

brasileiro de futebol. Há vinte times disputando o campeonato, cada time joga contra

todos os outros times, sendo uma vez em casa e outra vez na casa do adversário (jogo de

ida e jogo de volta, duas direções). O total de ligações (jogos) nessa rede (campeonato)

será 380.

Os grafos permitem muitas análises interessantes e têm o apelo visual, que ajuda a

compreender a rede em estudo. Porém, para redes com muitos atores e ligações, isso se

tornará impossível. Da mesma maneira, algumas informações importantes, como

freqüência de ocorrências e valores específicos, são dificilmente aplicáveis num grafo.

Para resolver esse problema, usamos as matrizes desenvolvidas pela sociometria, que

produzem o que chamamos de sociomatrizes. Neste sentido a sociometria e suas

sociomatrizes vêm complementar a Teoria de Grafos, estabelecendo a base matemática

para análises de redes sociais.

Na figura 1.3, da unidade 1, vimos a matriz que mostrava a existência das ligações

entre os diversos atores da rede da figura 1.2, representada por um grafo não-direcional.

Por ser não-direcional, a matriz é simétrica. Cada elemento da matriz mostra a ligação,

ou não, entre dois atores. Chamaremos cada elemento da matriz de “xlinha, coluna”, com os

sub-índices indicando o ator de uma determinada linha e o ator de uma determinada

coluna. Se considerarmos para os índices, os valores de “i” e “j”, cada elemento será

identificado por xij, ou seja:

e sendo a matriz simétrica:

No entanto, se as ligações forem direcionadas, teremos um grafo direcional, e neste

caso a notação será:

situação em que a matriz raras vezes será simétrica. Veja a seguir, na figura 3.4, um

grafo direcional em que as empresas estabelecem relações de venda entre si. As setas

apontam no sentido da venda. Também observe na figura 3.5, seguinte, a sociomatriz

correspondente, onde se percebe sua assimetria e a diagonal principal vazia.

Na próxima seção, você utilizará esses conhecimentos básicos sobre grafos e

sociomatrizes para entender a definição de diversas características das redes de relações

comerciais, tais como prestígio, papel social dos atores e outras definições, úteis para

análises práticas em ambientes comerciais e sociais.

2.4 Grafos aplicados a redes de relacionamento comercial

O uso de grafos e sociomatrizes é necessário para se criarem modelos, sistemas

simplificados de representação, de redes de relacionamento. Porém, com grafos e

sociomatrizes não é possível representar a totalidade de características e atributos de

uma rede, nem todos os seus limites e variações. O modelo, para permitir análises, é

então simplificado.

2.4.1 Grau do nó

Em uma rede não-direcional, medimos o número de ligações incidentes em um nó e

chamamos esse número grau do nó (em inglês, nodal degree). O grau de um nó pode

variar do valor zero, quando não há ligação deste nó com qualquer outro nó da rede, até

o valor f – 1, quando há ligação deste nó com todos os outros nós da rede. A medida do

grau de um nó pode definir sua importância, por exemplo, em uma rede em que ter

várias ligações é algo do interesse dos membros da rede.

Para obter em um grafo o grau de um determinado nó, g(ni), basta contar a quantidade

de linhas que estão conectadas a este nó. Considere o exemplo que está apresentado na

figura 3.6 e então verifique o grau de cada nó, em ordem decrescente, conforme segue:

g(nMetalúrgica) = 7

g(nXYZ Informática ) = 4

g(nLoja Com ) = 3

g(nBrasil Mercadorias ) = 3

g(nMercadinho do Zé ) = 3

g(nVerdurinha ) = 3

g(nLoja Virtual ) = 2

g(nTudo em móveis ) = 2

g(nNotePC ) = 2

g(nEntrega Tudo ) =1

g(nJoão Eletrodomésticos ) = 1

g(nSulcentro ) = 1

g(nNorteCenter ) = 1

g(nCestão JJ ) = 1

g(nMadeireira Tuim ) = 0

Um dado importante em redes comerciais é a quantidade média de relacionamentos

entre os integrantes da rede. Isto pode ser medido obtendo-se o grau médio da rede. O

grau médio, denotado por , é definido pela soma de todos os graus dividida pela

quantidade de atores da rede, ou seja:

onde L é o número de ligações da rede e f o número total de atores (nós). Para a rede do

exemplo anterior, o valor de é igual a 2,267.

2.4.2 Grau do nó (grafo direcional)

Em grafos direcionais, a medida do grau é um pouco diferente, pois passa a ser de

interesse saber quantas ligações têm um nó como origem e quantas ligações têm esse nó

como destino.

Chamaremos de grau-entrante de um nó o número de ligações que têm esse nó como

destino (em inglês, nodal indegree). Para o grau-entrante do nó ni, obtido ao contar a

quantidade de setas que apontam para ele, usaremos a notação ge(ni).

Chamaremos de grau-sainte de um nó ao número de ligações que têm esse nó como

origem (em inglês, nodal outdegree). Para o grau-sainte do nó ni, obtido ao contar a

quantidade de setas que partem dele orientadas a outros nós da rede, usaremos a notação

gs(ni).

Essas medidas são importantíssimas em uma rede, pois o grau-sainte pode indicar a

capacidade de expansão de um determinado ator, enquanto o grau-entrante pode

representar sua popularidade. A medida do grau-entrante, por exemplo, é um dos fatores

que determina o status de um determinado site da web quando fazemos uma procura

usando o Google. A posição no ranking de uma página, ao mostrar os resultados da

busca, é determinada pelo número de sites que apontam para aquela página na rede web,

ou seja, o grau-entrante da página.

Como exemplo, considere a rede comercial apresentada na figura 3.4, que apresenta as

ligações direcionadas pela “venda” de um ator para o outro. Na tabela, abaixo, veja o

grau-sainte e o grau-entrante de cada nó.

Como você percebe na tabela, para um mesmo nó, o grau-sainte e o grau-entrante

podem ser iguais ou não. Baseados nessas diferenças, os teóricos de grafos direcionais

criaram diferentes denominações para o papel dos nós, conforme seus graus entrante e

sainte (WASSERMANN, 1994). Isso tem interesse especial nas redes comerciais, pois

define o comportamento do ator na rede de relações. Os tipos de nó são:

Os gráficos das figuras seguintes, 3.7 e 3.8, mostram os graus das empresas nessa rede,

e permitem algumas análises. A empresa “Metalúrgica”, por exemplo, é um “portador”

e tem um comportamento intermediário como vendedora nessa rede, mas concentra boa

parte das compras (seu grau-entrante é destacadamente o maior). A curva do grau-sainte

nos mostra certo equilíbrio entre as empresas, mas a do grau-entrante mostra uma

grande concentração em apenas três empresas. A saída de uma dessas empresas

certamente traria enorme impacto na rede comercial.

Assim como para o grafo não-direcional, é importante verificar o grau-entrante médio e

o grau-sainte médio dos integrantes da rede. O grau-entrante médio, denotado por , é

definido pela soma de todos os graus-entrantes dividida pela quantidade de atores da

rede, ou seja:

onde f é o número total de atores (nós). Da mesma forma o grau-sainte médio, denotado

por , é definido pela soma de todos os graus-saintes dividida pela quantidade de

atores da rede, ou seja:

Necessariamente o número total de entrantes deve ser igual ao total de saintes (a soma

de todas as origens deve ser igual à soma de todos os destinos). Então se pode afirmar

que:

onde L é o número de ligações da rede. Para a rede do exemplo acima, o valor de =

= 1,133, o que representa uma rede direcional com baixa conectividade.

2.4.3 Densidade da rede

Enquanto o grau do nó é importante por definir a quantidade de relacionamentos de um

determinado ator, outro dado importante de uma rede é a sua densidade, ou seja, a

medição da quantidade de ligações existentes. Redes densas são aquelas nas quais há

uma grande quantidade de ligações e redes esparsas são aquelas nas quais há poucas

ligações. Ambientes onde há intenso relacionamento comercial, como entre os países da

União Européia, formam redes densas.

A medida da densidade de uma rede não-direcional é denotada por e é definida pela

quantidade de ligações L dessa rede dividida pelo número máximo lmáx de ligações.

A expressão da densidade para o grafo não direcional é:

Se o grafo não tem ligações, é então chamado de vazio e a densidade é igual a 0. Se tem

o número máximo de ligações, é então chamado de completo e a densidade é igual a 1.

Veja na figura 3.7 um grafo vazio, um completo e um intermediário, para uma rede com

quatro atores.

Para uma rede direcional a medida da densidade é denotada por e é definida pela

quantidade de ligações (setas) L dessa rede dividida pelo número máximo lmá.dirx. A

expressão da densidade para o grafo direcional é:

2.4.4 Passeio, trilha e atalho

Em uma rede, há a possibilidade de haver algum tipo de relação entre dois nós, mesmo

que não exista uma ligação direta entre eles, mas sim por meio de um terceiro nó, por

exemplo, com o qual ambos os nós têm ligação.

Exemplo: Se Maria é amiga de João e João é amigo de Lúcia, há a possibilidade de

Maria e Lúcia virem a se conhecer e serem também amigas.

As diversas ligações funcionam como uma espécie de rede de canais, e conforme a rede

fica mais complexa, maior é a complexidade de “caminhos” por esses diversos canais.

Ao citarmos o exemplo dos seis graus de separação, estávamos justamente nos referindo

às seis ligações entre “intermediários”, desde a origem até o destino da encomenda.

Vendo o grafo que representa uma rede, perceba que, desde um ator até qualquer outro,

é possível traçar caminhos passando por diversas ligações. Para esses caminhos temos

as seguintes definições:

Passeio – seqüência de nós e ligações, partindo de um nó e terminando em um nó,

passando pelas ligações que unem os diversos nós do caminho percorrido. Nós e

ligações podem se repetir ou não, sendo que o comprimento do passeio é definido pelo

número de linhas de ligação percorridas. No exemplo da figura 3.10, a seqüência {n6, l8,

n5, l7, n4, l6, n7, l6, n4} é um passeio, no qual os nós n4 e l6 são repetidos, sendo o

comprimento total do passeio igual a 4.

Trilha – a trilha é um tipo especial de passeio, em que todas as linhas de ligação são

distintas, mas os nós podem se repetir. Na figura 2.10, um exemplo de trilha é a

seqüência {n5, l7, n4, l3, n3, l1, n2, l4, n4}, na qual o nó n4 se repete. Nesta trilha o

comprimento total é igual a 4.

Atalho – o atalho é outro caso especial de passeio, no qual todos os nós e linhas de

ligação são distintos, não podendo haver repetições. Um exemplo de atalho, na figura

2.10, é a seqüência {n6, l8, n5, l7, n4, l6, n7}, cujo comprimento é igual a 3.

Atenção! Numa rede de relacionamentos esses conceitos são fundamentais para se calcularem as

distâncias entre atores, e então se estabelecerem, entre empresas, por exemplo, possíveis

negociações baseadas em relacionamentos comuns.

Caso o grafo seja direcional, como no exemplo da figura seguinte, 3.11, esses caminhos

podem ser interpretados de uma maneira um pouco diferente. A noção de direção deve

ser atribuída e se chamarmos as ligações de “setas” teremos:

Passeio direcionado – seqüência de nós e setas, partindo de um nó e terminando em um

nó, passando pelas setas sempre num mesmo sentido, que une os diversos nós do

caminho percorrido. Nós e setas podem se repetir ou não, sendo que o comprimento do

passeio direcionado é definido pelo número de setas. No exemplo da figura 2.11, a

seqüência {n7, l6, n4, l4, n2, l1, n3, l3, n4, l4, n2, l2, n1} é um passeio direcionado, no qual

os nós n4 e n2 e a seta l4 se repetem, sendo o comprimento total do passeio igual a 6.

Trilha direcionada – da mesma forma, a trilha direcionada é um tipo especial de

passeio, em que todas as setas de ligação são distintas e sempre num mesmo sentido,

mas os nós podem se repetir. No exemplo da figura 3.11, a seqüência {n7, l6, n4, l4, n2,

l1, n3, l3, n4, l13, n9} é uma trilha direcionada, na qual o nó n4 é repetido, sendo o

comprimento total igual a 5.

Atalho direcionado – neste caso, todos os nós e setas de ligação são distintos, e as

setas são sempre num mesmo sentido, sem repetições. Um exemplo de atalho

direcionado na figura anterior, 3.11, é a seqüência {n2, l1, n3, l3, n4, l13, n9, l14, n10}, cujo

comprimento é igual a 4.

Atenção! Se, para os três casos anteriores, alguma das setas no caminho percorrido tiver o sentido

contrário, então as denominações serão, respectivamente, semi-passeio, semi-trilha e

semi-atalho.

2.4.5 Passeio fechado

Chamamos uma seqüência de passeio fechado quando o passeio começa e termina no

mesmo nó. Não há problema se algumas linhas e nós se repetem. Um exemplo de

passeio fechado no grafo da figura 2.10 é a seqüência {n5, l7, n4, l3, n3, l1, n2, l4, n4, l7,

n5}, na qual os nós n4 e n5 se repetem, e o passeio começa e termina no nó n5.

2.4.6 Ciclo

Chamamos uma seqüência de ciclo quando há no mínimo três nós e o nó de início é o

mesmo do término, sendo que as linhas de ligação não se repetem. Um exemplo de ciclo

no grafo da figura 2.10 é a seqüência {n4, l3, n3, l1, n2, l4, n4}. O conceito de ciclo vale

também para os grafos direcionais, desde que todas as setas apontem no mesmo sentido

do caminho percorrido. Na figura 3.11 um ciclo é definido pela seqüência {n2, l1, n3, l3,

n4, l4, n2}.

2.4.7 Semi-ciclo

Em um grafo direcional chamamos uma seqüência de semi-ciclo para o ciclo no qual

pelo menos uma das setas aponta em sentido contrário às outras. Um exemplo de semi-

ciclo no grafo da figura 2.11 é a seqüência {n4, l9, n12, l10, n14, l12, n13, l11, n4}.

2.4.8 Encontrabilidade e conectividade direcional

Em uma rede, se existe um atalho entre dois nós, isto significa que esses dois nós

podem estabelecer algum tipo de relacionamento por meio desse caminho formado pelo

atalho, ou seja, um nó poder “encontrar” o outro nó por meio do atalho.

Chamaremos essa possibilidade de relacionamento de encontrabilidade. Já em um

grafo direcional , a “encontrabilidade” poderá ser estabelecida em diferentes níveis,

conforme o sentido das setas que perfazem o atalho.

Para que um nó possa “encontrar” um outro nó em uma rede direcional, há quatro tipos

de conectividade, exemplificados pelos tipos de caminhos entre os nós A e B da figura

2.12.

Os tipos de conectividade são tais que:

Partindo dessas considerações, pode-se dizer que todo grafo direcional cabe dentro de

um desses tipos de conectividade, ou seja:

Atenção! Essas noções são importantes para a análise da coesão entre os membros de uma

determinada rede. Se entre A e B há conectividade fraca numa rede comercial de venda,

a possibilidade de A vender para B é menor do que se a conectividade fosse forte.

2.4.9 Rede conectada e desconectada

Uma rede é considerada conectada se há um atalho entre qualquer par de nós dessa

rede, ou seja, se qualquer ator da rede pode estabelecer uma relação com qualquer outro,

mesmo que passando por diversas ligações e atores intermediários. Caso isso não seja

possível, a rede é desconectada.

Observe na figura 3.13 esses dois exemplos, em que os atores são os mesmos. Esse

conceito é muito importante, porque permite verificar se pode ser estabelecida uma

relação comercial utilizando determinada rede, e também porque, caso se queira, por

exemplo, destruir as conexões de uma rede terrorista, permite verificar quais ligações

poderiam ser retiradas para “desconectar” a rede.

2.4.10 Geodésico

O atalho mais curto entre dois nós é chamado de geodésico, e o comprimento desse

atalho, em quantidade de ligações intermediárias, é chamado de distância geodésica.

Essa mínima distância é muito interessante, pois permite verificar quantas ligações e

quantos nós são intermediários numa relação entre dois atores de uma rede.

Chamaremos a distância geodésica entre dois nós quaisquer, ni e nj, de d(ni, nj).

Considere então o exemplo da figura 3.14, onde se podem verificar as distâncias

geodésicas, como segue:

d(n1, n2)= 1

d(n1, n3)= 2

d(n1, n4)= 3

d(n1, n5)= 4

d(n1, n6)= 4

d(n2, n3)= 1

d(n2, n4)= 2

d(n2, n5)= 3

d(n2, n6)= 3

d(n3, n4)= 1

d(n3, n5)= 2

d(n3, n6)= 2

d(n4, n5)= 1

d(n4, n6)= 1

d(n5, n6)= 2

No caso de não haver um geodésico para dois nós quaisquer, ou seja, não haver

possibilidade de nenhum atalho entre eles, sua distância será considerada infinita e a

rede será desconectada.

Para uma rede direcional, o geodésico é considerado como o atalho direcionado mais

curto entre dois nós. Considerando que em um atalho direcionado todas as setas devem

estar no mesmo sentido, nem sempre o geodésico de ni para nj será o mesmo geodésico

de nj para ni. Veja na figura 3.15 um exemplo desse tipo. A seqüência que define o

geodésico de n1 para n3 é {n1, l2, n2, l3, n4, l4, n3}, com uma distância geodésica d(n1,

n3)=3. Já para o geodésico de n3 para n1, a seqüência é {n3, l5, n1}, com uma distância

geodésica d(n3, n1)=1.

2.4.11 Diâmetro

Estabelecidas as distâncias geodésicas de uma rede conectada, a maior distância irá

determinar o diâmetro dessa rede. No exemplo da figura 3.14, o diâmetro da rede é

igual a “4”, pois a maior distância está estabelecida pelos geodésicos:

d(n1, n5)= 4

d(n1, n6)= 4

O diâmetro para uma rede direcional segue o mesmo princípio, considerando a maior

distância geodésica direcional de qualquer par de nós da rede. No caso da rede da figura

3.15, o diâmetro é igual a 4, definido pela distância geodésica de n5 para n3 :

d(n5, n3)= 4

2.4.12 Nó de corte – cutpoint

Um nó de corte é aquele nó que, se retirado, fará com que a rede seja desconectada,

dividindo-a em diferentes “componentes”. Há nós de corte muito importantes, pois

podem dividir a rede em partes diferentes e incomunicáveis, fazendo com que a rede

enfraqueça consideravelmente. A retirada de um nó implica o desaparecimento de todas

as suas ligações. Considere, por exemplo, a retirada do nó n4 da rede da figura 3.10. A

rede resultante é apresentada na figura 3.16.

Observe como a rede ficou fragmentada (desconectada) e que restaram cinco subgrafos,

ou componentes, do grafo original. Nenhum outro nó de corte nesta rede pode causar

tamanho dano. Boa parte dos nós desta rede não são nós de corte (pois não separam a

rede em diferentes componentes). Outros nós de corte são: n2, n5, n7 e n9. Repare na

figura 3.17 como a retirada do nó n9 afeta a rede de uma maneira bem diferente da

anterior. Esse tipo de estudo tem sido feito para descobrir, em redes terroristas ou do

crime organizado, os nós de corte mais importantes e capazes de enfraquecer sua

organização.

2.4.13 Ponte

A noção de ponte é similar à do nó de corte, mas refere-se à ligação que, se retirada de

uma rede, fará com que a rede seja desconectada, dividindo-a em diferentes

“componentes”. Todos os nós permanecem na rede, e apenas a ligação que representa a

ponte é extraída, resultando então numa rede desconectada. No exemplo da figura 3.18,

a linha l3 é uma ponte. Ao ser retirada, a rede passa a ter dois componentes e os nós n1,

n2 e n3 não têm atalhos para os nós n4, n5 e n6. Num ambiente comercial, a ligação que

faz o papel de ponte pode ser um contrato ou um acordo. O cancelamento de tal acordo

pode ser o motivo de isolamento, por exemplo, de dois grupos da rede comercial, que

não terão mais como se relacionar um com o outro.

2.4.14 Grafo cíclico e árvore

Todo grafo que contém ciclos pode ser chamado de grafo cíclico. Porém, se a rede

representada por esse grafo não tiver nenhum ciclo, será chamada de árvore. A árvore é

uma rede especial, pois é pouquíssimo conectada e cada ligação é uma ponte. Qualquer

ligação, ao ser retirada, provocará uma desconexão na rede. Por esse motivo, as redes

em forma de árvore não são boas no ambiente comercial e qualquer problema com um

ator ou uma ligação afetará a capacidade de desenvolvimento da rede.

2.4.15 Grafo bipartido

Ao estudar, na unidade anterior, a definição de redes duomodais, você viu que um grafo

pode ser considerado bipartido se as relações se estabelecem de um conjunto de atores

para outro conjunto, mas não há ligações entre os atores dentro de um mesmo conjunto.

Este é um caso especial de rede, e um exemplo prático está na formação da rede de

relacionamentos da educação a distância.

Suponha que o conjunto de atores seja formado por professores-tutores e que alunos

utilizam a ferramenta da tutoria. Em um dos conjuntos estarão os professores e no outro

os alunos, e as ligações serão as diversas perguntas e respostas. Nem todos os alunos

estabelecem comunicação com todos os professores, e nem todos os professores

respondem a todos os alunos. Se houvesse ligações de todos os atores de um conjunto

com todos os atores do outro, seria um grafo bipartido completo. Os grafos da figura

3.20 ilustram esses casos.

2.4.16 Grafos com sinal e com valor

Para cada relação estabelecida por uma ligação em um grafo, pode-se ainda incluir duas

informações adicionais: um sinal e um valor. A inclusão de um sinal positivo ou

negativo para uma ligação pode nos informar que a relação é boa ou ruim, por exemplo.

Veja na figura 3.21 um exemplo desse tipo de rede, apresentando o grafo de relações de

afinidade entre alunos de uma sala de aula, onde (+) indica que há amizade e (–) indica

inimizade.

A inclusão de valor pode acrescentar uma quantidade a uma ligação. No grafo da figura

3.22 veja um exemplo em que há relacionamento comercial entre empresas, e o valor da

ligação representa o montante em milhões de reais da transação de venda. Perceba que o

grafo é direcional e a sociomatriz resultante não é simétrica.

2.4.17 Centralidade e prestígio

Dois importantes conceitos em uma rede são as noções de centralidade e prestígio de

um ator. Há várias definições e formas de se calcular a centralidade. Para um

determinado ator ni, denotaremos a centralidade como C(ni) e a medida será dada pelo

grau do nó, ou seja, pela quantidade de ligações desse nó na rede.

O conceito de prestígio de um ator ni está ligado às redes direcionais, e podemos dizer

que a centralidade desse ator, considerando as setas dirigidas a ele, ou seja, seu grau-

entrante, define seu prestígio P(ni) na rede. Claramente, a empresa “Metalúrgica” na

rede da figura anterior, 3.22, é a que tem maior centralidade e maior prestígio, pois

g(nMetalúrgica) = 7 e ge(nMetalúrgica) = 5.

Há vários outros conceitos importantes em redes sociais que podem ser aplicados às

análises de redes de relacionamento comercial. Esta é uma área de pesquisa em

constante desenvolvimento. Conceitos avançados como os de reciprocidade,

mutualidade, equilíbrio (balance), transitividade, cluster, coesão, papel social e posição

social serão deixados para trabalhos futuros.

2.5 Síntese

Nesta unidade, você estudou os fundamentos da teoria de grafos. Com isso, aprendeu

como a teoria de grafos pode ser aplicada para compreender e analisar redes de

relacionamento comercial. Há muitas aplicações possíveis e você viu algumas delas no

decorrer da unidade.

Depois de estudar os fundamentos da teoria, conheceu diversos conceitos matemáticos,

e como estes podem ser utilizados para fazer a análise e o estudo das relações

comerciais em geral. Verificou alguns exemplos práticos com redes simples e redes

direcionais, e modelou redes a partir de informações e dados criados para exemplificar.

Na próxima unidade, vamos tomar um caso real, citado na literatura sobre gestão de

engenharia, e veremos como a teoria estudada pode nos ajudar a realizar análises úteis.

Espero você lá!

2.6 Atividades

1. Qual o número máximo lmáx de ligações num grafo não-direcional com 50 atores? Se

a rede for direcional, qual será o número máximo de ligações?

2. Na figura a seguir, quais são as distâncias geodésicas entre a empresa Sulcentro e

cada um dos atores desta rede comercial?

d(Sulcento,Mercadinho do Zéj)=

d(Sulcento, Brasil Mercadorias)=

d(Sulcento, Cestão JJ)=

d(Sulcento, XYZ Informática)=

d(Sulcento, Metalúrgica)=

d(Sulcento, NorteCenterj)=

d(Sulcento, Madeireira Tuim)=

d(Sulcento, João Eletrodomésticos)=

d(Sulcento, Tudo em Móveis)=

d(Sulcento, Loja Com)=

d(Sulcento, Loja Virtual)=

d(Sulcento, Entrega Tudo)=

d(Sulcento, Verdurinha)=

d(Sulcento, NotePC)=

3. Qual o diâmetro da rede apresentada na figura do exercício 2 ? O diâmetro se refere a

qual distância geodésica?

4. Descreva a seqüência que define os atalhos entre o nó n14 e cada um dos outros nós

da rede da figura a seguir.

Atalho entre n14 e n1 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n2 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n3 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n4 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n5 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n6 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n7 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n8 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n9 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n10 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n11 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n12 = {________________________________________}

Atalho entre n14 e n13 = {________________________________________}

5. Veja a figura a seguir que demonstra os relacionamentos entre alunos de uma sala de

aula. Preencha a sociomatriz correspondente, considerando +1 para as relações de

amizade e -1 para as relações de inimizade.

3. Referências

WASSERMANN, Stanley; FAUST, Katherine. Social network analysis. Cambridge:

Cambridge University Press, 1994. 825 p.

ZHONG, N.; LIU, J.; YAO, Y. Web intelligence. Berlim: Springer-Verlag, 2003. 440

p.

BORGATTI, S. P.; EVERETT, M. G.; FREEMAN, L. C. Ucinet for Windows:

software for social network analysis. Harvard: Analytic Technologies, 2002.

FACCIONI FILHO, Mauro; PANZARASA, Pietro. Knowledge transfer within

affiliation networks . In: IEMC 2006 - International Engineering Management

Conference, 2006, Salvador. IEEE International Engineering Management Conference -

The Human-Technology Interface, 2006.