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Maro A. P. Cabral

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Curso de Clulo de Uma VarivelPrimeira Edio V1.0Julho de 2010Maro A. P. CabralPhD Indiana University EUAProfessor do Instituto de MatemtiaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Departamento de Matemtia ApliadaInstituto de MatemtiaUniversidade Federal do Rio de JaneiroRio de Janeiro - BrasilCpias so autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o stiowww.labma.ufrj.br/~mabral/livros ou entre em ontato om o autor emmapabral(at)ufrj(dot)br.

ii Este trabalho est lieniado sob uma Liena Creative Commons Atribui-o (BY) Uso No-Comerial (NC) Compartilhamento pela mesma Liena (SA) 3.0Unported. Para ver uma pia desta liena, visitereativeommons.org/lienses/by-n-sa/3.0/br/ou envie uma arta para Creative Commons, 171 Seond Street, Suite 300, San Franiso,California 94105, USA.Esta liena permite que outros possam opiar ou redistribuir esta obra sem ns omeriais,adaptar e riar obras derivadas sobre esta obra sem ns omeriais, ontanto que atribuamrdito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma liena, ou sob uma lienasimilar presente.

Fiha CatalograCabral, Maro A. P.Curso de Clulo de Uma Varivel / Maro Cabral - Rio de Janeiro: Instituto deMatemtia, 2010. 1. Clulo I. TtuloCDD: 512.5516.3ISBN XX-XXXX-XXX-X

Sobre o AutorMaro Cabral fez o Baharelado em Informtia na UFRJ, o Mestrado em Matemtia Apli-ada na UFRJ e o doutorado em Matemtia na Indiana University (EUA). Trabalha omequaes difereniais pariais e Anlise Numria. professor no Instituto de Matemtia naUFRJ.

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iv SOBRE O AUTOR

AgradecimentosAos programadores que riaram os programas que permitiram a produo deste material. Esteproduto herdeiro da ultura GPL (Gnu Publi Liense), que permite o reuso de digo fonte.Agradeemos: em primeiro lugar, Douglas Knuth pelo TEX, software que permite que este materialseja to bonito; Leslie Lamport pelo LATEX, paote baseado no TEX; Linus Torvalds pelo kernel do sistema operaional GNU-Linux; Rihard Stallman, responsvel pelo projeto GNU, pelos diversos programasdo sistema operaional GNU-Linux e milhares de pessoas por dezenas de softwaresutilizados: tar (ompatao de arquivos), make (gereniador de programa), aspell(orretor ortogro), grep, find, ghostview, xpdf, . . . ; Mark Shuttleworth riador da distribuio do Linux XUbuntuque utilizei para produzir este livro; Bram Moolenaar pelo vim (editor de texto); Till Tantau pelo TikZ e PGF (que possibilitou a gerao de gros to bonitos); Raimundo dos Santos Moura pelo vero (Veriador Ortogro em portugus); a Wikipedia e seus milhes de olaboradores, por algumas guras eideias utilizadas em vrios exemplos. v

vi AGRADECIMENTOS

PrefacioTodo aspeto deste livro foi inueniado pelo desejo de apresentar o Clulo nosomente omo um preldio, mas om um primeiro enontro real om a Matem-tia. (. . . ) Alm de desenvolver a intuio do estudante sobre os belos oneitosde Anlise, ertamente igualmente importante persuadi-los que a preiso e origor embora no sejam um m em si mesmo so o meio natural paraformular e pensar sobre questes matemtias. (Prefio do livro de Clulo doSpivak [Sp, em traduo livre)Para o estudanteEste livro tem omo foo o aluno e suas diuldades, tratando-os de forma inteligente. Notexto oloamos em destaque, dentro de uma aixa de texto:(a) dvidas de Pr-Clulo inorporadas diretamente aos oneitos de Clulo, ao invsde apresentadas em Captulo iniial de reviso, reurso didtio desmotivante para o aluno (epara o Professor);(b) Erros Comuns ometidos pelos alunos.Alm de diversos livros modernos de lulo, reomendamos a onsulta e leitura de livros(mais antigos) lssios de Clulo:(a) Courant [Co Dierential and Integral Calulus vol. 1 de 1934;(b) Spivak [Sp Calulus de 1967.Reomendo fortemente que os alunos que tenham seu interesse despertado utilizemo livro de Clulo do Spivak. interessante tambm folhear sem ompromisso o livro doCourant. Experimente ler o aptulo sobre limites do livro do Spivak. Experimente ler sobrea frmula de Stirling (fatorial) no livro do Courant. Vo orre o riso de ar fasinado peloClulo.() Livros de Anlise Real, a teoria que fundamenta a matemtia: Neri e Cabral [NCCurso de Anlise Real (disponvel online em www.labma.ufrj.br/~mabral/livros).Para a fundamentao teria do Clulo neessrio estudar anlise, urso que alguns devos podem querer fazer depois do Clulo.(d) Livros de Divulgao Matemtia: Courant, R.; Robbins, H.. O que Matemtia? Editora Cinia Moderna, 2000. Polya, G.; A arte de resolver problemas. Editora Interinia. Kasner, E.; Newman, J.; Matemtia e Imaginao. Jorge Zahar. Davis, Philip J.; Hersh, Reuben; A Experinia Matemtia. Editora Franiso Alves(1985).Estas leituras vo abrir um pouo os horizontes. So todos lssios. Inluem todo tipode Matemtia, passando por lgia, nmeros, topologia, teoria da omputao, losoa damatemtia. vii

viii PREFCIO parte fundamental do aprendizado de Matemtia resolver exerios, tantos quanto forpossvel. Deve-se tentar resolver os Exemplos que apareem ao longo do texto sem olhar aresposta no nal do livro. Ao nal de ada aptulo existem exerios, todos om soluo eresposta no nal do livro, divididos em 4 grupos: Exerios de Fixao: Devem ser feitos imediatamente aps a leitura do texto. So deresposta urta. No saber resposta orreta sugere um retorno ao texto. Deve-se fazertodos antes de seguir adiante. Problemas: So os prinipais exerios do aptulo. Todos (ou quase) devem ser feitos. Problemas Extras: Caso o aluno tenha feito todos os problemas e deseje mais prtia. Desaos: Para se aprofundar na disiplina. So opionais.Sees maradas por uma estrela so opionais.Para o ProfessorCom a massiao do ensino de Clulo surge a neessidade de se mudar os paradigmas deavaliao. Para isto, a esolha dos tipos de exerios so muito importantes. omum obrar em avaliaes exerios do tipo Determine o ilindro om maior volumeinsrito . . . . Para avaliao em massa melhor separar em itens independentes a modelagem(determine a funo e o intervalo onde ela deve ser maximizada) da resoluo (determineo mximo da funo f no intervalo). Mais ainda, deve-se obrar a apliao dos Teoremasorretos que garantem a existnia do mximo (Teorema do Valor Extremo) em intervalosfehados e limitados e mtodos para determinar mximo em intervalo aberto ou ilimitado.O mesmo vale para lulo de reas e volumes. Deve-se pedir a integral (ou soma deintegrais) que determinam a rea ou volume. A integrao em si deve ser um exerio parte.No esboo de gros de funes raionais melhor forneer a derivada e a derivadasegunda. Embora seja fil alular, muito fil errar um sinal ou outro, prejudiando todaa questo. Deve-se obrar derivar em questo parte.Alm disso, deve-se oloar mais nfase na formao de oneitos e entendimento dosTeoremas. Isto passa por exerios de natureza oneitual: Verdadeiro ou Falso, d exemploou ontraexemplo, et.Porque um novo livro? A esolha da liena do tipo opyleft (o ontrrio do opyright) parte funda-mental deste projeto. A liena Creative Commons Atribuio (BY) Uso No-Comerial (NC) Compartilhamento pela mesma Liena permite que ou-tros possam opiar ou redistribuir esta obra sem ns omeriais, adaptar e riar obrasderivadas sobre esta obra sem ns omeriais, ontanto que atribuam rdito ao autore distribuam a obra resultante sob a mesma liena, ou sob uma liena similar pre-sente. Desta forma este livro poder ser aperfeioado daqui por diante, ao invs de todoesforo envolvido se perder aso o livro pare de ser editado. Para detalhes onsulte:http://reativeommons.org/lienses/by-n-sa/3.0/br/. Isto inentiva tam-bm a olaborao om o projeto, pois o esforo investido ser revertido para toda

ixhumanidade. Mande sugestes, erros e soliite o fonte (latex) para o autor MaroCabral em mapabral (at) ufrj (dot) br. Permitir aos alunos de todo o Brasil aesso fil (internet) a material gratuito e dequalidade. O material de pr-lulo est disseminado ao longo do urso, dentro dos aptulos delimite, derivada e integral. A soluo usual de inluir um aptulo iniial somente ompr-lulo pouo motivante, o que faz om que frequentemente seja ignorado pelosalunos e professores. nosso desejo tambm que o aluno omee a aprender lulodesde o primeiro dia de aula. Os exerios so por aptulo, evitando exerios desintegrados. Exerios por Seotendem a obrir muito pouo material e treinar o aluno numa nia tnia. fundamental que o livro seja pequeno para que alunos leiam o texto e que a quanti-dade de exerios seja razovel, para no desenorajar os alunos. A tentao grandede oloar muitos tpios. Por esta razo os livros de Clulo hegam a ter 500 oumais pginas. Mas hoje em dia desneessrio oloar detalhes de tpios pois pode-mos remeter os alunos para outros livros ou internet. Levantamos tpios diversos emobservaes ao longo do texto e nos Desaos de nal de aptulo. Criar um paote ompleto, om livro texto, exerios (om respostas) e transparniaspara um urso de Clulo.Como foi esolhido o material?Determinamos os tpios tomando por base o urso usualmente ministrado na UFRJ. Almdisso o omponente esttio foi fundamental: os alunos devem pereber a beleza da Mate-mtia. Algumas esolhas importantes foram feitas: material de pr-lulo est disseminado pelos diversos aptulos do livro, ao invs deoloado no primeiro aptulo. Por exemplo, optamos por oloar os tpios: modelagem: na Seo de max/min; omposio e inversa de funes: na Seo de regra da derivada da adeia e dainversa; equao da reta: no inio do Captulo de derivada; anlise de sinal de funes (desigualdades): no Captulo de Limites, na seo delimites no innito; translao de gro, funo denida por partes: no Captulo de limites; log/exp: na Seo de derivada da omposta e funo inversa. O limite fundamental trigonomtrio (sen(x)/x quando x 0) apresentado no naldo Captulo de Limites omo uma das apliaes do Teorema do sanduhe (ou on-fronto). um resultado bonito que meree o devido destaque, ao invs da opo usualde apresent-lo omo mero passo de lulo da derivada do seno.

x PREFCIO Denimos o nmero e (base do logaritmo natural) atravs do limite (1 + h)1/h quandoh 0 no nal do Captulo de Limite. Conetamos om apliaes da exponenial:juros ompostos ontnuos, resimento populaional, deaimento radioativo. umresultado bonito que meree o devido destaque, ao invs da opo usual de apresent-loomo mero passo de lulo da derivada do logaritmo ou da exponenial. Outra opo,ainda menos feliz, adiar isto, juntamente om a denio do logaritmo, para depoisdo aptulo de integral. Isto no impede que se faa a denio do log om integraldepois.

Esboo de gro de funo aparee logo no inio, no Captulo de limites (embora res-trito a funes raionais). Vai reapareer depois no Captulo de Apliaes da Derivada. O lulo de volume de slidos feito om somente uma tnia: Cavalieri. A tniapara slidos de revoluo uma mera apliao de Cavalieri. Provamos (ou indiamos a prova) de todos os Teoremas interessantes, om padrode rigor varivel, aessvel aos estudantes. Provas de resultados burortios (limite ederivada da soma por exemplo) so omitidos.

Sumario

Sobre o Autor iiiAgradeimentos vPrefio vii1 Limite 11.1 Softwares Gratuitos e o Clulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Denio de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Limites e Innito: Assntotas Vertiais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . 151.4 Indeterminaes do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 Esboo de Gros (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 Exerios de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 Continuidade 492.1 Denio de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Teorema do Valor Intermedirio (TVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Construo e Continuidade de Funes Transendentes e Raiz . . . . . . . 552.3.1 Funo Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.2 Funes Exponenial e Logartmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.3 Funes Trigonomtrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.4 Funes Hiperblias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.5 Outras Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Introduo Anlise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.1 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.2 O que R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4.3 Raionais, Irraionais, Algbrios, Transendentes . . . . . . . . . . . 612.4.4 Denio de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.5 Denio de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5 Exerios de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66xi

xii SUMRIO3 Derivada 693.1 Denio de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Derivada de Funes Transendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Propriedades Bsias da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Derivada da Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5 Teorema do Valor Mdio (TVM): Cresimento e Deresimento . . . . . . . 823.6 Derivada da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.7 Exerios de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.7.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.7.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944 Apliaes da Derivada 954.1 L'Hospital e Hierarquia dos Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Aproximando Funo Loalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Mximo e Mnimo Loal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4 Esboo de Gros (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5 Mximo e Mnimo em Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.6 Problemas de Otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.7 Taxas Relaionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.8 Derivao Implita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.9 Exerios de Apliao de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.9.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.9.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.9.5 Problemas (Taxas Relaionadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.9.6 Problemas (Derivao Implita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345 Integral 1355.1 Denio de Integral e Propriedades Bsias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2 Teoremas Fundamentais do Clulo (TFCs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3 Integrais Imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.4 Tnias Bsias de Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4.1 Integrao por Substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4.2 Integrao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.5 Integrao por Fraes Pariais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.6 Exerios de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.6.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.6.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.6.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.6.5 Problemas (Integrao por Fraes Pariais) . . . . . . . . . . . . . . 1606 Apliaes da Integral 1636.1 rea no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.2 Volume de Slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.3 Valor Mdio de Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

SUMRIO xiii6.4 Comprimento de Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.5 rea de Superfie de Slido de Revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.6 Transformada de Laplae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.7 Srie de Fourier e MP3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.8 Exerios de Apliaes da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.8.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.8.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.8.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.8.5 Problemas (Substituio Trigonomtria) . . . . . . . . . . . . . . . 1876.8.6 Problemas (Comprimento de Curvas no Plano) . . . . . . . . . . . . . 1876.8.7 Problemas (rea de Superfie de Slido de Revoluo) . . . . . . . . 187A Respostas dos Exerios 189A.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.1.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192A.1.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194A.1.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195A.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A.2.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A.2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197A.2.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.2.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.3.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199A.3.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201A.3.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202A.4 Apliao de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203A.4.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203A.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210A.4.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216A.4.5 Problemas (Taxas Relaionadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.4.6 Problemas (Derivao Implita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.5.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220A.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222A.5.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223A.5.5 Problemas (Integrao por Fraes Pariais) . . . . . . . . . . . . . . 223A.6 Apliaes da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223A.6.1 Exerios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223A.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224A.6.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226A.6.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228A.6.5 Problemas (Substituio Trigonomtria) . . . . . . . . . . . . . . . 229A.6.6 Problemas (Comprimento de Curvas no Plano) . . . . . . . . . . . . . 229

xiv SUMRIOA.6.7 Problemas (rea de Superfie de Slido de Revoluo) . . . . . . . . 229Bibliograa 231

Captulo 1

LimiteO oneito de limite ertamente o mais importante e provavelmente o maisdifil de todo o Clulo. (. . . ) O que ns vamos denir neste Captulo no apalavra limite, e sim a noo de uma funo se aproximando de um limite. [Sp,p.72Objetivos: Apresentar o oneito de limite de forma intuitiva e oloar o aluno emontato om diversos tipos de funes: exponenial, log, raiz e translaes destas; funesdenidas por partes; funes mais ompliadas tipo IQ (funo indiadora dos raionais) esen(1/x).Apresentamos o material de pr-lulo integrado om ontedo de limite. Isto permiteexibilidade de aordo om as diuldades de ada aluno.Damos o destaque e batizamos a tnia de mudana de variveis do limite, que umaprvia da mudana de variveis na integral. Logo aps introduzir assntotas (vertiais ehorizontais), ensinamos a esboar gros. Passamos rapidamente pelas propriedades bsias(limite da soma, produto, diferena, et.) pois so burortias.Apresentamos Limites fundamentais do seno e da exponenial (o limite que dene o nmeroe) no primeiro aptulo pois queremos utilizar logaritmo e exponenial desde o omeo.1.1 Softwares Gratuitos e o Clulo muito interessante utilizar alguns softwares para aprender Clulo. Vamos apresentar algunssoftwares gratuitos que podem ser utilizadas no Windows e no Linux (Ubuntu, Debian, Fedora,et.).

KmPlot: Software de visualizao de gros de funes. nativo do Linux. Similarao Winplot. Winplot: Software de visualizao de gros de funes. nativo do Windows masroda om emulao do Wine no Linux. Pode-se visualizar gros 2D e 3D dados porfuno, parametrizao expliita e implita. Pode-se fazer animaes. WxMaxima: Software de omputao algbria. Calula, de forma exata, limites, deriva-das e integrais (entre outras entenas de oisas). Um exemplo o limite fundamental:limit(sin(x)/x, x, 0);. Calula tambm limites laterais: limit(exp(1/x), x,0,minus); (esquerda) limit(exp(1/x), x, 0,plus); (direita).0Verso 22 de julho de 2010 1

2 CAPTULO 1. LIMITEExperimente estes softwares desde o inio. Tente ver funes que apresentamos nosexemplos em diversas esalas.1.2 Denio de LimiteVamos apresentar a denio informal (no-rigorosa, intuitiva) de limite, o oneito funda-mental do Clulo (e da Anlise). A denio rigorosa (om e ) est na p.60, ltima seo(opional) do prximo Captulo e em qualquer livro de Anlise (omo por exemplo [NC). Oresto do aptulo ser dediado a entendermos a denio de limite.Denio 1 (limite) Considere uma funo real f denida perto de c R (mas no ne-essariamente denida em c). Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a c iguala L, denotado por limxc

f(x) = L, se f(x) a bem prximo de L R quando x est su-ientemente prximo de c R mas x 6= c. Esreve-se tambm que f(x) L quandox c.Na denio de limite nos aproximamos de c pelos dois lados. Podemos denir o limitelateral, esquerda e direita, restringindo o lado em que amos prximos de c.Denio 2 (limite lateral pela direita (esquerda)) Considere uma funo real f de-nida perto de c R (mas no neessariamente denida em c). Dizemos que o limite def(x) quando x tende a c pela direita (esquerda) igual a L, denotado por lim

xc+f(x) = L( lim

xcf(x) = L), se f(x) a bem prximo de L R quando x est suientemente prximode c R mas x > c (x < c).Observao 1 Valor da funo no ponto NO interessa para efeito do lulo do limite.Desta forma o lim

xcf(x) no neessariamente igual a f(c). Pode oorrer ainda:(a) do limite no existir; (b) da funo no estar denida em c.Quando lim

xcf(x) = f(c) (o limite existe e igual ao valor da funo no ponto) dizemosque a funo f ontnua em c. Isto oorre om as funes (bem omportadas) queestamos aostumados: f(x) = x2 3x 4, g(x) = sen(x), h(x) = 10x, . . .Observao 2 Em Anlise utilizamos o termo vizinhana de c ao invs de perto de cque utilizamos aima e vamos utilizar neste texto. O signiado preiso :Denio 3 (vizinhana) Dado um c R, uma vizinhana de c um intervaloaberto (c , c+ ) para algum > 0.Vamos estudar o oneito de limite atravs de diversos exemplos. Deve-se omear omo esboo do gro das funes dos exemplos (ao longo desta Subseo) para alular seulimite.Exemplo 1 Esboe o gro e determine (aso exista):(a) lim

x2

x

x; (b) lim

x0

x

x; () lim

x3

x2

x; (d) lim

x0

x2

x; (e) lim

x2

x

x2; (f) lim

x0

x

x2.

1.2. DEFINIO DE LIMITE 3Soluo do Exemplo 1 Para (a) e (b) note que f(x) = x/x uma funo que vale 1 emtodos os pontos a no ser em zero, pois f no est denida em 0 (f(0) = 0/0!), mas istoNO afeta o valor do limite (veja o gro). Assim, os dois limites valem 1. Na verdade olimite 1 para qualquer valor que x tenda.x

y

y = 1

2Para () e (d), de forma similar ao anterior, f(x) = x2/x = x para todo x 6= 0. Emx = 0 a funo f no est denida. Assim o gro (veja gura) uma reta om um furona origem. Assim, () 3 e (d) 0.

x

y

y = x

3

3Para (e) e (f), f(x) = x/x2 = 1/x para x 6= 0. Novamente, f(0) no est denida (vejao gro). Assim (e) 1/(1/2) = 1/2. Para (f) o limite no existe pois assume valoresmuito grandes, se tendermos pela direita, e muito pequenos, se tendermos pela esquerda.x

y

y = 1/x

21/2

Observao 3 Quando empregar f ou f(x)? Tem diferena?A funo f , f(x) o valor da funo alulada em x. Mais exatamente, f funo, f(x) um nmero. Frequentemente abusamos a linguagem e dizemos a funo f(x) = x2+3xquando o orreto seria a funo f denida por f(x) = x2 + 3x.Na linguagem C este erro no seria perdoado pelo ompilador: onfundir f (ponteiro parafuno) om f(x) (valor retornado pela funo) ().

4 CAPTULO 1. LIMITEPr-Clulo: Reorde o signiado e omo esboar o gro de uma funo denida porpartes omo por exemplo f(x) = {2; x > 1;3; x 1.Exemplo 2 Para ada item abaixo, esboe o gro de f(x) e determine (aso existam)

limxc+

f(x), limxc

f(x) e limxc

f(x).(a) c = 0, c = 1, c = 0.9999, c = 1.0001 de f(x) = {2; x < 1;3; x 1.(b) c = 2, c = 0 de f(x) = {xx ; x 6= 0;2; x = 0.() c = 0.0001, c = 0.0001, c = 0, f(x) = {1; x 6= 0;

3; x = 0.(d) c = 0.99, c = 1.01, c = 1 de f(x) = {x; x 1;4 x; x > 1.Soluo do Exemplo 2 (a) A funo vale 2 at x = 1 e depois vale 3 (veja groabaixo). Assim quando x 0, que longe de 1, tanto pela esquerda quando direita, f(x)

2. Agora, limx1

f(x) = 2, limx1+

f(x) = 3 e portanto limx1

f(x) no existe pois f(x) diferequando nos aproximamos pela esquerda ou direita do 1. Como 0.9999 < 1, a funo perto(bem perto mesmo!) de 0.9999 onstante igual a 2 pois estamos a esquerda do 1. Assimlim

x0.9999+f(x) = lim

x0.9999f(x) = lim

x0.9999f(x) = 2. De forma anloga, lim

x1.001+f(x) =

limx1.001

f(x) = limx1.001

f(x) = 3.x

y

y = 2

y = 3

1(b) Note que f(x) = 1 para todo x 6= 0. No x = 0 no interessa o valor (que f(0) = 2)para efeito do alulo do limite (veja gro abaixo). Assim o limite (inluindo os laterais)quando x 2 ou x 0 sempre 1.x

y

y = 1

y = 2() Note que f(x) = 1 para todo x 6= 0. No x = 0 no interessa o valor (que f(0) = 3) para efeito do alulo do limite (veja gro abaixo). Assim o limite (inluindo oslaterais) quando x 0.0001 ou x 0.0001 ou x 0 sempre 1.

1.2. DEFINIO DE LIMITE 5x

y

y = 1

3

(d) Como 0.99 < 1, f(x) para x perto (bem perto mesmo!) de 0.99 vale x (veja groabaixo). Assim limx0.99+

f(x) = limx0.99

f(x) = limx0.99

f(x) = 0.99. Analogamente, omo1.01 > 1, f(x) para x perto (bem perto mesmo!) de 1.01 vale 4 x. Assim, lim

x1.01+f(x) =

limx1.01

f(x) = limx1.01

f(x) = 4 1.01 = 2.99.x

y

1 4

y = xy = 4 x

1

3

Observao 4 Note que o limite existe se, e somente se, os limites laterais existem eassumem o mesmo valor.Observao 5 A diviso 0/0 est na origem de limites interessantes. De forma geraldeve-se eliminar razes em ima e embaixo. O limite pode ser qualquer oisa. Compare,por exemplo o valor de ada um destes limites entre si: limx0

x

x, lim

x0

x2

x, lim

x0

x

x2. Pode-se eliminar razes omuns no aso de quoiente de polinmios ou ento raionalizar odenominador.Pr-Clulo: Lembre-se omo manipular expresses algbrias, fatorar razes, dividir po-linmios e Teorema D'Alembert: se c raiz de um polinmio ento x c fator dopolinmio. Esquea o algoritmo de BRIOT-RUFFINI, utilize sempre diviso de polinmiospor ser algoritmo fil de se reordar, similar a diviso de inteiros.Exemplo 3 Determine os limites:(a) lim

x2

x2 3x+ 2x2 4 ; (b) limx1 x3 + 1x+ 1 ; () limy3 1y 13y 3 ; (d) limh0 (x+ h)3 x3h ;(e) lim

t1

t2 t3 + t 1t2 2t+ 1 ; (f) limx1 f(x) se f(x) = x6 1x+ 1 ; x 6= 1;4; x = 1.Soluo do Exemplo 3 (a) Como 2 raiz do numerador e denominador, pode-se dividir por

(x2) ambos, obtendo-se (x 2)(x 1)(x 2)(x+ 2) . Eliminando o fator omum, obtemos limx2 x 1x+ 2 =

2 12 + 2

= 1/4.

6 CAPTULO 1. LIMITE(b) Dividindo-se x3 + 1 por x + 1 obtemos x2 x + 1. Logo, para x 6= 1, x3 + 1x+ 1

=

x2 x+ 1. Logo o limite vale (1)2 (1) + 1 = 3.() Primeiro expandimos o numerador obtendo 1/y 1/3 = 3 y3y

. Portanto, 1y 13y 3 =

3 y3y

1y3 . Simpliando o fator y 3 do numerador e denominador obtemos 13y . Quando

y 3 obtemos 1/9.(d) Expandindo (x + h)3 e subtraindo x3 obtemos 3hx2 + 3h2x + h3. Dividindo por h(para h 6= 0) obtemos 3x2 + 3hx+ h2. Quando h 0, obtemos 3x2.(e) Dividindo-se ambos por t 1 obtemos (t 1)(1 t2)(1 t)2 =

(t 1)(1 t)(1 + t)(1 t)2 =

(1)(1 + t) para t 6= 1. Logo o limite (1)(1 + 1) = 2.(f) O valor da funo em x = 1 irrelevante para efeito do lulo do limite. Comox = 1 anula o numerador e o denominador, x(1) = x+1 fator omum pelo Teorema deD'Alembert. Seguindo omo em (b), dividindo x61 por x+1 obtemos x5x4+x3x2+x1.Quando x 1 obtemos (1)5 (1)4 + (1)3 (1)2 + (1) 1 = 6.Pr-Clulo: Note que 9 6= 3! Sempre, x 0, portanto, 9 = 3 e 9 = 3.Com isso, x2 6= x, pois falso para x < 0. Na verdade, x2 = |x|. Mas (x)2 = x sex > 0 (se x < 0 a raiz quadrada no est denida).Pr-Clulo: O que mdulo de x?(a) algebriamente, |x| = {x; x 0;

x; x < 0.(b) geometriamente, a distnia entre x e 0. De forma geral, |x c| = |c x| adistnia entre x e c. Pode ser esrito omo |x c| = (x c)2. Isto generalizadopela distnia entre dois pontos (x1, y1), (x2, y2) R2 por (x1 x2)2 + (y1 y2)2 quedenotamos (veja livro de geometria analtia) por (x1, y1) (x2, y2).() graamente, obtm-se o gro de |f(x)| partindo do gro de f(x) e reetindo noeixo x o que est abaixo do eixo (os pontos onde f(x) < 0).Exemplo 4 Esboe o gro e determine (aso exista):(a) lim

x0x

|x| ; (b) limx0+ x|x| ; () limx0 |x29|; (d) limx3 |x29|; (e) limx3 |x2 9|x+ 3 ;(f) limx+

sen(x)

| sen(x)| ; (g) limx2+ sen(x)| sen(x)| ; (h) limx0 f(x) se f(x) = {|x2 1|; x > 0x+ 1; x 0.Soluo do Exemplo 4 (a) e (b): omo x/|x| vale 1 para x > 0 e 1 para x < 0 (vejagro abaixo), (a) 1 e (b) 1.

1.2. DEFINIO DE LIMITE 7x

y

y = 1

y = 1

f(x) =x

|x|() e (d): Obtemos o gro de |x29| (veja gura abaixo) reetindo no eixo x o groda parbola x2 9 (indiada por linha pontilhada). Para alular o limite, observe que emtorno dos pontos x = 0 e x = 3 basta substituir o valor da funo: () |029| = |9| = 9.(d) |(3)2 9| = |9 9| = 0.x

yf(x) = |x2 9|

3 3(e) Primeiro vamos esboar o gro da parbola x2 9.x

yf(x) = x2 9

3 3Assim para x 6 (3, 3), |x2 9| = x2 9 (pois a funo positiva) e para x (3, 3),|x2 9| = (x2 9) = 9 x2 (pois a funo negativa). Portanto para x 6 (3, 3),|x2 9|x+ 3

=x2 9x+ 3

=(x+ 3)(x 3)

x+ 3= x 3 e para x (3, 3), |x2 9|

x+ 3=

9 x2x+ 3

=

(3 + x)(3 x)x+ 3

= 3 x. Portanto o gro de |x2 9|x+ 3

:x

y

f(x) =|x2 9|x+ 3

3 3

y = x 3

y = 3 x

Note o salto que oorre no gro em x = 3. Neste ponto a funo no est denida

8 CAPTULO 1. LIMITEpois aparee uma diviso por zero. Graamente laro que os limites laterais neste pontoso distintos. Como para x prximo de 3 mas x < 3 a funo vale x 3, o limite quandox 3 vale (3) 3 = 6. Como para x prximo de 3 mas x > 3 a funo vale3 x, o limite quando x 3+ vale 3 (3) = 6. Como os limites laterais so distintos,o limite no existe.(f) e (g): a funo alterna entre 1, quando sen(x) > 0, e 1, quando sen(x) < 0 onformeindiado no gro abaixo. Nos pontos onde sen(x) = 0 ela no est denida. Assim (f) 1,(g) 1.

x

y

f(x) =sen(x)

| sen(x)|

2 3

y = 1

y = 1

(h) Obtemos o gro (vide gura) reetindo no eixo x o gro de x2 1 para x > 0 eom a reta 1 x para x < 0. O limite quando x 0+ |02 1| = 1 e quando x 0 0 + 1 = 1. Como os limites laterais existem e so iguais, o limite 1.

x

y

Pr-Clulo: Lembre-se omo raionalizar expresses. Para isto multiplique o numeradore o denominador pelo onjugado: o onjugado de a b a + b.Exemplo 5 Determine os limites:(a) limh0

h + 1 1

h; (b) lim

x9

x 9x 3 .Soluo do Exemplo 5 (a) Para h perto de 0, h + 1 > 0. Logo (h+ 1)2 = h + 1.Multipliando o numerador e denominador por h + 1 + 1 obtemos que

h+ 1 1

h=

(h+ 1 1)(

h + 1 + 1)

h(h+ 1 + 1)

=(h + 1)2 12

h(h+ 1 + 1)

=

=h+ 1 1

h(h + 1 + 1)

=h

h(h + 1 + 1)

=1

h+ 1 + 1.Quando h 0 obtemos 1/2.(b) Para x prximo de 9, x > 0 e portanto (x)2 = x. De modo anlogo, multipliamospor x+ 3 e obtemos

(x 9)(x+ 3)(x 3)(x+ 3) =

(x 9)(x+ 3)(x)2 32 =

(x 9)(x+ 3)x 9 =

x+ 3.Quando x 9 obtemos 9 + 3 = 3 + 3 = 6.

1.2. DEFINIO DE LIMITE 9Pr-Clulo: Note que o gro de y = r2 x2 somente meio rulo de raio r(porque?). O gro de r2 x2 outra metade. O gro parte do rulo poisy2 = r2 x2, e portanto x2 + y2 = r2.Exemplo 6 Esboe o gro de f(x) =

9 x2; |x| 3,

x; x > 3,

0; x < 3.e determine (aso existam)

limxc+

f(x), limxc

f(x) e limxc

f(x) para:(a) c = 3; (b) c = 3.Soluo do Exemplo 6 O gro da funo :x

y

3 3

3

(a) limx3

f(x) =9 32 = 0 e lim

x3+f(x) = 3. Como os limites laterais so distintos, o

limx3

f(x) no existe.(b) limx3

f(x) = 0 e limx3+

f(x) =

9 (3)2 = 0. Como os limites laterais soiguais, o limx3

f(x) = 0.Pr-Clulo: Gro da funo inversa: omo esboar y = x e y = log x?Podemos fazer estes gros reetindo em torno da reta y = x os gros de y = x2 e dey = ex.Pr-Clulo: log(x) em lulo SEMPRE na base e = 2.718 . . . (natural, vide p.40).Assim, log(x) = ln(x) = loge(x) 6= log10(x). Quando quisermos (na verdade nuna)o log na base dez esrevemos log10. No utilizamos a notao ln (embora omum emaluladoras) para o log.Exemplo 7 Esboe o gro e determine lim

x0f(x) e lim

x1f(x) para

f(x) =

ex; x 0;x; 0 < x < 1;

log(x); x 1.Soluo do Exemplo 7 Juntando os trs gros em ada parte indiada, obtemos o gr-o da funo denida por partes abaixo.

10 CAPTULO 1. LIMITEx

y

1

1 log(x)

ex

x

Como limx0

f(x) = e0 = 1 e limx0+

f(x) =0 = 0, o lim

x0f(x) no existe. Como

limx1

f(x) =1 = 1 e lim

x1+f(x) = log(1) = 0, lim

x1f(x) no existe.Pr-Clulo: Reorde omo fazer translao de gros de funes: tanto vertial quantohorizontal.Exemplo 8 Esboe o gro e determine:(a) lim

x0f(x) para f(x) = {x+ 1; x > 0;

sen(x) + 1; x 0.(b) limx1

f(x) e limx1

f(x) para f(x) =

x2 2; x < 1;x+ 1; 1 x 1;

log(x 1); 1 < x.Soluo do Exemplo 8 (a) Apliando translaes apropriadas obtemos o gro da guraabaixo. Como limx0

f(x) = sen(0)+1 = 1 igual ao limx0+

f(x) =0+1 = 1, lim

x0f(x) = 1.

x

y

y = 1

y = 2

(b) Apliando translaes apropriadas obtemos o gro da gura abaixo. Comolimx1

f(x) =1 + 1 =

2 e lim

x1+f(x) = log(1 1) = log(0) = ,

limx1

f(x) no existe. Comolim

x1f(x) = (1)2 2 = 1 e lim

x1+f(x) =

1 + 1 = 0,

limx1

f(x) no existe.

1.2. DEFINIO DE LIMITE 11x

y

1 1 2

Vamos apresentar agora umas funes estranhas que so interessantes para o teoria dolulo e anlise.Exemplo 9 Considere f(x) = sen ( 1x

).(a) Determine todos os valores de x tais que f(x) = 0.(b) Determine todos os valores de x tais que f(x) = 1 e f(x) = 1.() Usando isto, esboe o gro da funo f .(d) Calule limx0

sen

(

1

x

).Soluo do Exemplo 9 (a) para que sen(y) = 0 basta que y = k. Assim y = 1x= k.Logo, se x = 1

kpara k Z ento f(x) = 0.(b) Analogamente, f(x) = 1 se x = 1

2k+/2e f(x) = 1 se x = 1

2k/2 .() partindo destes pontos obtemos o gro abaixo.x

y

f(x) = sen( 1x)

1

12

1

12

y = 1

y = 1(d) o limite no existe pois f(x) osila entre 1 e 1 quando x 0.Exemplo 10 Denimos a hamada funo indiadora de Q (possui este nome pois india sex Q ou no assumindo os valores 0 e 1) IQ(x) = {1; x Q

0; x 6 Q. Calule o limx IQ(x).Soluo do Exemplo 10 O gro desta funo formada por duas retas pontilhadas:uma em y = 0, nos irraionais e outra no y = 1, aima dos raionais (vide gura abaixo).Como existem raionais to prximos de quanto se queira (omo por exemplo 3.14, 3.141,3.1415 . . . ), o limite no existe. De fato o limite no existe em ponto algum.

12 CAPTULO 1. LIMITEx

y

y = 1

y = 0

f(x) = IQ(x)Exemplo 11 A funo parte inteira (ou menor inteiro) de x, denotada por x denidaomo sendo o nio inteiro n tal que n x < n + 1. Exemplos: 1, 5 = 1, 1 = 1 e1, 5 = 2. Esboe o gro de f(x) = x e determine:(a) lim

x1+x; (b) lim

x1x; () lim

x1x; (d) lim

x0+x; (e) lim

x0x;

Soluo do Exemplo 11x

y

f(x) = x

3 2 1 1 2 3

1

2

3

(a) 1; (b) 0; () omo laterais so distintos, limite no existe. (d) 0; (e) 1.Vamos ver as propriedades bsias dos limites om relao as 4 operaes fundamentais:soma, produto, multipliao e diviso. A demonstrao remetida para [NC.De todo modo, sem uma denio rigorosa de limite no faz sentido provar estas proprie-dades.Lema 1 Considere f(x) = k (uma funo onstante) e g(x) = x (a funo identidade).Ento dado c R qualquer,limxc

f(x) = k e limxc

g(x) = c.Teorema 1 (propriedades bsias do limite) Considere f e g duas funes e c, k R.Se os limites limxc

f(x) e limxc

g(x) existem ento tambm existem os limites:(a) limxc

(f(x)+g(x)) = limxc

f(x)+ limxc

g(x) (o limite da soma igual soma dos limites);(b) limxc

(f(x) g(x)) = limxc

f(x) limxc

g(x) (o limite da diferena igual diferena doslimites);() limxc

(f(x) g(x)) = limxc

f(x) limxc

g(x) (o limite do produto igual ao produto doslimites);(d) limxc

f(x)

g(x)=

limxc

f(x)

limxc

g(x)(o limite do quoiente igual ao quoiente dos limites) se

limxc

g(x) 6= 0 .

1.2. DEFINIO DE LIMITE 13 importante o aluno entender a demonstrao do Corolrio abaixo para apreiar omopouas propriedades podem gerar novas proposies.Corolrio 1 (limites de polinmios) Se p(x) = a0+ a1x+ a2x2+ + anxn para n N(ou seja, p um polinmio de grau n) ento limxc

p(x) = p(c) .Prova: Apliando n + 1 vezes o Teorema 1 (a) (limite da soma) obtemos que limxc

p(x) =

limxc

a0 + limxc

a1x + + limxc

anxn. Pelo Lema 1, lim

xca0 = a0 (limite de onstante). PeloTeorema 1 (limite do produto), lim

xca1x = lim

xca1 lim

xcx. Apliando o Lema 1, lim

xca1 lim

xcx =

a1c. Agora podemos fazer algo similar em ada termo. Para o termo x3, por exemplo, bastaapliar seguidamente o Teorema 1 () (limite do produto): limxc

x3 = limxc

x limxc

x limxc

x =

c c c = c3. Complete o argumento.Exemplo 12 Aplique o Teorema 1 para determinar limx2

6x2 + 3x

x+ 1.Soluo do Exemplo 12 Deixamos para o leitor apliar om uidado ada uma das propri-edades. Basta fazer um mutatis mutandis (latim para modique o que tem que ser modi-ado) na prova do Corolrio 1.Conlumos que podemos alular o limite de uma funo raional qualquer ontanto queo denominador no se anule. Caso o denominador se anule preisamos de mtodos espeiais.Assim no esto denidos limites onde aparee por exemplo 3/0 ou 0/0.No prximo exemplo apresentamos (graamente) diversas possibilidades de omporta-mento de um funo quando x se aproxima de um ponto.Exemplo 13 Determine, em ada um dos itens abaixo, aso exista: os limites lateraisquando x 1+ e x 1; o limite quando x 1. Compare om o valor da funo em

x = 1.x

y

1

2

3

(a)x

y

1

1

2(b)

14 CAPTULO 1. LIMITEx

y

x = 1

y = 1

()x

y

11

2

(d)Soluo do Exemplo 13 (a) limite quando x 1 2, limite quando x 1+ 3, limitequando x 1 no existe (laterais so distintos), f(1) = 2.(b) limite quando x 1 1 , limite quando x 1+ 1, limite quando x 1 1(limites laterais so iguais), f(1) = 2.() limite quando x 1 no existe (funo osila), limite quando x 1+ 1, limitequando x 1 no existe (um dos limites laterais no existe), f(1) = 1.(d) limite quando x 1 1, limite quando x 1+ 2, limite quando x 1 noexiste (limites laterais so distintos), f(1) = 2.O teorema abaixo garante que podemos troar o limite om a omposio aso os limitesexistam.Teorema 2 (limite e omposio) Se existem os limites limyL

f(y) = f(L) e limxc

g(x) = Lento limxc

f(g(x)) = f(

limxc

g(x))

= f(L).Prova: Veja prova em [NC.Observao 6 Dizemos que uma funo f algbria se pode ser expressa omo soma,diferena, produto, quoiente ou raiz de funes polinomiais. Caso ontrrio dita trans-endente.Exemplos de funes algbrias: x(1 + x)

, 1 x2(3 x)3 .Exemplos de funes transendentes: sen x, e3x+4, log(x2 + 1),.O teorema abaixo garante a existnia de limites para funes usuais.Teorema 3 (limites de funo raiz e algumas transendentes) Se f(x) igual a nx,

sen(x), cos(x), tan(x), log(x), ex, arcsen(x), arccos(x), ou arctan(x), ento para todoc R onde f(c) existe, lim

xcf(x) = f(c).Prova: Leia a Seo 2.3, p.55.Exemplo 14 Aplique os teoremas aima para determinar:(a) lim

x1log

(

x2 12(x 1)

); (b) limx0

sen(x

2x

); () limx1

44x+ 1(x+ x2).

1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 15Soluo do Exemplo 14 (a) Como limx1

(

x2 12(x 1)

)

= 1, o limite vale log(1) = 0.(b) Como limx0

(x

2x

)

=

2, o limite vale sen(/2) = 1.() 2 45.Observao 7 Combinando os Teoremas 1 (propriedades bsias do limite), 2 (limite eomposio) e 3 (funo raiz e transendente) onlumos que sabemos alular o limitede funes bem ompliadas (se denominador no se anula). Por exemplo:

limx

x3esen(x22)log x

cos(2x+ )=

3esen(0)log

cos(3)= 2.

1.3 Limites e Innito: Assntotas Vertiais e Horizon-taisVamos nesta Seo estender a denio de limite para x prximo de +, isto , x grandee positivo e para x prximo de , isto , x grande (em mdulo) e negativo. Alm disso,vamos denir quando o valor do limite + ou para x prximo de c.Denio 4 (limite igual a + ()) Considere uma funo real f denida perto dec R (mas no neessariamente denida em c). Dizemos que o limite de f(x) quando xtende a c + (), denotado por lim

xcf(x) = + (), se f(x) a to grande epositivo (negativo) quanto quisermos quando x est suientemente prximo de c R mas

x 6= c.Observao 8 Deixamos para o leitor denir os limites laterais limxc+

f(x) = +,limxc

f(x) = +, limxc+

f(x) = , limxc

f(x) = de forma anloga ao que jfoi feito no inio deste aptulo. Basta fazer um mutatis mutandis (latim para modiqueo que tem que ser modiado) na denio anterior.Denio 5 (assntota vertial) Se, quando x c+ ou x c, f(x) + ou ,dizemos que a reta x = c uma assntota vertial do gro de f .Exemplo 15 Esboe o gro, determine os limites e as assntotas vertiais:(a) limx0

1

x3; (b) lim

x0 1x2

; () limx0

1

x4; (d) lim

x0+ 1x3

;(e) limx3

1(x 3)3 ; (f) limx2 1(x 2)2 ; (g) limx1 1(x 1)9 ;Soluo do Exemplo 15 Os gros de (a), (b), () e (d) so:

16 CAPTULO 1. LIMITEx

y

y =1

x3(a) xy

y = 1x2(b) x

y

y =1

x4() xy

y = 1x3(d)Nesses quatro itens a assntota vertial x = 0. Observando-os obtemos os limiteslaterais: (a) ; (b) ; () +; (d) .Com translao podemos obter os gros de (e), (f) e (g):

x

y

y = 1(x 3)3

(e)x = 3x

y

y = 1(x 2)2

(f)x = 2x

y

y =1

(x 1)9(g)x = 1(e) o limite no existe pois pela direita vale e pela esquerda + (mesmo sinal que1/x perto do 0). Assntota vertial x = 3.(f) o limite (mesmo sinal que 1/x2 perto do 0). Assntota vertial x = 2.(g) o limite no existe pois pela direita vale + e pela esquerda (mesmo sinal que1/x perto do 0). Assntota vertial x = 1.Pr-Clulo: Preisamos fazer a anlise de sinal do numerador e denominador ohamado quadro de de sinais para determinamos o omportamento do gro perto daassntota.Exemplo 16 Determine para quais x R verdade que f(x) = 16 x2

(x+ 1)(3 x) 0.Soluo do Exemplo 16 Vamos fazer a anlise de sinal de ada um dos elementos: 16 x2, x+1, 3 x e ombinar tudo numa tabela do sinal de f(x). Os pontos de troa de sinalso: 4,1, 3. Agora uidado om a interpretao do zero. Os pontos onde f(x) = 0 soos pontos onde o numerador se anula 4. Nos pontos onde o denominador se anula (1 e3), f(x) .

4 1 3 416 x2 + + + x+ 1 + + +3 x + + +

0 0f(x) + + +

1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 17Assim Portanto f(x) 0 para x 4, x (1, 3), x 4.Observao 9 Poderamos no exemplo anterior (e em todos os exemplos) deompor otermo quadrtio 16 x2 em dois termos lineares 4 x e 4 + x, o que aumentaria otamanho da tabela. Na prtia, se o termo quadrtio simples, da forma a bx2 oubx2 a, deixamos ele deste jeito.Pr-Clulo: Como determinar sinal de um polinmio ax2 + bx + c om razesomplexas (no-reais)?O gro da parbola estar inteiramente aima do eixo x ou abaixo do eixo x, pois senoteramos razes reais. Assim basta olharmos para o sinal de a: se a > 0, ax2 + bx+ c > 0para todo x, se a < 0, ax2 + bx+ c < 0 para todo x.Exemplos:(a) x23x+3. = (3)24 1 3 = 3 < 0. Logo razes omplexas. Como a = 1 > 0,x2 3x+ 3 > 0 para todo x R.(a) x2 + 4x 5. = 42 4 (1) (5) = 4 < 0. Logo razes omplexas. Comoa = 1 < 0, x2 + 4x 5 < 0 para todo x R.Exemplo 17 Faa anlise de sinal e determine os limites:(a) lim

x3

2x2

9 x2 ; (b) limx2 9 x2(x 2)(x2 5x+ 6) ; () limx1 x3 x 1(1 x)3 .Soluo do Exemplo 17 (a) Vamos fazer o o quadro de sinais. Os pontos onde numeradorou denominador se anulam: 3, 0. A funo f(x) = 0 onde o numerador se anula (0). Nospontos onde o denominador se anula (3), f(x) .3 0 3

2x2 + + + +9 x2 + +

0 f(x) + + Assim a funo tem sinal negativo quando x 3 e sinal positivo quando x 3+.Logo quando x 3 o limite e quando x 3+ o limite +. Portanto o limitequando x 3 no existe.(b) Vamos fazer o o quadro de sinais. Como x2 5x + 6 = (x 2)(x 3), o deno-minador (x 2)2(x 3). Os pontos onde numerador ou denominador se anulam: 3, 2.Note que no 3 o numerador e o denominador se anulam. Neste ponto, aso queira podealular o lim

x3

9 x2(x 2)(x2 5x+ 6) = 6. Assim a indeterminao 0/0 = 6 neste aso.A funo f(x) = 0 onde o somente o numerador se anula (3). Nos pontos onde somente odenominador se anula (2,3), f(x) .

3 2 39 x2 + + x 3 +

(x 2)2 + + + +0 6

f(x) + Logo o limite quando x 2 .

18 CAPTULO 1. LIMITEOutra Soluo: Perto de 2 o numerador positivo (9 22 = 5). Como x2 5x+ 6 =(x2)(x3), devemos analisar o sinal do denominador que (x2)2(x3). O primeiro termo sempre positivo e o segundo, perto de 2 negativo (2 3 = 1). Assim o denominador negativo. Logo o limite quando x 2 .() Neste aso no temos omo analisar o sinal do numerador em detalhes pois umpolinmio do tereiro grau que no onheemos as razes (na realidade possui duas razesomplexas). Podemos, no entanto alular o limite analisando o sinal prximo do 1. Pertode 1 o numerador sempre negativo (13 1 1 = 1). O denominador (1 x)3 possui omesmo sinal que (1 x). Assim, tem sinal positivo quando x 1 e sinal negativo quandox 1+. Logo quando x 1 o limite + e quando x 1+ o limite . Portanto olimite quando x 1 no existe.Erro Comum: Nos limites do exemplo anterior, tentar alular o limite sem fazer quadrode anlise de sinais aminho urto para ometer um erro. Muito onluem (erroneamente)que se o denominador se anula a funo vai para +.Exemplo 18 Faa quadro de sinais e esboe o gro de p(x) = (x 2)(25 x2)(x2 x).Soluo do Exemplo 18 (a) Vamos fazer a anlise de sinal de ada um dos elementos:x 2, 25 x2, x2 x e ombinar tudo numa tabela do sinal de p(x). Faremos a anlisedos termos quadrtios diretamente. Note que um (25 x2) possui onavidade para baixoe outro (x2 x) possui onavidade para ima. Os pontos de troa de sinal so: 5, 0, 1, 2.

5 0 1 2 5x 2 + +25 x2 + + + + x2 x + + + + +

0 0 0 0 0p(x) + + + Assim obtemos o gro abaixo. Note que esta funo, um polinmio de grau 5, possui5 razes.

x

y

p(x)

1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 19Em resumo, se f(x) = p(x)q(x)

uma funo raional (quoiente dos polinmios p(x) e q(x))e se no limite o denominador q(x) se anula sem que o numerador p(x) se anule ouseja, quando x c a funo f(x) k0

om k 6= 0 existem QUATRO possibilidadespara o omportamento da funo perto de c onforme representado nas guras abaixo.Preisamos fazer quadro de anlise de sinais para determinar qual delas oorre.

x

x = c(I)x

x = c(II)x

x = c(III)x

x = c(IV)Erro Comum: No prestar ateno nestas 4 possibilidades e onluir de forma erradaque limx2

1 + x

x 2 = + (ou ) pois o denominador se anula.Exemplo 19 Determine o omportamento da funo perto de c e alule o limite quandox c para:(a) y = 3 x

4 + x, c = 4; (b) y = x2 9

x2 4x+ 4 , c = 2.Soluo do Exemplo 19 Deixo para o leitor fazer o quadro de sinais de ada exemplo.(a) perto de x = 4, o numerador positivo prximo de 3 (4) = 3 + 4 = 7. Odenominador negativo para x < 4 e positivo para x > 4. Assim temos que perto dox = 4 a funo negativa para x < 4 e positiva para x > 4. O limite NO existe poisos limites laterais diferem. O omportamento :

x

x = 4(b) perto de x = 2 o numerador negativo prximo de 22 9 = 5. O denominador igual a (x 2)2, que sempre no-negativo. Assim temos que perto do x = 2 a funo negativa O limite quando x 2 O omportamento :

20 CAPTULO 1. LIMITEx

x = 2Se a funo no raional temos que analisar om uidado os sinais.Exemplo 20 Faa um esboo do gro perto da origem e alule os limites de:(a) limx

1

sen(x); (b) lim

x0e1/x; () lim

x0log(|x|); (d) lim

x0+| log(x)|.Soluo do Exemplo 20 (a) Se x +, o seno negativo prximo do e portanto olimite . Se x a situao oposta e o limite +. Como os limites lateraisdiferem, o limite quando x no existe.

x

x = (b) Se x 0+, 1/x +. Portanto, e1/x e+ = +. Se x 0, 1/x .Portanto, e1/x e = 1/e+ = 1/(+) = 0. Como os limites laterais diferem, o limitequando x 0 no existe.x

x = 0() Se x 0, |x| 0. Como log(0) = , o limite .x

x = 0

1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 21(d) Pelo item anterior log(x) . Apliando o mdulo onlumos que o limite +. Note que no podemos alular o limite quando x 0 pois log no est denida parax < 0!

x

x = 0

Denio 6 (limite quando x tende a + ()) Considere uma funo real f de-nida para todo x grande (pequeno). Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a +() igual a L, denotado por limx+

f(x) = L ( limx

f(x) = L), se f(x) a bem prximode L R para todo x grande (pequeno) o suiente.Observao 10 Note que este limite , por natureza, um limite lateral: somente podemoshegar a+ pela esquerda e a pela direita. Logo no temos limites laterais no innito.Observao 11 Podemos denir (deixamos para o leitor), juntando as duas deniesanteriores de forma apropriada (mutatis mutandis), os limites: limx+

f(x) = +,lim

x+f(x) = , lim

xf(x) = +, lim

xf(x) = .Denio 7 (assntota horizontal) Se, quando x + ou x , f(x) L R,dizemos que a reta y = L uma assntota horizontal do gro de f .Exemplo 21 Esboe o gro e determine os limites e a assntota horizontal de:(a) lim

x+ 1x6

+ 1 (b) limx

1x5

1 () limx+

2x+ 1

x(d) lim

x+2 + sen

1

xSoluo do Exemplo 21 (a) o limite 1 e a assntota horizontal y = 1. O limite 1.Obtemos o gro om a translao vertial de 1/x6.x

y

(a) y = 1x6

+ 1

y = 1

22 CAPTULO 1. LIMITE(b) o limite 1 e a assntota horizontal y = 1. Obtemos o gro om a translaovertial de 1/x5.x

y

(b) y = 1x5

1

y = 1

() omo (2x + 1)/x = 2 + 1/x, quando x + a funo vai para 2 pois o segundotermo vai para 0. A assntota horizontal y = 2. O gro a translao vertial de duasunidades de 1/x.x

y

() y = 2x+ 1x

y = 2

(d) 2 pois 1x 0 e portanto sen 1

x sen 0 = 0. A assntota horizontal y = 2. Ogro a translao vertial de sen(1/x).

x

y

y = 2 (d) y = 2 + sen(1/x)Exemplo 22 Determine, aso exista, os limites quando x e x + e a assntotahorizontal:

1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 23x

y

(a)x

y

(b)x

y

y = 1 ()Soluo do Exemplo 22 (a) Nenhum dos dois limites existe pois a funo osila de valortanto para x grande omo pequeno. No existe assntota horizontal.(b) limite quando x +, limite quando x + . Nos dois aso ela seaproxima osilando (ada vez menos). Embora no tenha assntota horizontal, possui o quehamamos de assntota oblqua. Veja Desao da p.46.() limite quando x 1 (osilando ada vez menos), limite quando x + noexiste pois funo osila om amplitude ada vez maior. Note que y = 1 uma assntotahorizontal.Observao 12 Note por um dos exemplos apresentados (qual?) que o gro de umafuno pode ruzar a assntota horizontal uma innidade de vezes. Isto no oorre para aassntota vertial (porque?)Exemplo 23 Determine, aso exista: os limites quando x e x +; oslimites laterais quando x 1+ e x 1; o limite quando x 1. Compare om o valorda funo em x = 1.

24 CAPTULO 1. LIMITE

x

y

x = 1

1

2

(a)x

y

x = 1

2

(b)Soluo do Exemplo 23 (a) limite quando x +, limite quando x + 0,limite quando x 1 2, limite quando x 1+ +, limite quando x 1 no existe(laterais so distintos), f(1) = 1.(b) limite quando x 0, limite quando x + no existe pois o valor da funoosila, limite quando x 1 , limite quando x 1+ , limite quando x 1 (laterais so iguais), f(1) = 2.Para se alular o limite quando x + ou de uma funo f(x) = p(x)

q(x)devemosomparar resimento do numerador om denominador. Quem reser mais rpido ganha.Se o denominador ganhar o limite ser zero. Se o numerador ganhar, ser + ou .Se houver empate, depender de ada aso.Uma tnia determinar a maior potnia do numerador e do denominador para x grande(ou pequeno). Assim teremos que f(x) = p(x)

q(x) x

p

xq. Dependendo se p > q ou p = q ou

p < q determinamos o limite. Para se apliar esta tnia om rigor deve-se oloar emevidnia termo de maior grau do numerador e do denominador.Exemplo 24 Calule os limites abaixo:(a) limx+

3x2 + 1

1 2x2 ; (b) limx x5 + x3 + 10x8 x+ 1 ; () limx+ x3 5x7 + 10x6 x5 + 1 ;(d) limx

x7 + x2 + 10

x4 x5 + 1 ; (e) limx+x x2.Soluo do Exemplo 24 (a) Coloando em evidnia os termos de maior grau, 3x2 + 11 2x2 =

x2

x2 3 + 1/x

2

1/x2 2 = 1 3 + 1/x2

1/x2 2 =3 + 0

0 2 = 3

2.

1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 25(b) Coloando em evidnia os termos de maior grau, x5 + x3 + 10x8 x+ 1 =

x5

x8 1+1/x2+10/x5

11/x7+1/x8 =

1x3

1+1/x2+10/x511/x7+1/x8 . Calulando os limites separadamente utilizando a propriedade do produtodos limites: 1

x3 0 e 1 + 1/x2 + 10/x5

1 1/x7 + 1/x8 1 + 0 + 0

1 0 + 0 = 1. Logo o limite vale 0 1 = 0.() Coloando em evidnia os termos de maior grau, x3 5x7 + 10x6 x5 + 1 = x7x6 1/x45+10/x711/x+1/x6 =x 1/x45+10/x711/x+1/x6 . Calulando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto doslimites: x e 1/x45+10/x711/x+1/x6 05+010+0 = 51 = 5. Logo o limite vale 5 = .(d) Coloando em evidnia os termos de maior grau, x7+x2+10

x4x5+1 =x7

x5 1+1/x5+10/x7

1/x1+1/x5 =

x2 1+1/x5+10/x71/x1+1/x5 . Calulando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto doslimites: x2 + e 1+1/x5+10/x7

1/x1+1/x5 1+0+001+0 = 11 = 1. Logo o limite vale +(1) = .(e) Iniialmente note que trata-se de uma indeterminao do tipo + (+). Coloqueem evidnia x: x x2 = x(1 x). Calulando os limites separadamente utilizando apropriedade do produto dos limites: x + e (1 x) obtemos que o limite vale+ () = . Note que NO uma indeterminao.Erro Comum: Confundir a tnia de x grande om x pequeno. Assim o aluno alula(de forma ERRADA) o limite lim

x1

x2 1x 1 = limx1

x 1/x1 1/x , obtendo 1 (j que erradamenteo aluno pensa que 1/x vai para zero).Nos exemplos abaixo em que apareem razes, a tnia similar, tomando o devidouidado om o sinal pois, omo j hamamos ateno x2 6= x.Exemplo 25 Calule os limites:(a) lim

x+

16x+ 3

x+ 1; (b) lim

x

x2 + 3

5x 7 ; () limx x6 3x2 + 2x 33x3 x2 + x 1 .Soluo do Exemplo 25 (a) O termo de maior grau do numerador 16x e do denomi-nador x. Coloando-os em evidnia obtemos: 16x+3x+1

=16x

1+3/(16x)

x(1+1/x). Separando emdois limite temos que alular lim

x+

16x

x= 4 lim

x+

1x

= 0 e limx+

1 + 3/(16x)

1 + 1/x=

1 + 0

1 + 0= 1. Assim o limite 0. Pode-se ver de forma suinta o mesmo resultado tomandoos termos de maior grau, 16x+ 3 16x e x+ 1 x (vlidos para x grande!). Assim,

16x+3x+1

16xx

= 4x

x= 4

x. Se x + ento isto tende a 0.(b) Coloando-os em evidnia x2 = |x| e 5x e prosseguindo omo no aso anteriorbastar alular o limite lim

x

|x|5x

. Como x negativo, |x|5x

= x5x

= 15, o valor do limite.() Coloando-os em evidnia x6 = |x|3 e 3x3 e prosseguindo omo no aso anteriorbastar alular o limite lim

x

|x|33x3

. Como x negativo, |x|33x3

= x3

3x3= 1

3, o valor do limite.Nos prximos exemplos preisamos raionalizar antes.

26 CAPTULO 1. LIMITEExemplo 26 Calule os limites:(a) limx+

x2 + 3x+ 1 x; (b) lim

x+

x+x

x.Soluo do Exemplo 26 (a) Raionalizando om x2 + 3x+ 1 + x obtemos

(x2 + 3x+ 1)2 x2x2 + 3x+ 1 + x

=x2 + 3x+ 1 x2

x2 + 1 + x=

3x+ 1x2 + 1 + x

.Agora podemos alular o limx+

3x+ 1x2 + 1 + x

. Coloque x em evidnia no numerador e de-nominador e obtenha x(3 + 1/x)x(

1 + 1/x2 + 1). Note que o x entrou na raiz omo x2. Canelandoo x obtemos 3 + 1/x

1 + 1/x2 + 1. Se x + obtemos 3 + 0

1 + 0 + 1=

3

2.(b) Raionalizando om x+x+x obtemos

(

x+x)2 (x)2

x+x+

x

=x+

x x

x+x+

x=

x

x+x+

x.Dividindo-se o numerador e denominador por x (ou, o que d na mesma, oloando-se

x em evidnia) obtemos 1

1 +x/x+ 1

=1

1 + 1/x+ 1

. Se x + obtemos1

1 + 0 + 1=

1

2.Observao 13 Quase sempre o limite no + e no o mesmo. Isto verdadepara funes raionais quando o limite nito. Quando o limite innito podemos terpor exemplo lim

x+

x2

x+ 1= + 6= lim

x

x2

x+ 1= . Outro exemplo onde o limite distinto lim

x+ex = + 6= lim

xex = 0.Erro Comum: Esrever que lim

x

9x2 + 3

5x 7 = 3/5. Note que 9x2+35x7 9x25x = 3 |x|5x .Se x > 0, 9x2 = 3|x| = 3x e se x < 0, 9x2 = 3|x| = 3x.Assim, limx+

9x2 + 3

5x 7 =3

5e lim

x

9x2 + 3

5x 7 = 3

5.Nos exemplos abaixo (e alguns que j apareeram) no existe tnia geral pois envolvemfuno transendente, isto , funo que no polinmio ou quoiente de polinmios ouraiz disso omo por exemplo: sen, cos, ex, log x.Exemplo 27 Calule os limites, esboe o gro e determine TODAS as assntotas (vertiaise horizontais).(a) lim

x+ex + 1; (b) lim

x/22

cos(x); () lim

x0e1/x

2 ;(d) limx1

1

log(x); (e) lim

x0+1

log(x).

1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 27Soluo do Exemplo 27 (a) ex e(+) = e = 1/e+ = 1/(+) = 0. Logo,ex + 1 1. Para o esboo note que quando x aumenta o valor da funo diminui. Faatranslao vertial. A nia assntota y = 1, assntota horizontal.

x

y

y = 1 (a) y = ex + 1(b) Como cos(x) > 0 para x prximo de /2 mas menor que isto, o limite +.Para o esboo omee om o gro do osseno (pontilhado na gura abaixo). Quando ovalor, em mdulo, da cos, o valor de 2/ cos diminui em mdulo. Nos pontos onde cos(x) = 0,isto , nos pontos x = 2k/2 para k Z, 1/ cos(x) . Assim as assintotas vertiaisso nestes pontos.x

y

x = 2

x = 2 x =

32

x = 32

x = 52

x = 52

y = cos(x)

(b) y = 2cos(x)() quando x 0, 1/x2 . Assim, e1/x2 e = 1/e+ = 1/+ = 0.Para o esboo note que a funo sempre positiva. Perto do zero se aproxima de zero elonge se aproxima e0 = 1.

x

y

y = 1

() y = e1/x2(d) Como log(1) = 0 e log(x) > 0 para x > 1, limx1+

f(x) = +. Como log(x) < 0 parax < 1, lim

x1f(x) = . Como os limites laterais so distintos, o limite no existe.(e) Como log(x) , 1/ log(x) 0.Para o esboo de 1/ log, omee om o esboo de log (pontilhado na gura abaixo).

28 CAPTULO 1. LIMITEQuando log zero, 1/ log . O que oorre prximo do 0 que o gro ola no eixoy, embora neste gro isto no que laro. Convido o leitor a utilizar um programa (vejaSeo 1.1) que plote gros para investigar este ponto.

x

y

x = 1

y = log(x)

(d), (e) y = 1log(x)

Exemplo 28 Calule os limites.(a) limx

log(|x|); (b) limx+

sen(x); () limx+

1

sen(x);(d) lim

x+(log(3x) log(x 5)).Soluo do Exemplo 28 (a) |x| + e portanto, log(|x|) +.(b) este limite no existe pois o seno a osilando entre 1 e 1.() este limite no existe pois omo o seno osila, 1/ sen(x) vai osilar de 1 at + e de

1 at .(d) temos um aso de indeterminao + (+). Por propriedade do logaritmo,(log(3x) log(x 5)) = log

(

3x

x 5

). Como limx+

3x

x 5 = 3, a resposta log(3).Exemplo 29 Calule os limites.(a) limx+

IQ(x). (b) limx+

x.Soluo do Exemplo 29 (a) Veja o gro na p.12. Limite no existe pois funo aosilando entre 0 e 1.(b) Veja denio e gro da funo x na p.12. Limite + pois quando x +a funo se aproxima de + passando somente pelos inteiros.

1.4. INDETERMINAES DO LIMITE 291.4 Indeterminaes do LimiteAs propriedades bsias do limite (da soma, do produto, et.) que apresentamos anteriormenteno podem ser apliadas quando o denominador se anula ou quando surge + ou . Noentanto, algumas extenses destes resultados so possveis. Algum exemplos: Se limxc

f(x) = + e limxc

g(x) = + ento limxc

(f(x) + g(x)) = limxc

(f(x) g(x)) =+. Se lim

xcf(x) = + e lim

xcg(x) nito (positivo ou negativo) ento lim

xc(f(x)+g(x)) =

+.Estes teoremas podem ser apresentados atravs do seguinte quadro.So limites determinados:Para soma/subtrao:++(+) = +, +() = +, (+) = , +() =

.Para produto/diviso:+(+) = +, +() = , (+) = , () = +.Para qualquer k (inluindo k = 0), k

+ = 0, k = 0.Se k > 0: k (+) = +, k () = , +k

= +, k

= .Se k < 0: k () = +, k (+) = , +k

= , k

= +.O perigo que NO nmero! Assim temos as seguintes indeterminaes.So indeterminaes do limite:+ (+), (), + (+), + + (), , 00 , k0 ,0

, 0 ().Exemplo 30 Calule os limites abaixo (que ilustram asos de indeterminao indiados entreolhetes):(a) limx0

1

x2 1

x4[+ (+)]; (b) lim

x0

1

x4 1

x2[+ (+)];() lim

x

x2 + 1

3x2 + 5

[

+

]; (d) limx0

6x2

2x

[

0

0

]; (e) limx0

6x

2x

[

0

0

];(f) limx0

x 1x4

[0 (+)]; (g) limx0

x 1x

[0 (+)].Soluo do Exemplo 30 (a) Coloando o mesmo denominador vemos que 1x2

1x4

=

x2 1x4

. Para x prximo de zero o numerador negativo (1) e o denominador semprepositivo. Portanto o limite quando x 0 .(b) Fazendo anlise similar, o numerador ser 1 x2. Portanto o sinal ser positivo e olimite ser +.() Divida o numerador e o denominador por x2: x2 + 13x2 + 5 = 1 + 1/x23 + 5/x2 1 + 03 + 0 =1/3.(d) 6x2

2x=

6x

2 0.

30 CAPTULO 1. LIMITE(e) 6x2x

=6

2 3.(f) Como x 1x4

=1

x3, o limite quando x 0 no existe pois dependendo do lado que sehega em zero: pela direita +, pela esquerda .(g) x 1

x= 1 1.Observao 14 Alm destas existe a indeterminao 1+ que estudaremos no limitefundamental da exponenial na p.38, que surge no modelo de juros ontnuos ompostos.Este aso a fronteira do omportamento de a+. Se 0 < a < 1 ento a+ = 0(multiplique um nmero positivo menor que 1 por ele mesmo uma innidade de vezes). Se

a > 1 ento a+ = +. Outra indeterminao (+)0.Limites que no sabemos alular no momento: Hierarquia do innitoQuem rese mais rpido (vai mais rpido para o innito) entre: x2, log(x), 2x, xx, xn(n N)? Utilizando limites podemos determinar isto alulando o limite quando x +do quoiente entre duas funes. Com isto estabeleemos a hierarquia do innito: entreos innitos, quem mais innito. Sabemos fazer isto om x, xn, mas no om estasfunes. Os limites abaixo ns NO sabemos alular om o que aprendemos at agora. Noentanto, utilizando a hamada tnia de L'Hospital (que apresentamos na p.95 do Captulode Apliaes da Derivada), vamos aprender a alul-los:lim

x+

ex

xn, lim

x+

log(x)

xn.Observao 15 Podemos enxergar os innitos de R utilizando meia projeo estereo-gro (bijeo entre o semirulo e R). Veja a gura abaixo e note que os pontos x0, x3orrespondem aos pontos no innito.

x

y

p(x0) = p(x3) = +

p(x1) p(x2)

x0 x3

x1 x2

Projeo Estereogra p : {meio rulo} R1.5 Esboo de Gros (parte I)O objetivo desta Seo esboar gros de funes raionais (quoiente de polinmios)somente utilizando assntotas. Mais adiante (no aptulo de Apliaes da Derivada, naSeo 4.4, p.104) aprenderemos a determinar regies de resimento e deresimento dafuno, onavidades, aresentando mais detalhes ao gro.Nas funes raionais as assntotas vertiais e horizontais so muito importantes. Paraesboar gro, devemos busar pontos x R onde:

1.5. ESBOO DE GRFICOS (PARTE I) 31 f(x) > 0, f(x) = 0, f(x) < 0 fazendo o quadro de anlise de sinais. f(x) = , as assntotas vertiais. alular lim

xf(x), que se for nito determinar a assntota horizontal.Exemplo 31 Determine os sinais, as assntotas vertiais e horizontais e faa um esboo dogro de:(a) f(x) = x2 + 2x

x2 1 ; (b) f(x) = 2x2 816 x2 ; () f(x) = x4 24x(x2 9) .Soluo do Exemplo 31 (a) Vamos fazer o o quadro de sinais. O numerador x2 + 2x =x(x + 2). Os pontos onde numerador ou denominador se anulam: 1, 0,2. A funof(x) = 0 onde o numerador se anula: 0 e 2. Nos pontos onde o denominador se anula(1), f(x) .

2 1 0 1x(x+ 2) + + +x2 1 + + +

0 0 f(x) + + +Assntota vertial (denominador se anula se x2 1 = 0) em x = 1 e x = 1; assntotahorizontal em y = 1 pois x2 + 2x

x2 1 =1 + 2/x

1 1/x2 1 + 0

1 0 = 1 quando x +.x

y

y = 1

x = 1 x = 1

2 1 1 2

(a) f(x) = x2 + 2xx2 1

(b) Vamos fazer o o quadro de sinais. O numerador 2x28 = 2(x24). Os pontos ondenumerador ou denominador se anulam: 2,4. A funo f(x) = 0 onde o numerador seanula: 2. Nos pontos onde o denominador se anula (4), f(x) .4 2 2 4

2(x2 4) + + + +16 x2 + + +

0 0 f(x) + + Assntota vertial (denominador se anula se 16 x2 = 0) em x = 4 e x = 4; assntotahorizontal em y = 2 pois 2x2 8

16 x2 =2 8/x216/x2 1 =

2 00 1 = 2.

32 CAPTULO 1. LIMITEx

y

y = 2

x = 4 x = 4

(b) f(x) = 2x2 816 x2

2 2

() Vamos fazer o o quadro de sinais. O numerador x4 24 = (x2 22)(x2 + 22) esomente o primeiro termos possui razes reais. Assim vou ignorar, no quadro de sinais, otermo x2 + 22 > 0 (no altera os sinais). Os pontos onde numerador ou denominador seanulam: 2,3, 0. A funo f(x) = 0 onde o numerador se anula: 2. Nos pontos ondeo denominador se anula (3, 0), f(x) .3 2 0 2 3

x2 22 + + + +x + + +

x2 9 + + 0 0

f(x) + + +Assntota vertial (denominador se anula se x(x2 9) = 0) em x = 0, x = 3 e x = 3;no possui assntota horizonta (limite quando x + + e quando x ).x

y

x = 3 x = 3

2 2

(c)f(x) =x4 24x(x2 9)

1.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 331.6 Limites FundamentaisApresentaremos os dois limites fundamentais do Clulo: um relaionado ao seno, o outroa exponenial. So os primeiros resultados no triviais. Preisamos primeiro um resultadoimportante para alular o limite fundamental trigonomtrio (o do seno), o Teorema doSanduhe.Pr-Clulo: Identiar no rulo trigonomtrio as funes seno, osseno e tangente.Reordar identidades do sen(a+ b) (minha terra tem palmeiras . . . ()) e cos(a+ b)(os, os, sen, sen ()).Teorema 4 (Sanduhe) Suponha que f(x) g(x) h(x) para todo x R (ou paratodo x prximo do ponto onde o limite est sendo alulado). Se limxc

f(x) = limxc

h(x) = k,ento limxc

g(x) = k.Observao 16 Este Teorema ontinua verdadeiro para c = + ou c = e parak = + ou k = .Exemplo 32 Esboe o gro e aplique o Teorema do Sanduhe para alular os limitesabaixo:(a) lim

x0x sen

1

x; (b) lim

x0x2 sen

1

x; () lim

x

sen x

x;(d) lim

xe(x e)IQ(x); (e) lim

x0(x e)IQ(x).Soluo do Exemplo 32 Convido o leitor a utilizar um programa (veja Seo 1.1) que plotegros para investigar estes exemplos.(a) Para qualquer y temos que 1 sen(y) 1. Assim, para x 0 temos que

x x sen(1/x) x. Para x 0 temos de forma anloga que x x sen(1/x) x.Podemos juntar os dois utilizando o mdulo: para todo x R, |x| x sen(1/x) |x|.Quando x 0 as funes nos extremos tendem para 0 e portanto, pelo Teorema do Sanduheo limite 0.Mostramos na sequnia trs guras do gro da funo. O rulo traejado a zona dezoom que mostrada na prxima. Note omo as retas y = x limitam o gro da funo.x

y

y = 1y = x

y = x

2 1 1 2(a, I) y = x sen 1x

34 CAPTULO 1. LIMITEx

y

y = x

y = x

0.4 0.4

(a, II) y = x sen 1x

x

y

y = x

y = x

0.1 0.1

(a, III) y = x sen 1x

(b) De forma anloga x2 x2 sen(1/x) x2. Quando x 0 as funes nos extremostendem para 0 e portanto, pelo Teorema do Sanduhe o limite 0.Mostramos na sequnia trs guras do gro da funo. O rulo traejado a zonade zoom que mostrada na prxima. Note omo as parbolas y = x2 limitam o gro dafuno.

x

yy = x2

y = x2

1 1

(b, I) y = x2 sen 1x

x

y

y = x2

y = x2(b, II) y = x2 sen 1x

0.4 0.4

1.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 35

x

yy = x2

y = x2(b, III) y = x2 sen 1x

0.07 0.07

() De forma anloga 1/|x| sen(x)/x 1/|x|. Quando x as funes nosextremos tendem para 0 e portanto, pelo Teorema do Sanduhe o limite 0.Note que o gro da funo limitado por y = 1/x.x

y

() f(x) = sen(x)x(d) A funo IQ (funo indiadora dos raionais) limitada por 0 e 1. Assim 0 IQ(x)

1 para todo x R. Por outro lado, (x e) vale no mximo |x e| e no mnimo |x e|Assim podemos limitar (x e)IQ(x) por |x e| (x e)IQ(x) |x e| para todox R. Quando x e as funes nos extremos tendem para 0 e portanto, pelo Teorema doSanduhe o limite 0.O gro desta funo formada por duas retas pontilhadas: uma em y = 0, nosirraionais e outra no y = x e, aima dos raionais (vide gura abaixo).

36 CAPTULO 1. LIMITEx

yy = x e

y = 0e

e(d) f(x) = (x e)IQ(x)(e) Note que f(0) = (0 e)IQ(0) = e 1 = e. No entanto, perto de zero a funoassume valores prximos de e, para x Q e iguais a zero, para x 6 Q. Portanto o limiteNO existe.Exemplo 33 Calule limx

sen(3x+ ex) + 1

x2 + 1+ 3Soluo do Exemplo 33 Para qualquer y temos que 1 sen(y) 1. Assim, somando

1 dos dois lados obtemos que 0 = 1+ 1 sen(3x+ ex) + 1 1+ 1 = 2 para todo x R.Dividindo por x2 + 1, que sempre diferente de zero, e somando 3 dois dois lados obtemosque 0x2 + 1

+ 3 sen(3x+ ex) + 1

x2 + 1+ 3 2

x2 + 1+ 3. Quando x , os dois ladosonvergem para 3. Pelo Teorema do Sanduhe o limite 3.Teorema 5 (limite fundamental trigonomtrio) lim

x0

sen(x)

x= 1;Prova: Para x > 0 faa a omparao de reas de dois tringulos retngulos no rulotrigonomtrio om o aro de rulo. Veja qualquer livro de lulo ou a aula do seu professor.Vamos obter que

cosx sen x

2 x

2 sen x

cosx.Para 0 < x < /2 todos os termos so positivos. Assim,

cos x sen xx

1cosx

.Pelo Teorema do Sanduhe, limx0+

sen x

x= 1. Para y < 0 observe que x = y > 0 e que

sen(y) = sen(y). Assim,sen x

x=

sen(y)y =

sen(y)y =

sen(y)

y.Logo lim

y0sen y

y= lim

x0+sen x

x= 1.Vale a pena entender a demonstrao do Teorema do limite fundamental trigonomtriopois o primeiro resultado no trivial de limite. Note que um aso de indeterminao 0

0.

1.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 37Observao 17 No Desao da p.46 deduzimos deste limite a frmula da rea do rulo.Mudana de variveis no limite.Pode-se mudar variveis do limite para determin-lo. Aprenda esta tnia atravs dosexemplos abaixo pois a utilizaremos muitas vezes. No Captulo de integrao vamos intro-duzir uma tnia similar: a mudana de varivel de integrao.Exemplo 34 Calule os limites abaixo:(a) limx0

sen(2x)

x; (b) lim

x0

tan2(3x)

x2; () lim

x0

sen(5x)

sen(7x); (d) lim

x0

1 cosxx2

.Soluo do Exemplo 34 (a) Tome t = 2x. Quando x 0, t 0. Substituindo obtemoslimt0

sen(t)

t/2= 2 lim

t0

sen(t)

t= 2 1 = 2.(b) Substitua tanx = sen x/ cosx e utilize propriedade do limite do produto para obter

limx0

sen(3x)

cos(3x)x limx0

sen(3x)

cos(3x)x. Agora vamos alular um destes limites pois o outro idntio.Utilizando a propriedade do produto novamente obtemos que lim

x0

sen(3x)

cos(3x)x= lim

x0

sen(3x)

x

limx0

1

cos(3x)=. O limite lim

x0

1

cos(3x)= 1. Para o primeiro fazemos a substituio t = 3x.Quando x 0, t 0. Substituindo obtemos lim

x0

sen(3x)

x= lim

t0

sen(t)

t/3= 3 lim

t0

sen(t)

t=

3 1 = 3. Portanto a resposta 32 = 9.() Multiplique em ima e embaixo por x (assim no alteramos o limite) e separe noproduto de dois limites: limx0

sen(5x)

x limx0

x

sen(7x). O primeiro dar 5 (veja o item (a) pois anlogo) e o segundo igual a lim

x0

x

sen(7x)

(

limx0

sen(7x)

x

)1(7)1. Portanto a resposta 5/7.(d) Multiplique por 1 + cos x para raionalizar e obtenha 1cos2 x

x2(1+cos x)= sen

2 xx2(1+cos x)

. Agorasepare em dois limites, um om sen2 xx2

, que vai dar 1, outro om 1(1+cos x)

, que vai dar 1/2.Portanto a resposta 1/2.Os exemplos abaixo so um pouo mais ompliados da apliao da tnia de mudanade variveis.Exemplo 35 Determine o limh0

7x+ h 7x

h.Soluo do Exemplo 35 Coloque 7x em evidnia e mude varivel para t = 71 + h/xe transforme o limite aima em lim

t1

7x(t 1)

x(t7 1) . Note que om a mudana, quando h 0,t 1. Coloando 7x em evidnia obtemos que 7x+h 7x

h= 7

x

7

1+h/x1h

.Da denio de t obtemos que t7 = 1 + h/x, e portanto, t7 1 = h/x e h = x(t7 1).Substituindo estas identidades obtemos o limite limt1

7x(t 1)

x(t7 1) . Agora omo 1 raiz bastadividir o polinmio t7 1 por t 1 de depois fazer t 1. Vamos obter 7x7x

= 17x6/7

= 17

7x6.

38 CAPTULO 1. LIMITEExemplo 36 Determine limx/2

cos(x)

x /2 .Soluo do Exemplo 36 Dena t = x/2 e aplique a identidade cos(a+b) = cos a cos bsen a sen b.Substituindo t = x /2, quando x /2, t 0. Logo o limite passa a serlimt0

cos(t+ /2)

t. Como cos(t + /2) = cos t cos/2 sen t sen /2 = sen t, obtemoso limite lim

t0

sen(t)t

que vale 1 pelo limite fundamental.Pr-Clulo: Propriedades da exponeniao: (ab)c = abc. Assim, (102)7 = 1027 = 1014,(1 + a)7x = ((1 + a)x)7.Pr-Clulo: Propriedade do peteleo do log: log(ab) = b log(a). Assim, log(27)

x=

log(271/x).O limite abaixo possui uma onexo importante om matemtia naneira, no hamadomodelo de juros ompostos ontnuos. Outras onexes so om modelos de resimentopopulaional e de deaimento radioativo. A Matemtia que oneta estas apliaes omodelo exponenial. Trata-se de uma indeterminao do tipo 1+.Teorema 6 (limite fundamental exponenial) O limite limh0

(1 + h)1/h existe.Prova: Veja em [NC.Denio 8 Denimos o nmero real e R por e = limh0

(1 + h)1/h.Observao 18 Pode-se provar (veja [NC) quee =

1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+ . . . =

+

i=0

1

i!.Esta outra possibilidade para denio de e. Utilizando esta denio pode-se provar que

2 < e < 3. Na realidade, e = 2.718281828459045 . . . Trata-se de um nmero irraional.Corolrio 2 lim

x+

(

1 +1

x

)x

= limx

(

1 +1

x

)x

= e.Prova: Basta mudar varivel para h = 1/x e apliar o Teorema 6.

1.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 39Juros ompostos ontnuos. Suponha um apital c investido om juros anuais de k porento ao ano. Denindo = k/100, aps t anos, o valor total ser c(1 + )t (porque?).Agora se os juros forem omputados mensalmente, a taxa mensal ser de /12 e o totalser, aps t anos, c(1 + /12)12t. E se quisermos omputar por dia: c(1 + /365)365t.Finalmente podemos omputar por hora, minuto, segundo, et. Qual ser o total aps tanos se omputarmos juros ompostos ontnuos? Denotando por n o nmero de vezesque o juros omposto ser omputado hegaremos ao limitelim

n+c(

1 +

n

)nt

.Fazendo a substituio de varivel x = n/ obtemos que o limitelim

x+c

(

1 +1

x

)x

= c

(

limx+

(

1 +1

x

)x)t

= cet.Portanto o valor total aps t anos ser ct (ver [Co p.179).Observao 19 Veja o aso dos juros ompostos. Note que intuitivamente no estNADA laro o que vai oorrer. Se por um lado paree que vai dar + pela aumulaoinnitas vezes de juros, a taxa (1 + /n) (1 + 0) = 1, o que indiaria que no limitearamos om o mesmo que o valor iniial. O que oorre na realidade que obtemos et,um valor intermedirio entre 1 e +. Apreie a beleza deste resultado.Cresimento populaional. Suponha que uma erta batria se reproduza de tal formaque sua populao aumente em k por ento a ada hora. Assim, partindo de uma po-pulao iniial p0, denindo = k/100, aps t horas, a populao ser de p0(1 + )t.Agora se o resimento for omputado a ada minuto, a taxa de resimento por minutoser (aproximadamente) de k/60 por ento por minuto e a populao total ser, aps thoras, p0(1+/60)60t. Passando ao limite, om o resimento oorrendo a ada instante,hegaremos de forma anloga que aps t horas a populao ser de p0et.Situao anloga o deaimento radioativo a uma taxa de k por ento de uma massainiial de material radioativo m0. Denindo = k/100, aps t horas, a massa ser dem0(1 )t. Seguindo raionio anlogo, mas om mudana de varivel x = n/,deduziremos que aps t horas massa ser de m0et.Exemplo 37 Calule os limites:(a) lim

x+(1 + 1/x)4x; (b) lim

x+

(

x+ 3

x

)5x; () limx0

(1 5x)7/x.Soluo do Exemplo 37 (a) Como (1+ 1/x)4x = ((1+ 1/x)x)4, passando ao limite obte-mos limx+

(1 + 1/x)4x =

(

limx+

(1 + 1/x)x)4

= e4.(b) Como ((x + 3)/x)5x = (1 + 3/x)5x, fazendo a substituio 1/y = 3/x obtemos olimite limy+

(1 + 1/y)5y/3 =

(

limy+

(1 + 1/y)y)5/3

= e5/3.

40 CAPTULO 1. LIMITE() Fazendo y = 5x obtemos o limite limy0

(1+ y)7/(y/5) =

(

limy0

(1 + y)1/y)35

= e35.Observao 20 Porque e base natural para exponenial? Porque medir ngu-los em radianos?Vamos responder esta pergunta na p.76 do Captulo de Derivada, mas isto tem relaodireta om estes dois limites fundamentais.Qualquer ivilizao do Universo aps desenvolver alguma Matemtia esolheria o mesmo.As opes de base 10 (nmero de dedos nas mos dos humanos), graus (dividir o ruloem 360 graus, inveno dos babilnios, um nmero om boa quantidade de mltiplos) ougrados (inventado na revoluo franesa para tornar ngulo reto om 100 grados, dentrodo esprito de sistema deimal) so esolhas inteiramente arbitrrias do Homo sapiens.1.7 Exerios de Limite1.7.1 Exerios de FixaoExerio 1.Considere o gro de y = f(x) esboada no gro abaixo. Determine oslimites abaixo. Caso algum no exista, determine os limites laterais.(a) lim

xaf(x); (b) lim

xbf(x); () lim

xcf(x).

x

y

a b c

5

6

3

1

Exerio 2.Determine se Verdadeiro ou Falso. Se for falso d um ontraexemplo ouorrija. Se for verdadeiro justique.(a) {x R; |x 3| 2} = [1, 5].(b) {x R; |x+ 2| < 1} = (1, 3).() x2 = x para todo x R.(d) se g(x) = {4; x 6= 2;; x = 2

, ento limx2

g(x) = g(2) = .Exerio 3.Determine se Verdadeiro ou Falso. Se for falso d um ontraexemplo ouorrija. Se for verdadeiro justique.022.jul.2010

1.7. EXERCCIOS DE LIMITE 41(a) Se limx3+

f(x) = 5, ento e limx3

f(x) = 5.(b) Se limx2

f(x) = 4, ento e limx2

f(x) = 4.() Se limx2

f(x) = 4, ento f(2) = 4.(d) Existe uma funo f tal que limx3+

f(x) 6= limx3

f(x) = limx3

f(x).Exerio 4.Considere a funo f dada por f(x) =

5; x 17; 1 < x 29; x > 2

. Determine limxk

f(x)ou, aso no exista, os limites laterais para:(a) k = 1; (b) k = 0.9999; () k = 1.0001;(d) k = 2; (e) k = 1.9999; (f) k = 2.0001.Exerio 5.Aplique a denio do mdulo para esboar o o gro de:(a) cosx| cos(x)| ; (b) |x|.Exerio 6.Partindo de gro de funes simples (x2, 1/x, 1/x2, x, sen(x), |x|,log(x), ex), utilizando translaes vertiais e/ou horizontais e/ou reexes, esboe o grode: (a) y = 1 +x (b) y = 2 + sen(x); () y = log(x 1) + 2;(d) y = 1

(x+ 2)3; (e) y = |(x+ 1)(x+ 2)|; (f) y = |ex 2|.Exerio 7.Determine os limites:(a) lim

x2

x 2(2 x)(3 x) ; (b) limx0 x4 + xx3 + 2x ; () limx3 x 3x2 4 .Exerio 8.Dena lim

x+f(x) = + seguindo mutatis mutandis1 as denies dadas notexto.Exerio 9. Faa o estudo de sinal do numerador e denominador para determinar os valoresde x que satisfazem as desigualdades:(a) 3 x2

x2 1 0; (b) x3 1x(x2 4) 0.Exerio 10. Faa o estudo de sinal e o esboo do gro dos polinmios abaixo.(a) p(x) = (x 2)(x+ 3)(1 x); (b) q(x) = (x 2)2(x+ 1);() r(x) = (3 x)(x 2)2(x 5).Exerio 11.Determine os limites:(a) limx0

1

x; (b) lim

x01

x2; () lim

x0x

|x| ; (d) limx0 x3|x| ;1latim para modique o que tem que ser modiado

42 CAPTULO 1. LIMITE(e) limx2

x2 + 1

x 2 ; (f) limx0(x+ 1x); (g) limx3+ xx2 9 .Exerio 12.Determine os limites:(a) limx+

xx2 + 1

; (b) limx+

(

x+1

x

); () limx+

1 + 6x

x 2 ;(d) limx

2x x23x+ 5

; (e) limx+

2x3 45x+ 3

; (f) limx

7x3 15x213x

;(g) limx

3x5 + x 1x5 7 ;(h) lim

x+

3x3 + 2x4 + 5x5 14x5 3x4 2x2 + x+ 3 ; (i) limx+ 5x10 3x7 + 9x6 12x2 x+ 1x9 7x2 21 .Exerio 13.Determine se Verdadeiro ou Falso. Se for falso d um ontraexemplo ouorrija. Se for verdadeiro justique. Se lim

x1q(x) = 0, ento(a) lim

x1

3

q(x)= +; (b) lim

x1

q(x)

f(x)= 0; () lim

x1

q(x)

x2 1 = 0.Exerio 14.Qual das Figuras abaixo pode representar o gro de uma funo g tal que:(i) limx

g(x) = 1 (ii) limx

g(x) = 1(iii) limx1+

g(x) = + (iv) limx1

g(x) = .

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1 1 x

y

-1 1 x

y

-1 1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

-1

1

1 x

y

(a) (b) () (d)Exerio 15. Faa um esboo de um gro de uma funo f tal que limx1

f(x) = 2,

f(1) = 1 e, alm disso (um gro para ada item):(a) limx1+

f(x) = 2, (b) limx1+

f(x) no exista, () limx1+

f(x) = +,Exerio 16.Determine os limites:(a) limx0

|x| sen(1/x); (b) limh0

sen(3x)

x; () lim

x+(1 + 1/x)5x;(d) lim

x/2+tan(x); (e) lim

x0+(1 2x)1/x.Exerio 17.Estude o Teorema 4 da p.33 (Sanduhe) e responda:(a) verdade que se 1 g(x) 2 ento lim

x3/2g(x) existe e um nmero entre 1 e 2?(b) Explique, utilizando o Teorema do Sanduhe, omo alular lim

x+

cos(x2 + 1)

x2.

1.7. EXERCCIOS DE LIMITE 431.7.2 ProblemasProblema 1.Esboe o gro das seguintes funes:(a) f(x) = {9 x2; |x| 3|x| 3; |x| > 3. (b) f(x) = {x 1; x 1;log(x) + 1; x < 1.Problema 2.Considere a funo IZ (hamada de funo araterstia ou indiadora doonjunto Z) denida por IZ(x) = {0; x 6 Z1; x Z. Esboe o gro e determine (se existir):(a) lim

x3/4IZ(x); (b) lim

x3IZ(x); () lim

x+IZ(x).Problema 3.Calule os limites abaixo (quando eles existirem) justiando seus passos (semutilizar a regra de L'Hospital) Limites om razes:(a) lim

h0

1 + h

1 h

h(b) lim

x4

|x| 4x 2 ; () limh1 h2 + 3 2h + 1 ;Problema 4.Determine os limites e, aso no exista, os limites laterais (aso existam).(a) lim

x3sen

(

7

x+ 3

); (b) limx2

log |x 2|;() limx2

|x 2|(x+ 1)x 2 ; (d) limx5 x+ 3x+ 5 .Problema 5.Calule os limites abaixo (quando eles existirem) justiando seus passos (semutilizar a regra de L'Hospital):(a) lim

x2x

x2 4 ; (b) limx1+ x+ 31 x () limx0(1x 1x2); (d) limx2 |x 2|x2 5x+ 6 ;(e) limx2

x+ 2

|x| 2 ; (f) lima2 (a 2)(a2 4)a3 5a2 + 8a 4 ; (g) limx2 x2 3x+ 2x2 3x+ 5 ;(h) limx1

x3 xx2 3x+ 2 ; (i) limx2 x2 + 3x 1x2 + 2x 1 ; (j) limx1 x+ 1 2xx 1 ;(k) lim

x1

x2 + 2x+ 1

x+ 1(l) lim

x1

x3 + 1

x+ 1; (m) lim

x1

2x2 3x+ 1x 1 ;Problema 6.Calule os limites abaixo (quando eles existirem) justiando seus passos (semutilizar a regra de L'Hospital) Limites no innito:(a) lim

x

x2 + 1

x+ 1; (b) lim

y+

7 2y

5 2y + 9y2; () lim

x+

10x4 + 3x3 + 2x+ 5

5x2 10x 100 ;(d) limx+

x2 + 1x+ 1

; (e) limy

5 3y3

8 y + 10y4; (f) lim

xsen

(16x6 x+ 1

2x3 x2 + 20

).Problema 7.Considere a, b R e c > 0. Determi