Criterios resistencia

Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica

Resistência dos Materiais II

Prof. José Carlos Morilla 1 Critérios de Resistência II

Critérios de Resistência

Coeficiente de segurança Tensão equivalente Seja um ponto qualquer,

pertencente a um corpo em equilíbrio, submetido a um estado de tensões cujas tensões principais estão representadas na figura 1.

figura 1 – Tensões principais para um

estado de tensões.

Chama-se de coeficiente de segurança (s) ao número, maior que a unidade, que ao multiplicar o estado de tensões provoca a ruína do material.

figura 2 – Tensões principais multiplicadas pelo coeficiente de segurança, para um

estado de tensões.

Chama-se de Tensão equivalente (σeq) uma tensão de tração simples que multiplicada pelo mesmo coeficiente de segurança do estado de tensão leva o material à ruína por tração

figura 3 – Tensão equivalente multiplicada

pelo coeficiente de segurança.

Note-se, aqui, que o conceito de ruína está associado à falência do funcionamento do equipamento no qual o corpo se insere. Por exemplo, para um material dúctil, normalmente a falência ocorre quando a tensão simples de tração atinge o valor da tensão de escoamento (σe). para os materiais frágeis, que não apresentam deformação plástica representativa, a falência ocorre quando a tensão de tração atinge o valor da tensão limite de ruptura (σR).

Assim, para executar o

dimensionamento:

req s σ≤×σ

ou

sr

eq

σ≤σ

onde σr é a tensão de ruína do material.

Com este conceito de tensão equivalente se torna razoavelmente simples executar o dimensionamento dos elementos já que as tensões de escoamento e ruptura, bem como outras, são de fácil determinação e conhecimento generalizados.

Deve-se, entretanto, estabelecer uma forma de




determinação da tensão equivalente para que ela possa representar com eficácia o estado de tensões existente no ponto em estudo.

Critérios de Dimensionamento. Vários critérios diferentes, a respeito da ruína dos materiais, foram propostos ao longo do tempo:

1. Teoria da máxima tensão normal proposta por Rankine;

2. Teoria da máxima deformação normal, proposta por Saint-Venant;

3. Teoria da máxima tensão de cisalhamento, proposta por Coulomb em 1773 e por Tresca em 1868;

4. Teoria do atrito interno, desenvolvida por Mohr e por Coulomb;

5. Teoria da máxima energia de deformação, proposta por Beltrami em 1885;

6. Teoria da máxima energia de distorção, desenvolvida por Huber em 1904; Von Mises em 1913 e Hencky em 1925;

7. Teoria da tensão octaédrica de cisalhamento de Von Mises e Hencky.

Cada uma destas teorias propõe

um critério para a causa da ruína do material.

As experiências feitas em

tempos recentes mostram que, entre as teorias apresentadas, algumas são equivalentes e outras são apenas de interesse histórico, já que não apresentam resultados compatíveis com os obtidos.

Neste texto apresentar-se-á os

critérios baseados em algumas destas teorias.

Critério da máxima tensão de cisalhamento ou Critério de Tresca. Este critério se baseia no fato que para os materiais dúcteis o principal mecanismo de deformação plástica é o de escorregamento nos planos de maior densidade atômica. Assim, a tensão equivalente (σeq) é igualmente perigosa a um estado de tensão quando ela apresentar a mesma tensão de cisalhamento máxima que o estado da tensão.

σ3

σσ2 σ1

τmáx

σ3

σσ2 σeq

τmáx

figura 4 – Círculos de Mohr para um estado de tensão e para uma tensão equivalente.

Sabendo-se que as tensões de cisalhamento máxima nos dois círculos de Mohr podem ser determinadas por:

22eq

máx31

máx

σ=τ

σ−σ=τ (1)

A igualdade das duas expressões fornece:

22eq31

σ=

σ−σ

31eq σ−σ=σ

(2)

Critério da máxima energia de distorção ou Critério de Von Mises

Este critério propõe que a ruína por escoamento seja associada a valores críticos de certa




porção da energia de deformação do ponto material em estudo. Quando as tensões principais possuem valores diferentes, o cubo que representa o ponto se transforma em paralelepípedo. A energia (U) para esta distorção é dada por:

( ) ( ) ( )[ ]232

231

221E6

1U σ−σ+σ−σ+σ−σ

×ν+=

(3)

onde E é o módulo de elasticidade do material e νννν é o coeficiente de Poison. O mesmo fato acontece com a tensão equivalente já que nesta situação σ1= σeq e σ2 = σ3 =0. Para a tensão equivalente, a energia de distorção fica:

2eq2

E61

U σ×××

ν+= (4)

Igualando-se as expressões

3 e 4 tem-se:

( ) ( ) ( ) 2eq

232

231

221 2 σ×=σ−σ+σ−σ+σ−σ

ou seja:

( ) ( ) ( )eq

232

231

221

2σ=

σ−σ+σ−σ+σ−σ

(5)

OBS: - Note-se que os dois critérios apresentados levam em conta a ductilidade do material e possuem como tensão de ruína a tensão de escoamento ou seja, valem apenas para materiais com características dúcteis. Note-se, também, que no caso da solicitação chamada

hidrostática (σ1=σ2=σ3), as tensões equivalentes para os dois critérios possuem valor igual a zero. Assim, não é possível dimensionar nesta situação por um destes critérios.

Critério de Coulomb-Mohr. Este critério é particularmente interessante para materiais que apresentam resistências diferentes quando solicitados à tração e à compressão. Este tipo de comportamento, em geral, é apresentado pelos materiais frágeis. A figura 5 mostra os dois círculos de Mohr para a tensão de ruptura à tração e à compressão de um material frágil qualquer.

σ

Tração

Compressão

σTσC

figura 5 – Círculos de Mohr para um

material que resiste à tração e à compressão.

A proposição deste critério e que os estados são igualmente perigosos quando forem tangentes à reta apresentada na figura. A tensão equivalente para este critério é:

31eq k σ×−σ=σ (6)

onde

C

Tkσσ

= (7)

σT= Limite de resistência à tração σC= Limite de resistência à Compressão




A figura 6 é um gráfico comparativo entre os critérios de resistência apresentados.

Note-se aqui, que o critério de Von Mises é aquele que mais se aproxima dos resultados experimentais.

Aplicação em eixos e vasos de pressão.

Aplicação em Eixos Uma aplicação muito importante do que foi apresentado, até agora, está no dimensionamento de eixos. Um eixo, nada mais é do que uma barra circular submetida a um esforço de flexão e um esforço de torção. A figura 7 mostra uma barra com seção transversal circular de diâmetro “d”, solicitada por um momento fletor M e um momento de torção T.

figura 7 - barra circular solicitada por um momento fletor e um momento de torção.

No ponto A, indicado na seção, atuam a máxima tensão normal (σmáx) e a máxima tensão de cisalhamento (máxτ) que valem:

WM

máx =σ tW

Tmáx =τ (8)

Ao se isolar o ponto A, para estudo, representando as tensões que atuam no plano da seção, se obtém:

figura 8 – Ponto A com as tensões em seus

planos. Observando-se a figura 8, nota-se que o plano Q é um dos planos principais. Isto é fato já que a tensão de cisalhamento resultante no plano é igual a zero. No plano *, existe uma tensão de cisalhamento que igual, mas com sinal contrário, à tensão de cisalhamento que atua no plano da seção (O). Assim, as tensões em cada plano ficam: Plano da seção (O):

WM

O =σ t

O WT=τ (9)

Plano (*):

0* =σ t

O*

WT−=τ−=τ (10)




Plano (Q):

0Q =σ 0Q =τ (11) Com estes dados, é possível construir o Círculo de Mohr para o plano da seção (O) e o plano *. Isto pode ser observado na figura 9.

σσ3

σ2

σ1

το

τ∗=−το σο

Plano O

figura 9 – círculo de Mohr para o estado de tensões.

A figura 10 mostra alguns detalhes da figura 8.

σ3

σσ1

σ2

το Plano O

σο

σo/2 Raio

figura 10 – detalhes do círculo de Mohr para o estado de tensões.

A figura 9 mostra que o raio do círculo de Mohr entre σ1 e σ3 é:

2o

2

o

2RAIO τ+

σ= (12)

Assim, as tensões principais ficam:

2o

2

oOO1 22

Raio2

τ+

σ+

σ=+

σ=σ

02 =σ

2o

2

oOO3 22

Raio2

τ+

σ−

σ=−

σ=σ

(13)

Quando se dimensiona o eixo pelo critério de Tresca , é possível escrever:

31eq σ−σ=σ

−σ

−+σ

=σ RAIO2

Raio2

OOeq

Raio2eq ×=σ (14)

Quando se substitui o valor do RAIO na expressão 14 se encontra:

2o

2

oeq 2

2 τ+

σ×=σ �

2o

20eq 4τ+σ=σ (15)

Quando se substitui as

expressões 9 na expressão 15, se obtém:

2

t

2

eq WT

4WM

+

=σ (16)

Lembrando que para uma seção circular:

32d

W3π= e

16d

W3

t

π= � W2Wt =

(17)

é possível escrever:




22

eq W2T

4WM

+

=σ �

22

eq WT

WM

+

=σ �

WTM 22

eq

+=σ �

32d

TM3

22

eq π+=σ �

3

22

eq dTM32

π+=σ (18)

O dimensionamento é feito limitando-se a tensão equivalente ao valor da tensão admissível à tração; assim, se obtém:

σ≤π

+3

22

dTM32

�

322 TM32

dσπ

+≥ (19)

Quando o dimensionamento é feito pelo critério de Von Mises , a tensão equivalente fica:

( ) ( ) ( )2

232

231

221

eq

σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ

Ao se substituir o conteúdo das expressões 13, se obtém:

( )2

RAIO2

RAIO2RAIO2

2

O22

O

eq

−σ+×+

+σ

=σ

(20) Quando são efetuados os produtos apresentados na

expressão 20, a tensão equivalente fica:

( )2

RAIO62

2 22

O

eq

+

σ

=σ �

( )22

Oeq RAIO3

2+

σ=σ (21)

Quando se substitui, na expressão 21 a expressão 12, se encontra:

τ+

σ+

σ=σ 2

O

2

O

2

Oeq 2

32

�

2O

2Oeq 3τ+σ=σ (22)

Quando se substitui as

expressões 9 na expressão 22, se obtém:

2

t

2

eq WT

3WM

+

=σ (23)

Lembrando que para uma seção circular:

32d

W3π= e

16d

W3

t

π= � W2Wt =

(17)

é possível escrever:

22

eq W2T

3WM

+

=σ �

22

eq WT

43

WM

+

=σ �

W

T43

M 22

eq

+=σ �




32d

T43

M

3

22

eq π

+=σ �

3

22

eq d

T43

M32

π

+=σ (24)

Lembrando, mais uma vez, que o dimensionamento é feito limitando-se a tensão equivalente ao valor da tensão admissível à tração; assim, se obtém:

σ≤π

+

3

22

d

T43

M32 �

3

22 T43

M32d

σπ

+≥ (25)

OBS:- Devemos observar que as expressões (15) e (22) fornecem a tensão equivalente, de acordo com Tresca e Von Mises, respectivamente, para um ponto qualquer onde atuam uma tensão normal e uma tensão de cisalhamento em um único plano.

Aplicação em vasos de pressão de parede fina Os vasos de pressão são considerados de parede fina quando a espessura da parede for tão pequena em relação ao seu diâmetro que a distribuição de tensões normais num plano perpendicular à superfície lateral deste vaso é uniforme ao longo da espessura da parede. Um bom exemplo deste tipo de equipamento são os vasos de pressão para

gases industriais. Outros exemplos, mais comuns em nosso dia a dia são os extintores de incêndio, os balões, etc.

Vasos Cilíndricos

Tome-se um vaso cilíndrico de parede fina que possui comprimento llll e diâmetro d, com uma espessura de parede (e) muito pequena em relação a este diâmetro. Suponha que neste tubo exista uma pressão interna p. Esta pressão irá atuar no interior do tubo de maneira a fazer com que exista um crescimento em seu diâmetro e um crescimento em seu comprimento.

Para que estas variações ocorram, é necessário que apareçam tensões na parede do vaso cujas direções são a do comprimento (σ2) e a da tangente ao perímetro médio da seção (σ1).

σ1

σ1

σ2σ2

figura 11 – tensões em um ponto da parede

de um vaso de pressão cilíndrico.

A figura 12 mostra um diagrama de corpo livre para um tubo de parede fina que possui uma pressão interna p.

figura 12 – tensões na parede de um vaso de pressão cilíndrico.




Para determinar as tensões que atuam na parede, se deve lembrar que o conjunto das tensões deve equilibrar o esforço produzido pela pressão interna. Assim, tem-se:

( )ll ××σ×=×× e2dp 1 �

e2pd

1 =σ (26)

Da mesma maneira, é possível escrever:

4d

pd2

2

×π×=×π×σ �

e4pd

2 =σ (27)

Note-se aqui que estas tensões são duas das tensões principais que atuam nos pontos da parede do tubo. Note-se, também, que a tensão σ1 é igual ao dobro de σ2. A terceira tensão principal (σ3) é igual a zero.

Assim, as tensões que atuam nos pontos da parede do tubo podem ser representadas por:

figura 13 – tensões principais para um

ponto da parede do tubo.

O círculo de Mohr para estas tensões fica:

σ3

σ

τmáx

σ2 σ1

figura 14 – Círculo de Mohr para um ponto

da parede do tubo.

Com estas tensões, a tensão equivalente, de acordo com o critério de Tresca fica:

31eq σ−σ=σ �

e2pd

1eq =σ=σ (28)

De acordo com o critério de Von Mises , se encontra:

( ) ( ) ( )2

232

231

221

eq


( ) ( ) ( )2

22

21

221

eq

σ+σ+σ−σ=σ (29)

Lembrando que a tensão σ1 é igual ao dobro de σ2 a expressão 29 fica:

( ) ( ) ( )2

22 22

22

222

eq

σ+σ+σ−σ=σ

32eq σ=σ

3e4

pdeq =σ (30)

Vasos Esféricos

Tome-se um vaso esférico, de parede fina, que possui diâmetro d e espessura e.




figura 15 – tensões na parede de um vaso

de pressão esférico.

As tensões nos pontos da parede de um vaso de pressão esférico, possuem o mesmo valor, em qualquer que seja a direção tomada. Ou seja:

4d

pd2×π×=×π×σ �

e4pd=σ (31)

Note-se aqui que estas

tensões são duas das tensões principais que atuam nos pontos da parede da esfera. Note-se, também, que a tensão σ1 é igual a σ2. A terceira tensão principal (σ3) é igual a zero.

Assim, as tensões que atuam nos pontos da parede do tubo podem ser representadas por:

figura 16 – tensões principais para um

ponto da parede da esfera.

O círculo de Mohr para estas tensões fica:

σ3

σ

τmáx

σ2 σ1

figura 17 – Círculo de Mohr para um ponto

da parede da esfera.

Com estas tensões, a tensão equivalente, de acordo com o critério de Tresca fica:

31eq σ−σ=σ �

e4pd

eq =σ=σ (32)

De acordo com o critério de Von Mises , se encontra:

( ) ( ) ( )2

232

231

221

eq


( ) ( )2

22

21

eq

σ+σ=σ (33)

Lembrando que a tensão σ1 é igual a σ2 a expressão 33 fica:

( )2

2 21

eq

σ=σ

σ=σeq

e4pd

eq =σ (34)

Importante observar que,

para este tipo de vaso de pressão, a tensão equivalente é a mesma pelos dois critérios de dimensionamento.

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