CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS EXTREMOS DE UMA … · 2018-05-22 · Microsoft Word - máximos e...
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CRITÉRIOSPARADETERMINAROSEXTREMOSDEUMAFUNÇÃO
Teorema(Critériosdaderivadaprimeiraparadeterminaçãodosextremos)
Seja𝑓umafunçãocontínuanumintervalofechado[𝑎, 𝑏] quepossuiderivadaemtodo
opontodointervalo(𝑎, 𝑏),excetopossivelmentenumponto𝑐.
(i) Se𝑓' 𝑥 > 0 para todo𝑥 < 𝑐 e𝑓' 𝑥 < 0 para todo𝑥 > 𝑐 , então 𝑓 tem um
máximorelativoem𝑐.
(ii) Se𝑓' 𝑥 < 0 para todo𝑥 < 𝑐 e𝑓' 𝑥 > 0 para todo𝑥 > 𝑐 , então 𝑓 tem um
mínimorelativoem𝑐.
Exemplos:
(i) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos emínimosrelativosdafunção𝑓 𝑥 = 𝑥! − 7𝑥 + 6.
Esboçodográficodestafunção:
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(ii) Seja𝑓 𝑥 =(𝑥 − 2)! − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 5(!!!)!
, 𝑠𝑒 𝑥 > 5
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Teorema(Critériodaderivada2aparadeterminaçãodeextremosdeumafunção)
Sejam𝑓 uma função derivável num intervalo(𝑎, 𝑏)e𝑐um ponto crítico de𝑓 neste
intervalo,istoé,𝑓’(𝑐) = 0,com𝑎 < 𝑐 < 𝑏.Sefadmiteaderivada𝑓’’ em(𝑎, 𝑏),temos:
(i) 𝑆𝑒 𝑓'' 𝑐 < 0, 𝑓temumvalormáximorelativoem𝑐.
(ii) 𝑆𝑒 𝑓'' 𝑐 > 0, 𝑓temumvalormínimorelativoem𝑐.
Exemplos:
Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada
segunda.
(i) 𝑓 𝑥 = 18𝑥 + 3𝑥! − 4𝑥!.
(ii) 𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)!.
(iii) 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 3𝑥! + !!𝑥!.
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CONCAVIDADEEPONTOSDEINFLEXÃOOconceitodeconcavidadeémuitoútilnoesboçodográficodeumacurva.
Nafiguraacimaobservamosquedadoumpontoqualquer𝑐entre𝑎e𝑏,empontos
próximosde𝑐 ográficode𝑓estáacimadatangenteàcurvanoponto𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).Dizemos
queacuratemconcavidadevoltadaparacimanointervalo(𝑎, 𝑏).
Como𝑓’(𝑥)é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se que podemos
descrever essa mesma situação afirmando que no intervalo(𝑎, 𝑏)a derivada𝑓’(𝑥)é
crescente. Geometricamente isso significa que a reta tangente gira no sentido anti-
horárioàmedidaqueavançamossobreacurvadaesquerdaparaadireita.
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Já na figura acima vemos que a tangente gira no sentido horário quando nosdeslocamossobreacurvadaesquerdaparaadireita.Aderivada𝑓’(𝑥)édecrescenteem(𝑎, 𝑏).DEFINIÇÃO:
(i) Umafunção𝑓éditacôncavaparacimanointervalo(𝑎, 𝑏), se𝑓’(𝑥)écrescentenesteintervalo.
(ii) Umafunção𝑓 écôncavaparabaixonointervalo(𝑎, 𝑏),se𝑓’(𝑥)fordecrescentenesteintervalo.
PROPOSIÇÃO:
(i) Se𝑓’’(𝑥) > 0paratodo𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),então𝑓écôncavaparacimaem(𝑎, 𝑏).(ii) Se𝑓’’ 𝑥 < 0paratodo𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),então𝑓écôncavaparabaixoem(𝑎, 𝑏).
DEFINIÇÃO:
Umponto𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)dográficodeumafunçãocontínua𝑓échamadoumpontodeinflexão, se existe um intervalo(𝑎, 𝑏)contendo𝑐, tal que uma das seguintes situaçõesocorra:
(i) 𝑓écôncavaparacimaem(𝑎, 𝑐) ecôncavaparabaixoem(𝑐, 𝑏)(ii) 𝑓écôncavaparabaixoem(𝑎, 𝑐)ecôncavaparacimaem(𝑐, 𝑏).
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Nográficotemos:
- ospontosdeabcissas𝑐!, 𝑐!, 𝑐!, 𝑐!àsãopontosdeinflexão.
- Valeobservarque𝑐!, 𝑐!sãopontosdeextremosdefequefnãoéderivávelnestes
pontos. Nos pontos𝑐!, 𝑐! existem derivadas𝑓’(𝑐!) 𝑒 𝑓’(𝑐!).Nos correspondentes
pontos(𝑐!, 𝑓 𝑐! ), (𝑐!, 𝑓 𝑐!) ,aretatangentecortaográficodef.
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EXEMPLOS:Determinarospontosde inflexãoe reconheceros intervalosondeas funções seguintestemconcavidadevoltadaparacimaouparabaixo.
(i) 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)!
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(ii) 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 𝑥!
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(iii) 𝑓 𝑥 = 𝑥!, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 11− (𝑥 − 1)!, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 1
ATIVIDADES:
1) Determinarospontoscríticosdasseguintesfunções,seexistirem:
a) 𝑦 = 3𝑥 + 4
b) 𝑦 = 𝑥! − 3𝑥 + 8
c) 𝑦 = 𝑥! + 4𝑥!
d) 𝑦 = cos 𝑥
e) 𝑦 = 𝑒! − 𝑥
2) Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou
decrescentes.Fazerumesboçodográfico.
a) 𝑦 = 2𝑥 − 1
b) 𝑦 = 3𝑥! + 6𝑥 + 7
c) 𝑦 = 𝑥! + 2𝑥! − 4𝑥 + 2
d) 𝑦 = !!
!!!
e) 𝑦 = 2!
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3) Encontrarosintervalosdecrescimento,decrescimento,osmáximoseosmínimos
relativosdasseguintesfunções:
a) 𝑦 = 4𝑥! − 8𝑥!
b) 𝑦 = 3𝑥! + 6𝑥 + 1
c) 𝑦 = !!!!!!
d) 𝑦 = !!𝑥! + !
!𝑥! − 6𝑥 + 5
e) 𝑦 = 𝑥𝑒!
4) Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções
seguintestemconcavidadevoltadaparacimaouparabaixo.
a) 𝑦 = −𝑥! + 5𝑥! − 6𝑥
b) 𝑦 = 3𝑥! − 10𝑥! − 12𝑥! + 10𝑥 + 9
c) 𝑦 = !!!!
d) 𝑦 = 𝑥!𝑒!
e) 𝑦 = !!!!(!!!)!