CRITÉRIO DE

ESTABILIDADE DE ROUTH

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

O problema mais importante em sistemas de

controle é o da estabilidade.

A função de transferência de um sistema de controle

é do tipo,

Onde os a’s e b’s são constantes e m n.

)s(A

)s(B

asasasa

bsbsbsb

)s(R

)s(C

n1n

1n

1

n

0

m1m

1m

1

m

0

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Para se obter os pólos desta equação pode-se fazer a

fatoração da equação característica ou, então, pode-

se utilizar um procedimento simplificado que é o

critério de estabilidade de Routh.

Através deste critério a informação sobre a

estabilidade absoluta do sistema é obtida

diretamente a partir dos coeficientes da equação

característica, conforme o procedimento a seguir.

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Escrever a equação característica.

Onde os coeficientes são reais e an 0.

Se houver um coeficiente nulo ou negativo

implica que podem existir raízes imaginárias ou

raízes com partes reais positivas e, portanto, o

sistema é instável.

A condição necessária para que o sistema seja

estável é que todos os coeficientes existam e

sejam positivos.

0asasasan1n

1n

1

n

0

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Se os coeficientes são positivos, então:

1

0

1

1

21

2

321

2n

531

1n

420

n

e s

d s

c c s

b b b s

a a a s

a a a s

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Os coeficientes b1, b2, b3, etc. são calculados como

segue,

O cálculo dos b’s continua até que os restantes

dos coeficientes sejam todos nulos. Para os c’s,

tem-se que,

Este processo continua até que a n-ésima linha

tenha sido completada.

A tabela completa de coeficientes é triangular.

1

3021

1

a

aaaa b

1

5041

2

a

aaaa b

1

7061

3

a

aaaa b

1

2131

1

b

baab c

1

3151

2

b

baab c

1

2121

1

c

cbbc d

1

3131

2

c

cbbc d

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

COMENTÁRIOS

Deve-se observar que, uma linha inteira pode ser

dividida ou multiplicada sem alterar a conclusão

sobre a estabilidade do sistema.

O critério de estabilidade de Routh diz que o

número de raízes da equação (4.42) com partes

reais positivas é igual ao número de mudanças de

sinal dos coeficientes da primeira coluna da

tabela.

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Deve-se notar que o valor exato dos termos da

primeira coluna não é de importância; apenas os

sinais são necessários.

O sistema é estável se todos os termos da

primeira coluna são positivos.

A condição necessária para que todas as raízes da

equação característica estejam no semiplano

esquerdo, do plano complexo s, é que todos os

coeficientes existam e sejam positivos.

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Exemplos

1-

2-

0asasasa32

2

1

3

0

05s4s3s2s 234

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

CASOS ESPECIAIS

Se um termo da primeira coluna é nulo, mas os

termos restantes não são nulos ou não há termo

restante, então o termo nulo é substituído por um

número positivo muito pequeno () e o resto da

tabela é calculado. Por exemplo,

02ss2s 23

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Assim, a tabela pode ser calculada como,

Se o sinal de é igual ao sinal do coeficiente de

baixo, então há um parâmetro de raízes

imaginárias (pólos) .

2 s

0 s

2 2 s

1 1 s

0

1

2

3

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Mas, se os sinais são diferentes, há uma mudança

de sinal e, portanto, o sistema é instável.

Por exemplo,

E a tabela de coeficientes é,

0)2s()1s(2s3s 23

2 s

2-3- s

2 0 s

3- 1 s

0

1

2

3

Há duas mudanças de sinal, isto

implica que existem dois pólos

localizados no semiplano direito, ou

seja, dois pólos com partes reais

positivas.

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Se todos os coeficientes de uma linha são nulos,

significa que há raízes de igual módulo, mas

radialmente opostas no plano complexo s, isto é,

duas raízes com módulo igual, mas com sinal

posto e/ou duas raízes puramente imaginárias.

Um outro caso especial é mostrado a seguir. Por

exemplo,

050s25s48s24s2s 2345

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

Para esta equação a tabela de coeficientes é,

Polinômio Auxiliar:

50- s

112,5 s

50- 24 s

Aux.) (Polinômio 69 8 s

50- 84 2 s

25- 24 1 s

0

1

2

3

4

5

s96s8ds

)s(dP

50s48s2)s(P

3

24

Coeficientes deds

dP(s): 8 e 96

Há uma mudança de sinal, portanto,

existe uma raiz com parte real

positiva.

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ROUTH

O problema mais importante em sistemas de

controle é o da estabilidade.

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE

ROUTH

O problema mais importante em sistemas de

controle é o da estabilidade.