CRIPTOGRAFIA: UMA APLICAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR

Solange dos Santos Nieto1, Célia Mendes Carvalho Lopes 2, Alcides Ferreira da Silva 3

1 Solange dos Santos Nieto, Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brasil, solangenieto@mackenzie.com.br 2 Célia Mendes Carvalho Lopes , Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brasil, celiagiz@mackenzie.com.br 3 Alcides Ferreira da Silva, Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brasil,, nagu@terra.com.br

Abstract The area of cryptography is as old as the writing. It deals with concepts and techniques to encode information so that the sender and the receiver are the only ones that can have access to it. In our work we are going to give an introductory approach to cryptography in a context of Linear Algebra and, specifically, in subjects that can be applied to the students who attend this discipline in the engineering courses, showing them one amongst many applications of Linear Algebra. Index Terms Cryptography, Linear Algebra, Matrixes.

HISTÓRICO

Criptologia é a área do conhecimento que reúne os estudos da criptografia e da criptoanálise. Ela é considerada ciência há mais ou menos 25 anos. Antes, era tida como “arte”. Tanto a criptografia como a criptoanálise são ramos da criptologia.

Cripto vem do grego kryptos e significa escondido, oculto. Graphos, também do grego, significa escrever. Logos significa estudo, ciência. Analysis significa decomposição. Então temos que criptologia é o estudo da escrita cifrada.

FIGURA 1

A criptoanálise é o conjunto de técnicas e métodos para

decifrar (descobrir) uma escrita de sistema desconhecido sem ter conhecimento do sistema usado para transformá-la, isto é, sem o conhecimento da chave. A chave é o procedimento do algoritmo utilizado em um dado método.

Para exemplificar de um modo claro e prático, imaginemos uma festa em que os convidados tenham que usar máscaras . A necessidade das máscaras é para que não se identifique a pessoa que a está usando, portanto a chave é a máscara.

A criptografia é o conjunto de princípios e técnicas empregadas para cifrar a escrita, de modo que apenas os que têm acesso às convenções combinadas possam lê-la.

FIGURA 2

A criptografia é tão antiga quanto a escrita. Ela já fazia

parte da escrita hieroglífica dos egípcios e os romanos utilizavam-na como códigos (ou cifras) secretos para comunicar planos de guerra.

O conceito de cifra é dado ao par de algoritmos utilizados para a codificação e decodificação de uma mensagem. O primeiro código de que se tem notícia foi utilizado por Caio Júlio César (100 – 44 a.C.), imperador romano.

O método utilizado por César, também é chamado de “cifra da troca” ou “cifras de César” é uma das mais simples técnicas de encriptação. Era baseado na substituição (troca) de letras, seguindo regras.

A técnica utilizada por César, par se comunicar com seus generais era o da substituição de uma letra por outra, ele usava uma troca de 3 posições no alfabeto (como mostra a Tabela 1).

TABELA 1

original: A B C D E F G H I J K L Mcifrado: D E F G H I J K L M N O P original: N O P Q R S T U V W X Y Z cifrado: Q R S T U V W X Y Z A B C

A mensagem que César enviou às suas tropas,

"RETORNAR PARA ROMA" foi codificada como "UHWRUQDU SDUD URPD".

CRIPTOGRAFIA

CÓDIGOS CIFRAS

SUBSTITUIÇÃO TRANSPOSIÇÃO

POLIALFABÉTICAS MONOALFABÉTICAS

CRIPTOLOGIA

CRIPTOANÁLISE CRIPTOGRAFIA

As formas utilizadas para codificar e decodificar um texto devem ser conhecidas somente pelo emissor e pelo receptor envolvidos no processo.

Até meados do século XX, os criptógrafos eram pessoas que se interessavam em quebra-cabeças e a tecnologia empregada na criptografia evoluía pouco. Com a 2ª Guerra Mundial, a criptografia, primeiramente, se mecanizou e com o advento dos computadores, se informatizou, originando a ciência da computação moderna.

A facilidade com que os “hackers” (especialistas em tecnologia que, nem sempre dispõem seu conhecimento a serviço da sociedade) decifram códigos de transações bancárias, cartões de crédito e mensagens telefônicas faz com que seja necessária uma codificação.

Considerando as informações acima como ponto de partida e que, aparentemente desprovidas de maior comprometimento, estaríamos introduzindo a teoria de matrizes e também estaríamos passando essa teoria em “código”.

APRENDIZAGEM

Quando discutimos sobre educação na engenharia, começamos a falar na velocidade das mudanças tecnológicas e que algum novo paradigma deva ser implementado para a formação desse futuro engenheiro.

Ao chegar à universidade, este aluno trás conceitos matemáticos adquiridos nos ensinos fundamental e médio. Exemplificaremos um desses tópicos que é a teoria e aplicação de matrizes.

Na universidade, quando trabalhamos com matrizes fazemos invariavelmente uma revisão deste tópico.

Tanto para o aluno que não tenha visto e para o que não se recorda, a reação é a mesma ao dizermos que é um tópico do ensino médio – a falta de interesse.

A criação de um ambiente que possa auxiliar no ensino aprendizagem e minimizar essa rejeição é, fazer uso de aplicações que possam explorar o que já foi visto.

A aplicação que citaremos e que descrevemos acima é a Criptografia.

Nossos currículos são organizados de forma que os conceitos abstratos são apresentados primeiramente para que em seguida sejam exibidas suas aplicações na prática.

A escolha deste caminho não prepara nosso aluno para as competências exigidas atualmente pelo mercado de trabalho.

O tema de nosso trabalho nada tem de novo, mas pode ser utilizado com aplicação na disciplina Álgebra Linear, que tem apresentado alto índice de reprovação devido a sua teoria ser abstrata.

Raymond Duval [1, p.8] é psicólogo francês e pesquisador dos processos cognitivos envolvidos na aprendizagem matemática, e afirma que o funcionamento cognitivo é inseparável da existência da diversidade dos registros.

Para melhor exemplificar, sabemos que a matemática trata de objetos não físicos, necessitando, por esta razão, de representantes para sua compreensão, isto é, necessita de representantes para o entendimento do que se quer representar (objeto matemático).

Com o objeto matemático escolhido no nosso trabalho, aplicação do estudo de matrizes, pretende-se que o aluno tenha noção da aplicabilidade do item estudado, que seja capaz de aplicá-lo em outra situação.

Concordando com Duval, acredita-se que, desta forma, os conteúdos apresentados não serão simplesmente fixados pelos alunos, mas sim que possamos fazer com que este aluno considere as aulas de matemática mais desafiadoras.

É importante ressaltar que o tema envolvendo matrizes, utilizado na Álgebra Linear, já é do conhecimento do aluno, apresentado a ele no Ensino Médio.

Mas muitos alunos ainda se confundem ao efetuar o produto entre matrizes. Acreditamos que este aluno deva ter aprendido a técnica que envolve produto de matrizes sem preocupação, por parte dos professores, em desenvolver este conceito através de uma investigação, usando apenas ferramentas que já possuíam.

A construção de um conceito, no âmbito pedagógico, considera modelos epistemológicos, tais como de que forma se deu a sua descoberta e ligado a que necessidade, quais foram os obstáculos científicos encontrados, desta forma constrói-se o pensamento matemático.

Nas palavras de Montaigne [2] “Melhor uma cabeça bem feita que uma cabeça bem cheia”, desse modo a cabeça bem feita pode se dedicar a novas atividades, mais inventivas.

Nesse único exemplo que estamos trabalhando, matrizes, percebe-se o quanto os conteúdos são fornecidos aos alunos de forma fragmentada e pulverizada.

É preciso tomar consciência, por parte dos professores, de se encontrar, a difícil articulação entre a construção dos conceitos e sua aplicação, o que acreditamos ser possível através de um projeto comum.

Edgar Morin [2] cita:

Talvez um dos momentos mais importantes ocorridos entre engenheiros e matemáticos, primeiro, em plena guerra dos anos 40, e depois, nos anos 50; esses encontros fizeram confluir trabalhos de matemática, inaugurados por Church e Turing, e as pesquisas técnicas para criar máquinas autogovernadas, que levam à formação do que Wiener chamou de cibernética, integrando a teoria da informação concebida por Shannon e Weaver para a companhia de telefones Bell. Constituiu-se, então, um verdadeiro nó górdio de conhecimentos formais e de conhecimentos práticos, às margens das ciências e no limite entre ciência e engenharia.

MATRIZES E CRIPTOGRAFIA

Muitas técnicas usadas para codificar e decodificar mensagens secretas utilizam Álgebra Linear. Vamos descrever um método simples e que aproveite a revisão do tópico “teoria de matrizes”.

O primeiro passo é codificá-la. Vamos passar da forma alfabética para a forma numérica, utilizando a seguinte correspondência indicada na Tabela 2.

TABELA 2 A B C D E F G H I J K L M N 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13 O P Q R S T U V W X Y Z # . 16 15 18 17 20 19 22 21 24 23 26 25 28 27 Esta correspondência pode ser alterada e poderia,

inclusive, servir como um novo exercício a ser sugerido ao aluno, para que ele verificasse que esta escolha é qualquer.

Escolhe-se uma matriz quadrada qualquer, que tenha inversa. Escolhemos, por exemplo, a matriz A (chamada

codificadora)

−=

311010201

A .

Trabalha-se, com o aluno, o cálculo da inversa. Chamaremos de B a matriz inversa de A . No exemplo,

==− BA 1

−−

−−

111010223

A matriz onde se escreve a mensagem será denominada M .

=

272108161116134619286282101727136813628146281624242236

M

Assim, a mensagem codificada será encontrada pelo

produto M.A e chamaremos essa matriz de N .

== M.AN

−−−−−−−−−−−−1154838628137595422487396

62821017271368136821826444824362812344162

Deste modo, N é a matriz que chega ao seu destinatário

que deverá utilizar a matriz B (matriz decodificadora) para decifrar a mensagem, já que

MM.IAM.BN.B === (mensagem). No exemplo, tem-se que

=N.B

272108161116134619286282101727136813628146281624242236

Observe que este produto é a matriz enviada pelo

remetente, portanto a mensagem codificada é: 6, 3, 22, 4, 2, 4, 2, 16, 28, 6, 14, 28, 6, 13, 8, 6, 13, 7, 2, 17, 10, 2, 28, 6, 28, 19, 6, 4, 13, 16, 11, 16, 8, 10, 2, 27

Portanto, pela Tabela 2, esta mensagem é “EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA E TECNOLOGIA.”

CONCLUSÃO

O conceito de matriz é apresentado aos alunos no ensino médio. Nesta época existe, por parte das escolas, a preocupação em preparar este aluno para os Concursos Vestibulares.

Todas as definições e propriedades apresentadas são fortemente ligadas à técnica, ficando o aluno impossibilitado de perceber como poderíamos aplicar o estudo de matrizes na vida cotidiana.

Desse modo, quando, no ensino da Álgebra Linear, utilizamos a aplicação da teoria de matrizes na solução de problemas, o aluno sente dificuldade em fazer a conversão do que lhe foi apresentado e se sente inseguro na escolha de um bom caminho para resolver o exercício proposto.

Nosso objetivo, ao exemplificar e identificar as dificuldades encontradas pelos alunos foi de procurar evidenciar, de forma bem resumida, como a Teoria dos Registros de Representação Semiótica – elaborada por Duval – da análise do funcionamento cognitivo de um aluno diante de uma situação de ensino.

REFERÊNCIAS

[1] Machado, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros de representação semi-ótica. Campinas: Papirus. 2003.

[2] Morin, E., A cabeça bem-feita: repensar a reforma, repensar o pensamento. 12 ed. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil. 2006.