Capítulo 4

Crescimento das gotas por

Colisão e Coalescência

Colisões podem ocorrer a partir de diferentes respostas das

gotículas com as forças gravitacional, elétrica e aerodinâmica.

O efeito gravitacional predomina nas nuvens, ou seja, as gotas

grandes caem mais rápido que as pequenas, logo passando e

capturando uma fração das gotículas que ficam ao longo do seu

caminho. (Velocidade terminal de queda 0,5 a 9 m/s)

O efeito elétrico e turbulento necessário para produzir um número

comparável de colisões, deve ser muito maior do que usualmente

existe na natureza. Em tempestades entretanto, campos elétricos

intensos (100-300 kV/m) criam efeitos locais significativos

(*aceleração ~10-4 m/s2 ou 0,1 segundos para deslocar 100 mm)

* Jermacans K, Laws K., Coalescence of raindrops in an electrostatic field. The physics teacher, 1999, 37(4):208-211.

Uma vez que a gota cai, ela irá colidir com somente uma fração das

gotículas em seu caminho, porque algumas gotículas serão expelidas

pelo fluxo de ar em volta da gota.

Dessa maneira, podemos definir a eficiência de colisão como sendo a

razão do número de gotículas com raio “r” que serão varridas ao

longo do caminho pela gota coletora que irá colidir com elas.

Neste sentido, temos que a eficiência de colisão depende do tamanho

da gota coletora e do tamanho das gotículas a serem coletadas

Gota coletora Gota coletada Eficiência de Colisão

10 mm 5 mm 1,5%

20 mm 10 mm 15%

30 mm 15 mm 65%

A colisão não garante

coalescência, pois quando um

par de gotas colide várias

interações são possíveis:

1) Rebatem a parte;

2) Coalescem;

3) Coalescem temporariamente

e se separam, aparentemente

retendo suas identidades

inicias;

4) Coalescem temporariamente

e se quebram em várias

gotículas menores

Para gotas com raios menores

que 100 mm as interações (1) e

(2) são as mais importantes

Dessa maneira, podemos definir a Eficiência de Coalescência como

sendo a razão entre o número de gotículas que coalesceram pelo

número de colisões que ocorreram com a gota coletora.

O crescimento de gotas pelo processo de colisão-coalescência é

governado pela eficiência de coleta, que é o produto das eficiências

de colisão e de coalescência.

Observações em laboratório indicam que para gotículas com raios

menores que 100 μm a eficiência de coalescência é ~ 1 e a eficiência

de coleta é igual a de colisão.

Coletora

Coletada

Para entender o mecanismo de colisão, precisamos saber

inicialmente a velocidade de queda das gotas, que é um Balanço

entre as forças gravitacional e aerodinâmica

Para raios menores que 40 mm:

K1 ~ 1,19 x106 cm-1s-1.

2

1

2

9

2rKgrV

l

T

m

Para raios no intervalo de: 40 mm à 600 mm: rKVT 3

)(10813

3

sxK

Para raios no intervalo de 0.6 mm à 2 mm

onde é a densidade do ar e

o = 1,20 kg/m3 à P = 101.3 kPa e T = 20 oC

2/1

2rKV

T

12/1

2/1

03

2102,2

scmxK

Segundo os dados de Gunn and Kinzer (1949)

Gunn R, Kinzer GD. The terminal velocity of fall for water droplets in

stagnant air. Journal of Meteorology. 1949 Aug;6(4):243-8.

(b) Eficiência de Colisão Xo é a distância da colisão

A eficiência de colisão é

igual a fração das gotículas

com raio “r” que são

varridas pela gota coletora

de raio “R” que colide com

elas.

E(R,r) pode ser

interpretada como sendo a

probabilidade de colisão de

uma gotícula se ela

estivesse em um volume

cheio de gotículas

aglutinadas.

2

2

0

2

2

0,

rR

X

rR

XrRE

Xo é a Área máxima para a colisão

Gota

Cole

tora

Gota coletada

Gota coletada

Gota

Cole

tora

Equação de Crescimento por

Colisão/Coalescência

Suponha uma gota coletora de raio R e

velocidade Terminal V2 caia sob uma

população uniforme de gotículas

menores com raio “r” e velocidade

terminal V1.

Durante uma unidade de tempo, dt, a

gota coletora irá coletar diversas

gotículas de raio “r” em um volume

descrito por:

dtVVrRdV12

2

Vol = Área x Altura

Assumindo que durante esta coleta tenhamos um crescimento

contínuo, a massa da gota coletora irá crescer:

onde Wl é o conteúdo de água líquida (massa de água líquida por

unidade de volume) ou voce pode pensar como sendo a densidade

de gotículas de água presentes

dVWdMl

dtVVrRWdVWdMll 12

2

Entretanto, como a gota coletora coleta somente uma fração das

gotículas dentro do volume, temos que:

onde E(R,r) é a eficiência de coleta que é o produto da eficiência de

colisão pela eficiência de coalescência,

quando as gotículas coletadas são iguais em tamanho e menores que

100 mm, é usualmente assumido que a eficiência de coalescência

= 1, logo eficiência de coleta = eficiência de colisão.

dtrREWVVrRdMl

,12

2

2

2

0,

rR

XrRE

Dessa maneira temos:

mas como a massa da gota coletora pode ser expressa em função

do raio, ou seja:

rREWVVrRdt

dM

l,

12

2

lRM

3

3

4

dRRdRRRddMlll

22343

3

4

3

4

Então

então

rREWVVrRdt

dRR

dt

dM

ll,4

12

22

l

l

WrREVV

R

rR

dt

dR,

4

12

2

2

Assumindo que E(R,r) e Wl são constantes e que V2 >> V1

e

A equação de crescimento pode ser descrita como:

1

2

2

R

rR

2

4V

EW

dt

dR

l

l

MODELO DE BOWEN

Por exemplo, para sabermos como uma gota cresce a partir de

um processo de colisão coalescência, podemos assumir que a

gota coletora segue a lei de Stokes, logo

2

2CRV

2

1

2

2

44RKCR

EWV

EW

dt

dR

l

l

l

l

cteCEW

K

l

l

41

Usando, o modelo de Bowen temos:

Então integrando de um estágio inicial Ro até R(t)

podemos saber qual será o raio da gota no instante t

ttR

Ro

dtKR

dR

0

1

)(

2

tRK

RtR

01

0

1)(

Porém se queremos saber qual é o tamanho da gota quando ela

esta dentro de uma nuvem, podemos analisar a sua variação

com a altura, ou seja, dR/dz

Assumindo que

12

2

R

rR

12

12

2

2

44VV

EWEW

VV

R

rR

dt

dR

l

l

l

l

1

Mas Velocidade é

igual a

Velocidade vertical Vertical na nuvem

menos

A velocidade terminal da gota

Mas

2

Vudz

dR

dt

dR

dt

dz

dz

dR

dt

dR

dz

dz

dt

dR

dt

dR

Integrando de R0 até R(t) a gota sai de uma altura Z0 e chega a Z

)(

4

00 12

2

zfW

onde

dzWdRVV

Vu

E

l

z

z

l

Rf

R

l

122

4VV

EWVu

dz

dR

dt

dR

l

l

Agora se quisermos saber qual é o raio da gota quando ela

emerge da base da nuvem, temos que:

Assumindo que V2 >> V1 e

0

0

0

z

z

ldzW

2

2CRV

,

CR

uR

f

0

o raio final depende somente da velocidade da corrente

ascendente.

1 m/s

0,5 m/s

R0 = 20 um

Wl = 1 g/m3

Gotas

coletadas

r=10 um

Eficiência de

Coalescência= 1

2,5 km

1,1 km

1 m/s

0,5 m/s

2,5 km

1,1 km

R0 = 20 um

Wl = 1 g/m3

Gotas

coletadas

r=10 um

Eficiência de

Coalescência= 12,25 X

Distribuição de Gotículas

S1 = 10 mm S2 = 20 mm

(a) Todas as colisões possíveis

(b) Somente colisões entre a S1

Distribuição de Gotículas

S1 = 10 mm S2 = 20 mm

(c) Somente colisões entre

as goticulas S1 e S2

(d) Somente colisões entre as goticulas S2

Condensação e Coalescência via

processo Estocástico

(a) Sem Condensação

(b) Com Condensação

Fig 8.12. Yau e Rodgers, Adaptado

De Ryan, 1974)

Nc(cm-3)=105 S0.63

Nc(cm-3) = 1450 S0.84.

FIM

Dedução da velocidade terminal

temos que a Força de Fricção em um fluido viscoso pode ser

definida como:

onde é a viscosidade, “r” é o raio da gota e V é a velocidade.

Já a Força gravitacional pode ser definida como:

Sendo l a densidade do liquido e ar a densidade do ar e g a

aceleração da gravidade

mrrVFD

m 50,6

grgrFlarlG

33

44

Quando FD=FG temos que Velocidade da gota (V) atinge a

velocidade terminal, VT

Logo temos que VT pode ser expresso como:

R (mm) VT (cm/s)

1 0,012

10 1,2

30 10,9

50 30,2

grVl

T

2

9

2

Em termos do número de Reynolds

onde m é a viscosidade dinâmica, Re é o número de Reynolds, CD é

o coeficiente de arrasto.

Para gotas bem pequenas, a solução de Stokes para um fluxo ao

longo de esferas mostra que:

gRC

rV

eD

l

T

m

24

9

2 2

124

eD

RC

m

24

eDRC

logo, temos que a velocidade terminal pode definida como:

onde K1 ~ 1,19 x106 cm-1s-1.

Esta dependência quadrática da velocidade terminal é conhecida

como lei de Stokes e aplica-se para gotículas com raios menores

que 40 mm.

2

1

2

9

2rKgrV

l

T

m

Para raios no intervalo de: 40 mm à 0.6 mm,

, sendo que

rKVT 3

)(,10813

3

sxK

Para gotículas com raios no intervalo de: 0.6 mm à 2 mm, temos

que CD é alto, e torna-se independente do Re e pode ser aproximado

a CD ~ 0.45, logo

, sendo que

onde é a densidade do ar e o = 1,20 kg/m3 à P = 101.3 kPa e

T = 20 oC

2/1

2rKV

T

12/1

2/1

03

2102,2

scmxK