Cours 5 developpements Limites - matheorie · 2014. 2. 17. · Microsoft Word -...
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14 BTS ATI – Fonctions d’une variable réelle
Partie E : Approximation locale d’une fonction
Développements limités
I. Fonction exponentielle
A. Rappel : définition du nombre dérivé
Soit f une fonction définie en a et au voisinage de a. On dit que 𝑓 est dérivable en a s’il existe un réel A et une fonction 𝜀 tels que 𝑓 𝑎 + ℎ = 𝑓 𝑎 + 𝐴ℎ + ℎ𝜀(ℎ) avec lim!→! 𝜀(ℎ) = 0 A est appelé le nombre dérivé de 𝒇 en a et A est noté 𝒇′(𝒂)
B. Fonction exponentielle Soit 𝑓 la fonction exponentielle 𝑥 ↦ exp (𝑥) 𝑓 est dérivable sur ℝ donc en 0 𝑓! 𝑥 = 𝑒! et 𝑓! 0 = 1 En utilisant la définition du nombre dérivé, on peut donc écrire au voisinage de 0, 𝑓 ℎ = 𝑓 0 + 𝑓! 0 ℎ + ℎ 𝜀(ℎ) avec lim!→! 𝜀(ℎ) = 0 Au voisinage de 0, on peut alors écrire 𝑒! sous la forme de la somme d’un polynôme de degré 1 : 1+ 𝑥 et d’un terme complémentaire : 𝑥 𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0 "1+ 𝑥 + 𝑥 𝜀(𝑥)" s’appelle le développement limité d’ordre 1 de la fonction exponentielle au voisinage de 0. Remarque :
• 1+ 𝑥 est une valeur approchée de 𝑒! au voisinage de 0
• ce polynôme 1+ 𝑥 se retrouve dans l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 : 𝑦 = 𝑥 + 1
• !!!!!
= 1+ 𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0 donc lim!→!
!!!!!
= 1
C. Recherche d’un développement limité d’ordre 2 de la fonction exponentielle au voisinage de 0 Formule de Mac Laurin
𝑓 𝑥 = 𝑓 0 + !!(!)!!𝑥 + !!!(!)
!!𝑥! +⋯+ !
! !!!
𝑥! + 𝑥!𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0 Cette formule permet d’obtenir un développement limité plus proche de la valeur 𝑓(𝑥) au voisinage de 0.
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15 BTS ATI – Fonctions d’une variable réelle
II. Développements limités des fonctions usuelles Nous admettons qu’en utilisant la formule de Mac Laurin, on obtient les développements limités des fonctions usuelles suivantes au voisinage de 0. 𝑒! = 1+ !
!!+ !
!
!!+⋯+ !
!
!!+ 𝑥!𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0
!
!!!= 1− 𝑥 + 𝑥! +⋯+ −1 !𝑥! + 𝑥!𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0
ln 1+ 𝑥 = 𝑥 − !
!
!+ !
!
!+⋯+ −1 !!! !
!
!+ 𝑥!𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0
sin (x) = 𝑥 − !
!
!!+ !
!
!!+⋯+ −1 ! !
!!!!
!!!! !+ 𝑥!!!!𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0
cos (x) = 1− !
!
!!+ !
!
!!+⋯+ −1 ! !
!!
!! !+ 𝑥!!𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0
1+ 𝑥 ! = 1+ !
!!𝑥 + ! !!!
!!𝑥! +⋯+ ! !!! … !!!!!
!!𝑥! + 𝑥!𝜀(𝑥) avec lim!→! 𝜀(𝑥) = 0
III. Utilités des Développements limités Le développement limité d’une fonction permet :
• d’approximer cette fonction par un polynôme au voisinage de 0 • de déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de cette fonction au point
d’abscisse 0 • d’étudier la position relative de la courbe par rapport à cette tangente autour de 0 • de déterminer une valeur approchée d’une aire (notion qui sera vue plus tard)