CORTEZA CILINDRICA

7/17/2019 CORTEZA CILINDRICA

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FACULTAD DE INGENIERIA – ESMI MATEMÁTICA II

PROFESORA : DRA. MARINA MENDOZACURSO: MATEMÁTICA IIINTEGRANTES :

• CALIZAYA ZAPANA, MARCO – 2015-101033

• BELLIDO QUISPE, JHON – 2015-10102

• CHIPANA JIMENEZ, LUIS – 2015-10102!

• CHAMBE BAHAMONDES, PERCY -2015-

10101• MAMANI CALDERON, I"AN -201!-1010!#

APLICACI$NDEL

M%TODO DE

LA

CORTEZACIL&ND

RICAALCÁLCULO DE

"OL'MENESDE

S$LIDOS DE



(AIN-ESMI

1

APLICACI$N DEL M%TODO DE LA CORTEZACIL&NDRICA AL CÁLCULO DE "OL'MENES DE

S$LIDOS DE RE"OLUCI$N

INTRODUCCIÓN

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de

la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumende un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese

mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la

región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele

aparecer frecuentemente en ingeniería en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos

de revolución! ejes, embudos, pilares, botellas "mbolos. E#isten distintas fórmulas para el

volumen de revolución, seg$n se tome un eje de giro paralelo al eje O% o al eje O&. 'ncluso a

veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

En esta sección hallaremos un m"todo para calcular el volumen de un sólido de revoluciónmediante (O)*E+AS ('-/)'(AS (O(E*)'(AS.

Se llama (O)*E+A (''/)'(A o 0tubo cilíndrico1 a la región sólida que se encuentra entre 2

cilindros conc"ntricos.



(AIN-ESMI

2



FUNDAMENTO TEÓRICO

MÉTODOS DE LA CORTEZA CILÍNDRICACASO I

(onsideremos una función 3f0#1 continua en a, b , donde a45 , ∀ # ∈ 6a,b7 f0#1 45 ,

sea ) la región limitada por la curva 3f0#1 , el eje # las rectas verticales #3a , #3b.

El volumen del solido de revolución S engendrado al hacer girar alrededor del eje & , la región

) está dado por la fórmula !

DEMOSTRACIÓN !



(AIN-ESMI

3



En la siguiente figura mostraremos una capa cilíndrica con radio e#terior x i , radio interior

xi−1

de altura h.

El volumen de esta capa cilíndrica es la diferencia de vol$menes de los cilindros de radio x i

xi−1 , e#terior e interior respectivamente8 es decir,

V =π ( x i2− xi−1

2 )h=2π [ x i−1+ xi

2 ] . h . ∆ x i

/onde el termino entre corchetes es precisamente el punto medio entre x i x i−1 , por

pertenecer al intervalo [ x i−1, xi ] lo denotaremos xi

¿

.

Así, el volumen de la capa cilíndrica en cuestión toma la forma

V =2 π x i¿h . ∆ x i 999990:1

a que nos será de mucha utilidad a continuación.

Ahora presentaremos la fórmula del volumen del solido generado al rotar la región A debajo de

la gráfica de una función y=f ( x) , x∈ [ a ,b ] , limitada inferiormente por el Eje % ,

desde x=a hasta x=b, alrededor del Eje &. ;ara esto se requiere que f sea no negai!a

continua sobre [ a , b ] que a ≥0 .



(AIN-ESMI

!



;articionamos al intervalo [ a , b ] en n subintervalos [ xi−1, xi ] , i=1,2,3,… n , donde

xi−1≤ x i , x

0=a xn=b .

Además, ∆ xi=( x i− xi−1 ) es la longitud del subintervalo típico en el cual escogemos el

punto medio! x i¿=

1

2( xi−1+ x i)

El subintervalo [ xi−1, xi ] determina de esta forma una capa cilíndrica cua altura mide

h=f ( x i

¿) con x i

¿= puntomedio de [ xi−1, xi ] cuo grosor mide ∆ xi=( x i− xi−1 ) .

Entonces el volumen de esta capa cilíndrica es 2π x i

¿f ( x i

¿) . ∆ x i 99..de 0:1.

a suma de los vol$menes de todas las capas cilíndricas determinadas por la partición ; del

intervalo [ a , b ] ,n

∑i=0

n

2 π x i

¿f ( xi

¿)∆ x i 99990<1

;roporciona una apro#imación al volumen = buscado.

Esta apro#imación mejora conforme la longitud de cada subintervalo se hace cada ve> más

más peque?a, es decir, cuando la norma | P| de la partición tiende a cero, en el límite

coincide con el volumen =.

(omo esta suma 0<1 es una suma de )iemann entonces en el límite se transforma en la

integral siguiente!

V =∫a

b

2 πxf ( x ) dx

O tambi"n!

V =2 π ∫a

b

xf ( x ) dx



(AIN-ESMI

5



CASO II

El volumen del solido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje &, la región )

acotada por las curvas 3f0#1, 3g0#1 tal que f0#1 4 g0#1, ∀ # ∈ 6a,b7 , a45 es dado por la

fórmula!

CASO III

El volumen del solido de revolución al hacer rotar alrededor de la recta #3c, la región ) acotada

por las curvas 3f0#1, 3g0#1 donde f0#1 4 g0#1, ∀ # ∈ 6a,b7 , las rectas verticales #3a ,

#3b , donde a a4c , e#presado por la fórmula!

CASO IV



(AIN-ESMI



(uando la región ) está a la i>quierda del eje de revolución, el volumen del solido generadoestá dado por la fórmula!

"RO#LEMAS DE A"LICACIÓN"RO#LEMA $%



(AIN-ESMI

)



Encuentre el volumen del solido generado al rotar la región plana encerrada por el Eje

% la curva y= f ( x )=senx para x∈ [0, π ] , alrededor del Eje &!

V =2 π ∫0

π

xSenx dx

V =2 π 2

"RO#LEMA $&

@alle el volumen del solido generado por la región plana encerrada por la curva

y=6 x− x2−8 el Eje % , al girar alrededor del Eje &.

f ( x )=− x2+6 x−8

'ntersecciones con el Eje %!

(2,0) (4,0 );

V =2 π ∫2

4

xf ( x ) dx

V =2 π ∫2

4

(− x3+6 x2−8 x ) dx

V =8 π

"RO#LEMA $'

Sea ( el arco de la parábola cubica y= x3

, x Є [0,1 ] calcularemos el volumen

del solido de revolución obtenido al rotar ( alrededor de la recta x=1 .



(AIN-ESMI

*



@aciendo f ( x )= x3

, x Є [0,1 ]

V =2 π ∫0

1

| x−1|f ( x )dx

V =2 π ∫0

1

(1− x ) x3 dx

V =π /10

"RO#LEMA $(

@alle el volumen del solido formado al rotar alrededor de la recta x=−2 la región

plana limitada por! y= x y= x3

.

C =−2

V =2 π ∫−1

1

| x−(−2)|( f ( x )−g ( x ) ) dx

V =2 π [∫−1

0

( x+2 ) ( x3− x ) dx+∫0

1

( x+2 ) ( x− x3 ) dx ]

V =2 π

"RO#LEMA $)

a región plana , no acotada , limitada por el Eje & , la gráfica de y=e− x2

, x ≥0

, por su asíntota , rota alrededor del Eje &. (alcule el volumen del solido generado.

Asíntota! y=0 0Eje &1



(AIN-ESMI

#



V =2 π ∫2

∝

xf ( x ) dx

V =2 π ∫2

∝

x e− x

2

dx

V =π

"RO#LEMA $*

El área acotada por las curvas y=Cosx , y=Senx entre x=0

x=π /4 es rotada alrededor del eje x=π /2 .

(uál es el volumen = del solido generadoB

f ( x )=Cosx , g ( x )=Senx ,

C =π /2 ,

V =2 π

∫0

π /4

| x−

π

2

|( f ( x )−g( x)) dx

V =2 π ∫0

π /4

( π 2− x) (Cosx−Senx ) dx

V =2 π −π 2[1−( 1√ 2 )]

"RO#LEMA $+

@alle el volumen generado al rotar alrededor de y=−2 la región limitada por las

parábolas ! x=2 y− y2

, x 3 y2−4 .



(AIN-ESMI

10



'ntersecciones de las parábolas!

05,21 0CD,C18

x= f ( y )=2 y− y2

,

x=g ( y )= y2−4 ,

C =−2

V =2 π ∫−1

2

| y−C |( f ( y )−g( y)) dy

V =2 π ∫−1

2

( y+2 ) [ (2 y− y2 )−( y2−4)] dy

V =45π

"RO#LEMA $,

a región que queda debajo de y=1+Senx , sobre el Eje % entre x=0

x=2π rota alrededor del Eje &

( x=0 ) . (alcule el volumen del

solido generado.

V =2 π ∫0

2 π

x (1+Senx)dx

V =2 π

[ x

2

2 +Senx− xCosx

]∫02π

❑

V =4 π 2(π −1)

"RO#LEMA $-

Encontrar el volumen del solido generado al rotar al del eje la región acotada 3#D las rectas #35, #32.



(AIN-ESMI

11



"RO#LEMA %$

@alla el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta #3a, la parte de

la parábola y2=4ax , que se intercepta por la misma recta.

V =2 [2π ∫0

a

(a− x ) ydx ]

V =4 π ∫0

a

( a− x )√ 4ax dx

V =8 π √ a∫0

a

( a x1 /2− x3 /2 ) dx ¿

V =9π √ a[2a x

3

2

3 −

2 x5

2

5 ]

"RO#LEMA %%

(alcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada lascurvas # F 2 F D3G, F # 3D gira alrededor de la recta 3D.

Soluciónimites

x=3− y x+ y2+3 y=63− y+ y

2+3 y=6

y2+2 y−3=0 ( y+3 ) ( y−1 )=0 y=−3 y=1

M+ / /4



(AIN-ESMI

12



x P− x !

(3− y)(¿)dy

V =2π ∫−3

1

¿

6− y2

(3− y)(¿−3 y−3+ y)dy

V =2π ∫−3

1

¿

3

− y

2

(3− y)(¿−2 y)dy

V =2π ∫−3

1

¿

V =2 π ∫−3

1

(9−3 y2−6 y−3 y+ y3+2 y2 ) dy

V =2 π ∫−3

1

(9− y2−9 y+ y3 ) dy=2π

[9 y−

y3

3−9

y 2

2+

y 4

4

]

1

−3

V =2 π (9− 1

3−9

2+1

4+27−9+

27

2−

81

4 )=40π 3

u3

"RO#LEMA %&

(alcular el volumen generado al hacer rotar la región encerrada por las curvas0 C H12 3 H C H#, F 2# 3 2, gira alrededor de la recta 3 C

Solución

I"todo de la corte>a

imites

( y−4)2=4−4 x , y +2 x=2

/e donde

2≤ x ≤8 , 2− y2

≤ 4−( y−4 )2

4

=olumen



(AIN-ESMI

13



V =π ∫2

8

( y+1) ( x P− x ! ) dy=2π ∫2

8

( y+1 )[1− ( y−4 )2

4−1+

y2 ]dy

V =2 π ∫2

8

( y+1 ) [ 5 y2

− y 2

4−4 ]dy=2 π ∫

2

8

[ 5 y2

2−

y3

4−4 y+

5 y2

− y2

4−4 ]dy

V =2 π ∫2

8

[9 y2

4−

y3

4−3 y

2−4 ]dy=2π [ 3 y

3

4−

y4

16−3 y

2

4+4 y ]82=108 π u

3

"RO#LEMA %'

Encuentre el volumen del solido generado al girar sobre el eje &, la región limitada por la curva3 0#C12, el eje % la recta #3D.

Solución

I"todo de la corte>a

1≤ x ≤3

=olumen!

V =∫1

3

xydy

/onde

y=( x−1 )2



(AIN-ESMI

1!



V =2 π ∫1

3

x ( x2−2 x+1 ) dx=2 π ∫1

3

( x3−2 x2+ x ) dx

V =π ( x4

4−

2 x3

3+

x2

2 ) 3¿1=7 π 5

u3

"RO#LEMA %(

(alcular el volumen del solido generado por la región que quede debajo de3 F Sen0#1 sobre el eje %, entre #35 #32J, rotando alrededor del eje &.

S6789

L7:7/;

0≤ x ≤2 π

V =2 π ∫0

2 π

[ xy ] dx

V =

∫2

2π

x [1+senx ] dx

V =4 π 2 ( π −1 )u3

"RO#LEMA %)

(alcular el volumen por la rotación de la región ) limitada por la curvas x=ln y el eje ,

y=e2

alrededor del eje #.

Solución

Kórmula para el cálculo del volumen!



(AIN-ESMI

15



V =2 π ∫"

d

y . f ( y ) dy

Aplicamos la fórmula!

V =2 π ∫1

e2

y . #nydy

Lsamos la integración por partes!

∫ #ny . y. dy

u=#ny∫ d$=∫ y .dy

du=1

y dy $=

y 2

2+"

∫ #ny. y . dy=u . $−∫ $.du

∫ #ny . y. dy=#ny. y 2

2−∫ y2

2. 1

y . dy

∫ #ny . y. dy= x2#ny2

− y2

4+C

Kinalmente hallamos el volumen!

V =2 π ( y 2#ny2

− y2

4 ) e2

¿1

V =( 3e4+12 )π u

3

"RO#LEMA %*

Encontrar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje M % N la región acotada por lacurva % 3 D las rectas 3 5, 3 2.

Solución

(onociendo las rectas que cortan a la curva! # 3 D

;rocedemos calcular el volumen mediante el m"todo de la corte>a cilíndrica, que por formula!



(AIN-ESMI

1



V =2 π ∫"

d

y . f ( y ) . dy

)eempla>ando!

V =2 π ∫0

2

y . ( y3 ) . dy

V =2 π ∫0

2

y 4. dy

V =64

5

π u3

NOTA . LOS "RO#LEMAS %/&/'/( 0AN SIDO TOMADOS COMO E1EM"LOS "ARA LA"RESENTACIÓN 2 EL RESTO DE "RO#LEMAS COMO "RO"UESTOS



(AIN-ESMI



#I#LIOGRAF3A

ANALISIS MATEMATICO 2 – EDUARDO ESPINOZA – EDITORIAL EDUKPERÚ

ANALISIS MATEMATICO 2- ARMANDO VENERO

SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO 2 – EDUARDO ESPINOZA

http!!"""#$%&'%$'($a#)%a*#*x!+,.*'p&!CALCULO/DE/VOLUMENES/MEDIANTE/CORTE

ZAS/CILINDRICAS#p01

http!!'#.$0'ha('#%'t!223456447!ap.$,a,$%'-0'-.a-$%t'&(a.-28966647

http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CALCULO_DE_VOLUMENES_MEDIANTE_CORTEZAS_CILINDRICAS.pdf




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