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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II

NOTAS DE AULA

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

FORA CORTANTE

Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP Abril/2015

APRESENTAO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 2323 Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista - UNESP Campus de Bauru.

O texto apresenta a anlise terica e os procedimentos aplicados pela nova NBR 6118/2014 (Projeto de estruturas de concreto Procedimento) para o projeto de vigas de concreto armado fora cortante.

Uma nova metodologia para o dimensionamento de elementos de concreto fora cortante foi apresentada na NBR 6118 de 2003. Embora a analogia de trelia continue sendo considerada, algumas alteraes foram introduzidas, relativamente verso anterior (NBR 6118/80), onde a principal inovao foi a possibilidade de poder considerar inclinaes variveis para as diagonais comprimidas, de 30 a 45. De modo geral, a nova metodologia segue o MC-90 do CEB-FIP e o Eurocode 2, com algumas modificaes e adaptaes.

Apesar das modificaes introduzidas foi possvel simplificar o equacionamento, possibilitando a automatizao manual dos clculos de dimensionamento, com consequente ganho de tempo nos clculos. O autor agradece ao Prof. Luttgardes de Oliveira Neto pelo auxlio e discusso, que contriburam para melhorar a qualidade do texto e dos exemplos. Agradecimentos a derson dos Santos Martins pela confeco dos desenhos.

Crticas e sugestes sero bem-vindas visando melhorar a apostila.

SUMRIO

5. DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES FORA CORTANTE ...... 1 5.1 INTRODUO ...............................................................................................................................1 5.2 TENSES PRINCIPAIS EM VIGAS SOB FLEXO SIMPLES ..................................................1 5.3 MECANISMOS BSICOS DE TRANSFERNCIA DA FORA CORTANTE ..........................5

5.3.1 Ao de Arco ............................................................................................................................5 5.3.2 Concreto Comprimido No Fissurado ......................................................................................6 5.3.3 Transferncia na Interface das Fissuras Inclinadas ..................................................................6 5.3.4 Ao de Pino da Armadura Longitudinal .................................................................................7 5.3.5 Tenses Residuais de Trao ....................................................................................................8 5.3.6 Armaduras Longitudinal e Vertical ..........................................................................................8

5.4 FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTNCIA FORA CORTANTE ...........................8 5.4.1 Tipo de Carregamento ..............................................................................................................8 5.4.2 Posio da Carga e Esbeltez .....................................................................................................8 5.4.3 Tipo de Introduo da Carga ....................................................................................................8 5.4.4 Influncia da Armadura Longitudinal ......................................................................................9 5.4.5 Influncia da Forma da Seo Transversal ...............................................................................9 5.4.6 Influncia da Altura da Viga ....................................................................................................9

5.5 COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL ...............................10 5.6 TRELIA CLSSICA DE RITTER-MRSCH ( = 45) ...........................................................11 5.7 TRELIA GENERALIZADA ( varivel) ...................................................................................15 5.8 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118 ......................................................................18

5.8.1 Modelo de Clculo I ...............................................................................................................18 5.8.2 Modelo de Clculo II ..............................................................................................................22 5.8.3 Lajes e Elementos Lineares com bw 5d ...............................................................................24

5.9 ARMADURA MNIMA ...............................................................................................................26 5.10 DISPOSIES CONSTRUTIVAS ...............................................................................................27

5.10.1 Dimetro do Estribo ...............................................................................................................28 5.10.2 Espaamento Mnimo e Mximo entre os Estribos ................................................................28 5.10.3 Espaamento Mximo entre os Ramos Verticais do Estribo ..................................................28 5.10.4 Emenda do Estribo .................................................................................................................29 5.10.5 Ancoragem do Estribo ............................................................................................................29

5.11 EQUAES SIMPLIFICADAS ...................................................................................................30 5.11.1 Modelo de Clculo I ...............................................................................................................30 5.11.2 Modelo de Clculo II ..............................................................................................................33

5.12 CONSIDERAES SOBRE O NGULO DE INCLINAO DAS DIAGONAIS DE COMPRESSO () ................................................................................................................................36 5.13 REDUO DA FORA CORTANTE .........................................................................................36 5.14 CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS ...................................37 5.15 ARMADURA DE SUSPENSO ..................................................................................................37 5.16 EXEMPLO NUMRICO 1 ...........................................................................................................40

5.16.1 Equaes Tericas ..................................................................................................................41 5.16.2 Equaes Simplificadas ..........................................................................................................44 5.16.3 Comparao dos Resultados ...................................................................................................46 5.16.4 Detalhamento da Armadura Transversal ................................................................................46

5.17 EXEMPLO NUMRICO 2 ...........................................................................................................48 5.17.1 Modelo de Clculo I ...............................................................................................................49 5.17.2 Equaes Simplificadas ..........................................................................................................50 5.17.3 Modelo de Clculo II ..............................................................................................................51 5.17.4 Equaes Simplificadas ..........................................................................................................55 5.17.5 Comparao dos Resultados ...................................................................................................57 5.17.6 Detalhamento da Armadura Transversal ................................................................................57

5.18 EXEMPLO NUMRICO 3 ...........................................................................................................59 5.18.1 Dimensionamento da Seo 10d Segundo o Modelo de Clculo I (NBR 6118) .....................62 5.18.2 Dimensionamento da Seo 10d Segundo o Modelo de Clculo II com = 45 ...................63

5.19 EXEMPLO NUMRICO 4 ...........................................................................................................64 5.20 QUESTIONRIO .........................................................................................................................68 5.21 EXERCCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................69 5.22 REFERNCIAS ............................................................................................................................70

Dimensionamento Fora Cortante

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5. DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES FORA CORTANTE

5.1 INTRODUO

No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado, geralmente o primeiro clculo feito o de determinao das armaduras longitudinais para os momentos fletores mximos, seguido pelo clculo da armadura transversal para resistncia s foras cortantes.

Diferentes teorias e modelos foram desenvolvidos para anlise de vigas de concreto sob fora cortante, sendo que o modelo de trelia, embora desenvolvido h mais de cem anos, o que ainda se destaca no Brasil e nas normas internacionais mais importantes, devido sua simplicidade e bons resultados.

A norma brasileira NBR 6118/2014[1]1 admite dois modelos para clculo da armadura transversal, denominados Modelo de Clculo I e Modelo de Clculo II. A trelia clssica de Ritter-Mrsch adotada no Modelo de Clculo I, e o Modelo de Clculo II admite a chamada trelia generalizada.

Nas ltimas dcadas surgiram modelos mais refinados, como o Rotating angle softened truss model (RA-STM) e o Fixed angle softened truss model (FA-STM), desenvolvidos por HSU[2,3,4] e seus colaboradores, o modelo Truss model with crack friction, que considera o atrito entre as superfcies das fissuras inclinadas (REINECK[5]), e modelos com base em campos de compresso, como o Diagonal compression field theory (CFT) por MITCHELL e COLLINS[6], e Modified compression field theory (MCFT), desenvolvido por VECCHIO e COLLINS[7]. Esses modelos no sero objeto de estudo nesta apostila.

A ruptura por efeito de fora cortante iniciada aps o surgimento de fissuras inclinadas, causadas pela combinao de fora cortante, momento fletor e eventualmente foras axiais. E a quantidade de variveis que influenciam a ruptura muito grande, como geometria, dimenses da viga, resistncia do concreto, quantidade de armaduras longitudinal e transversal, caractersticas do carregamento, vo, etc. Como o comportamento de vigas fora cortante apresenta grande complexidade e dificuldades de projeto, este assunto tem sido um dos mais pesquisados, no passado bem como no presente.[8]

5.2 TENSES PRINCIPAIS EM VIGAS SOB FLEXO SIMPLES

Considere uma viga de concreto biapoiada (Figura 5.1a), submetida a duas foras concentradas P iguais, com cinco barras longitudinais positivas, duas longitudinais superiores construtivas, e armadura transversal composta por estribos verticais.

Nota-se que no trecho da viga entre as foras concentradas P a solicitao de flexo pura (V = 0). Considerando que a viga est sendo ensaiada em laboratrio e que as foras P sero crescentes de

zero at a fora que causar a sua ruptura (fora ltima), a Figura 5.1b mostra a viga quando as foras P so ainda de baixa intensidade, com as trajetrias das tenses principais de trao e de compresso para a viga ainda no fissurada e, portanto, no estdio I. No trecho de flexo pura as trajetrias das tenses de compresso e de trao so paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetrias das tenses so inclinadas devido influncia das foras cortantes. importante observar tambm que as trajetrias apresentam-se aproximadamente perpendiculares entre si.

Com o aumento das foras P e consequentemente o aumento das tenses principais, no instante que, numa determinada seo transversal (seo b) no trecho de flexo pura, a tenso de trao atuante no lado inferior da viga supera a resistncia do concreto trao, surge uma primeira fissura chamada fissura de flexo (Figura 5.1c). A fissura de flexo aquela que inicia na fibra mais tracionada e se estende em direo linha neutra, perpendicularmente s trajetrias das tenses principais de trao e ao eixo longitudinal da viga. Conforme as foras externas aplicadas vo sendo aumentadas, outras fissuras vo surgindo, e aquelas j existentes aumentam de abertura e se estendem em direo borda superior da viga. As sees fissuradas podem ser consideradas no estdio II, e as sees no fissuradas no estdio I, de modo que a viga pode ter trechos nos dois estdios, como indicado na Figura 5.1c. De modo geral, as fissuras passam a ser visveis a olho nu somente quando alcanam a abertura de 0,05 mm.

1 ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento, NBR 6118.

ABNT, 2014, 238p.


2

a) Parmadura transversal (somente estribos)

armadura transversal(estribos e barras dobradas)

P

l

+

+

-

M

V

b)

c)

d)

e)

f)

estdio II

Seo b-b

s

c

s

c = f c

> f y

P P

P Pfissura deflexo

c

fissura porfora cortante

fissura de flexo fissura de flexo e fora cortante

trao

compresso

estdio I estdio II estdio I

Seo a-a - estdio I Seo b-b - estdio IIc

s

c

s

c c

s t

= Ec

ct,f<

b

b

a

a

b

b

Figura 5.1 Comportamento resistente de uma viga biapoiada. a) armao da viga e diagramas de M e V; b) trajetrias das tenses principais de trao e compresso na viga no fissurada;

c) surgimento das primeiras fissuras de flexo; d) tenses e deformaes nos Estdios I e II; e) estado de fissurao pr-ruptura; f) deformaes e tenses na ruptura.[9]

A Figura 5.1d mostra os diagramas de deformao e de tenso normal nas sees a e b da viga, nos estdios I e II, respectivamente. No estdio I a mxima tenso de compresso (c) ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke, no sendo o mesmo vlido no estdio II.

As notaes indicadas na Figura 5.1 so:

c = deformao de encurtamento no concreto;


3

s = deformao de alongamento na armadura longitudinal tracionada; Ec = mdulo de elasticidade do concreto; t = tenso de trao na fibra inferior de concreto; s = tenso de trao na armadura longitudinal tracionada; c = tenso normal de compresso mxima; fy = tenso de incio de escoamento do ao da armadura; fc = resistncia do concreto compresso; fct,f = resistncia trao na flexo do concreto.

Continuando a aumentar as foras P outras fissuras de flexo continuam a surgir, e aquelas j existentes aumentam de abertura e prolongam-se em direo ao topo da viga (Figura 5.1d). Nos trechos entre os apoios e as foras P, as fissuras de flexo inclinam-se, devido inclinao das trajetrias das tenses principais de trao (I), que so inclinadas devido influncia das foras cortantes. As fissuras inclinadas so chamadas de fissuras de flexo com fora cortante, ou fissuras de flexo com cisalhamento.

Nas proximidades dos apoios, como a influncia dos momentos fletores menor, podem surgir as chamadas fissuras por fora cortante, ou de fissuras de cisalhamento (ver Figura 5.1e e Figura 5.2). Com foras P elevadas, a viga se apresenta no estdio II em quase toda a sua extenso.

Figura 5.2 Fissuras na viga no estdio II.[9]

importante ressaltar que fissuras verticais, como mostradas na Figura 5.3, podem surgir nas vigas por efeito de retrao do concreto, no necessariamente por efeito de tenses normais de trao oriundas da flexo da viga. So fissuras localizadas meia altura, que geralmente no se estendem at as bordas superior e inferior da viga.

fissuras de retrao

Figura 5.3 Fissuras de retrao em viga.

Na Figura 5.4 so mostradas as trajetrias das tenses principais de uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente distribudo ao longo de todo o vo, ainda no estdio I (no fissurada), e o estado de tenses principais num ponto sobre a linha neutra. O carregamento externo introduz numa viga diferentes estados de tenses principais, em cada um dos seus infinitos pontos.


4

Na altura da linha neutra, as trajetrias das tenses principais apresentam-se inclinadas de 45 (ou 135) com o eixo longitudinal da viga, e em outros pontos as trajetrias tem inclinaes diferentes de 45.

+

-

+

II

I

Direo de (tenses de trao) Direo de (tenses de compresso)

III

M

V

x

Figura 5.4 Trajetrias das tenses principais de uma viga biapoiada no estdio I. [9]

Alm dos estados de tenso relativos s tenses principais, como o indicado na Figura 5.5b, outros estados podem ser representados, com destaque para aquele segundo os eixos x-y (Figura 5.5a), que define as tenses normais x e y e as tenses de cisalhamento xy e yx .

X

y

y = 0

x

( - )( + )

II

I

( - )

( + )+

y y

X

yx

xy

a) eixos x-y; b) eixos principais.

Figura 5.5 Componentes de tenso segundo os estados de tenso relativos aos eixos principais e aos eixos x-y. [9]

De modo geral, as tenses verticais y podem ser desprezadas, tendo importncia apenas nos trechos prximos introduo de foras na viga (regio de foras externas aplicadas, apoios, etc.).

O dimensionamento das estruturas de Concreto Armado toma como base normalmente as tenses x e xy . No entanto, conhecer as trajetrias das tenses principais importante para se posicionar corretamente as armaduras de trao e para conhecer a direo das bielas de compresso.


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As tenses principais de trao inclinadas na alma exigem uma armadura denominada armadura transversal, composta normalmente na forma de estribos verticais fechados. Note que, na regio de maior intensidade das foras cortantes, a inclinao mais favorvel para os estribos seria de aproximadamente 45, ou seja, paralelos s trajetrias das tenses de trao e perpendiculares s fissuras. Por razes de ordem prtica os estribos so normalmente posicionados na direo vertical, o que os torna menos eficientes se comparados aos estribos inclinados de 45.

A colocao da armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e, alm disso, possibilita que as tenses principais de compresso possam continuar atuando, sem maiores restries, entre as fissuras inclinadas prximas aos apoios.

5.3 MECANISMOS BSICOS DE TRANSFERNCIA DA FORA CORTANTE

Em 1968, Fenwick e Paulay[10] afirmaram que a ruptura das vigas por efeito de fora cortante no estava ainda claramente definida, pois os mecanismos responsveis pela transferncia da fora cortante so variados, complexos e difceis de medir e identificar, porque aps o surgimento das fissuras inclinadas ocorre uma complexa redistribuio de tenses, a qual influenciada por vrios fatores. Sendo assim, cada mecanismo tem uma importncia relativa, de acordo com o pesquisador. Excluindo-se a armadura transversal (estribos) so cinco os mecanismos mais importantes: 1) fora cortante na zona de concreto no fissurado (banzo de concreto comprimido Vcz , ver Figura 5.6 ); 2) engrenamento dos agregados ou atrito das superfcies nas fissuras inclinadas (Vay); 3) ao de pino da armadura longitudinal (Vd); 4) ao de arco; 5) tenso de trao residual transversal existente nas fissuras inclinadas.[11]

A transferncia da fora cortante nas vigas de concreto muito dependente das resistncias do concreto trao e compresso, e por isso a ruptura frgil e uma sria possibilidade, de modo que muito importante o correto dimensionamento das vigas fora cortante, principalmente nos elementos sob aes de sismos.

Figura 5.6 Trs mecanismos de transferncia da fora cortante em viga com armadura transversal: Vcz proporcionada pelo banzo de concreto comprimido, Vay proporcionada pelo engrenamento dos agregados ou

atrito das superfcies nas fissuras inclinadas, e Vd proporcionada pela ao de pino da armadura longitudinal.[11]

As caractersticas principais dos cinco principais mecanismos de transferncia de fora cortante so descritas a seguir.

5.3.1 Ao de Arco

O banzo comprimido da flexo inclina-se em direo aos apoios, formando um arco, cuja biela comprimida inclinada assim originada, absorve uma parte da fora cortante, e em consequncia diminui a trao na alma (Figura 5.7).

A formao do arco requer uma reao horizontal no apoio, que em vigas biapoiadas pode ser fornecida pela armadura longitudinal positiva, que deve ser cuidadosamente ancorada nas extremidades da viga para cumprir com esta funo.[9]


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A ao de arco o mecanismo dominante de resistncia de vigas-paredes2 fora cortante com o carregamento externo aplicado na regio comprimida.

q

PPbanzo comprimido

Figura 5.7 Ao de arco ou de prtico atirantado nas proximidades dos apoios. [9]

5.3.2 Concreto Comprimido No Fissurado

A zona no fissurada de concreto comprimido pela flexo (banzo de concreto) tambm proporciona uma parcela de resistncia fora cortante, que a componente Vcz mostrada na Figura 5.6.

A contribuio resistncia proporcionada pelo banzo comprimido depende principalmente da altura da zona comprimida, de modo que vigas retangulares com pequena altura e sem fora axial de compresso apresentam pequena contribuio, porque a altura do banzo relativamente pequena.[12,13] Por outro lado, vigas com mesa comprimida, como seo T e I, a contribuio do banzo comprimido maior. Pesquisas experimentais em vigas com armadura transversal mostraram que a contribuio do banzo comprimido alcana valores entre 20 % e 40 % de resistncia fora cortante.[10,12,14,15]

5.3.3 Transferncia na Interface das Fissuras Inclinadas

Em uma fissura inclinada existe uma resistncia ao deslizamento entre as duas superfcies do concreto, de um lado e do outro da fissura, devido rugosidade e engrenamento dos agregados e da prpria matriz do concreto, que proporcionam uma transferncia de fora cortante atravs da fissura inclinada.[15]

So quatro os parmetros mais importantes no mecanismo de atrito entre as superfcies nas fissuras: tenso de cisalhamento nas interfaces, tenso normal, largura e escorregamento da fissura.

O mecanismo de engrenamento dos agregados na interface das fissuras proporciona uma contribuio significativa resistncia fora cortante de vigas de Concreto Armado e Protendido. Ensaios experimentais indicaram que entre 33 % e 50 % da fora cortante total pode ser transferida pelo engrenamento das interfaces. Outras consideraes que esses pesquisadores apresentaram so[16]:

a) os fatores que mais influenciam o fenmeno so a largura da fissura e o tamanho dos agregados. A resistncia diminui com o aumento da largura da fissura e a diminuio do tamanho dos agregados. Concretos com maiores resistncias tendem a apresentar superfcies menos rugosas, e consequentemente menor transferncia de fora cortante; b) quanto menor a largura da fissura maior a rea de contato, e consequentemente maior a transferncia de fora cortante; c) a contribuio do engrenamento dos agregados maior nas sees onde as fissuras por fora cortante desenvolvem-se dentro da alma da viga, e menor nas fissuras inclinadas que so continuidade de fissuras de flexo, iniciadas na borda tracionada da viga. A porcentagem da contribuio maior para valores baixos e mdios da tenso ou resistncia ltima fora cortante, mas ainda notada em valores maiores, quando os efeitos do engrenamento dos agregados diminui; d) o uso de estribos de pequeno dimetro (menor espaamento) favorecem o engrenamento dos agregados.

2 Viga-parede: So consideradas vigas-parede as vigas altas em que a relao entre o vo e a altura l / h inferior a 2 em vigas

biapoiadas e inferior a 3 em vigas contnuas. (NBR 6118, 22.4.1)


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5.3.4 Ao de Pino da Armadura Longitudinal

A ao de pino de uma barra de ao inserida no concreto proporciona um mecanismo de transferncia de fora cortante que foi percebida na dcada de 30 do sculo passado, e ocorre num grande nmero de aplicaes prticas das estruturas de Concreto Armado, como mostrado na Figura 5.8.

Figura 5.8 Exemplos onde a ao de pino ocorre.[17]

Estudos experimentais feitos por diversos pesquisadores[10,12,18] e vrios outros autores, citados no ASCE/ACI[15], indicaram que a fora resistente fora cortante proporcionada pela barra de ao na ao de pino (dowel action) entre 15 % e 25 % da fora cortante total.

A fora cortante que pode ser transferida pela ao de pino depende de vrios parmetros, como: a) quantidade de armadura; b) dimetro da barra; c) espaamento entre as barras; d) espessura do cobrimento embaixo da barra de ao; e) propriedades do concreto; f) tenses axiais na armadura; g) existncia de armadura transversal impedindo o deslocamento da barra longitudinal.

Na situao de carga ltima necessrio considerar as no-linearidades do concreto e do ao, assim como o dano no concreto localizado, na regio prxima ao plano da fora cortante.

Dois modos de ruptura podem ocorrer: fendilhamento do concreto do cobrimento, e esmagamento do concreto sob a barra, acompanhada pelo escoamento da barra (Figura 5.9).

O modo de ruptura do tipo I ocorre para pequenas espessuras de cobrimento, e para grandes cobrimentos ocorre a ruptura do tipo II, com o esmagamento do concreto sob a barra. Para o caso de ruptura devido ao aparecimento de fissuras de fendilhamento na superfcie de concreto na regio prxima barra (ruptura tipo I - Figura 5.9), a resistncia mxima do efeito pino no proporcional ao dimetro da barra, isto , a eficincia do mecanismo reduzida aumentando-se o dimetro da barra. Mesmo para o modo de ruptura tipo II o aumento do dimetro da barra afeta negativamente a eficincia da resistncia do mecanismo do efeito pino.

Figura 5.9 Modos de ruptura do mecanismo de efeito pino.[19]

Segundo a ASCE-ACI[20], normalmente a ao de pino no muito importante em elementos sem armadura transversal, porque a mxima fora cortante proporcionada pela ao de pino limitada pela resistncia trao do concreto do cobrimento da barra, que apoia a barra. A ao de pino pode ser importante em elementos com grande quantidade de armadura transversal, principalmente quando distribuda em mais que uma camada.


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5.3.5 Tenses Residuais de Trao

Quando o concreto fissura no ocorre uma separao completa, porque pequenas partculas do concreto ligam as duas superfcies e continuam a transmitir foras de trao, para pequenas aberturas de fissura entre 0,05 e 0,15 mm. Essa capacidade do concreto contribui para a transferncia de fora cortante, importante quando a abertura da fissura ainda pequena.

As tenses de trao residuais fornecem uma importante poro da resistncia fora cortante de elementos com alturas menores que 100 mm, onde a largura das fissuras inclinadas e de flexo so pequenas.[13]

5.3.6 Armaduras Longitudinal e Vertical

Numa viga, antes do surgimento das fissuras inclinadas a deformao nos estribos a mesma do concreto adjacente ao estribo, e como a tenso de trao que causa a fissura no concreto pequena, a tenso no estribo tambm pequena. De modo que somente aps ocorrer o incio da fissurao inclinada que os estribos passam a transferir fora cortante, isto , um estribo passa a ser efetivo ao transferir a fora de um lado para outro da fissura inclinada que o intercepta.

Os estribos tambm atuam diminuindo o crescimento e a abertura das fissuras inclinadas, proporcionando uma ruptura mais dctil s vigas. A existncia do estribo na viga faz com que ocorra uma mudana na contribuio relativa de cada um dos diferentes mecanismos resistentes fora cortante.

A contribuio da armadura transversal resistncia ao cortante da viga tipicamente computada por meio da trelia clssica, somada contribuio do concreto, ou por meio da trelia de ngulo varivel sem a contribuio do concreto.

Os estribos tambm proporcionam, eles prprios, uma pequena resistncia por ao de pino nas fissuras e aumentam a resistncia da zona comprimida de concreto pelo confinamento que promovem.

5.4 FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTNCIA FORA CORTANTE

So muitos fatores que influenciam a resistncia das vigas fora cortante (cerca de 20), sendo que de alguns deles no h conhecimento suficiente da sua influncia.[9] A seguir apresentam-se alguns dos principais fatores, conforme apresentados em LEONHARDT e MNNIG.[9]

5.4.1 Tipo de Carregamento

Para carregamento uniformemente distribudo (cargas atuando de cima, diretamente sobre a viga), alguns ensaios com vigas esbeltas sem armadura transversal indicaram uma capacidade resistente fora cortante cerca de 20 % a 30 % maior do que para carga concentrada na posio mais desfavorvel. Entretanto, na realidade, no h garantia de uma distribuio uniforme da carga de utilizao, por isso, os critrios de dimensionamento devem levar em considerao os resultados mais desfavorveis referentes s cargas concentradas.[9]

5.4.2 Posio da Carga e Esbeltez

Nas cargas concentradas tem grande influncia a distncia do apoio at a carga. J para as cargas uniformes tem grande influncia a esbeltez l/h. Quanto ruptura de uma viga com e sem armadura transversal por fora cortante, a posio mais perigosa de uma carga concentrada foi determinada para o trecho a = 2,5h a 3,5h, o que corresponde a uma relao momento-fora cortante de M/Vh = a/h = 2,5 a 3,5. Para cargas distribudas, rigidezes de l/h =10 a 14 so as que conduzem a maiores perigos de ruptura por fora cortante e, consequentemente, na menor capacidade resistente fora cortante.

A capacidade resistente fora cortante aumenta bastante para cargas prximas ao apoio, para uma relao decrescente a/h < 2,5. Um aumento correspondente acontece com carga distribuda, quando l/h < 10. Deve-se prever uma boa ancoragem da armadura longitudinal do banzo tracionado.[9]

5.4.3 Tipo de Introduo da Carga

Efetuando-se a ligao de uma viga em toda sua altura h com outra viga, a viga que se apoia distribui sua carga ao longo da altura da alma da viga que serve de apoio. Diz-se ento que se trata de um carregamento ou apoio indireto. Nos ensaios foi possvel mostrar que, na regio de cruzamento dessas


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vigas, necessria uma armadura de suspenso, que deve ser dimensionada para a fora total atuante no apoio ou n.

Uma viga no estdio II transfere sua carga ao apoio primordialmente pela diagonal de compresso, e as diagonais comprimidas no modelo trelia define claramente a necessidade de montantes verticais de trao, ou seja, armadura de suspenso. Entretanto, fora da regio de cruzamento, a viga no influenciada pelo tipo de introduo de carga ou de apoio, isto , o comportamento em relao fora cortante o mesmo que para o apoio ou carregamento direto. Essas mesmas consideraes valem para o dimensionamento fora cortante. Na regio de cruzamento, a armadura de suspenso atende simultaneamente funo de armadura de transversal.

As cargas penduradas na parte inferior de uma viga produzem trao na alma e devem ser transferidas pelas barras de trao da alma ao banzo comprimido. Essa armadura de suspenso adicional armadura transversal normal para a fora cortante.[9]

5.4.4 Influncia da Armadura Longitudinal

O desenvolvimento de uma fissura inclinada por fora cortante, ou seja, seu aumento at prximo da borda superior da zona comprimida de concreto, depende da rigidez deformao do banzo tracionado, ou seja, quanto mais fraco for o banzo tracionado, tanto mais ele se alonga com o aumento da carga e to mais depressa a fissura inclinada se torna perigosa.

O banzo tracionado no pode, portanto, ser muito enfraquecido na regio de uma possvel ruptura por fora cortante. Tambm um escorregamento da ancoragem no apoio tem um efeito enfraquecedor. Ambas as influncias devem ser consideradas como detalhes construtivos na execuo da armadura.

Uma outra influncia a qualidade da armadura longitudinal. Ensaios demonstraram, por exemplo, que para a mesma porcentagem de armadura longitudinal, uma distribuio das tenses com maior nmero de barras finas influencia favoravelmente a capacidade resistente fora cortante.[9]

5.4.5 Influncia da Forma da Seo Transversal

A forma da seo transversal tem uma forte influncia sobre o comportamento resistente de vigas de Concreto Armado solicitadas fora cortante. A seo transversal retangular pode se adaptar livremente a uma forte inclinao do banzo comprimido e, frequentemente, pode absorver toda a fora transversal no banzo comprimido (especialmente no caso de carga distribuda e de carga concentrada prxima ao apoio).

Em sees transversais de vigas T, a fora no banzo comprimido s pode ter uma inclinao quase horizontal, porque na realidade ela permanece na largura comprimida da laje at a proximidade do apoio, concentrando-se na alma apenas gradativamente em direo ao apoio. O banzo comprimido por este motivo, s pode absorver uma parcela da fora cortante, e a maior parte deve ser resistida pelas diagonais comprimidas e pelas barras da armadura transversal. A relao da rigidez do banzo comprimido de largura bf com a correspondente rigidez das diagonais comprimidas da alma com largura bw muito maior em vigas T do que em vigas retangulares.

Nas vigas de seo retangular (bf / bw = 1), os estribos so submetidos a tenses de compresso at que, pouco antes da carga de ruptura, uma fissura de cisalhamento cruze o estribo. Nas vigas T essas tenses no estribo aumentam para almas delgadas, em todos os casos, porm, essas tenses ficam bem abaixo da tenso de escoamento do ao a qual foi calculada de acordo com a analogia de trelia clssica de Mrsch (com diagonais a 45).

Ensaios mostraram tambm que a inclinao das fissuras inclinadas ou das diagonais comprimidas varia com a relao bf / bw, essa inclinao situa-se em torno de 30 para bf / bw = 1 e cresce para cerca de 45 para bf / bw = 8 a 12.

O dimensionamento da armadura transversal da alma deve ser feito a partir da distribuio dos esforos internos, pouco antes da ruptura, ou seja, deve ser considerada a largura da alma em relao a largura do banzo comprimido.[9]

5.4.6 Influncia da Altura da Viga

Ensaios realizados segundo uma lei de semelhana com vigas sem armadura transversal e diferentes alturas h, com igual porcentagem de armadura longitudinal de mesma distribuio de barras, mostraram que a capacidade resistente fora cortante diminui consideravelmente como aumento da altura h, quando a granulometria e o cobrimento do concreto no variarem de acordo com a escala.[9]


10

5.5 COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL

Quando as tenses principais de trao inclinadas I alcanam a resistncia do concreto trao, surgem as primeiras fissuras inclinadas, perpendiculares direo de I , como mostrado na Figura 5.1 do item 5.2. medida que as fissuras vo surgindo, ocorre uma redistribuio dos esforos internos, e a armadura transversal e as diagonais comprimidas passam ento a trabalhar de maneira mais efetiva, sendo essa redistribuio dependente da quantidade e da direo da armadura transversal.[9] Se a armadura transversal for insuficiente, o ao atinge a deformao de incio de escoamento (y), e as fissuras inclinadas por efeito da fora cortante, prximas ao apoio, desenvolvem-se rapidamente em direo ao banzo comprimido, diminuindo a sua seo resistente, que por fim pode se romper bruscamente (Figura 5.10). A ausncia de armadura transversal tambm pode levar a esta forma de ruptura. A fissura propaga-se tambm pela armadura longitudinal de trao nas proximidades do apoio, separando-a do restante da viga (Figura 5.10).

Figura 5.10 Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo superior comprimido de concreto. [9]

Pode tambm ocorrer o rompimento dos estribos, antes da ruptura do banzo comprimido, ou a ruptura na ligao das diagonais comprimidas com o banzo comprimido. A Figura 5.11 mostra a ruptura que pode ocorrer por rompimento ou deformao excessiva dos estribos.

Figura 5.11 Runa da viga por rompimento dos estribos. [9]

Em sees com banzos reforados, como vigas seo I e T, que possuam armaduras longitudinal e transversal reforadas, formam-se muitas fissuras inclinadas, e as bielas de compresso entre as fissuras podem romper de maneira brusca ao atingir a resistncia do concreto compresso. Tal ruptura ocorre quando as diagonais so solicitadas alm do limite da resistncia do concreto, antes que a armadura transversal entre em escoamento (Figura 5.12).

As bielas de compresso delimitam o limite superior da resistncia das vigas ao esforo cortante, o que depende da resistncia do concreto. A tenso de compresso nas bielas depende da inclinao dos estribos, como se ver adiante.

Figura 5.12 - Ruptura das diagonais comprimidas no caso de armadura transversal reforada. [9]


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A existncia de armadura transversal modifica consideravelmente o comportamento das vigas aps o surgimento das fissuras inclinadas, que ocorrem nas proximidades dos apoios. Ao ser interceptado pela fissura, o estribo faz a ponte de transferncia das tenses de trao entre os dois lados da fissura, e o estribo pode escoar se atingir a tenso fy . Existe ainda uma reserva de resistncia, proporcionada principalmente pelo atrito na interface da fissura, devido ao engrenamento existente entre as partculas do concreto. Os estribos, ao continuarem escoando, proporcionam uma ruptura dctil.

No caso de vigas com altas taxas de armadura transversal, a ruptura pode ocorrer devido ao esmagamento do concreto comprimido das diagonais inclinadas, principalmente vigas seo I. Aps a formao de fissuras inclinadas, uma parte da fora cortante passa a ser transferida pela armadura transversal. Quando essa armadura passa a escoar, qualquer fora cortante adicional deve ser transferida pelos mecanismos j citados. Aumentando a abertura da fissura, o atrito nas interfaces diminui, o que leva a um aumento da fora transferida pelo concreto do banzo comprimido e da ao de pino, at que o concreto comprimido esmaga ou cessa a ao de pino.

A Figura 5.13 mostra a atuao ou trabalho desenvolvido pelo estribo vertical na analogia de trelia, para uma viga com trao na fibra inferior. Nos vrtices inferiores o estribo entrelaa a armadura longitudinal tracionada e nos vrtices superiores o estribo ancora-se no concreto do banzo comprimido e na armadura longitudinal superior.

As bielas de compresso se apoiam nas barras da armadura longitudinal inferior, no trecho inferior dos ramos verticais dos estribos, bem como nos ramos horizontais, principalmente na interseco do estribo com as barras longitudinais dos vrtices, onde as tenses se inclinam e originam tenses de trao, como indicada na Figura 5.13.

Figura 5.13 Atuao do estribo no modelo de trelia.[21]

Nos vrtices superiores do estribo, as barras longitudinais tambm atuam para evitar o fendilhamento, que pode ser provocado pelo gancho do estribo ao aplicar tenses de trao num pequeno volume de concreto.

O ramo horizontal superior do estribo no imprescindvel no caso da resistncia fora cortante3, porm, sua disposio indicada para o posicionamento de barras longitudinais internas e para resistir a esforos secundrios que geralmente ocorrem.

5.6 TRELIA CLSSICA DE RITTER-MRSCH ( = 45)

O comportamento da regio da viga sob maior influncia das foras cortantes e com fissuras inclinadas no estdio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma trelia isosttica (Figura 5.14). A analogia de trelia consiste em simbolizar a armadura transversal como as diagonais inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso de estribos verticais), o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compresso) como as diagonais inclinadas comprimidas, o banzo inferior como a armadura de flexo tracionada e o banzo superior como o concreto comprimido acima da linha neutra, no caso de momento fletor positivo.

A trelia isosttica com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45 chamada trelia clssica de Ritter-Mrsch. Sobre ela, Lobo Carneiro escreveu o seguinte: A chamada trelia clssica de Ritter-Mrsch foi uma das concepes mais fecundas na histria do concreto armado. H mais de meio sculo tem sido a base do dimensionamento das armaduras transversais estribos e barras inclinadas

3 Os estribos para resistncia ao momento de toro devem ser obrigatoriamente fechados.


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das vigas de concreto armado, e est muito longe de ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificaes ou complementaes na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a viga de concreto armado, depois de fissurada, e a trelia. vlido afirmar que essas palavras continuam verdadeiras at o presente momento.

R cb

sR

Rs R cb

a) armadura transversal a 45; b) armadura transversal a 90.

Figura 5.14 Analogia de trelia para as foras internas na regio prxima ao apoio de uma viga. [9]

Os estribos devem estar prximos entre si a fim de interceptarem qualquer possvel fissura inclinada devido s foras cortantes, pois uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distncia entre os estribos for 2 z para estribos inclinados a 45 e > z para estribos a 90 (Figura 5.15).

2 z fissura de cisalhamento z

Figura 5.15 Analogia clssica de uma viga com uma trelia. [9]

A NBR 6118 (item 17.4.1) preconiza que o dimensionamento de elementos lineares (como as vigas) fora cortante pode ser feito segundo [...] dois modelos de clculo que pressupem a analogia com modelo em trelia, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc . Neste item so apresentadas as equaes para as foras e tenses nas barras da trelia clssica, e no item 5.7 as equaes desenvolvidas segundo a trelia generalizada. As equaes segundo os dois modelos de trelia so a base para a deduo das equaes contidas na NBR 6118, para o dimensionamento de elementos fora cortante.

A trelia clssica a admitida pela NBR 6118 para o Modelo de Clculo I (item 17.4.2.2), onde o ngulo de inclinao das diagonais comprimidas (bielas de compresso) fixo com valor de 45, e a trelia generalizada o modelo admitido para o Modelo de Clculo II.

A analogia de uma viga fissurada com o modelo de trelia foi introduzida por RITTER em 1899, e serviu para o entendimento do comportamento das vigas fora cortante no incio do sculo 20. Cada barra da trelia, indicada na Figura 5.16, representa uma parte de uma viga simples: o banzo inferior a armadura longitudinal de trao, o banzo superior o concreto comprimido pela flexo, as diagonais inclinadas de 45 representam o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compresso) e as diagonais tracionadas inclinadas do ngulo os estribos. Essa trelia a chamada trelia clssica. Para estribos verticais imagina-se as diagonais tracionadas dispostas na vertical, com ngulo de 90. Este modelo de Ritter foi melhorado por Mrsch[22,23,24], assumindo que as diagonais comprimidas estendem-se por mais de um estribo.

O modelo de trelia tradicional assume que as bielas de compresso so paralelas direo das fissuras inclinadas e que nenhuma tenso transferida atravs as fissuras. No entanto, existem dois mecanismos que no so considerados no modelo de trelia tradicional: 1) as tenses de trao que existem no concreto transversalmente s bielas de compresso; 2) as tenses de cisalhamento que so transferidas nas faces das fissuras inclinadas pela ao do engrenamento dos agregados ou atrito. Esses mecanismos resultam: 1) o ngulo da tenso principal de compresso na alma menor que o ngulo de inclinao das


13

fissuras; 2) uma componente vertical da fora ao longo da fissura que contribui para a resistncia fora cortante, sendo esse mecanismo resistente chamado no ACI 318[25] como contribuio do concreto (Vc). Geralmente, a tenso de trao no concreto entre as fissuras no considerada nos modelos de trelia.[20]

A trelia clssica despreza a resistncia do concreto trao e mesmo aps a fissurao da viga as diagonais de compresso mantm-se inclinadas de 45. A contribuio do concreto considerada por meio da parcela Vc , com diferentes valores para cada norma. Considere uma viga biapoiada, com o carregamento de uma fora concentrada P, e com fora cortante constante. A analogia dessa viga fissurada (estdio II) com a trelia clssica, com ngulo de inclinao das diagonais comprimidas (bielas de compresso) de 45 e com diagonais tracionadas inclinadas de um ngulo qualquer, est mostrada na Figura 5.16.

Sendo a trelia isosttica, as foras nas barras podem ser determinadas considerando-se apenas as condies de equilbrio dos ns, a partir da fora cortante. Considerando a seo 1-1 da trelia sob atuao da fora cortante V, a fora na diagonal comprimida (biela de compresso - Rcb) :

45senRV cb= Eq. 5.1

45

VcbR

1

1

V245sen

VRcb == Eq. 5.2

V = P2V = 2P

P

V

V

45

diagonal comprimidaP

V = P2z ( 1 + cotg )

diagonal tracionada banzo tracionado

banzo comprimido

z

( 1

+ cotg

)

2z

1

1

= 45

V

Figura 5.16 Viga representada segundo a trelia clssica de Ritter-Mrsch.


14

A distncia entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direo perpendicular a elas, (Figura 5.16):

( )+ cotg12

z

A fora em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na rea de concreto (rea da biela):

bw . ( )+ cotg12

z

onde bw a largura da seo transversal e o ngulo de inclinao das diagonais tracionadas. A tenso mdia de compresso na biela ento dada por:

( ) ( )+=

+=

cotg1zbV22

cotg12

zb

R

ww

cbcb

( )+= cotg1zbV2

wcb Eq. 5.3

A fora na diagonal tracionada (Rs,), inclinada do ngulo , pode ser determinada fazendo o equilbrio da seo 1-1 da trelia (Figura 5.16):

= senRV ,s Eq. 5.4

VRs,

=

sen

VR,s Eq. 5.5

Cada diagonal de trao com fora Rs, relativa a um comprimento da viga, a distncia z (1 + cotg ), medida na direo do eixo longitudinal, e deve ser resistida por uma armadura chamada transversal, composta por barras (estribos) espaadas num comprimento s e inclinadas de um ngulo (Figura 5.17).

z ( 1 + cotg )

s s s s s s s

Asw,z ( 1 + cotg )

Figura 5.17 Armadura transversal Asw, resistente fora na diagonal tracionada.

Considerando Asw a rea de ao de um estribo, a rea total de armadura no comprimento z (1 + cotg ) dada por:

( )s

cotg1zA,sw

+


15

onde z (1 + cotg )/s representa o nmero de estribos nesse comprimento. A tenso sw na armadura transversal resulta:

( ) ( )

+

=

+=

,sw,sw

,s,sw A

s

sencotg1zV

s

cotg1zAR

Asw,

s

( ) += ,sw,sw As

cossenz

V

Eq. 5.6

O ngulo de inclinao da armadura transversal pode variar teoricamente de 45 a 90, sendo que na esmagadora maioria dos casos da prtica o ngulo adotado de 90, com a armadura transversal consistindo de estribos na posio vertical. Porm, interessante fazer algumas comparaes com o ngulo assumindo os valores de 45 e 90, o que mostrado na Tabela 5.1.

A equao que determina a tenso na diagonal comprimida (cb) mostra que o ngulo de inclinao da armadura transversal influencia o valor da tenso na diagonal comprimida. Quando a armadura transversal colocada na posio vertical, com = 90, como a armadura fica inclinada com relao s tenses principais de trao I , a tenso na diagonal comprimida (biela de compresso) resulta o dobro da tenso para quando a armadura colocada inclinada a 45. Conclui-se que, quanto mais inclinada for a armadura at o limite de 45, menor ser a tenso nas bielas de compresso.

Tabela 5.1 - Resumo das relaes para a trelia clssica em funo do ngulo de inclinao das diagonais tracionadas.

Relao em funo de = 45 = 90 Fora na diagonal compri-mida (Rcb) V2 V2 V2 Tenso na diagonal comprimida (cb) ( )+ cotg1zb

V2w

zbV

w

zbV2w

Fora de trao na armadura transversal (Rs) sen

V

45senV

V

Tenso na armadura transversal (sw) ( ) + ,swA

s

cossenz

V

2As

z

V

45,sw

90,swAs

z

V

O fato j enunciado da armadura transversal inclinada de 45 ser mais eficiente, por acompanhar a inclinao das tenses principais de trao I , fica evidenciado ao se comparar as equaes da tenso na armadura transversal (sw). Nota-se que a armadura a 45 resulta 2 vezes menor que a armadura a 90. No entanto, a armadura transversal inclinada a 45 apresenta comprimento 2 vezes maior que a armadura a 90, o que resulta em consumos de armadura praticamente iguais.

5.7 TRELIA GENERALIZADA ( varivel)

Com base nos resultados de numerosas pesquisas experimentais verificou-se no sculo passado que a inclinao das fissuras geralmente inferior a 45, e consequentemente as bielas de compresso tm inclinaes menores, podendo chegar a ngulos de 30 ou at menores com a horizontal, em funo principalmente da quantidade de armadura transversal e da relao entre as larguras da alma e da mesa, em sees T e I por exemplo (Figura 5.18). Alm disso, a trelia no considera a ao de arco nas proximidades dos apoios. Por no fazer essas consideraes a trelia clssica de Ritter-Mrsch conservadora e conduz armadura transversal um pouco exagerada.


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- 30 - 38

- 38 - 45

a) trelia de alma espessa

b) trelia de alma delgada

PP

Figura 5.18 - Trelia generalizada.[26]

Para levar em conta a menor inclinao das fissuras surgiu, na dcada de 60, a chamada trelia generalizada, com ngulos menores que 45 para a inclinao das diagonais comprimidas (Figura 5.19). A determinao correta do ngulo para uma viga muito complexa, porque depende de inmeros fatores.

A deduo das foras na trelia generalizada semelhante quela j apresentada para a trelia clssica. Sendo V a fora cortante que atua na seo 1-1 da trelia (Figura 5.19), a fora na diagonal comprimida (Rcb) :

= senRV cb Eq. 5.7

VcbR

1

1

=

sen

VR cb Eq. 5.8

diagonal comprimida

PV = 2

diagonal tracionada

z

banzo tracionado

banzo comprimido

P

z(cotg + cotg )sen

z(cotg + cotg )

1

1

V

Figura 5.19 - Trelia generalizada com diagonais comprimidas inclinadas com ngulo e armadura transversal inclinada com ngulo .


17

A distncia entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direo perpendicular a elas, :

( ) + sencotggcotz

A fora em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na rea de concreto (rea da biela):

bw . ( ) + sencotggcotz

onde o ngulo de inclinao das diagonais tracionadas. A tenso mdia de compresso na biela ento dada por:

( ) += sencotggcotzbR

w

cbcb

( ) += 2wcb sencotggcotzbV

Eq. 5.9

A fora na diagonal tracionada (Rs,) pode ser determinada fazendo o equilbrio da seo 1-1 da trelia (Figura 5.19):

= senRV ,s Eq. 5.10

VRs,

=

sen

VR,s Eq. 5.11

Cada diagonal de trao com fora Rs, relativa a um comprimento da viga, a distncia z (cotg + cotg ), medida na direo do eixo longitudinal da viga, e deve ser resistida por uma armadura transversal composta por barras (estribos) espaadas num comprimento s e inclinadas de um ngulo , como indicado na Figura 5.19.

Considerando Asw a rea de ao de um estribo, a rea total de armadura no comprimento z (cotg + cotg ) dada por:

( )s

gcot cotg zA,sw

+

onde z (cotg + cotg )/s representa o nmeros de estribos nesse comprimento. A tenso sw na armadura transversal resulta:

( )s

cotggcotzAR

sw

,s,sw +=

Asw,

s

( ) += ,sw,sw As

sencotggcotzV

Eq. 5.12

No modelo de trelia generalizada o ngulo uma incgnita no problema, sendo dependente de diversos fatores. Este um assunto que vem sendo pesquisado, sendo que nos modelos desenvolvidos por Collins, Mitchell e Vecchio[6,7] (CFT e MCFT), o ngulo calculado.


18

5.8 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118

A partir de maro de 2003 uma nova verso da NBR 6118 entrou em vigor no Brasil, trazendo significativas mudanas em relao sua verso anterior, a NB 1/78[27], quanto ao dimensionamento da armadura transversal para a resistncia de elementos de Concreto Armado e Concreto Protendido fora cortante. A nova NBR 6118 manteve a hiptese bsica da analogia de viga fissurada com uma trelia, de banzos paralelos. Porm, introduziu algumas inovaes, como a possibilidade de considerar inclinaes diferentes de 45 para as diagonais comprimidas (bielas de compresso), novos valores adotados para a parcela Vc da fora cortante absorvida por mecanismos complementares de trelia, adoo da resistncia do concreto compresso para regio fissurada (fcd2), constante no cdigo MC-90 do CEB-FIP[28] e considerao de uma nova sistemtica para verificao do rompimento das diagonais comprimidas, por meio da fora cortante resistente de clculo (VRd2) em substituio tenso de cisalhamento ltima (wu).

A norma dividiu o clculo segundo dois modelos, os Modelos de Clculo I e II. O Modelo de Clculo I admite a chamada trelia clssica, com ngulo de inclinao das diagonais comprimidas () fixo em 45. J o Modelo de Clculo II considera a chamada trelia generalizada, onde o ngulo de inclinao das diagonais comprimidas pode variar entre 30 e 45. Aos modelos de trelia foi associada uma fora cortante adicional Vc , proporcionada por mecanismos complementares ao de trelia.

O Modelo de Clculo I semelhante ao mtodo constante da verso anterior da norma (NB 1/78[27]), porm, com alterao no valor da parcela Vc . Pode-se dizer que a nova metodologia introduzida pela NBR 6118 segue em linhas gerais o MC-90 do CEB-FIP[28] e o Eurocode 2[29], com algumas mudanas e adaptaes. A condio de segurana do elemento estrutural satisfatria quando so verificados os estados-limites ltimos, atendidas simultaneamente as duas condies seguintes:

2RdSd VV Eq. 5.13

swc3RdSd VVVV += Eq. 5.14

onde: VSd = fora cortante solicitante de clculo na seo; VRd2 = fora cortante resistente de clculo, relativa runa das diagonais comprimidas de concreto; VRd3 = Vc + Vsw = fora cortante resistente de clculo, relativa runa por trao diagonal; Vsw = parcela resistida pela armadura transversal.

Vc a parcela de fora cortante absorvida por mecanismos complementares ao da trelia. Tem valor emprico e serve para levar em considerao os mecanismos bsicos de resistncia de vigas fora cortante, apresentados na Figura 5.6, que so difceis de serem quantificados. Os trs mecanismos principais de resistncia so proporcionados por: a) banzo de concreto comprimido da flexo; b) engrenamento dos agregados ao longo das fissuras inclinadas; c) efeito de pino da armadura longitudinal.

5.8.1 Modelo de Clculo I

No Modelo de Clculo I a NBR 6118 (item 17.4.2.2) adota a trelia clssica de Ritter-Mrch, ao admitir o ngulo de 45o entre as diagonais comprimidas de concreto (bielas de compresso) e o eixo longitudinal do elemento estrutural, e a parcela complementar Vc tem valor constante, independentemente da fora cortante solicitante VSd .

5.8.1.1 Verificao da Diagonal Comprimida de Concreto

A equao que define a tenso de compresso nas bielas de concreto para a trelia clssica ( = 45o) foi deduzida no item 5.6 (Eq. 5.3):

( )+= cotg1zbV2

wcb


19

Embora no descrito, a norma limita a tenso de compresso nas bielas ao valor fcd2 , como definido no cdigo MC-90 do CEB.[28] O valor fcd2 atua como um fator redutor da resistncia compresso do concreto, quando h trao transversal por efeito de armadura e existem fissuras transversais s tenses de compresso (Figura 5.20). O valor fcd2 definido por:

cdck

2cd f250f160,0f

= = cd2v f60,0 Eq. 5.15

fissura

tenso de traode armadura

tenso < f cd2

Figura 5.20 Tenso de compresso com trao transversal conforme o MC-90 do CEB.[28]

A NBR 6118 (item 17.4.2.2) chama o fator

250f1 ck de v2 . Na Eq. 5.3, substituindo o brao de

alavanca z por 0,9d (d a altura til), cb por fcd2 e fazendo V como a mxima fora cortante resistente (VRd2) correspondente runa das diagonais comprimidas de concreto, tem-se:

( )+= cotg1d9,0bV2f60,0

w

2Rdcd2v

( )2

gcot1d9,0bf60,0V wcd2v2Rd+

= Eq. 5.16

( )+= gcot1dbf27,0V wcd2v2Rd Eq. 5.17

A inclinao da armadura transversal () deve estar compreendida entre 45 e 90. Fazendo igual a 90 para estribo vertical, a Eq. 5.17 fica:

dbf27,0V wcd2v2Rd = Eq. 5.18

com 250f1 ck2v = , (fck em MPa):

dbf250f127,0V wcdck2Rd

= Eq. 5.19

Portanto, conforme a Eq. 5.13, para no ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas deve-se ter: 2RdSd VV

5.8.1.2 Clculo da Armadura Transversal

Da Eq. 5.14 (VSd VRd3), fazendo a fora cortante de clculo (VSd) igual mxima fora cortante resistente de clculo, relativa ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se:


20

swc3RdSd VVVV +==

A parcela Vc referente parte da fora cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de trelia definida como:

a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seo

Vc = 0

b) na flexo simples e na flexo-trao com a linha neutra cortando a seo

Vc = Vc0

dbf6,0V wctd0c = Eq. 5.20

sendo fctd a resistncia de clculo do concreto trao direta, e avaliado por:

3 2ck

cc

m,ct

c

inf,ctkctd f

3,0.7,0f7,0ff

=

=

= Eq. 5.21

com fck em MPa.

A fora Vc0 representa a resistncia fora cortante de uma viga sem estribos, ou seja, a mxima fora cortante que uma viga sem estribos pode resistir.

c) na flexo-compresso

0cmx,Sd

00cc V2M

M1VV

+= Eq. 5.22

onde: bw = menor largura da seo, compreendida ao longo da altura til d4; d = altura til da seo, igual distncia da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de trao5; s = espaamento entre elementos da armadura transversal Asw , medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural; fywd = tenso na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70 % desse valor no caso de barras dobradas, no se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa6; =

= = = ngulo de inclinao da armadura transversal em relao ao eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45 90; M0 = momento fletor que anula a tenso normal de compresso na borda da seo (tracionada por Md,mx), provocada pelas foras normais de diversas origens concomitantes com VSd , sendo essa tenso calculada com valores de f e p iguais a 1,0 e 0,9, respectivamente; os momentos correspondentes a essas foras normais no podem ser considerados no clculo dessa tenso, pois so considerados em MSd ; devem ser considerados apenas os momentos isostticos de protenso; MSd,mx = momento fletor de clculo mximo no trecho em anlise, que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado (para esse clculo no se consideram os momentos isostticos de protenso, apenas os hiperestticos).

Com o valor de Vc conhecido, da Eq. 5.14 calcula-se a parcela da fora cortante a ser resistida pela armadura transversal:

4 No caso de elementos protendidos, consultar o item 17.4.2.2 da NBR 6118;

5 No caso de elementos protendidos, consultar o item 17.4.2.2 da NBR 6118;

6 no caso de armaduras transversais ativas, o acrscimo de tenso devida fora cortante no pode ultrapassar a diferena

entre fpyd e a tenso de protenso, nem ser superior a 435 MPa; (NBR 6118, item 17.4.2.2).


21

cSdsw VVV = Eq. 5.23

A equao que define a tenso na diagonal tracionada para a trelia clssica ( = 45o) foi deduzida no item 5.6 (Eq. 5.6):

( ) += ,sw,sw As

cossenz

V

Substituindo z por 0,9d, V por Vsw , e fazendo sw, igual mxima tenso admitida na armadura (fywd), a Eq. 5.6 modifica-se para:

( ) += ,swsw

ywd As

cossend9,0Vf Eq. 5.24

)cossen(fd9,0V

s

A

ywd

sw,sw

+=

Eq. 5.25

A NBR 6118 (item 17.4.2.2) limita a tenso fywd ao valor de fyd para armadura transversal passiva constituda por estribos, e a 70 % de fyd quando forem utilizadas barras dobradas inclinadas, no se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa. Portanto, para estribos tem-se:

43515,1

ffff yk

s

ykydywd =

== MPa

A tenso mxima imposta pela norma refere-se ao ao CA-50, pois fyd = 50/1,15 = 435 MPa. No caso do dimensionamento do estribo ser feito com o ao CA-60, esta tenso mxima tambm deve ser obedecida, ou seja, deve-se calcular como se o ao fosse o CA-50. A inclinao dos estribos deve obedecer condio oo 9045 . Para estribo inclinado a 45 e a 90 a Eq. 5.25 fica respectivamente igual a:

ywd

sw45,sw

fd27,1V

s

A= Eq. 5.26

ywd

sw90,sw

fd9,0V

s

A= Eq. 5.27

No caso de serem utilizados os aos CA-50 ou CA-60 e armadura transversal somente na forma de estribos, fywd assume o valor de 43,5 kN/cm2, que aplicado s Eq. 5.26 e Eq. 5.27 encontram-se:

d4,55V

s

Asw45,sw

= Eq. 5.28

d2,39V

s

Asw90,sw

= Eq. 5.29

com: Asw = cm2/cm, Vk = kN e d = cm.

importante observar que s

Asw a armadura transversal por unidade de comprimento da viga e

Asw a rea de todos os ramos verticais do estribo. Para estribo de dois ramos, que o tipo aplicado na grande maioria das vigas, Asw equivale rea dos dois ramos verticais do estribo. Para estribos com trs ou quatro ramos, Asw a rea de todos os trs ou quatro ramos verticais do estribo (Figura 5.21).


22

Asw Asw

Figura 5.21 rea Asw de estribos de trs e quatro ramos.

5.8.2 Modelo de Clculo II

No Modelo de Clculo II a NBR 6118 (item 17.4.2.3) admite que o ngulo de inclinao das diagonais de compresso () varie livremente entre 30o e 45o e que a parcela complementar Vc sofra reduo com o aumento de VSd. Ao admitir ngulos inferiores a 45 a norma adota a chamada trelia generalizada, como mostrada no item 5.7.

5.8.2.1 Verificao da Diagonal Comprimida de Concreto

Conforme a Eq. 5.9, no item 5.7 foi deduzida a expresso para a tenso nas bielas de concreto para a trelia com diagonais comprimidas inclinadas de um ngulo :

( ) += 2wcb sengcotgcotzbV

A norma limita a tenso nas bielas comprimidas ao valor fcd2 , como apresentado no item 5.8.1.1. O valor fcd2 , apresentado na Eq. 5.15, :

cdck

2cd f250f160,0f

= , com fck em MPa.

Chamando o fator

250f1 ck de v2 e substituindo z por 0,9 d, cb por fcd2 e V pela mxima fora

cortante resistente de clculo (VRd2), a Eq. 5.9 transforma-se em:

( ) += 2w2Rd

cd2vsengcotgcotd9,0b

Vf60,0

Isolando VRd2 fica:

( )+= gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd Eq. 5.30

e substituindo v2 :

( )+

= gcotgcotsendbf

250f154,0V 2wcdck2Rd Eq. 5.31

Para no ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas, conforme a Eq. 5.13 deve-se ter:

2RdSd VV


23

5.8.2.2 Clculo da Armadura Transversal

Da Eq. 5.14, fazendo a cortante de clculo (VSd) igual mxima cortante resistente de clculo, relativa ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se:

swc3RdSd VVVV +==

A parcela Vc referente parte da fora cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de trelia definida como:

a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seo

Vc = 0

b) na flexo simples e na flexo-trao com a linha neutra cortando a seo

Vc = Vc1

c) na flexo-compresso

1cmx,Sd

01cc V2M

M1VV 5d (em que d a altura til da seo), caso que deve ser tratado como laje (ver 19.4); b) as nervuras de lajes nervuradas, descritas em 13.2.4.2-a) e b), que tambm podem ser verificadas como lajes. Nesse caso deve ser tomada como base a soma das larguras das nervuras no trecho considerado, podendo ser dispensada a armadura transversal, quando atendido o disposto em 19.4.1; c) os pilares e elementos lineares de fundao submetidos predominantemente compresso, que atendam simultaneamente, na combinao mais desfavorvel das aes em estado-limite ltimo, calculada a seo em estdio I, s condies seguintes: - em nenhum ponto deve ser ultrapassada a tenso fctk ; - VSd Vc , sendo Vc definido em 17.4.2.2.

Nesse caso, a armadura transversal mnima a definida na Seo 18.

5.10 DISPOSIES CONSTRUTIVAS

Segundo os itens 17.4.1.1.3 e 17.4.1.1.4 da NBR 6118, a armadura transversal (Asw) pode ser constituda por estribos, combinados ou no com barras dobradas ou barras verticais soldadas. Os estribos devem envolver a armadura longitudinal e serem fechados na regio de apoio das diagonais comprimidas. Quando forem utilizadas barras dobradas ou barras verticais soldadas, estas no podem resistir mais do que 60 % da fora cortante total resistida pela armadura. As barras soldadas devem ser ancoradas conforme o item 9.4.6.2 da norma, e quando combinadas com estribos em proporo menor que 60 %, os elementos longitudinais soldados devem obrigatoriamente constituir a totalidade da armadura longitudinal de trao. No item 18.3.3.1 consta que os estribos podem ser combinados tambm com telas soldadas, alm das barras dobradas. A combinao de estribos e barras dobradas em vigas era muito comum no Brasil at cerca de 40 anos atrs, mas deixou de ser aplicada porque a armadura consistida apenas por estribos mais simples e econmica. SSSEKIND[31] apresenta razes que justificam a no aplicao de barras dobradas, tambm chamadas cavaletes. No item 18.3.3.3 a NBR 6118 apresenta prescries no caso de uso de barras dobradas. Barras verticais soldadas tambm no so usuais na prtica brasileira.

No item 18.3.3.2 a NBR 6118 acrescenta que Os estribos para foras cortantes devem ser fechados atravs de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de trao, e ancorados na face oposta. Quando essa face tambm puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo horizontal nessa regio, ou complementado por meio de barra adicional.


28

5.10.1 Dimetro do Estribo

As prescries para o dimetro do estribo (t) so (NBR 6118, 18.3.3.2):

5 mm t bw/10 Eq. 5.47

- quando a barra for lisa, seu dimetro no pode ser superior a 12 mm; - para estribos formados por telas soldadas, o dimetro mnimo pode ser reduzido para 4,2

mm, desde que sejam tomadas precaues contra a corroso dessa armadura.

5.10.2 Espaamento Mnimo e Mximo entre os Estribos

O espaamento mnimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa. (NBR 6118, 18.3.3.2). Adotando-se uma folga de 1 cm para a passagem da agulha do vibrador, o espaamento mnimo fica:

s vibr + 1 cm Eq. 5.48

A fim de evitar que uma fissura no seja interceptada por pelo menos um estribo, os estribos no devem ter um espaamento maior que um valor mximo, estabelecido conforme as seguintes condies (NBR 6118, 18.3.3.2):

=>

=

cm20d3,0sV67,0

cm30d6,0sV67,0V

mx2Rd

mx2Rd

Sd Eq. 5.49

5.10.3 Espaamento Mximo entre os Ramos Verticais do Estribo

O espaamento transversal (st) entre os ramos verticais sucessivos dos estribos no pode exceder os seguintes valores (NBR 6118, 18.3.3.2):

=>

=

cm35d6,0sV20,0

cm80dsV20,0V

mx,t2Rd

mx,t2Rd

Sd Eq. 5.50

O espaamento transversal (st,mx) serve para definir qual o nmero de ramos verticais deve ser especificado para os estribos, principalmente no caso de estribos de vigas largas.

Nas vigas correntes das construes, com larguras geralmente at 30 cm, o estribo mais comum de ser aplicado o de dois ramos verticais, que simples de ser feito e amarrado com as barras longitudinais de flexo. Porm, em vigas largas, como vigas de equilbrio em fundaes de edifcios, vigas de pontes, vigas com grandes vos, etc., se a distncia entre os ramos verticais do estribo supera o espaamento mximo permitido, a soluo aumentar o nmero de ramos, geralmente fazendo ramos pares, pois assim os estribos podem ser idnticos. O maior nmero de ramos obtido pela sobreposio dos estribos na mesma seo transversal, como mostrado na Figura 5.21 para quatro ramos.

Vigas largas, com larguras maiores que aproximadamente 40 cm, devem ter estribos com mais de dois ramos verticais, sendo muito comum o uso de estribos com quatro ramos, que oferece a vantagem de ser montado sobrepondo-se dois estribos idnticos de dois ramos. No caso do estribo com trs ramos colocada uma barra adicional no espao entre os ramos de um estribo convencional com dois ramos (Figura 5.24).


29

Figura 5.24 Estribos com trs e com quatro ramos verticais.

5.10.4 Emenda do Estribo

As emendas por traspasse so permitidas apenas quando os estribos forem constitudos por telas ou por barras de alta aderncia. (NBR 6118, item 18.3.3.2).

5.10.5 Ancoragem do Estribo

A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas. (NBR 6118, item 9.4.6). Os ganchos dos estribos, conforme a NBR 6118 (item 9.4.6.1), podem ser (ver Figura 5.25): a) semicirculares ou em ngulo de 45 (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 t , porm no inferior a 5 cm; b) em ngulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t , porm no inferior a 7 cm (este tipo de gancho no pode ser utilizado para barras e fios lisos).

O dimetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mnimo, igual ao valor apresentado na Tabela 5.2.

Tabela 5.2 Dimetro dos pinos de dobramento para estribos (Tabela 9.2 da NBR 6118).

Bitola (mm) Tipo de ao

CA-25 CA-50 CA-60

10 3 t 3 t 3 t 10 < < 20 4 t 5 t -

20 5 t 8 t -

No item 9.4.6.2 a NBR 6118 prescreve como deve ser a ancoragem de estribos por meio de barras transversais soldadas, e em 9.4.7 a ancoragem por meio de dispositivos mecnicos.


30

D

D

t

5 5 cmt

t

t10 7 cm

t

45

5 5 cmt

D

Figura 5.25 Tipos de ganchos para os estribos.

5.11 EQUAES SIMPLIFICADAS

Com base na formulao contida na NBR 6118 e deduzida nos itens precedentes, desenvolvem-se a seguir equaes um pouco mais simples com o objetivo de automatizar o dimensionamento das armaduras transversais para as vigas de Concreto Armado, submetidas flexo simples. O uso dessas equaes torna o clculo mais simples e rpido, facilitando o trabalho manual. Na sequncia, as equaes tericas dos Modelos de Clculo I e II so remanejadas e simplificadas.

5.11.1 Modelo de Clculo I

O modelo de clculo I assume a trelia clssica, com o ngulo de inclinao das diagonais comprimidas = 45.

5.11.1.1 Fora Cortante Mxima

Para verificar se ocorrer ou no o esmagamento das bielas de compresso, considera-se a situao limite 2RdSd VV = , a partir das Eq. 5.13 e Eq. 5.18:

dbf27,0V wcd2v2Rd =

Com 250f1 ck2v = , c = 1,4 e estribo vertical ( = 90), resulta a equao para VRd2 :

dbf250f1027,0V wcdck2Rd

= Eq. 5.51


31

com c

ckcd

ff

= e fck em MPa e VRd2 em kN.

Se VSd VRd2 no ocorrer o esmagamento das bielas de compresso.

Na Tabela 5.3 encontram-se equaes de VRd2 em funo da resistncia caracterstica do concreto (fck).

5.11.1.2 Fora Cortante Correspondente Armadura Mnima

A fora cortante correspondente armadura mnima (VSd,mn) pode ser obtida por meio da igualdade:

s

As

Aswmn,sw

= Eq. 5.52

Conforme as Eq. 5.25 e Eq. 5.44 tem-se:

)cossen(fd9,0V

s

A

ywd

sw,sw

+=

Eq. 5.53

= senbs

Awmn,sw

mn,sw

Eq. 5.54

Aplicando a Eq. 5.53 e a Eq. 5.54 na Eq. 5.52 e fazendo o ngulo igual a 90 (estribo vertical):

)90cos90sen(fd9,0V

90senbywd

mn,swwmn,sw +

= Eq. 5.55

ou ainda, ywdwmn,swmn,sw fd9,0bV = Eq. 5.56

Sendo a taxa de armadura mnima dada por:

ywk

3 2ck

ywk

ctmmn,sw f

f3,02,0

ff2,0 = Eq. 5.57

a Eq. 5.56 passa a ser escrita em funo das resistncias caractersticas do concreto e do ao:

15,1f

d9,0bf10f

06,0V ywkwywk

3 2ck

mn,sw = Eq. 5.58

O fator dez no denominador da Eq. 5.58 para transformar o resultado de MPa para kN/cm2, dado que fck deve ser aplicado em MPa. Fazendo as simplificaes na Eq. 5.58 obtm-se a Eq. 5.59, referente resistncia da viga correspondente armadura mnima, em funo da resistncia caracterstica do concreto:

3 2ckwmn,sw fdb0047,0V = Eq. 5.59

Fazendo Vc = Vc0 na Eq. 5.14 (VSd = Vc + Vsw) de verificao do estado-limite ltimo (ELU), tem-se:

mn,sw0cmn,Sd VVV +=


32

Substituindo-se as expresses de Vc0 e de Vsw,mn , Eq. 5.20 e Eq. 5.59, respectivamente, resulta:

+= 0047,0

10.4,13,0.7,0.6,0fdbV 3 2ckwmn,Sd Eq. 5.60

ou ainda, 3 2

ckwmn,Sd fdb0137,0V = Eq. 5.61

com fck em MPa e VSd,mn em kN.

A fora cortante solicitante de clculo deve ser comparada com a fora VSd,mn e:

Se VSd VSd,mn utiliza-se armadura transversal mnima;

Se VSd > VSd,mn calcula-se a armadura transversal para VSd .

Na Tabela 5.3 encontram-se apresentadas as equaes para VSd,mn em funo da resistncia caracterstica fck dos concretos do Grupo I normalizados pela NBR 8953.[32]

5.11.1.3 Armadura Transversal

Para a determinao da armadura transversal necessria, tambm em funo da resistncia do concreto, pode-se retomar a Eq. 5.25:

)cossen(fd9,0V

s

A

ywd

sw,sw

+=

e, como cSdsw VVV = , considerando-se tambm fywd = 435 MPa (aos CA-50 e CA-60), s = 100 cm e estribo vertical ( = 90), obtm-se:

)90cos90sen(5,43.d.9,0dbf6,0V

100A

oowctdSdsw

+

= Eq. 5.62

ou ainda, simplificando-se:

3 2ckw

Sd90,sw fb023,0d

V55,2A = Eq. 5.63

com fck em MPa e Asw em cm2/m. A Tabela 5.3 mostra a Eq. 5.51, Eq. 5.61 e Eq. 5.63, para VRd2 , VSd,mn e Asw respectivamente, em funo da resistncia caracterstica do concreto compresso (fck), somente para os concretos do Grupo I de resistncia (do concreto C20 ao C50). Entrando com bw e d em cm e VSd em kN, resultam VRd2 e VSd,mn em kN e Asw em cm2/m.

Nota-se que os coeficientes de segurana c e s , com valores de 1,4 e 1,15, respectivamente, j esto considerados nas equaes constantes da Tabela 5.3. As equaes so vlidas para os aos CA-50 e CA-60, e para a solicitao de flexo simples.


33

Tabela 5.3 Equaes simplificadas segundo o Modelo de Clculo I para concretos do Grupo I. Modelo de Clculo I

(estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aos CA-50 e CA-60, flexo simples).

Concreto VRd2 (kN)

VSd,mn (kN)

Asw (cm2/m)

C20 db35,0 w db101,0 w wSd b17,0dV55,2

C25 db43,0 w db117,0 w wSd b20,0dV55,2

C30 db51,0 w db132,0 w wSd b22,0dV55,2

C35 db58,0 w db147,0 w wSd b25,0dV55,2

C40 db65,0 w db160,0 w wSd b27,0dV55,2

C45 db71,0 w db173,0 w wSd b29,0dV55,2

C50 db77,0 w db186,0 w wSd b31,0dV55,2

bw = largura da viga, cm; VSd = fora cortante de clculo, kN; d = altura til, cm;

5.11.2 Modelo de Clculo II

Processo semelhante ao desenvolvido para o Modelo de Clculo I pode ser aplicado ao Modelo II com o intuito de definir equaes simplificadoras.

5.11.2.1 Fora Cortante ltima

Para a verificao do esmagamento das bielas de compresso, considera-se a situao limite 2RdSd VV = , a partir da Eq. 5.13 aplicada na Eq. 5.30:

( )+= gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd

Com 250f1 ck2v = , c = 1,4 e estribo vertical ( = 90), resulta a equao para VRd2 :

= cossendbf

250f1054,0V wcdck2Rd

Eq. 5.64

com c

ckcd

ff

= e fck em MPa.

Deve ser considerada a condio necessria:


34

Se VSd VRd2 no ocorrer o esmagamento das bielas de compresso.

Na Tabela 5.4 encontram-se apresentadas equaes mais simples para VRd2 , em funo da resistncia caracterstica do concreto (fck).

5.11.2.2 Fora Cortante Correspondente Armadura Mnima

A fora cortante correspondente armadura mnima (VSd,mn) pode ser obtida por meio da igualdade, resultante da Eq. 5.14:

mn,swcmn,Sd VVV += Eq. 5.65

Das Eq. 5.35 e Eq. 5.45:

( ) += sencotggcotfd9,0s

AV ywd

,swsw

= senbf

f3,02,0

s

Aw

ywk

3 2ckmn,sw

aplicando a armadura mnima na Eq. 5.35 fica:

( ) += sencotggcot15,1

fd9,0senb

f.10f3,0

2,0V ywkwywk

3 2ck

mn,sw Eq. 5.66

Para estribo vertical ( = 90) a Eq. 5.66 fica:

= gcotdbf0047,0V w32

ckmn,sw Eq. 5.67

Sendo Vc = Vc1 (item 5.8.2.2) e aplicando a Eq. 5.67 na Eq. 5.65 tem-se a fora cortante mnima, referente resistncia da viga com a armadura mnima, em funo da resistncia caracterstica do concreto:

+= gcotfdb0047,0VV 3 2ckw1cmn,Sd Eq. 5.68

com fck em MPa.

A fora cortante solicitante de clculo deve ser comparada com a fora VSd,mn e:

Se VSd VSd,mn utiliza-se armadura transversal mnima;

Se VSd > VSd,mn calcula-se a armadura transversal para VSd .

Na Tabela 5.4 encontram-se apresentadas as equaes para VSd,mn em funo da resistncia caracterstica fck do concreto.

5.11.2.3 Armadura Transversal

Para a determinao da armadura transversal necessria, tambm em funo da resistncia do concreto compresso, pode-se retomar a Eq. 5.35:

( ) +=

sencotggcotfd9,0V

s

A

ywd

sw,sw


35

e, como 1cSdsw VVV = (Eq. 5.23, com Vc = Vc1 na flexo simples), considerando-se tambm fywd = 435 MPa (aos CA-50 e CA-60), s = 100 cm e estribo vertical ( = 90), obtm-se:

=

gcot5,43.d.9,0VV

100A 1cSd90,sw

ou, ainda, simplificando-se:

( )

=

gcot.dVV55,2A 1cSd90,sw Eq. 5.69

com d em cm, VSd e Vc1 em kN e Asw em cm2/m.

A parcela Vc1 sai da Eq. 5.34 j definida:

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV

=

A Tabela 5.4 mostra a Eq. 5.64, Eq. 5.68 e Eq. 5.69, para VSRd2 , VSd,mn e Asw respectivamente, em funo da resistncia caracterstica do concreto compresso (fck), somente para os concretos do Grupo I de resistncia (do concreto C20 ao C50). Entrando com bw e d em cm e VSd e Vc1 em kN, resultam VRd2 e VSd,mn em kN e Asw em cm2/m.

Nota-se que os coeficientes de segurana c e s , com valores de 1,4 e 1,15, respectivamente, j esto considerados nas equaes constantes da Tabela 5.4. As equaes so vlidas para os aos CA-50 e CA-60, e para a solicitao de flexo simples.

Tabela 5.4 Equaes simplificadas segundo Modelo de Clculo II para concretos do Grupo I.

Modelo de Clculo II (estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aos CA-50 e CA-60, flexo simples)

Concreto VRd2 (kN)

VSd,mn (kN)

Asw (cm2/m)

C20 cos.sen.d.b71,0 w 1cw Vgcot.d.b.035,0 +

( )d

VVtg55,2 1cSd







bw = largura da viga, cm; VSd = fora cortante de clculo, kN; d = altura til, cm; = ngulo de inclinao das bielas de compresso (); VC1 = fora cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de trelia, kN;


36

5.12 CONSIDERAES SOBRE O NGULO DE INCLINAO DAS DIAGONAIS DE COMPRESSO ()

Segundo LEONHARDT e MNNIG[9], A forma da seo transversal tem uma forte influncia sobre o comportamento resistente de vigas de concreto armado, solicitadas fora cortante. Investigaes experimentais mostraram que, aps iniciado o processo de fissurao na viga, ocorre uma redistribuio dos esforos internos, proporcional rigidez, principalmente das diagonais de compresso e do banzo comprimido. No caso de seo retangular, por exemplo, as diagonais de compresso so rgidas em relao ao banzo comprimido, o qual inclina-se em direo ao apoio, criando o efeito de arco atirantado na viga, como indicado na Figura 5.7. O banzo comprimido, ao inclinar-se em direo ao apoio pode at mesmo absorver toda a fora transversal, por meio de sua componente vertical, como indicada na Figura 5.26. A rigidez das barras da trelia depende das quantidades de armaduras longitudinal e transversal, mas principalmente das reas de concreto que formam o banzo comprimido e as diagonais de compresso, expressa simplificadamente pela relao b/bw , como indicado na Figura 5.26. Com a diminuio da relao b/bw ocorre um aumento da inclinao da fora no banzo comprimido e uma diminuio da inclinao das diagonais comprimidas (diminuio de ) e, como consequncia, os esforos de trao na alma diminuem progressivamente em comparao queles calculados segundo a trelia clssica.

R

P

ccccR

~~

V

ccR

P

Rs Rcb

h f

b

bw

ccR~

V~

Figura 5.26 Efeito de arco em viga de seo retangular e seo T com inclinao do banzo comprimido em direo ao apoio. [9]

Os ensaios experimentais realizados na Alemanha[9] mostraram tambm que a inclinao das fissuras de cisalhamento ou das diagonais comprimidas varia com a relao b/bw ; essa inclinao situa-se em torno de 30 para b/bw = 1 e cresce para cerca de 45 para b/bw = 8 a 12. As diagonais de compresso que possuem uma inclinao menor que 45 conduzem a esforos de trao na alma de menor valor., com b e bw indicados na Figura 5.26. Dessas constataes feitas em diversos ensaios experimentais pode-se concluir pela indicao de considerar ngulos inferiores a 45 quando do dimensionamento de vigas de seo retangular, isto , segundo LEONHARDT e MNNIG[9], podem ser adotados valores para em torno de 30. No caso de sees com banzos comprimidos mais rgidos, como sees em forma de T, I, etc., a fora no banzo comprimido inclina-se pouco, e o ngulo de inclinao das fissuras de cisalhamento tende a aumentar para 45, e pode-se adotar de 45 ou pouco menor, conforme a relao b/bw .

5.13 REDUO DA FORA CORTANTE

Ensaios experimentais com medio da tenso nos estribos mostram que o modelo de trelia desenvolvido para as vigas efetivamente vlido aps uma pequena distncia dos apoios, pois se constatou que os estribos muito prximos aos apoios apresentam tenso menor que os estribos fora deste trecho. Em funo desta caracterstica, na regio junto aos apoios, a NBR 6118 (item 17.4.1.2.1) permite uma pequena reduo da fora cortante para o dimensionamento da armadura transversal, segundo a prescrio: no caso de apoio direto (se a carga e a reao de apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o), valem as seguintes prescries: a) no trecho entre o apoio e a seo situada distncia d/2 da face de apoio, a fora cortante oriunda de carga distribuda pode ser considerada constante e igual desta seo;


37

b) a fora cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distncia a 2d do eixo terico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida, multiplicando-a por a/(2d). Todavia, esta reduo no se aplica s foras cortantes provenientes dos cabos inclinados de protenso.

As redues indicadas nesta seo no se aplicam verificao da resistncia compresso diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos, essas redues tambm no so permitidas.

A Figura 5.27 apresenta o caso a) e a Figura 5.28 o caso b). A reduo da fora cortante junto aos apoios, como descrita, no feita na prtica por muitos engenheiros estruturais, por questo de simplicidade e a favor da segurana.

h

d / 2

R d Vd

Figura 5.27 Reduo da fora cortante para viga sob carregamento uniforme.

h

a < 2d

R d reduo em dV

R d Vd

Figura 5.28 Reduo da fora cortante para viga sob carga concentrada.

5.14 CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS

A analogia de trelia com as vigas implica na aplicao do carregamento no lado superior da viga, nos ns do banzo superior da trelia. Quando o carregamento aplicado no lado inferior da viga, deve ser prevista uma armadura transversal para transferir o carregamento para a borda superior da viga, sendo chamada Armadura de Suspenso, e que deve ser somada armadura transversal destinada a resistir s foras cortantes atuantes. Vigas invertidas e vigas I com o carregamento aplicado na parte inferior devem ter uma armadura de suspenso projetada e detalhada.

5.15 ARMADURA DE SUSPENSO

Segundo a NBR 6118 (item 18.3.6), Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspenso. Os apoios das vigas so geralmente os pilares e outras vigas, com preponderncia para os pilares. Quando o apoio um pilar o apoio chamado direto e quando uma outra viga o apoio chamado indireto (Figura 5.29).


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VS2

VS6

P5

VS5

VS4

P4

Apoio direto

VS2

P4 P5 VS6

Apoio direto Apoio indireto

Figura 5.29 Apoios direto e indireto das vigas de concreto armado.

As vigas de Concreto Armado transmitem as cargas aos apoios principalmente por meio das bielas de compresso, na parte inferior da viga. Por isso, quando uma viga apo

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