Correntes+e+tensões+alternadas
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Correntes e Tensões Alternadas
Prof.: Welbert Rodrigues
Circuitos Elétricos
Welbert Rodrigues 2
Indução Eletromagnética
Lei de Faraday e Lei de Lenz
Welbert Rodrigues 3
Indução Eletromagnética
Lei de Faraday e Lei de Lenz
Veja em: http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s02.html
Welbert Rodrigues 4
Indução Eletromagnética
A força magnética:
. ( )mF BiL sen α=
e Blv=
Welbert Rodrigues 5
Indução Eletromagnética
Lei de Faraday e Lei de Lenz
e – força eletromotriz induzida (tensão induzida) [V]
∆φ/∆t – taxa de variação do fluxo magnético no tempo [Wb/s]
N – número de espiras.
Ne
t
φ∆= −∆
Welbert Rodrigues 6
Indução Eletromagnética
Lei de Faraday e Lei de Lenz
φ - fluxo magnético [Wb]
B – intensidade do campo magnético [T]
A – área do condutor [m2]
α - ângulo de incidência das linhas de campo na área A
. .B A senφ α=
Welbert Rodrigues 7
Gerador – Corrente Alternada
Veja em: http://www.walter-fendt.de/ph14br/generator_br.htm
Welbert Rodrigues 8
Gerador – Corrente Alternada
Primeira meia volta da espira:
Welbert Rodrigues 9
Gerador – Corrente Alternada
Segunda meia volta da espira:
Welbert Rodrigues 10
Gerador – Corrente Alternada
Corrente produzida pelo gerador:
Welbert Rodrigues 11
Gerador – Corrente Alternada
Tensão em função do ângulo:
Welbert Rodrigues 12
Parâmetros da Forma de Onda
Valor de Pico (Vp) – Unid. (V)
Valor de Pico a Pico (Vpp) – Unid. (V)
Período (T) – Unid. (s)
Freqüência (f) – Unid. (Hz)
1f
T=
Welbert Rodrigues 13
Parâmetros da Forma de Onda
Freqüência/Velocidade Angular (ω)
Unidade [rad/s]
2.2. . f
T
πω π= =
Welbert Rodrigues 14
Parâmetros da Forma de Onda
A projeção de um vetor girando descreve uma senóide.
Welbert Rodrigues 15
Função Matemática
Função Senoidal
Domínio do Tempo e Domínio Angular.
Posição Angular (ωt): fornece o ângulo no qual a espira se encontra.
max
max
( ) . ( )
( ) . ( )
f A sen
f t A sen t
α αω
==
Welbert Rodrigues 16
Tensão Instantânea
v(t) – tensão instantânea (V)
Vp - tensão de pico (V)
ω – freqüência/velocidade angular (rad/s)
t – instante de tempo (s)
( ) . ( )pv t V sen tω=
Welbert Rodrigues 17
Exercício
Dado a tensão instantânea v(t)= 10.sen(10.t)
Qual a freqüência, o Período, o valor de pico e a velocidade angular dessa tensão?
Esboce o gráfico tensão x tempo.
Welbert Rodrigues 18
Solução
T = 628 ms
Welbert Rodrigues 19
Corrente Instantânea
i(t) – tensão instantânea (A)
Ip - tensão de pico (A)
ω - freqüência angular (rad/s)
t – instante de tempo (s)
( ) . ( )pi t I sen tω=
Welbert Rodrigues 20
Exercício
Considere a forma de onda abaixo, obter a função matemática que a descreve.
Welbert Rodrigues 21
Solução
T = 50µs
f = 1/T = 20kHz
ω = 2πf = 40000πrad/s
Ip = 20mA
i(t) = 20.sen(40000π.t) mA
Welbert Rodrigues 22
Valor Médio
Valor Aritmética
Média de uma função é dado pela soma das áreas positivas e negativas
1
n
ii
med
VV
n==∑
Welbert Rodrigues 23
Valor Médio
Média de uma função
ΣA - soma algébrica das áreas sob as curvas;
T – período da curva;
∆Vn – variação da amplitude no trecho n da forma de onda;
∆tn – intervalo de tempo correspondente ao trecho n da forma de onda;
n – número de trechos compreendidos no intervalo T.
( . )n nn
med
V tA
VT T
∆ ∆= =
∑∑
Welbert Rodrigues 24
Valor Médio
Valor média de uma forma de onda
Welbert Rodrigues 25
Valor Médio
Exemplo
Welbert Rodrigues 26
Valor Médio
Exemplo
Welbert Rodrigues 27
Valor Eficaz
O valor eficaz de uma corrente alternada éo valor de corrente contínua que produz o mesmo efeito joule ao passar por uma mesma resistência.
Definição
2
1
( )n
ii
ef
VV
n==∑
Welbert Rodrigues 28
Valor Eficaz
Valor Eficaz de uma função senoidal
0,707.2p
ef p
VV V= =
Welbert Rodrigues 29
Defasagem Angular
Welbert Rodrigues 30
Defasagem Angular
Forma de onda dos geradores
1
2
( ) ( 0 )
( ) ( 45 )p
p
i t I sen t
i t I sen t
ωω
= + °
= + °
Welbert Rodrigues 31
Forma de Onda
Tensão instantânea
Corrente instantânea
( ) ( )p vv t V sen tω θ= ±
p ii(t)=I sen( t )ω θ±
Welbert Rodrigues 32
Números Complexos
Definição
Plano cartesiano
1j = − 2 1j = −
Welbert Rodrigues 33
Números Complexos
Forma retangular
Welbert Rodrigues 34
Números Complexos
Forma Polar
Welbert Rodrigues 35
Números Complexos
Conversão de Retangular para Polar
Welbert Rodrigues 36
Números Complexos
Ex: Transformar para forma polar;
Welbert Rodrigues 37
Números Complexos
Ex: Transformar para forma polar;
Welbert Rodrigues 38
Números Complexos
Conversão de Polar para Retangular
Welbert Rodrigues 39
Números Complexos
Ex: Transformar para forma retangular;
Welbert Rodrigues 40
Números Complexos
Ex: Transformar para forma retangular;
Welbert Rodrigues 41
Números Complexos
Operação com Números Complexos
Soma e Subtração: é feita na forma retangular;
1 1 1C x jy= + 2 2 2C x jy= +
1 2 1 2 1 2( ) ( )C C x x j y y+ = + + +
1 2 1 2 1 2( ) ( )C C x x j y y− = − + −
Welbert Rodrigues 42
Números Complexos
Operação com Números Complexos
Multiplicação e Divisão: é feita na forma polar;
1 1 1C Z θ= 2 2 2C Z θ=
1 2 1 2 1 2. .C C Z Z θ θ= +
11 2 1 2
2
ZC C
Zθ θ÷ = −
Welbert Rodrigues 43
Números Complexos
Operação com Números Complexos
Exercício:
1 20 30C = ° 2 30 40C j= −
1 2. ?C C =
1 2 ?C C÷ =
1 2 ?C C+ =
1 2 ?C C− =
Welbert Rodrigues 44
Números Complexos
Operação com Números Complexos
Exercício:
1 20 30C = ° 2 30 40C j= −
1 2. 919,6 392,8C C j= −
1 2 ?C C÷ =
1 2 ?C C+ =
1 2 ?C C− =
Welbert Rodrigues 45
Números Complexos
Operação com Números Complexos
Exercício:
1 20 30C = ° 2 30 40C j= −
1 2. 919,6 392,8C C j= −
1 2 0,048 0,397C C j÷ = +
1 2 ?C C+ =
1 2 ?C C− =
Welbert Rodrigues 46
Números Complexos
Operação com Números Complexos
Exercício:
1 20 30C = ° 2 30 40C j= −
1 2. 919,6 392,8C C j= −
1 2 0,048 0,397C C j÷ = +
1 2 47,32 30,00C C j+ = −
1 2 ?C C− =
Welbert Rodrigues 47
Números Complexos
Operação com Números Complexos
Exercício:
1 20 30C = ° 2 30 40C j= −
1 2. 919,6 392,8C C j= −
1 2 0,048 0,397C C j÷ = +
1 2 47,32 30C C j+ = −
1 2 12,68 50C C j− = − +
Welbert Rodrigues 48
Representação Fasorial
Fasor é um número complexo usado para representar a amplitude e a fase de uma função senoidal;
Vantagem: facilita a manipulação destas funções;
Welbert Rodrigues 49
Representação Fasorial
Welbert Rodrigues 50
Representação Fasorial
Fasor
Welbert Rodrigues 51
Representação Fasorial
Um ponto se deslocando em um movimento circular uniforme (movimento harmônico) pode ser representado através de suas projeções num plano cartesiano formando uma senóide.
Para uma dada freqüência f do sinal senoidal, o movimento harmônico (giratório) do vetor possui a mesma freqüência.
Welbert Rodrigues 52
Representação Fasorial Uma senóide pode ser descrita por um vetor radial girante com
módulo igual à sua amplitude (valor de pico) e mesma freqüência angular ω.
Veja em:
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/repfresn.html
Welbert Rodrigues 53
Representação Fasorial
A projeção do fasor no eixo y é uma função seno que representa a amplitude instantânea da senóide.
Welbert Rodrigues 54
Representação Fasorial
Exercício:* Representar graficamente os sinais senoidais através do diagrama fasorial e de sua projeção senoidal:
Obs: Um diagrama fasorial pode conter um ou vários Fasores(vários sinais senoidais) desde que sejam todos de mesma freqüência.
Welbert Rodrigues 55
Representação Fasorial
Solução:
Welbert Rodrigues 56
Representação Fasorial
Exercício:* Um fasor de tensão de módulo 10V descreve uma rotação completa em 0,02s partindo da posição inicial -30 graus. Determine:
a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoidal desse sinal;
b) o ângulo em que a tensão é 10V;
c) a freqüência angular e a expressão matemática para as variações instantâneas desse sinal;
d) o valor da tensão no instante t=0s;
Welbert Rodrigues 57
Representação Fasorial
Solução:
Welbert Rodrigues 58
Representação Fasorial
Solução:
A função instantânea:
Welbert Rodrigues 59
Representação Fasorial
Solução:O valor de pico ocorrerá em:
No instante t=0s a função senoidal assume o valor:
Welbert Rodrigues 60
Representação Fasorial
Representação fasorial com números complexos
Welbert Rodrigues 61
Representação Fasorial
Representação fasorial com números complexos
( ) . ( )pv t V sen tω θ= ±
2pV
V θ•
= ±efV V θ
•= ±
Welbert Rodrigues 62
Representação Fasorial
Exercício:Representar os fasores através de números complexos, na forma polar e na forma retangular. Determinar a expressão instantânea
(trigonométrica) da tensão e corrente, considere f =60 Hz.
Welbert Rodrigues 63
Representação Fasorial
Exercício:Representar os fasores através de números complexos, na forma polar e na forma retangular. Determinar a expressão instantânea
(trigonométrica) da tensão e corrente, considere f =60 Hz.
( ) 10. 2. (377 0 )
( ) 5. 2. (377 45 )
v t sen t V
i t sen t A
= + °
= + °
Welbert Rodrigues 64
Representação Fasorial
Solução:
* Forma Polar
* Forma Retangular
10 0V V•
= ° 5 45I A•
= °
(10 0)V j V•
= + (3,53 3,53)I j A•
= +
Welbert Rodrigues 65
Representação Fasorial
Operações usando fasor
* Quando queremos somar ou subtrair dois números complexos devemos operar esses números na forma retangular.
* Ao multiplicar ou dividir devemos operar os números na forma polar.
Welbert Rodrigues 66
Representação Fasorial
Exercício:
* Somar e subtrair os sinais senoidais:
Welbert Rodrigues 67
Representação Fasorial
Solução:
Welbert Rodrigues 68
Representação Fasorial
Solução:
Welbert Rodrigues 69
Representação Fasorial
Solução:
Welbert Rodrigues 70
Representação Fasorial
Exercício:* Considerando o diagrama fasorial:
a) Escreva as expressões matemáticas
no domínio do tempo;
Considere o eixo x sendo de
tensão e o eixo y de tempo.
Welbert Rodrigues 71
Circuito Equivalente de Thévenin
Circuito Genérico e o Equivalente de Thévenin
Welbert Rodrigues 72
Circuito Equivalente de Thévenin1) Calcular a tensão de circuito aberto, entre os pontos a e b;
2) Calcular a corrente de curto circuito, entres a e b;
Exemplo: (1)
32ab thV V V= =
Welbert Rodrigues 73
Circuito Equivalente de Thévenin (2) Calcula da corrente de curto circuito;
4ccI A=32
84thR = = Ω
Welbert Rodrigues 74
Circuito Equivalente de Thévenin Circuito Equivalente;
Welbert Rodrigues 75
Circuito Equivalente de Norton
Circuito Genérico e o Equivalente de Norton
Welbert Rodrigues 76
Circuito Equivalente de Norton É obtido através de uma transformação de fonte do circuito
equivalente de Thévenin;
⇒
Welbert Rodrigues 77
Exercícios Determine a potência associada à fonte de 6V, verifique se
ela está fornecendo ou recebendo a potência calculada.
Resp.: P=4,95W - Recebendo
Welbert Rodrigues 78
Exercícios Determine a tensão V.
Resp.: V=48V
Welbert Rodrigues 79
Exercícios Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito
abaixo do ponto de vista dos terminais a e b;
Resp.: Vth=64,8V e Rth=6Ω