GABARITO COMENTADO DA

PROVA DE MATEMÁTICA DA EsSA/2012

REALIZADA EM 21 OUT 2012.

COMENTÁRIOS PROF. ANCHIETA

ÁREA COMBATENTE

Se 2log 3 a e 2log 5 b , então o valor de

0,5log 75 é

(a) –a + 2b

(b) a + b

(c) a – b

(d) a – 2b

(e) –a –2b

Solução:

0,5log 75 = 1

2

log 75 = 12log 75

=21 log 75 =

2

21 log 3 5 = 2

2 21 log 3 log 5 =

2 21 log 3 2 log 5

Sabendo que 2log 3 a e 2log 5 b , então:

1 a 2 b = –a –2b

Se f(2x + 1) = x2 + 2x, então f(2) vale

(a) 5

4 (d)

1

2

(b) 5

2 (e)

3

4

(c) 3

2

Solução:

Fazendo f(2x + 1) = f(2)

Igualando 2x + 1 = 2, temos x = 1

2

Então

21 1 1

f 2 1 22 2 2

1

f 2 14

5

f 24

Para que uma escada seja confortável, sua construção deverá atender aos parâmetros “e” e “p” da equação 2e + p = 63, onde “e” e “p” representam, respectivamente, a altura e o comprimento, ambos em centímetros, de cada degrau da escada. Assim, uma escada com 25 degraus e altura total igual a 4 m deve ter o valor de “p” em centímetros igual a

(a) 31

(b) 32

(c) 29

(d) 26

(e) 27

Solução:

25e = 4 m

25e = 400 cm

e = 16 cm [altura de cada degrau]

Como 2e + p = 63, temos

216 + p = 63

p = 31 cm

Em um programa de TV, o participante começa com R$ 500,00. Para cada pergunta respondida corretamente, recebe R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. Se um participante respondeu todas as 25 questões formuladas no programa e terminou com R$ 600,00, quantas questões ele acertou?

(a) 9

(b) 14

(c) 11

(d) 12

(e) 10

Solução:

C = número de questões corretas

E = número de questões erradas

C + E = 25 (I)

200C – 150E = 600 – 500 (II)

200C – 150E = 100 [50]

4C – 3E = 2

C E 25

4C 3E 2

3C 3E 75

4C 3E 2

7C = 77

C = 11

Assinale a alternativa que representa o tempo necessário para que uma pessoa que aplicou R$ 2.000,00, à taxa de 10% ao ano, recebe R$ 662,00 de juros.

(a) 2 anos

(b) 3 meses

(c) 36 meses

(d) 6 anos

(e) 1 ano e meio

Solução:

A questão deverá ser anulada, pois não foi citada a modalidade dos juros: se juros simples ou juros compostos.

Utilizando a modalidade dos juros simples, teríamos:

j = cit

662 = 200010

100t

t = 3,31 anos 3 anos, 3 meses e 22 dias

Utilizando a modalidade dos juros compostos, teríamos:

M = c(1 + i)t

2000 + 662 = 2000(1 + 0,1)t

2662 = 2000(1,1)t

t2662 11

2000 10

t1331 11

1000 10

3 t11 11

10 10

t = 3 anos = 36 meses

Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a

(a) 25

(b) 29

(c) 35

(d) 15

(e) 21

Solução:

Do problema:

a1 = 5

a11 = 45

Sabemos que

a1 = a6 – 5r

a11 = a6 + 5r

Somando membro a membro, temos:

a1 + a11 = 2a6

5 + 45 = 2a6

25 = a6

Uma corrida é disputada por 8 atletas. O número de resultados possíveis para os 4 primeiros lugares é

(a) 336

(b) 1.680

(c) 1.530

(d) 4.096

(e) 512

Solução:

A8,4 = 8.7.6.5 = 1.680

Se 5x+2 = 100, então 52x é igual a

(a) 16

(b) 8

(c) 100

(d) 10

(e) 4

Solução:

5x+2 = 100

5x52 = 100 [25]

5x = 4 [elevando os membros ao quadrado]

52x = 16

A soma dos valores de m que satisfazem a

ambas as igualdades sen x = m 1

m

e

cos x = m 2

m

é

(a) –4

(b) 5

(c) 6

(d) –6

(e) 4

Solução:

Condição de existência:

m 11 1

m

e

m 21 1

m

Sabendo que (sen x)2 + (cos x)2 = 1

Daí,

2 2m 1 m 2

1m m

m2 + 2m + 1 + m2 + 4m + 4 = m2

m2 + 6m + 5 = 0

Cujas raízes são m1 = –1 e m2 = –5

Substituindo m1 = –1 nas condições de existência:

1 11 1

1

1 0 1 (convém)

1 21 1

1

1 1 1 (convém)

Substituindo m2 = –5 nas condições de existência:

5 11 1

5

1 0,8 1 (convém)

5 21 1

5

1 0,6 1 (convém)

Então a soma de m1 + m2 = –6

Os gráficos das funções reais f(x) = 2

2x5

e

g(x) = 3x2 – c possuem um único ponto em comum. O valor de c é

(a) 1

5

(b) 1

(c) 1

15

(d) –0

(e) 1

5

Solução:

Fazendo f(x) = g(x), temos

22x

5 = 3x2 – c

10x – 2 = 15x2 – 5c

0 = 15x2 – 10x + 2 – 5c

As funções possuem apenas um ponto em

comum, então = 0

b2 – 4ac = 0

100 – 415(2 – 5c) = 0 [20]

5 – 3(2 – 5c) = 0

5 – 6 + 15c = 0

c = 1

15

A média aritmética de todos os candidatos de um concurso foi 9,0, dos candidatos selecionados foi 9,8 e dos eliminados foi 7,8. Qual o percentual de candidatos selecionados?

(a) 25%

(b) 20%

(c) 50%

(d) 60%

(e) 30%

Solução:

S = quantidade de candidatos selecionados

E = quantidade de candidatos eliminados

9,0 = 9,8 S 7,8 E

S E

9,0(S + E) = 9,8S + 7,8E

9,0S + 9,0E = 9,8S + 7,8E

1,2E = 0,8S

S 1,2 12 3

E 0,8 8 2

S 3 3 3 20 6060%

S E 3 2 5 5 20 100

Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se afirmar que seu volume fica multiplicado por

(a) 6

(b) 18

(c) 36

(d) 12

(e) 9

Solução:

Considerando um cilindro de altura “h” e raio da base “r”, seu volume é dado por:

V1 = r2h

Dobrando-se sua altura, ficaria “2h” e triplicando o raio de sua base, teríamos “3r”, o novo volume será dado por:

V2 = (3r)22h

V2 = 9r22h

V2 = 18r2h

Substituindo r2h por V1, temos

V2 = 18V1