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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATAÊINA
vv soLUçAo SUB-ÓTIMA PARA CONTROLE DE Poslçšo Em TEMPO MÍNIMO PARA MÁQUINA DE coRRENfrE CONTÍNUA
Dissertação submetida a Universidade Federal de Santa .
~ 1 .. ,^ , Catarlna para a obtençao do grau de Lestre em Clenclas.
ALCINDO DO PRADO JUNIOR
ABRIL - l93O
wa-¬
soLUçÃo SUB-ÓTIMA PARA CQNTROLE DE Poslçíío Em TEHPO 1=~âÍ:~1I1.fo PARA r.f:_&‹:zUINA DE coi-zRENTE comríz-\fU.A.
ALCINDO DO PRADO JUNIOR
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM CIÊNCIAS - ESPECIALIDADE ENGENHARIA ELÉTRICA
e aprovada em sua forma final pelo Curso de Pos-Graduacao.
H _ _ _ ¶{ ctz/ r,z _,_
.
Prof. Luizíšënzšga de Souza Fonseca Orientador«.
Prof. Hans Lelmut Zúrn,ÂW1D- Coordenador do Curso
Apresentada perante a banca examinadora composta dos professores:
?rof.Inn1=Gonzaga de Souzašpnseca, DSC. d
CQ \
Prof.Rajamani Doraiswami, PhD. íÍhDQfiz~Â
Prof.HamiltonLédeirosSilveira,D.2t. ~#%i r Il/z/If/~7p
M' ¬ . ñ . ¬ ›_. -. M l.T .
f M;/O zrol. àahgendra àaralnalngn, rnú. \, - / (_
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yÉÉ
A minha esposa, Marisa
A meu filho, Eliézer
iii
S U M Ã R 1 o
lV
I I O I O I O O O O I I I I O O C I I O O O I I I I I I Q O I I O O I I I O I I O O O I UCOOOOOIO ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . ... . . . . . . ..vii
00000 00 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000000
CAPÍTULQ I - FODMULAÇÃO Do PROBLEMA
IDTRODUÇÃQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . ... .. 04 1.1. MDDDLO Do mofo: DE CDRRENTE OONTÍNUA . . . . . . . . .. 04 1.2. O ?ROBLEXÀ DE COITROLE ÕTIHO ...... . . . . . . ... .. O7 1.3. 1 SOLUÇÃQ Do PRQBLEDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 08
z-0
1.4. Húzzão DE co¿' 1 " . . 10 C LÊ'
*'43 L* “ÃJ CD U1 bn 0 0 0 0 u
1.5. COHCLUSOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. 12
C3 +3 '~¡~,. <1 vã O cAPÍTULc1Iz- cuâvâ DE ea " -APDQXIDÀCÃQ No PLANO DE FASE
INTRODUÇÃO .. ..... . . . . .............. . . . . . ..... 2.1. ACDL _
2.2. DDSÀCDLDDÀÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .. ..... 2.3. ÀPRQXIDAÇÃO P121 ic . . . . ...... .... .......... 2.4. A CUDVA DE.oomUTAçÃ0 . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ..
2.5. s1;ULAçÃo D1 CURVA DE QODUTAÇÃO ... _. . . . . . .... 2.6. CDDCLUSÕES .. . . . . . . . . . . ... . . . . . . ...............
ÊIÍÍ 'P733 &.` *(2
{J>lO 0 0 0
CAPÍTULOIII- CUHVA DD LIJITÀÇÂO cam Límlrâçšo DE CORRENTE
~ ¢ 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 › o 0 0 00000000000000000000 3.1. moD1D1câçÃo '1 ^UAçõDs DIDÃDICAS ... . . . . ..... 3.2. COEÊORTÀLEKTO DO SISTEÂÀ COI LIKITAÇÃO DE COR-
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3.4. RD5ULT¿Do5 D: s1xu1àÇZ0 . . . . . . . . . . ... ......... 3.5. co§cLUsõ3s . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . ....
13 16 17 18 23 25 34
35 35
36 40
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CAPÍTULO IV - A2RoxImAçÃof¿ss;mTóTIcA~
I U O I U I À I O O O O O Ó Í O I Í I I I I O O O I O O O O O O O Õ O I
_ - ~4.1:-à HUDÀHÇA Do fiofio DE QPERAÇÃO E" ”-":À _
O Ó C O I O O O O U Ú C O O I O O O O I O O I O O I O U Ô O Í U O
4.2. PRESENÇA DE AUTO-OSCILAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . ....
o co H U2 -3 Ê!
4I3O IIOOIOOOOIÚIOIIIOQOI QOIOII64 4.4. ESTABILIDADE DO SISTEMA REALIEENTADO .........66 4.5. IHPRECISÕES NO SEGUNDO MODO ........ . . . . . ..... 4.6. DELIHITAÇÕES no SEGUHDO mono ............. ...68 4.7. RESULTÀDOS DE SIÃULAÇÃO .......... . . . . . . . ....7O
na
4.8. COHCLUSOÉS . . . . . . . ............... ... .... ...75
. CAPÍTULO v' - couENTÁR:os FINAIS . . . . . . .... ... . . . . . . . .....
0000000000 0000 0 0 0 0 0 000 00 000 000000 Q 0 Q 0 00100
V1
BLEÊLTLÍQ
Este trabalho apresenta o problema de posicionamento do eixo de um motor de corrente continua em tempo minimo, con- siderando a nao-linearidade proveniente do atrito. Utiliza-se
Ox uma Íormulaçao por controle timo e e descrita a soluçao teori ca: controle "bang-bang" com duas comutaçoes na tensao de arma dura.
av Para melhorar a aproximaçao sub-Ótima apresentada em trabalhos anteriores, que usa apenas uma comutação, e proposta uma linearizaçao por partes na funçao que relaciona a corrente de armadura e a velocidade angular antes da ocorrência dessa
à -. .L comutaçao.
No sentido de atenuar os picos de corrente que apare vw
. ` ¬ cem devido as mudanças bruscas na tensao de armadura, É propos ' vv ¬ 4. to um esquema de limitaçao de corrente.
O estado final alcançado tem uma componente de cor- rente nao nula, o que implica num erro de posicionamento. Para reduzir o erro cometido faz-se uma mudança na estrutura de con trole, que leva o estado para uma vizinhança do estado final pretendido.
IU É A sao dadas condiçoes sobre os parametros do sistema para que se tenha estabilidade assintótica.
Alguns exemplos numéricos ilustram a metodologia de senvolvida.
vii
A B S T R A C T
This work presents the minimum-time position control problem of a d.c. motor shaft, regarding the non-linearity caused by static friction. The Optimal Control Theory describes the solution: the control is unique, bang-bang, and has two switches on the armature voltage.
ln order to improve the near-optimal approach develop ed in early papers,which.uses only one switching, a piecewise linearization was proposed in the Íuntion With relates the armature current and the angular velocity before the switching ocurrence.
Álso, current limitation was proposed, aiming to at- tenuate the current peamswhichappear because of sudden changes in the armature voltage.
The final achieved state has a non-zero current component, causing a displacement error. In order to reduce this error it is made a change in the control structure, which leads the state to a required final state neighbourhood.
Conditions are given to the system parameters to obtain asymptotic stability.
All over the work some numerical examples illustrates the developed methodology.
\
l
I;'n*aop_UQÃo
O objetivo deste trabalho consiste em estudar o posiçi onamento do eixo de um motor de corrente continua no menor tempo possivel. Tal proposito originou-se da necessidade de posiciona- mentos rápidos em maquinas-ferramentas de controle numérico, on- de o tempo constitui um aspecto importante. Extensivamente, o es tudo de posicionamentos rápidos interessam a muitos outros siste mas, o que torna este tema bastante atraente.
A soluçao exata do problema de posicionar o eixo de um I . . ¬ motor de corrente continua em tempo minimo existe e pode ser mí
nifesta quando se aplica o Princípio do minimo de Êontryagin 7_. Porem, surgem certasdificuldades matemáticas, que tornam um re-
av sultadode forma exP1íCiÍã-de dificil obtençao. O que se tem fei- to até agora sao aprorimaçoes sub-Ótimas, onde o conflito preci-
zw sao versus tempo de posicionamento sempre existe,[4J. Os resultados desenvolvidos baseiam-se em dois traba -
ou lhos anteriores ([4]e [91), onde sao apresentadas as ideias bási cas que serao exploradas: comutação "bang-bang" seguida de apro-
uv ximaçao assintotica - o que em outras palavras pode ser dito cg av mo procura de rapidez e precisao.
Dm Éfi , o controle "bang-bang" e feito atraves de uia curva de comutaçao. A precisao do metodo pode ser melhorada, a-
vv I o n n lem da sua propria formulaçao, pois a corrente de armadura atin-
ãe valores excessivamente altos de pico quando ocorre a comuta - çao.
Tenta-se solucionar ambos os problemas mencionados aci ma, melhorando a precisao e formulando nova curva de comutaçao , em abordagem que leva em conta a limitaçao da corrente de armado ra, o que facilita o emprego do metodo para qualquer tipo de mo- tor de corrente continua.
2
4] faz-se uso de aproximação assintotica na parte LI)B r_¬
final do processo, onde a realimentaçao É necessária para corri gir as imprecisoes da comutacao "bang-bang". No presente traba- - _ U _ lg _ _* _ _ _ _ _
, . ¬ ¬ . ¬ lho desenvolve-se um metodo mais adequado para o progeto desse tipo de açao de controle, inclusive levando em conta a presença
~ de elementos nao-lineares, que podem fazer todo o sistema osci- lar.
A figura l ilustra o funcionamento pretendido do posi cionador, onde podem-se visualizar a comutação e a aproximação assintótica final.
velocidade¡ angular
comutação ¿¿//// "bang-bang" .
›‹ aproximaçao z Í z assintotica
I' posiçao
posiçao angular pretendida
Fig. l - Posicionamento do eixo do motor de c.c. no plano de fase, usando comutaçao"bang bang" com aproximação assintotica.
V
3
O capítulo I apresenta o estudo tedrico do problema de n ~ u -‹ I o posicionamento em tempo minimo e mostra as difuculdades matemati
cas_decQrrentesL
O capitulo II descreve uma aproximaçao sub-Ótima onde É deduzida uma curva de comutação que resulta em resultados mais precisos que os conseguidos anteriormente [9].
. O capítulo III contém o desenvolvimento de uma nova
av ~ curva de comutaçao, onde se considera limitaçao da corrente na armadura.
rw I ¬ _ . O capitulo IV apresenta o estudo da aproximaçao assin- ' - . .
~ ¬ ¬ - ~ ¬ . . .
^. totica final, dando as condiçoes de estaoilioade e inxistencia
de auto~oscilaçoes. .
»
4
CAPÍTULO I
FORMULAQÃO Do PROBLEMA
ODUÇÃÓ *S3 Lã' ru
Neste capitulo sera descrito o modelo matemático do mg tor de corrente continua usado no presente trabalho e será estu- dada a soluçao do problema do posicionamento em tempo minimo, da da pela teoria de Controle Õtimo. Também serao apresentadas as difuculdades de se resolver o problema, que forçarao o apareci- mento de soluções sub-Ótimas.
1.1. HODELO DO MOTOR DE CORRER COHTÍNUÀ D-3 1.111
.Í ."
0 modelo do motor de corrente continua ( com excitaçao ~ ¡ ` independente ou de ima-permanente) que sera usado e o modelo li-
near por partes apresentado em [8] e Ídll, que já leva em conta certas simplificaçoes:a.indutanciae aresistencia.de armadura sao consideras constantes e É desprezada a reação de armadura.
.v I z . u As equaçoes matematicas para tal modelo (vide figura~
2) serao: , . â u = iffl + 111 + L‹ã% (1)
T = Kt i (2)
onde: u = tensao aplicada a armadura fl: velocidade angular do eixo do motor i = corrente de armadura T = torque gerado É = resistencia de armadura
A L = indutancia de armadura K¿= cte. da força contra-eletro-motriz
U
it: cte. motor-torque - it e»Kt dependem da corrente no campo, que sera
feita constante.
m em , ez s A numericamente igual
5
Co o _ (B1 e Fil f -se Ft a Kt.
Supondo que a carga mecanica (inércia mais.atrito) que o eixo do motor suporta nao.varie, estabelece-se na armadura a
nv 4» seguinte equaçao mecanica:
onde: J z
T =a
O torque de atrito podeainda ser considerado como a so
= ifl T J dt + Ta (3)
momento de inércia do eixo do motor mais carga torque de atrito
ma de duas parcelas, correspondentes a atrito viscoso (linear com a velocidade) e atrito estático (constante, dependendo soment
a velocidade angular. -Pode-se entao escrever:
onde:
I
bz
e do sentido do movimento). A figura 3 mostra Ta variando com
Ta: aÁ2 + b sgnífl] ,§2,% O (4)
coeficiente de atrito coeficiente de atrito
1 , X
s5n.[xJ = 0 , X -1
,I
~ z Desse modo, as equaçoes l '}O`2
u=;:¿fl + R1 + Lg-t Lz Õ.Tz
viscoso estático
e 2 poderão ser escritas co-
(5)
¿Zti= J %Z + afz + b s5n[.ç2]
L R ___ A i_ ..
u Ktfl- T=K1t ¢ _
Fig. 2 - Esquematizaçao do modelo usado para o motor ¬ I oe corrente contlnua.
 Ta
arctga. b . _ _ _ _ . _ _ ___'_-..
I ._ fz ~b
Fig. 3 - Modelo usado para o torque de atrito.
7
Convém ainda ressaltar que se partirmos do repouso fy nr N:
(f2=() e 1 = O) , as equaçoes 5 nao serao válidas enquanto:
¡¿|< -1: <õ› V'U
~Quando a igualdade for verificada o motor começara a se mover. Nota-se portanto que Sempre quê a Velocidade p&SS&r
ay por zero, o motor nao mais se moverá se a desigualdade 6 for sa- tisfeita.
1.2. o 1>11o5LE1f_à t- co;-meets ÓTIMO CI LU
Definindo-se como variaveis de estado:
X1 = 9 (t) = posiçao angular do eixo do motor
X2 = äg-= velocidade angular do eixo do motor š§2(t)
X3 = i(t) = corrente de armadura,
e tendo-se o vetor de estado
T X = íxl X2 x3} ,
a partir das equações 5 consegue-se as seguintes equaçoes dinämi cas para o motor:
O l O 0 Í
Q - b " -` X = O T T X + 5- -3 S3¿í:'n_ 3.12
r._.___...-._ O f..
_
_
..._
L
97 ›¬-‹ r^1
ri.
-at › E
L L J* 1»
Deseja-se Ê(t) que transfira o estado inicial
8
O
_ x_(O)__;_ _
(8) _
;E_ Kt
para o estado final 9f
z(rf) = 0 (9)
if
em tempo minimo, sujeito a restriçao '|u(t)|<; U0.
onde: av - Gf = posiçao angular final (pretendida)
- tf = tempo de posicionamento - if = corrente final, que deve obedecer à desigualdade
numero 6.
1.3. A SOLUÇÃO no PROBLEMA
Considerando como funcional a ser minimizado
tf '
JF = t = dt (10) Í O
. ' . I. ., -,!. ¬ , . aplicar~se-a o Principio oo ninimo oe Pontryagin para se determi nar a lei de controle Ótimo.
O Hamiltoniano {7] para o sistema será:
P, P H(t) = l + plxã +-5; (lít:<3- a>:2 - bs,gn[>:21) +-ii (u-Rx3- Ktx2) (ll)
9
onde pl, pg e p3 sao as variaveis de co-estado [7] , soluçao da ao equaçao diferencial
._'_ _ ÃH *Ou P _ gx 7
_ pl- _ 'O 2 O O
_ _ pl
_
a+2bá(z ) K zõ z -1 2 '°
zz ‹12› 2 J L 2
K . à R P3 O 'J L P3; _ _ _ _; _
À lei de controle Ótimo É aquela que minimiza H(t), ou seja, da equação ll:
u* = _. U0 Sgn [pg (13)
Obteve-se controle "bang-bang", como esperado. Para o
problema ser resolvido e necessario conhecer p3(t). Portanto, o sistema de equações composto pelas equaçoes 7 e 12 deve ser solu cionado, tendo as condiçoes de contorno 8 e 9. O valor de tf tam bém É desconhecido e devera ser encontrado pela equação
H(tf) = O (14)
› É É Resolver o sistema definido pelas equaçoes 7 e 12 nao Í
. - . e um problema facil. Dois fatores pesam para dificultar a solu -
°O WIO ou as condiçoes de contorno dadas em tempos diferentes e a nao
linearidade existente no atrito estático. Além disso, para com - . . . ~ '
. plicar ainda mais, o valor de tp nao e conhecido.
10
Parte-se entao para soluçoes sub-otimas [9], ou para a procura da lei Ótima por tentativas [4].
1.4. NÚ1ú.ERo DE cof-.TUTAÇÕES fv
A referencia 6 apresenta uma demonstraçao simples e Ê ficiente do numero de comutaçoes necessário para mover o sistema de um ponto para outro no espaço de estados, que será reproduzi- da aqui.
Seja ria ordem do sistema. Entao o numero de planos de
fase necessários para descrever completamente o sistema É n-1. Seja Íí o numero de comutaçoes exigidos para mover - o
sistema de um ponto para outro no espaço de estados. O numero de . ~ ' equaçoes (ou segmentos) em cada plano de fase que sao necessari-
I I 1 ` _ I I os para descrever a trajetoria e p+l. Portanto, np e o numero total de incognitas (as coordenadas de todos os pontos de comuta çao) e o numero de equaçoes disponiveis e (p+l)(n-1). Para que exista uma soluçao unica é necessário que esses dois valores se~ jam iguais, ~
ni = (Í›`+1)(n-1) (15)
np = np + n -`p -_l
ou, `p = n - l (16)
No presente caso n = 3 c:Q ‹p = 2.
~ ~ f _ vw Ve-se entao que sao necessarias duas comutaçoes na ten "' 1 sao de armadura. A figura 4 mostra a trajetoria do sistema em
dois planos de fase.
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~ 'comutação comutaç ao
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b/Ki. ___-- _ _
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j
4 - .Aspectos da trajetória do posicionamento
I
|
_z _ _ _ _ _ ___ ____; -_i
em tempo mínimo
1;
l
12
1.5. COHCLUSÕES
Este capitulo nao apresenta nenhum aspecto original ,
senao a forializaçao das equaÇoes_dinamicas 7 para o motor, onde nv “' øv ¡ aparece a nao-linearidade sgnfiil. Esta formalizaçao sera impor-
F' tante no decorrer deste trabalho. A presença de d (t) nas equa- çoes 7 nao e significativa, desde que, conforme figura 4, a velg cidade angular é sempre positiva no posicionamento em tempo mini UIQ.
O SDw Ps ti- C Nos próximos los serao estudadas algumas aproxi- maçoes sub- mas, que tentam contornar as dificuldades menciona Os
cf' |_l¢
das, cujo enfoque principal É a implementaçao na pratica. Nesse aspecto destaca-se o capitulo III, onde se possibilita o uso de
r " f .¬ -. ¬f. 4- Í ' 1'.~' qualquer motoi de corrente continua em sua maxima tensao admissi
vel, desde que se limita as altas correntes de pico que aparecem ~ 4» nos trabalhos anteriores devidas as comutaçoes na tensao de arma
dura. '
13
CAPÍTULO II CURVA _. - âPRoxinlp_ ,Primo
Í Pisa U Lfd O S2 6:3 ~3
n P pt) ¡1>
2O :J 3'
›1~¬' O 211O U tri
Inmnonuçio
' Devido as dificuldades matemáticas encontradas na ob- tensao da soluçao do problema de posicionar em tempo minimo o eixo de um motor de corrente continua, que podem ser vistas no .'
. "
. item 1.3, parte-se para aproximaçoes sub-otimas. Este capitulo , Q esta baseado em uma dessas aproximaçoes.
I _ - -~ Em [9] e realizada apenas uma comutaçao na tensao de
~ armadura, atraves de uma curva, chamada curva de comutaçao. Co- 'V .
_ ›` "' I mo a previsao teorica e para duas comutaçoes (item 1.4), e cla-
ro que a posiçao final nao e aquela dada pela condiçao de con ~ torno 9 - a corrente final nao obedecerá a inequaçao numero 6 para todo Qf. Porém, como a constante de tempo elétrica do mo - tor de corrente continua e muito menor que a constante de tempo mecanica, a corrente devera se anular rapidamente se o sistema for desligado (u =O ) quando a velocidade angular passar por ze ro, obtendo-se um posicionamento razoável.
A figura 5 mostra uma curva de comutação no plano de fase. A figura 6 ilustra como o posicionamento e feito.
Deve-se notar de imediato que a precisao do metodo pg de nao ser muito grande, uma vez que nao se conhece o valor da corrente, e portanto do estado do sistema, quando se desliga a tensao de armadura.
Este capitulo limita-se apenas em melhorar a precisao da curva de comutaçao sugerida em Íš] , bem como modificar algu mas expressoes matemáticas que la aparecem.
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Fig. 5 ~ A curva de comutação e várias trajetorias vistas no plano de fase.
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. . ( . _ . . Flg. 6 - Pr1nc1p1o ao pos1c1onamento com apenas uma comutaçao na tensao de armadura.
16
2.1. ACELERAÇAO
O motor somente começara a se mover quando o torque ge rado se igualar ao torque de atrito,
T = b , ou seja
1 = -§- (17)t
O valor de ts que aparece na figura 6 e facilmente calculado, desde que o sistema com velocidade nula se comporta como um circuito RL,
U K L o t ts ' R log U6-Kt-Rb (18)
Tomando-se a Transformada de Laplace das equaçoes 5 e como instante inicial o instante ts , tem-se:
onde
U(s) = KtíÍ4s) + RI(s) + sLI(s) - -šgit
(19) 1<t1(s)= ams) + 3;- + zJfZ‹S›
` U Na aceleração U(s) = -EÊ- , o que resulta
U<›K1;_ bn _Q_(S): JL
Í JL q (20)
s(s - sl)(s - s2)
17
2 2`
-4RJ+aL)i J(RJ+aL)-41MaR+KQ Sl 2
= r a ~ z f W (21)
' 2JL
Comumente sl e s2 são dois números reais negativos,
[9], com
|s2|;>|sl| (22)
Fazendo t'= t- ts tem-se: (23)
z s s t' s s t'2 ~§l(*') *í2f {1 + Z“ÊÊ" 9
1 + ":ÊÊš` e 1
(24) “1 “2 “2 1
UQKt-bR onde .ÃÍT = ----77- (25)
aR 1-K;
2.2. DESACELERAÇÃO
Tomando-se a Transformada de Laplace das equações 5 ,
e como instante inicial o instante tc de comutaçao, tem-se
U(s) = Kt1Yls) + RI(s) + sLI(s) - Lie
(26) KtI(s) = aÃ1(s)+ -š~ + Jf2(s) - Jflb
onde: ~f
U0 “(8) "T ic = i(tc) (27)
LQC =.í2 (tc)
18
Isso resulta:»
ë ns2fz-+ im +n-1;- W -_1S-e.1};›_-.~K;É° .Q‹s› = ~ e° ~ °
o
e e° e e e ‹2õ›
V
s(s-sl)(s - S2)
Fazendo t" = t - to tem-se
slt" s2t" _
_f2(t") = A2 + B2e + C2e (29)
B S 13" C S Ê" 9('Ê") = A212" + 'S-É 8
1 -I› 'SÉ 6
2 + D2 -L.
onde: -Rb - KÍUO ~Rb - K
A2 z ----- = (31) JLs1s2 Êè + ‹.-+Nr\>
*C1o
K R t _ b B _ _ Q-cÍ(S1'*í) Í (T lc ` J) * s2A2 2
_ W (32) s2 - sl '
R K b _Q(S+-)+(__.:bi ---)+sA °2= cg I' J ° J rlz (33) S2-Sl
:à ‹z 2 2 D = ----- ‹34› 2 sl s2
' 2.3. APROXIMAÇÃO Pmu. ic As equações 32 e 33 mostram que a curva de desacelerâ
ção depende das condiçoes de contorno ÁÍb e ic. Para a obten-
19
ção da curva de comutaçao, o autor do artigo 9 fez a corrente
ic nula, o que leva a aumentar a imprecisão do metodo, visto que nv na coputaçao a gorrente de armadura Qode atingir valores muito Ê
levados. Neste item será tentada uma aproximação, fazendo ic cg
mo uma funçao de.fZC. zw
Das equaçoes 19 resulta
.b..S2+[__ab + 32% + É J; Í Kt JKt íL JL JL
Ic(S) = e (35) V
s(s-s1)(s-sz)
e portanto
. Sltc S2tc
1c(tc) = A + B e + C e (36)
onde:
bKt + aUo Az __._2_ (sv) aR + Kt
T
B = of e f (38) sl(sl - s2)
_E_S2 + ab + ug S + bxt + auo
Kt 1 Jfit L 1 JL
_E_s2 + ab bK + aU K 2 JK
s2(s2 - sl)
E+
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+ 6+
Ê-4HO
Desde que |s2|;§>Fl\ , a figura 7 abaixo representa aspectos reais de ic e 12€ e sugere a aproximaçao por retas usada nesta abordagem.
521,
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Fig. 7 - Aproximaçao por retas sugerida para a
b
rw
corrente de comutaçao
HF)- .šš C
2.3.1. RETA I
Neste caso supoe~se que somente a influencia do sl É significativa e a equação 24 pode ser aproximada por
s t' _(;__C(t¿) Qflf [1 - e1°]
onde t' = t - t c c s
Logo,
À
(2. -fl t. = ._l__ l0g_.¿_______2 c sl _f2f
uv , _ A equaçao 36 podera agora ser escrita como
sltë i (t') = A + B e c c
Usando a equação ü2 tem-se
. B lc? (Aí-B)-IE;--(lc
~ nr A equaçao 44 É a equaçao da reta I, sugerida na figura 7.c.
2.3.2. RETA II
A reta II (apresentada na figura 7.c) É a reta que pag sa pela origem e pelo ponto (ib ,Á:Zb) , onde;
21
polo
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
22
tm = instante onde a corrente passa pelo valor máximo
b 2
t £lb= §1`(`Ê¿)
O valor de tm é facilmente calculado, ao se derivar a equação 36 e igualar o resultado a zero:
s t s t l m 2 m Bsle + Cs2e = O ,
de onde, -Bsl 10g '-ag;
.t = ------ 45 mS_S ‹› 2 l
t Aplicando tb = -EE nas equaçoes 24 e 36 ter-se-az
s s t s s t2
fz * -fl {1 +
-~Ê- e lib + --i- e 2 bJ (46) 1 2 2 l
b ' f s -s s -s
S É S t b 2 e i.b = A + B e 1 + C e b
(47)
_
'V, A retaj[[pode entao ser escrita como
1 1 = -É ÁÍL (43) c ¿1b c
2.3.3. MELHORA na APRoXImâçÃo V
É claro que a aproximação sugerida pela figura 7.c, a- través das retas-I e Il pode ser melhorada, principalmente no
›
23
tocante as baixas velocidades. Isso deverá ser feito, no caso de posicionamentos de curta distancia, o que deverá ocorrer num pro
- o ø I w cesso iterativo em maquinas de controle numerico, por exemplo no corte de uma chapa em desenhos curvos.
A aproximaçao desenvolvida neste item resultou em me -
lhora significativa dos resultados anteriores, do artigo 9. Isso devera ser demonstrado no item 2.5.
2.4. A CURVA DE oo1iUT_AçÃo
O tempo necessario para o motor parar quando está com vv uma velocidade_§2b pode ser conseguido atraves da equaçao 29.
Desprezando-se o efeito do polo s2, dada a inequaçao 22, tem-se:
A _
T= -šl-1‹›â‹--Ê-› (49) l B2
Definindo-se como Qdda distancia angular percorrida nv na desaceleraçao, tem-se z
eddz Gf- 9c= 9(.t"=T)- 6(vz==o)
ou A partir da equaçao 30 chega-se a
A A A B C 2 2 2 2 2 Gif 'é"1°@<-í) - Ç- 5°- 3" (50) 1 2 l 1 2
, Usando-se as aproximaçoes dadas pelas equaçoes 44 ou 48, a partir das equações 32 e 33 obtem-se:
B2 = °<ÃÍ% +~/5 (51)
e C2 z WQC Y + J Sze f_or usada a equação 44..__(retaI)_›. tem-sg:
R _
K Bt S1 * L
` Jízf ‹›<=-------~
sl-S2
K
_.
t b
fi J (A+ B) -_ J + SÊA2
S1 S2
K B S + ll _ .ia
Y? 2 L <xzÍ
S2 S1
K t b4
J (A+B) - J + s1A2
24
(52)
(53)
(54)
(55)
Á z a W S -S 2 l
Se for usada a equaçao 48 (reta II - para posicionamep: tos de curta distancia) ten»-se:
f R ktlb
s + - + --J 1 L _gzb
04 = ----~---- (57) sl-S2
S A _ ll fi = -Ê-2--«--~°1~ (sô)
Sl-S2
25
KL S+_â+ ni 2 L Q_bJ ¶za»~~aa»~a (w)
._ 3.2, " Sl ._
(00) (§:S1A2"`Ít;` ,
.S2-Sl
Usando~se as equações de 50 a 60 chega~se a curva de comutaçao desejada:
A - A ‹>‹.C2 +5 ¶~Q +J ¬<Q.=-É â‹~ä~`~s¿-~ Q~~-5 °¬ ‹õ› Qdd c) sl lo ( o(_(Zc+fi )
sl sl s21
A curva de comutaçao descrita pela equaçao 61 difere daquela apresentada no artigo 9, seja no tocante ao acréscimo dos parametros fp e J., seja no tocante ao calculo diferente dos parametros oi e (5 , devido ao fato de nao se considerar nu- la a corrente de armadura na comutaçao.
2.5. 'ração cU?.v_zà DE cor.:UT_âçÍão U2 H E tr
Para constatar a vantagem dessa curva de comutaçao so- bre a anterior fez-se a simulaçao de ambas as abordagens, usando
DJ U) o motor de corrente continua apresentado em [8] , [QJ e [1r]. _ se motor (Peerless Electric - Porter Co.) apresenta os seguintes dados de placa:
Potencia - 0,736 KN .IV
Tensao de armadura - 90 V Corrente de Armadura - 9,5 A Velocidade angular - 650 rpm
26
Os parametros para a aproximaçao linear por partes do .,
' . 1 ~
motor oe corrente continua, descrita no item l.l sao:
R-._=, 1,03šl_, L = 1,54 mH a = 0,0l W/(rad/s)2 b = 0,323 raia/S
J = 0,019 Kg.m2
xt = 1,13 v/raa/S U0 = 70 v
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' ~ IV
I/ A aproximaçao da corrente de comutaçao atraves das rg
' . ¬ z tas I e II e mostrada na figura 8 para os dados acima. uu A figura 9 apresenta as curvas de comutaçao, tanto a
desenvolvida neste capitulo quanto aquela apresentada em [9].
As figuras-10, 11, 12 e 13 apresentam varias trajetori as no plano de fase, para varios valores de Ôf , para ambas as curvas de comutação.
A figura 9-A mostra o diagrama de blocos do posiciona 1 . 1
A . I ¬ n dor usado neste trabalho. Basicamente a distancia do alvo e meoi
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da e alimentada no gerador da curva de comutaçao, dando a velocí ‹~ 1 dade S 26 quandofa comutaçao devera ocorrer.
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DJ U) 2.6. COHC
O tema central‹Êste capitulo sao as nQdificaçnes_na" _ A ._ _- _
IQ «_ ^ 4. curva de comutaçao deduzida em [9] , modiiicaçoes estas que le~ varam a resultados mais precisos, o que pode ser observado pe - las simulaçoes de posicionamentos realizadas no item anterior.
_ Contudo um aspecto pode ser notado: a comutaçao acar-
reta altos valores de pico na corrente de armadura, algo que pg de ser bastante inconveniente.
~Y I ~
-
¬ I ¬ _ 1 ¬ no proximo capítulo devera ser deduzida uma nova cur- ~
. ' . ." va de comutaçao, onde se considerara limitaçao nessa corrente
de armadura. É evidente que em muitos casos isso e bastante de- sejavel.
35
CAPÍTULO III CURVA DE comUTAçÃo com L1mimAçÃo DE ÇQRRENTE .L
:_ INTRODUÇÃO
Foi citado no capitulo anterior que a corrente de arma dura alcança altos valores de pico, principalmente logo após a comutação. Esse fato pode ser observado atraves da figura Zét on de um motor de l HP-9,5 A chega a ter perto de 95 A. Se esse motor estiver sujeito a posicionamentos repetidos numa frequen -
cia elevada, certamente haverá problemas de superaquecimento lo- calizado. É interessante entao que se limite a corrente a um de~ terminado maximo. É claro que neste caso o posicionamento será mais lento, mas se estara trabalhando dentro da faixa normal de operaçao do motor, o que, além de ser mais recomendável, permite que se possa usar qualquer tipo de motor de corrente continua ,
nao sendo preciso projetos especiais.
3.1. monlriciçlo NAS EQUAÇÕES DINÂMICAS
Quando a corrente de armadura atingir determinado va -~ r _ 1 lor maximo 1, a fonte de tensao 3; devera mudar suas caracteris-
ticas, de modo que esse valor de corrente seja fixado. O sistema agora devera ser alimentado por uma fonte de corrente de valorl.
Nestas condiçoes as seguintes equaçces serao estabele- cidas (veja-se figura 2):
T = Ktl = Jiâ-Ê;-2 + aQ + bs¿"n[.Q] (62)
u = rf§Z + ni (63)
I ' P9 » pagina 9_
36
Observa-se que se a corrente É constante,o torque dg senvolvido também o sera, e do mesmo sinal da corrente. Tambem a tensao de armadura devera variar linearmente com a velocidade.
~ A partir da equaçao 62, usando as variaveis de estado ja definidas no item 1,2 , tem-se as equaçoes dinamicas para o
sistema: A
p
šl o 1 xl o (64)
_ =
[
-Ê + Ktl-bsgn[x2;| X2 O J X2 """`3`"""`
Ui ¡- 3.2.`COKPORTAEENTO DO `STEKA COM LIMITAÇÃO DE CORRENTE
. . . . I. ¬ . . "
¬ A figura 14 abaixo ilustra a ideia oa limitacao de cor rente de uma maneira global e mostra os pontos principais que da
ou ` _ rao base a abordagem deste capitulo. ou Observe-se que a tensao de armadura também devera ser
limitada (figura 14.0), o que implica que devem-se dispensar cui dados tanto para a corrente como para a_tensao de armadura em se us valores máximos.
Antes do instante tl a corrente tem seu valor menor ¡ rs _ que I e na armadura Valera a equaçao:
= ,zfl .- ii. U0 Lt + 121 + L dt (65)
. ¬ . , I . _ A partir oo instante tl, ate o instante t2, tem-se
. . -_¡__. ¬ ' f . torque constante e positivo, o que oevera fazer com que a veloci . , ~ dade angular aumente, aumentando consequentemente a tensao E ,
pois
u(1z) = rtfl +31 (tlg átg) (66) ti-
ku O\
Observa-se que se a corrente é constante,o torque dg senvolvido também o sera, e do mesmo sinal da corrente. Tambem a
~ ' Í . . . ¬ tensao de armadura devera variar linearmente com a velocidade.~ A partir da equaçao 62, usando as variaveis de estado
já definidas no ítem 1,2 , tem-se as equaçoes dinamicas para o
íl ›O 1 xl O
_ ‹õ4›
32
_
O _-Ê X + Ktl-bsgn[x2J
sistema:
2 J 2 J
3.2. COHPORTAEENTO DO ` À. COM LIMITAÇÃO DEm F- U) H Ei? .Q co m m Ê?3m
. . z -¬'. . . " ¬ A figura 14 abaixo ilustra a ideia da limitaçao oe cor
rente de uma maneira global e mostra os pontos principais que da rao base a abordagem deste capitulo.
Observe-se que a tensao de armadura também deverá ser limitada (figura l4.c), o que implica que devem-se dispensar cu; dados tanto para a corrente como para a tensão de armadura em se us valores máximos.
Antes do instante tl a corrente tem seu valor menor que I e na armadura Valera a equação:
af - .QL UO-1rtfl + R1 + L dt (65)
. ¬ . Í . A partir oo instante tl, ate o instante t2, tem-se torque constante e positivo, o que devera fazer com que a veloci dade angular aumente, aumentando consequentemente a tensão 3 ,
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um z zzztfl +31 (àlgàézg) (õõ)
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Note que -
+ _ _ SÉ; u(tl) - U0 Lat ,cztí 4 U0 (67)
Quando u(t) atingir o valor maximo U0, no instante t2, deve-se novamente fixa-la nesse valor, deixando a corrente flutu ar. Ate o instante tc, de comutaçao, valerá na armadura novamen
~ te-a equaçao 65. Essa equaçao mostra que a corrente nesse inter~ valo devera cair, pois, se a velocidade ainda tende a aumentar (torque positivo), a tensao no indutor sera negativa:
di .
1, dt z no _ Ktšl _ R1 < o (tgé étc) (és) ‹+
Na verdade esse é o caso mais geral, pois a comutaçao ja poderia ter ocorrido, sem que ocorressem todos esses casos.
Ocorrida a comutação no instante tc, a corrente de ar- madura novamente devera crescer, desta vez por valores negativos O mesmo ocorrerá com o torque.
Do instante tc até o instante td (quando a corrente atingir o valor -I) valerá a equaçao na armadura:
di _ = f - ___ < U0 Ltfl + R1 + L dt (tcétwzd) (69)
No instante tá:
f ubzã) = Ktfl- - 121 (70)
Comparando-se a equação 70 com a 69 ve~se que
+ _ _ _ SÉ; uwó) ' U0 L ât Irztá (71)
39
Como íëi- ¿- < O , tem-se dt =td ‹+
uczã) i> = Uos (72)
-A partir do instante td se estabelecerá a equaçao:
u(t) = Ktfl - RI (t> td) (73)
" 4* o .› Nenhuma mudança nas equaçoes dinamicas ocorrera ate
que se atinja o ponto desejado ((9: Gi ;§1~= O), como se mostra- rá;
Suponha-se que haja mudança nas equaçoes dinamicas, no I ~ z.
instante hipotetico th. Entao, u(th) = -U0.
A equaçao 73 da entao:
-U0 = Ktfluzh.) - RI (74)
Q
Da equação 66:
Uoz (tg) + R1 (75)
Comparando as equaçoes 74 e 75 vem:
ílvzh) = -Q (tg) 4 0 (76)
/
Como somente se trabalha com _Çl-(t)Ê> O , conclui-se que o processo chegara ao final com a corrente constante i= -I, valendo a equaçao 73 na armadura. V
40
3.3. cuíavê. DE co1z1UTAçI.o
Como no capitulo anterior, devera ser encontrada a cu; › _ ` "` “ J - -- ¬ - _ ¬ .L
~ va que É o lugar geometrico dos pontos de comutaçao, no-plano de fase, desta vez levando em conta a limitação da corrente de armadura.
O que se deseja š obter a distancia percorrida desde o
instante de comutação até o instante final, em funçao da veloci nv
dade angular de comutaçao.
Como já mostrado no item 2.4 essa distancia pode ser escrita como
eddz ef- GC (77)
Definindo-se: t"= t - t c Ez 1:-*ú
d (vô) Tl= td- tc
T = t - 2 f td
, tem-se que
Bad = 9(~z"= Tl+jr2)= 9 (Ez T2) , _
(79)
ao se admitir 9 (t"= O) = O.
3.3.1. CÁLCULO D3 T2
Considerando-se o instante td como o instante inici- al, na armadura se estabelece a equaçao 73, tendo como condi - av çoes de contorno:
G(%=o).-z 9(¬ê"= T1) z Qd (80) QG- o)-(2<¬:~= T1)= Q. _ _
- Q
41
Isso resultará em
-K I-b 1~:I+b -5% _ - _ to 1; J ílvz) z -E-~+‹e(f-Zd t+ )› e--da ~ (-81)
No instante t = T2 a velocidade angular se anula e
se obtem
K I + b J r T2 " `
â. l°g(a_O_d+ Ktl + b) (82)
Integrando-se a equação 81 e aplicando t= T2 se conse gue:
+`b _ J Y
z . Guz mz-[(:«UCT+1›)1<zg(------) + af2aJ+9d (83) d t
Nâ 2 a2
` aj2_ 1 K I-fb
Observa-se que se ljld ea Qd puderem ser expressos como funçao de .§Í%, a curva de comutação tera sido encontrada.
3.3.2. cÁLcULo DE Tl
O primeiro passo para se obter Eë e .(1a e calcular o valor de T1 , como pode-se ver das expressões 80.
~ z
A partir de tc até td valerao as equaçoes 26, de onde:
1 s + -1 ---_-- s+------ I(S)= (34)
s(s-sl)(s-S2) `
'Y T7' _ a Í
2 [ a U0 “tšlb “tb bo
C J C L L JL
Portanto,
Slt" S2-Í-,Il
i(ê")= D + Ee + Fe (55)
onde:
K b-aU t o D = ----- , ..._ JLSl$2_
_ 2 a U K §Í_ K b t o s+------ . - aU 1 S 1-[- i --9--É-EJ
E : 2c2l J c L L 1 JL 87)
(_
(
Ê( S1 S2)
Como o intervalo de
U Kb-au i s2+- Ê i --9--42-E s + t O
F : c 2 J C L L 2 JL s2(s 2
tempo T I
86
88
2 1 e pequeno, devido ao fa to da constante de tempo elétrica do motor ser bem menor que a constante de tempo mecanica a e
N , quaçao 85 pode ser aprox
por:
i(t") = (D + E
Para i(t"= Tl)= -I
l T1 - S log
2 F (
S -tl'
) + F e 1
tem-se
(-I- D-E)
3.3.3. CÁLCULO DE Qd E .OE8
Como T1 é pequeno a _ , equação 29 poderá s
Q‹z~«zâz¿›=fld- 2 2 s9Tl
2
-A +B(l+sl'1'l)+C e`
Note-se Que apenas
2 ‹
_ dois termos da série de Taylor da exponencial de s T ° ioran toma 1 1 * "
Usando-se a equaçao 90
dos
na 91 resulta:
`(
imada
89
90)
er escrita
91 )
~ ( )
-S1-)
)
43
B s ,
-I-D-E 21 ~I-D-E fzd = (A2 + B2) + ¢2‹-~¬§--› + -¡;;~ 1og‹--5:--› (92)
Fazendo-se o mesmo tipo de aproximação para a equaçao 30 tem-se:
A + B C 2 2 -I-D-E 2-I-D-E 9d = T l0g( F )+ S2( F -1) (93)
9 Como pode-se ver pelas equações 92 e 93, (ld e ed
dependem somente de.(Zc e de ic (vejam-se as expressoes que de finem wM UJ
u Oo w (D ng \./
H: *Jz
OQÉW A corrente ic, conforme l4.b e equaçao 36 ,
; A
I podera estar entre I e A. Àrbitrando-se um valor intermediario,
. I lc = íí › (94)
faz-se que ÉÊ-d e Gê dependam unicamente de Szlc. Reunindo-se as equaçoes 79, 83, 92, 93 e 94 obtem~se a curva de comutação procurada: .
E I + b _ _§_ .____._É_____.__ 9õâ(O`¢)` az (K~cI+b) l°g( aflã +1‹;tI + b ) * aflà *Ga (95)
ao av
A aproximaçao dada pela expressao 94, embora pareça grosseira resultou bastante satisfatoria nas simulaçoes efetua- das para testar a curva 95.
f .~I~_à_Do:*› DE 51; ¬JLz'~..çZ.o DJ -Í>~ ,JIJ L"J C'z C1L
A figura 15 apresenta a curva de comutaçao descrita pg la equaçao para o mesmo meter usado no capitulo anterior. À KO U1
44
corrente nesse caso foi limitada em I = 25 À.
. ,` , . . . Às Iiguras 16, 18 e ¿O apresentam varias tragetorias no plano de fase, para valores Q; iferentes de 6%. As respecti- >
vas correntes e tensões de armadura sao mostradas pelas iigu ras 17, 19 e 21.
.O -
A figura 22 faz uma comparação do comportamento da corrente de armadura para os casos de posicionamento com e sem limitação de corrente para. 9f= 2'‹T.
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3.5. CONCLUSÕES
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dura. Isto vem a solucionar possiveis problemas que ocorrerao de rw vido aos altos valores de pico gue ocorrem devido à comutaçao
"bang-bang".
A precisao desta abordagem resultou tao boa quanto a do capítulo anterior, como pode ser visto pelas simulaçoes real; zadas. Como o esperado, o tempo de posicionamento aumentou. A ta bela I abaixo permite que se possa comparar os tempos de posicig namento de ambas as abordagens para os casos apresentados neste trabalho. '
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TABELA I - Comparação entre os tempos de posicionamento com e sem limítaçao de corrente.
A tabela II compara as correntes finais para as duas abordagens. É interessante que se note que as correntes finais Quando se_usaz1imitaçao de corrente podem_§$r menores; isso f_ ra com que a aproximação assintótica final seja mais rapida
Q
Q
Ôf (rad) corrente final corrente final
caso com limi- ` taçao. (A)
caso sem limi- taçao. (À)
o,oi -47,2 -25,0
"56y3 "25;O
ZW -60,2 -25,0
TABELA II - Comparaçao entre as corrente finais
, I _ 1 ¬ 1 . ^' No proximo capitulo se estuoara a aproximaçao assir-
' I n n -¬ ~ ¢ totica, realizada no final no processo de posicionamento, des- tinada a eliminar as imprecisoes decorrentes dos metodos estu- dados ate aqui.
~
~ com e sem linitaçao de corrente.
55
CAPÍTULO Iv ou
APROXIMAQQO AS$L¶ HI! O~ H H Q :L`
INTRODUQÃO
A ideia de operaçao com dois modos (comutaçao "bang -
ban " seguida de aproxima ao assintotica descrita ela fi a o 1 !
ae ~ _ _
A '
l,surge devido as imprecisoes nos posicionamentos dados pela cg mutação "bang-bang", que É de malha aberta. Para aumentar a pre cisao deve-se fazer uso de realimentaçao na parte final do pro- cesso. ~
A imprecisão do primeiro modo fica mais notória quan- do se visualiza os posicionamentos no espaço de estados (figura 23). Como observado nos capitulos anteriores, a corrente final nao e nula e pode atingir valores elevados. Assim, a aproximaçao assintotica pode ser necessaria para um desempenho a contento.É claro que para aumentar a precisao paga-se o preço de aumentaro tempo de posicionamento.
4.1. A MUDAN MODO DE OPERAÇÃO E O SISTEMA REALIMENTADO *(3 '¿I> U (FJ
Observando as variaveis de estado definidas no item 1.2 , considere-se o plano no espaço de estados definido por:
.Q z o (96)
A mudança do primeiro modo de operação para o segundo dar-se-a quando a trajetória decorrente da comutação "bang-bang" cruzar esse plano.
Esse critério tem a vantagem de ser bastante simples de ser realizado, e, como se vera, bastante eficiente. A figura 24 abaixo ilustra a mudança de modo de operaçao vista no plano de fase.
» página 2»
inIi
Fig. 23 - Posicionamento
Fig. 9
ill
Q
I
I1
I
56
posicionamento visto / no plano de fase
S- /af 9
/ . . oosicionam ` ento visto /.L
¡ no espaço de estados/
/ ¬ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ ,¿,/f estaoo
DJ Q? Q; O
visto no espaço d
Q4
pela
final
comutaçao'%ang-bang" e estados
modo Q; QQ mudança
de operaçao
E\ 9f
de onereçao "ud¬n^a de modo ~
_ _4 - Critério para a s a-,
57
O diagrama de blocos do sistema com realimentaçao de estados que sera usado para a aproximaçao assintótica pode ser visto atraves da.figura 25.
O motor de corrente continua, cujo modelo É apresenta~ ido no itemlfil, pode também ser descrito em diagrama de blocos ao se observar as equaçoes 5. A figura 26 apresenta esse diagrama de blocos, onde o bloco com traços duplos representa a nao-line- aridade existente no atrito estático.
A figura 27 apresenta o sistema usado para a aproxima- çao assintótica de um modo global, onde se juntam os diagramas das figuras 25 e 26.
4 . 2. ~ ' DE .zâUTo~osc1LiçõEs hà :zw L¬1;I Cz E E1 «S :z›
Desde que o sistema realimentado descrito pela figura 27 contém uma nao-linearidade, deve-se detectar a presença de au
~ to oscilaçoes.
Reduzindo-se o diagrama de blocos, fazendo~se 9f==0 ,
chega-se a configuraçao descrita pela figura 28, configuraçao eg ta~bastante conhecida quanto a analise de presença de auto-osci- laçoes [5].
' Í . . ^
. ¬ Sera usado o metodo da primeira harmonica, em aborda -
gem bastante simplificada. A funçao descritiva da nao-linearidade [5] vale:
N = (97)
.o Í - ¬ ¬ . . ¬ ¬ Í . . onde X e a amplitude da oscilaçao senoioal que podera existir na velocidade angular,
f2_(t) zz 2: sefzwt (93)
~
.Q
9f(s) *_ *:(§' u motor 9
i
Fig. 25 ~ Diagrama de blocos do ' slstema de eproximaçao assintótica
4
U(f›)
o 1 b'
S b
:J + d
_,
Éd
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Fig. 26 - Kod
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+` 1 1 ms
I
fit °Í Í(5) §l(s)
I elo do motor de corrente contlnua
mOfipwpgfimww
Om@MEfi×OHQm
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WOOOHQ
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A
À
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A261
AMM
+ mv
+ mg
Q
~
À,
š
61
A ow Ve-se entao que:
"%Ê-:"_Z"%; 9
que terá sempre fase igual a -1800.
Chamando a parte linear do sistema descrito pela figu- ra 28 de G(s), pode-se ter as situaçoes apresentadas pela figura 29 quanto aos gráficos de Nyquist da parte linear e da parte nao linear, desde que G(s) É de terceira ordem com um zero.
. ' -¡ - z
A. Obviamente, pelo metodo da primeira harmonica,{51, a
figura 29.b revela o unico caso em que existe auto-oscilaçao, caso este Que deverá ser evitado. No decorrer deste item serao procuradas as condiçoes para que essas auto-oscilaçoes nao ocor- ram.
?ela figura 29.b, ocorrerao auto~oscilaçoes se existir tal que A
¿ G(`-gw) z - 18o° , (100)
, ou seja, como .
"
R + K3 JW *"`_;Í_ : 'H' "'m"¬" ` 'W 'Í
I T
7 V
11,611 J(1=1+ 111) + z›.L 2 [rt +1<t1;2 +aR- im - JL.” J ~- - ~ w +3 e
J
JL JL JL
(101)
‹.+f\)
tg; Í?-z;~1-tg f f' » L
2 f=-18.0
*“3 zâtzâl - (J(íz+1í3)+â.L)w
~.' ~' fr fd -v _- 3 -l (UL +l'._t1×9+ (..L-."z3)a)\U"' O
(102)
¡Iín _ L
N X=O w=›= uhzo
c cc c
R?
( 2» )
~ ×f\ G‹.~J‹»›
7
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W - ä Xzo wâ»
)J=9°'° “" Ú ‹»=<>
Re
(b) '
\n\ G(ju›),
Im -l. | N jX=0 wzzw j~:X_`”°° 7 \§«/ ~?=°
~ _ -
T? wo ' .L\.e
(0) K/\
ocorrência de G(-w ) _ ~ J auto-Óscllaçao
Fig. 29 - Possíveis gráficos de Nyquist para o
sistema rcnlimeníado. V
63
Usando~se a propriedade
Í :tg-úlfyí--: '“)
na equaçao 102 resulta:
w[aL2w2- LK ” + (R+K )(K2+K K -›a(R-+K'))] -1 t*`1 3 t t 2 3 tê *Í 2“¿¬ Í *”""2:-Í of Í f* 3" ff" *;¬¬='lf50° JL z» +EMEB)(J(R+K3)+zzL)~L(z<t+:ztz<2+@.(1z+z<3))]z»-_1<t1<1 (¬;<+zf;3›
(104)
1. cw ou As soluçoes para a equaçao 104 sao: '
a)uU=Oo
b) UJO -¬›=›<=
2 fi
« LKK -(R+K)(K +KI-‹I +a(R+K¬) c) w = z tel ~~ ¬;f3 Êf~~ʬ⛠rff*~f¿= (105) o 2 aL
ow ou Obviamente as soluçoes Ê e E nao servem. Se existir auto-oscilação, certamente será aquela cuja frequencia e a dada pela soluçao 2.
Para que nao exista ocorrencia de auto-oscilaçao É suf¿ - ~ _
' - IU ciente entao que o radicando da equaçao 105 seja negativo, ou se- 'cz J...
`f "›' 'W' '.f Y2 T 'ff' ") r L.~__t;›_l °- (Lx + A3) (nt 'Í' :{t.L\.2 + 3.(£».+ A3) < O , Ou
LK1 8+ K3 K2 > - * a<'“1;ff6¬ “O”
4 . 3 . Araozlmçšo LINE_'«-.R
64
Eliminada a possibilidade de auto-oscilaçao, e necessé _. -¡¬ ,_ rio anališar a estabilidade do sistema realimentado. zaza isso
será feita uma aproximaçao linear no torque de atrito, conforme- mostrado pela figura 30.
Desse modo o Torque de Atrito poderá ser escrito como
ma z A2 (ias)
Às equaçoes dinamicas para o motor (compare-se com as iv _
` ou _ '
equaçoes 7) agora ficarao: 0101! O tt O :ÊÊ
L
Conforme a figura
1'_r
Ixt
J
-RL
25,
u = Tf 6 __ '_-'
Portanto, as equaçoes dinamicas para o sistema realimeg tado serao:
.~
x -f O u
n
\
O 1 O O
X1 à2+àt
K.
1-
__. _, ___..__. “*%"~
1. r\
L
__l_L
(109)
il Í. [il 1-12 z:3} X (110)
šzz o _-§- -3-E zi oito: s<111›
L L L
L...
65
Ve-se facilmente due o ponto de e _ quilíbrio para esse _
1 s1stema sera o ponto
.Hei
xf = O (112)
O
€ 8. Sua. 8OU.8f'~ ¿ ,ao característica será:
9 R+K K`+Kí{+a(R+K) KKL 3 3 g Ã2 ft tcâf W fi_¢3f t _ Z + b-5-+-J) + (
_ JL )Ã -+ ~šš~ - O ( 113)
Sejam X1, X2 e X3 os auto~va1ores do sistema realimeg tado, raízes da equação 113. Entao
<2-À1>‹¡- K2›<X- 23>=23.- <X1+¡2+X3›22+ ‹Xl12+Ãlx3+7×27×3>r‹ +
- Xl7×2 23 = 0 (114)
Comparando as equaçoes 113 e 114 tem-se:
W \.¡/ J* FÉ'
'Í-4
t+
fz"
H>J
DU FO
>J
LM (115)
_ HÁZR +z X+2 2)-if-â(R+x)
b) K2 : _~M_,l,2 1' 3 ¿_2 3,z-__tW _-11_13: (116) "ú
«_ ¢)13--L(Xl+ 22+ 23+ L-+J ) (1rU
As equações 115 116 e ä
u I . . ¢ o
, _ 117 sao mu1to u1e1s, po1s possl
bilitam determinar os coefi ' ' V -- clentes de realimentaçao de estado
Ã1 7 e K em f1l."1".aO ¬ " 3 _ aos auto-valores. Como interessa rapidez,
1s
Q
66
deseja~se auto-valores com parte real o quanto mais negativa pos sivel. z
Nota-se também que É conveniente que se tenha auto-va- lores reais, pois a parte imaginaria irá fazer com que os valo - res de K K e K aumentem nao contribuindo ara reduzir o tem l' 2 3 ' - po de posicionamento e trazendo problemas de soorepasso.
- Para o projetista e uma questao de compromisso: arbi - trar auto-valores muito negativos significa grandes valores nos coeficientes de realimentaçao, o que acarreta problemas de cons- truçao e de custos.
Em alguns casos pode ser conveniente fazer K3: O , o
que significa nao usar a realimentaçao da corrente de armadura. «I Isso sera feito em simulaçoes posteriores.
4.4. LIDADE FJ C/'I V-3 '11- ÂI1 F'-Ô
Para se analizar a estabilidade do sistema realimenta- do aplicar-se-a o criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz no sistema linearizado apresentado no item anterior, cuja equaçao caracteristica e a equaçao 113. Resulta¡
Õ
S3 l Kt+ a';(iR+z{3)
JL
,'31 +
L T "ÍT
C-1 HL.
c'Í\J
<`-1 IT* <`-4 IT*
\J J(R+K )+alz K¿+ KtÁ2+af(R+K3) KtKl
Í Í
J*(R+d1›;3f)d¬L`áí, W Í l O (118) “`
JL
O WE E 'Ê
K Kg: z S2 3 + â t 1
1
Para haver estabilidade a primeira coluna deve ser po~ sitiva, ou seja, devem ser obedecidas as condiçoes:
á) 5) O (119)
b) K3 ~> -R ~-Ê-Ê' (120)
L' R-}-K '2> Ki -xt-â(--I-¿--5-) (121)
R+K3+a'L/J t
4' . Levando-se em conta que o valor de É e sempre maior ou igual ao de ÊL, pode-se estipular as seguintes condiçoes sufi cientes para estabilidade, desde que as tres condiçoes acima seg pre estarao obedecidas:
a) Ki) o (122)
b) K3> -R (123)
R+K l
C`)' K2 > - Kt - (124) `
É4
_ Note-se que a inequaçao 124 É idêntica a inequaçao 101
o que garante também a inexistência de auto-oscilações.
4.5. IIÁPRECISÕES No ' ' ;`.oDou m9 E1 wc
O ponto de equilibrio X, dado pela expressao ll2, de corrente da aproximaçao linear que gerou as equaçoes de estado
~ ~ lll, na verdade nao vai ser atin_ido s. considerar-se a nao line aridade.
›`
As equaçoes dinamicas para o sistema realimentado, le- vando em conta a nao-linearidade podem ser conseguidas através
68
das equações 7 9 110:
L-‹,j`*
,.__.
__ 1%fl§ _Rn% íäef
O 1 O O
. _. ___.
.a __... _
b ._`___..
X = O --5' X + š- 3 Sglfl[X2}
L L L
_ ¬ /¬ .~ Para esse sistema os pontos de equiliorio serao dados
por -
-9 R+K3'
f ' bsáfflífll
rf = \
O (125)
ézfafl1
Note-se a existencia de dois pontos de equilibrio, de- pendendo do sentido da velocidade angular. Também se observa que para minimizar possiveis erros de regime é conveniente fazer o
valor de Ki o maior possivel e o valor de K3 o menor possivel.
4.6. DELIÃI DO SEGUNDO LOBO zp.
14 'J Ol
L'-'J U1l
-r\- ¬ ~, ¬ _ ¬ ¬ Como especiiicaoo no item 4.1 , o segundo modo de ope- raçao tera inicio quando a trajetória decorrente da comutaçao
k
~ "bang-bang' cruzar o plano dedo pela equaçao 96.
Se o sistema e estável, sem presença de auto-oscila - _, , , , _, . I çoes, oevera convergir assintoticamente para o estado de equili-
brio X Isso deverá ocorrer em um intervalo de tempo nao fini-w to. Deve-se ter semp e em mente que sempre haverá um erro de re- gime com relaçao ao estado 1, , como mostrado no item anterior
.L
T Ãa
. ,.z "/“flgrctfl a b z.._ »_- --`°-
arctg ä
,- 2 ...__-_..._ _..*,.
V
Q ,,z -b 4' z-“'
Fig. 30 - Linearização do Torque de Àtrito
término do segundo modo
\ início do \ segundo modo\
'zu .Jz
-` \
I/ 6/\` .
,
¡ . z :_
&\\\L;;%;;z/////Z/
9
r ' - Delimitaçoes do segundo modo de operaçao
(É n DU F4
70
Defina-se um conjunto alvo da seguinte maneira:
ã t.q-. Xi.” , €_> O (127)
Pode-se determinar o fim do segundo modo de operaçao assim que o conjunto alvo acima for atingido. Hesse instante faš se nula a tensao de armadura. _
'
A figura 31 ilustra esta idéia. Desse modo garante-se
que o posicionamento seja tao bom quanto o desejado. O parametro E deve ser bem escolhido para um desempe-
nho satisfatório. É o parametro que faz o balanceamento entre ra pidez e precisao no segundo modo. '
4.7. " finos DE si:-.âUL.-àçšo ÉU LÚ ui C LÊ'
- '* ø ' Q
Para a Verificaçao dos estudos feitos ate aqui foram
feitas algumas simulaçoes do sistema realimentado. Para o projeto dos coeficientes de realimentaçao deve-
se usar as equações ll5, 116 e ll7. Se deseja-se K3: O, uma boa _)
escolha dos auto-valores é .
xlz if X3= <-=Í-- Ê)/3 , (128)
. _ . . . .'
pois garante-se que eles fiquem reais e o mais negativo possivel Isso resultou, usando~se a= a= 0,01, em:
Xl: 22: 23:- 281,56
FiH
U1 «1 a› o
K2 z 5,0 ,
ue satisfazem as ineouacoes 122 e l24. - . I I-4 f\) U1
71
0 4 ' 0 A figura 32 mostra as tragetorias para os valores para os valores de coeficientes de realimentaçao acima projetados e
para diferentes condiçoes_iniciais:_correntes_iniciais de -57A e
e de -25A, correspondendo aproximadamente aos estados finais da- dos pelas comutaçoes sem e com limitaçao de corrente de armadura e para Gf =`W/8.
'
Escolhendo-se o valor de É. como
1
€=‹›,z<-sz 't
pode-se montar a tabela III abaixo.
tempo gasto na comutaçao "bang~bang"
tempo gasto aproximaçao assintótica
6 = 0,2
tempo de po- sicionamento para s
é =o,2 Caso sem limitaçao de corrente
23,7 ms 25,1 ms 43,8 ms
Caso com limitaçao 32,5 ms de corrente `
15,3 ms 47,8 ms
TABELA III - Varios tempos de posicionamento para 9, = W/8 e 6 = 0,2
.L
_
Como pode-se ver nesse caso particular, o posicionamen to com limitaçao de corrente foi mais rapido. É claro que esse ~ 1 nao e o caso geral, mas para posicionamentos de curta distancia
devera ocorrer com frequencia.
72
Deve-se também notar pela figura 32 que o ponto de e- . . u ¬ I quilibrio a ser atingido e aquele onde
Q V 2
9 , z 6 _ @-@ó4zz1O~2 eouilibrio f K Y f ', ^ t`l
f \
lv dado pela expressao 126.
A figura 33 mostra um caso em que ocorreu auto-oscila- çao. Os valores usados para os coeficientes de realimentaçao,
K1 = 964,209 _
K2 = O
K3 = O
nao satisfazem a inequaçao 107.
A frequencia de oscilaçao ocorrida na simulaçao foi de 209,5 rad/s , enquanto que aquela calculada através da expressao 105 É de 210,0 rad/s. Nota~se entao que o metodo da primeira harmonica atuou com boa orecisao.
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75
4.8. comctusõas
Os pontos centrais deste capítulo sao o cálculo dos cg uv zw ___--' ""
eficientes de_realimentaçao, dado pelas equaçoes`ll5, 116 e 117, e as condiçoes 122, 123 e 124, suficientes para estabilidade do sistema realimentado e inexistencia de auto~osci1açoes.
. . . . . "' I . As dificuldades principais que aparecem sao o arbitrio
dos valores de a e E.
O valor de g pode sempre ser usado igual ao de 5 ,
' ¬ ` ø ¡ _ . desde que se estara traoalhanoo no pior caso para estabilidade .
Note-se ainda que para a abordagem deste capítulo ser . ¬ ' › ¬ z
' - _ _¡_ coerente com a ideia geral do trabalho, e conveniente que a »en~ sao de armadura E , pela expressao 110, tenha sempre valor absoluto menor que U0. Nos casos simulados a tensao de armadura
Q; QD Qi 90
alcançou o seu maximo valor absoluto em l5,4V}
76
- CAPÍTULO v COMENTÁRIOS FINAIS
Os pontos centrais deste trabalho podem ser evidencia- dos como:
a) A curva de comutaçao, equação 61, que e um aprimora mento daquela deduzida em [9], por nao se considerar nula a cor
' na rente de armadura no instante de comutaçao. ~ vv
b) A curva de comutaçao com limitaçao de corrente de
armadura, equaçao 95.
c) O projeto dos coeficientes de realimentaçao, na a- .
~ ‹ .
' . ~
-_ . ' . proximaçao assintotica, em funçao aos auto-valores desegaveis, dado pelas equaçoes 115, llô e ll7.
IV Â d) As condiçoes de estabilidade e inexistencia de auto
nv
oscilaçoes do sistema realimentado, pelas expressoes 122, 123 e l24. V_
Q.: Q? CDJ fz) U]
-.' . ._
. .~ tamoem conveniente listar algumas sugestoes para con Ã'*J\
tinuaçao deste trabalho, bem como alguns pontos onde ele pode ser melhorado:
a) A aproximaçao por retas para a corrente de comuta -
cao, desenvolvida no item 2.3 , pode ser melhorada, principal -
mente no tocante as baixas correntes iniciais. vv
b) A aproximaçao da corrente de comutação, equaçao 94, para a comutaçao com limitaçao de corrente podewser melhorada.
1 ‹ "
z I. ‹ ¬ n ‹ c) se na aproximaçao assintotica aesega-se que a.ten -
sao de armadura seja limitada a Íüb, deve~se impor novas res- ,_. YZ' ;.› ÇJ triçoes aos coeficientes de realimentaçao, ou introduzir no
~ * -¬ ~ l -_ va nao-l;ne;r1cadc, por tornar u saturavel em ido.
77
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