Coordenadas Polares adriana/calculo/ Para nos referirmos £ s coordenadas cartesianas e...

download Coordenadas Polares adriana/calculo/ Para nos referirmos £ s coordenadas cartesianas e polares de um

of 11

  • date post

    03-Jan-2021
  • Category

    Documents

  • view

    1
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Coordenadas Polares adriana/calculo/ Para nos referirmos £ s coordenadas cartesianas e...

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Coordenadas Polares

    Existem vários sistemas de coordenadas que mostram a posição de um ponto em um

    plano. O sistema de coordenadas polares é um deles.

    No sistema cartesiano, as coordenadas são números chamados de abscissa e

    ordenada, que são medidas das distâncias orientadas a dois eixos fixos. No sistema polar, as

    coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto

    fixo e a uma semirreta fixa.

    O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, ), em que |r| representa

    a distância entre a origem e o ponto P e  representa a medida, em radianos, do ângulo

    orientado AÔP. Quando AÔP for descrito no sentido anti-horário,  > 0, caso contrário,  <

    0.

    Exemplos:

    Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos:

    a) 2, 4

    P  

       

    b) 2, 4

    P  

        

    c) 4, 3

    P  

       

    d) 4, 3

    P  

       

    O ponto P pode ter um número ilimitado de pares de coordenadas polares, pois podemos

    representar esse ponto da forma:

    (P, +2k), kZ

    Relação entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o sistema de

    coordenadas polares

    Para nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a

    origem do primeiro sistema coincidir com o polo do segundo sistema, o eixo polar com o

    eixo positivo dos x e o raio para o qual  = /2 com o eixo positivo dos y.

    x A

    y

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas

    polares (r, ), distinguimos dois casos:

    r > 0 r < 0

    Portanto:

     r > 0: cos

    x

    r   e

    y sen

    r  

     r < 0: cos

    x

    r 

      

    e y

    sen r

     

     

    Desta forma, temos:

    Utilizando estas equações, podemos deduzir uma relação muito usada:

    x 2 = r

    2 cos

    2 

    y 2 = r

    2 cos

    2 

     x 2 + y

    2 = r

    2 (cos

    2  + sen

    2 )  r

    2 = x

    2 + y

    2  2 2r x y  

    Portanto,

    Exemplos:

    a) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são

    7 4,

    6

         

    b) Encontrar (r, ) supondo r < 0 e 0    2 para o ponto P, cujas coordenadas

    cartesianas são  3, 1

    x = r cos 

    y = r sen 

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Representação gráfica

    O gráfico de F(r,) = 0 é formado por todos os pontos cujas coordenadas polares

    satisfazem a equação. Geralmente, a equação em sua forma explícita é dada por r = f ().

    Os seguintes procedimentos podem auxiliar no esboço do gráfico:

     Calcular os pontos de máximo ou de mínimo;

     Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo;  Verificar simetrias:

     Se a equação não se altera quando substituímos r por –r, existe simetria em relação à origem;

     Se equação não se altera quando substituímos  por –, existe simetria em relação ao eixo polar (ou eixo dos x);

     Se equação não se altera quando substituímos  por ( – ), existe simetria

    em relação ao eixo  = /2 (eixo dos y).

    Exemplo:

    A curva r = 2(1 – cos ) é dada por:

    Equações de reta

    a)  = 0 ou  = 0 + n, n  Z: reta que passa pelo polo e faz um ângulo de 0 ou 0 + n radianos com o eixo polar.

    b) r sen = a e r cos = b, a, bR: retas paralelas aos eixos polar e /2, respectivamente.

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Circunferências

    a) r = c, c  : circunferência centrada no polo e raio |c|

    b) r = 2a cos: circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo  = /2:

     se a > 0, o gráfico está a direita do polo;  se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.

    [r = 2a cos  a>0] [r = 2a cos  a 0, o gráfico está acima do polo;  se b < 0, o gráfico está abaixo do polo.

    Exemplo:

    Esboce a curva com equação polar r = 2 cos

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Limaçons: São equações do tipo: r = a  b cos ou r = a  b sen , a, b  

     Se b > a , o gráfico tem um laço.

     Se a = b, então o gráfico é conhecido como cardeoide.

     Se b < a, o gráfico não tem um laço

    Exemplo:

    Esboce a curva r = 1+2 cos

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Lemniscata: São equações do tipo: r 2 = ± a

    2 cos 2 ou r

    2 = ± a

    2 sen 2, a  

    Rosáceas: São equações do tipo: r = a cos n ou r = a sen n, a e nN

     Se n é par, temos uma rosácea de 2n pétalas

     Se n é ímpar, temos uma rosácea de n pétalas

    Exemplo:

    Esboce a curva r = cos2

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Espirais

     Espirais hiperbólicas (a > 0)

    r = a (>0) r = a ( 0)

     Espiral de logarítmica

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Comprimento de arco de uma curva dada em coordenadas polares

    Seja C uma curva dada pela equação polar r = f (). Utilizando as equações

    x = r cos 

    y = r sen 

    temos que

    x = f() cos 

    y = f() sen 

    que podem ser consideradas equações paramétricas da curva C, para [0,1]. Derivando

    essas equações, temos:

    `( )cos ( )sen dx

    f f d

          

    `( )sen ( )cos dy

    f f d

          

    Elevando ambos os lados das equações ao quadrado e somando, temos:

    2 2

    2 2( `( )cos ( )sen ) ( `( )sen ( )cos ) dx dy

    f f f f d d

             

               

       

    2 2 2 2 2 2

    2 2

    `( ) cos 2 `( ) ( ) cos sen ( ) sen `( ) sen

    2 `( ) ( )sen cos ( ) cos

    f f f f f

    f f f

             

         

        

     

    2 2 2 2 2 2`( ) cos sen ( ) cos senf f              

    2 2`( ) ( )f f  

    Substituindo este resultado na fórmula do comprimento de arco de uma curva dado

    por suas equações paramétricas, temos que o comprimento de arco de uma curva dado em

    coordenadas polares é dado por:

    𝒔 = 𝒇′(𝜽)𝟐 + 𝒇(𝜽)𝟐 𝒅𝜽

    𝜽𝟏

    𝜽𝟎

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Exemplos

    a) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + cos.

    b) Determine o comprimento da espiral r = e,   [0, 2].

    c) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + sen.

  • _____________________________________________________________________________________

    Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

    Área de figuras planas em coordenadas polares

    Seja f uma função contínua e não negativa no intervalo fechado [α,β]. Seja R a região

    limitada pela curva cuja equação é r = f () e pelas retas  = α e  = β

    Considere uma partição P de [α,β] definida por:

    α = 0 < 1 < 2 < ... < i-1 < i < ... < n = β

    Para cada [i-1, i], i = 1, ..., n, consideramos um setor circular de r