convolução

ConvoluçãoOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em matemática, particularmente na área de análise funcional, convolução é um operador que, a partir de duas

funções, produz uma terceira. O conceito de convolução está ligado ao de média móvel, e é crucial no estudo

de sistemas lineares invariantes no tempo.

Índice

1 Definição

2 Propriedades

2.1 Comutatividade

2.2 Associatividade

2.3 Distributividade

2.4 Associatividade com multiplicação escalar

2.5 Regra da diferenciação

2.6 Teorema da Convolução

3 Aplicações

Definição

A notação para a convolução de f e g é f * g. Ela é definida como a integral do produto de uma das funções

com uma cópia invertida, com relação a um determinado plano, da outra. A função resultante depende do valor

deste deslocamento.

,

Para se adquirir uma boa visão intuitiva da convolução, é preciso entender que diversas cópias transladadas e

tomadas de trás-pra-frente de uma das funções são ponderadas pelo valor da outra função, e somadas,

produzem o resultado.

Na fórmula acima, f seria a função de ponderação, enquanto que cópias revertidas de g estariam sendo

deslocadas e somadas ao resultado. Entretanto, a convolução não depende da ordem das funções, ou seja, a

função de ponderação pode ser tanto f quanto g, produzindo o mesmo resultado.

Existe ainda uma definição de convolução para funções de domínio discreto, dada por

Propriedades

27/10/2010 Convolução - Wikipédia, a enciclopédi…

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Todos os vários operadores de convolução obedecem as seguintes propriedades:

Comutatividade

Associatividade

Distributividade

Associatividade com multiplicação escalar

para qualquer número a real ou complexo.

Regra da diferenciação

onde denota a derivada de f. No caso discreto, uma aproximação é o uso do operador diferencial

.

Esta regra deve-se ao fato de que as operações de derivação e integração podem ser realizadas através da

convolução por funções específicas, assim como a translação.

Teorema da Convolução

O teorema da convolução diz que

onde F(f) denota a transformada de Fourier de f. Versões deste teorema também valem para a transformada

de Laplace, a transformada bi-lateral de Laplace, a transformada Z e a transformada de Mellin.

Aplicações

A operação de convolução pode ser utilizada para encontrar a resposta de um sistema linear de

equações diferenciais. A saída de um sistema linear também pode ser dada pela convolução da entrada

pela resposta a impulso do sistema.

Em estatística, a função de densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias X e Y é

dada pela convolução das respectivas funções de densidade de probabilidade.

Segundo o teorema da convolução, a convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas



Segundo o teorema da convolução, a convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas

transformadas de Fourier no domínio freqüência.

Ao multiplicarem-se dois polinômios, os coeficientes do produto serão dados pela convolução dos

coeficientes originais (estendendo-se as seqüências de coeficientes com zeros, conforme necessário).

Generalizando-se os casos acima, a convolução pode ser definida para quaisquer duas funções

integráveis definidas em um grupo topológico localmente compacto. Uma generalização diferente é a

convolução de distribuições.

Obtida de "http://pt.wikipedia.org/wiki/Convolu%C3%A7%C3%A3o"

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