Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de...

22
Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma Ana Isabel Leitão Ferreira [email protected] Cláudia Sofia Marques Ferreira Paulo Filipe Domingues Barbeiro Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem Engenharia Biomédica 2004/2005

Transcript of Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de...

Page 1: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

Ana Isabel Leitão Ferreira [email protected]

Cláudia Sofia Marques Ferreira Paulo Filipe Domingues Barbeiro

Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem

Engenharia Biomédica 2004/2005

Page 2: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

2

INDÍCE

Introdução………………………………………………………………………………..3

O Rim: Organização e Função…………………………………………………………...4

Dinâmica do Na+ e Transporte do H2O através dos Túbulos Renais……………………7

Modelo da Ansa de Henle……………………………………………………………….9

O Aparelho Justaglumerular e o Sistema Renina-Angiotensina……………………….11

O Tubo Distal e o Tubo Colector………………………………………………………12

Modelo do Nefrónio……………………………………………………………………13

MATLAB………………………………………………………...…………………….17

Bibliografia……………………………………………………………………………..22

Page 3: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

3

INTRODUÇÃO

Os rins são órgãos excretores dos vertebrados, que apresentam forma de feijão. Fazendo

parte do sistema urinário, os rins são responsáveis pela filtração do sangue de

compostos rejeitados pelo organismo e pela sua excreção juntamente com água,

formando a urina. Desta forma, estes órgãos têm como função a regulação da

composição do plasma sanguíneo.

Nos humanos, os rins são dois órgãos localizados na parte posterior do abdómen, um de

cada lado da espinal-medula mesmo abaixo do fígado e do baço.

A unidade funcional do rim é o nefrónio, havendo mais de um milhão em cada rim

adulto. Os nefrónios regulam a quantidade de água e matéria solúvel no corpo por

filtração do sangue e reabsorvendo fluidos necessários e moléculas.

Neste trabalho, o nosso objectivo é simular em MATLAB o controlo do sódio no

plasma pelos rins. A única forma de o rim manter uma concentração de sódio constante

no plasma sanguíneo é produzindo urina na qual se encontre uma concentração mais ou

menos elevada de Na+ consoante as necessidades do momento. Assim sendo, se a

concentração de sódio for elevada, o rim irá produzir urina na qual essa concentração

seja mais elevada do que no plasma sanguíneo e vice-versa.

Será assim abordado o modelo matemático aproximado demonstrativo desta capacidade

renal.

Page 4: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

4

O Rim: Organização e Função

Nos Vertebrados os órgãos de excreção e osmorregulação são, por excelência, os rins.

Estes são órgãos compactos que têm como unidades funcionais os nefrónios, que são

estruturas tubulares associadas a formações vasculares. O nefrónio, unidade estrutural e

funcional do rim, é constituído por uma porção tubular, o tubo urinífero, associado a

formações vasculares das quais se destaca um glomérulo de vasos capilares.

No tubo urinífero podem distinguir-se sequencialmente várias regiões:

- Cápsula de Bowman – Zona inicial, em forma de taça, de parede dupla,

localizada no córtex renal;

- Tubo contornado proximal – Porção tubular que se segue à cápsula de Bowman

e que se localiza ainda no córtex renal;

- Ansa de Henle – Porção do tubo urinífero em forma de U, constituída por um

ramo descendente e um ramo ascendente, ambos localizados na zona medular do

rim;

- Tubo contornado distal – Zona terminal do tubo urinífero localizada no córtex.

Cada tubo urinífero termina num tubo colector que recebe o conteúdo de inúmeros

tubos uriníferos.

Na porção vascular do nefrónio o sangue, vindo de arteríolas que resultam da

ramificação da artéria renal, entra na cápsula de Bowman pela arteríola aferente. A

arteríola aferente capilariza-se e enovela-se, originando o glomérulo de Malpighi,

localizado no interior da cápsula de Bowman.

O conjunto da cápsula de Bowman e do glomérulo de Malpighi designa-se por

corpúsculo renal, e é a esse nível que ocorre a filtração.

Os capilares do glomérulo de Malpighi reúnem-se numa arteríola, a arteríola eferente,

que sai da cápsula de Bowman e se capilariza para constituir uma segunda rede de

capilares que envolve o tubo urinífero. Estes capilares peritubulares reúnem-se numa

vénula através da qual o sangue flui para vénulas que se vão ligar à veia renal. A

arteríola aferente tem maior diâmetro que a arteríola eferente. Essa diferença de

diâmetro faz com que, ao nível do glomérulo de Malpighi, a pressão sanguínea seja

elevada, o que vai provocar uma filtração abundante.

Page 5: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

5

O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui

passivamente para a segunda capilarização, o que facilita os fenómenos de reabsorção e

de secreção.

Os corpúsculos renais, o tubo contornado proximal e o tubo contornado distal

localizam-se na região cortical do rim, o que confere a essa zona um aspecto granuloso.

As ansas de Henle e os tubos colectores distribuem-se sobretudo na zona medular do

rim.

Fig.1 – Esquema do rim e do nefrónio.

Analisando as trocas que se realizam ao longo do tubo urinífero:

- Cápsula de Bowman – A pressão do sangue no glomérulo força a saída do

fluido dos capilares para a cápsula de Bowman, atravessando quer a parede do

glomérulo, quer a parede interna da cápsula. A parede do capilar actua como um

filtro permeável à água e a pequenas moléculas, mas impermeável às células

sanguíneas e às macromoléculas. Como resultado desta filtração constitui-se o

filtrado glomerular, que é uma mistura de água, sais minerais, excreções

Page 6: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

6

azotadas, glicose, aminoácidos, vitaminas e outras substâncias nas concentrações

em que se encontram no plasma.

Ao longo do tubo urinífero e do tubo colector muitos dos constituintes do

filtrado são reabsorvidos e regressam ao sangue.

- Túbulo contornado proximal – As paredes deste tubo transportam activamente

sais e nutrientes para o meio interno. A água segue na mesma direcção por

osmose. Assim, a esse nível são reabsorvidas substâncias como glicose,

aminoácidos, Na+ e Cl-.

Como resultado da reabsorção de sais e de outras substâncias a pressão osmótica

do fluido tubular baixa, o que desencadeia a reabsorção de água por osmose.

- Ansa de Henle – Depois de percorrer o tubo contornado proximal, o fluido

passa para a porção descendente da ansa de Henle, e como na medula renal os

fuidos intersticiais vão sendo cada vez mais hipertónicos, vai saindo água por

osmose do ramo descendente da ansa de Henle para os capilares peritubulares.

Esta reabsorção de água torna a urina mais concentrada.

A porção ascendente da ansa, em contraste com a porção descendente, é

impermeável à água mas permeável ao Na+ e ao Cl-.

Estes iões que se concentram na porção descendente vão saindo ao longo da

zona ascendente da ansa não só por difusão, mas também por transporte activo, e

contribuem para aumentar a pressão osmótica dos fluidos intersticiais da medula

renal.

- Tubo contornado distal – Nesta porção do tubo urinífero ocorrem importantes

fenómenos de secreção, podendo ser eliminadas substâncias que atravessando as

paredes do túbulo são excretadas na urina.

- Tubo colector – A urina que percorreu o tubo urinífero circula agora no tubo

colector antes de estar completamente constituída. Como o tubo colector é muito

permeável à água e impermeável aos iões, e atravessa a medula renal que é uma

zona de hipertonicidade, vão ser reabsorvidas grandes quantidades de água. Este

facto faz aumentar significativamente a concentração da urina em sais e

compostos azotados.

Page 7: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

7

A capacidade de os rins produzirem e excretarem urina mais ou menos concentrada é

controlada pela glândula pituitária que segrega a hormona antidiurética (ADH). Esta

hormona promove a retenção da água pelos rins, e a sua secreção é regulada por um

ciclo de feedback negativo envolvendo a água e o balanço de sais no sangue. A ADH

ajuda os tubulos renais a reabsorver água concentrando assim a urina. Quando o nível

de água no sangue é elevado, quando se ingere muita água, vai verificar-se um feedback

negativo que irá inibir a secreção de ADH sendo mais água libertada.

Quando a produção desta hormona não é normal, verificam-se doenças como a diabetes

insípidus (caso em que a ADH se encontra numa concentração reduzida ou mesmo

ausente).

Dinâmica do Na+ e Transporte do H2O através dos Túbulos

Renais

Designando Q(x) a taxa volumétrica de fluxo num ponto x do túbulo, assume-se que o

fluxo é constante sendo assim independente do tempo. A taxa volumétrica de fluxo

através as paredes por unidade de comprimento num ponto x é designada por fH2O(x).

Convenciona-se que Q é positivo para um fluxo na direcção de um aumento de x e f

para um fluxo através das paredes para fora do túbulo.

Page 8: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

8

Fig.2 – Diagrama de um túbulo renal em que x=distância ao longo do túbulo,

c(x)=concentração de iões de sódio dentro do túbulo na posição x, Q(x)=fluxo de água

num ponto x do túbulo na direcção de um aumento de x, fH2O(x)=transporte de água

através das paredes para fora do túbulo, fNa(x)=transporte de iões de sódio no sentido d

saída do túbulo.

Assim sendo, partindo de

dxxfbQaQb

a OH )()()( 2∫+=

em que a e b são posições arbitrárias, obtém-se:

0)(2 =+ xfdxdQ

OH

que é a relação entre Q e f. Se as paredes forem impermeáveis à água, fH2O(x)=0 o que

leva a Q=constante.

Considerando o transporte de Na+ no túbulo, a sua concentração será designada por c(x).

Desta forma, a quantidade de Na+ transportada por unidade de tempo ao longo do túbulo

num ponto x é Q(x)c(x). Se fNa(x) for a quantidade de Na+ por unidade de tempo e de

comprimento transportada para fora das células através das paredes, pode-se escrever:

fH2O(x) fNa(x)

Q(x)

c(x)

x

Page 9: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

9

2

(1)1

1 1

1

0

0 ( )

( ) ( )

H OdQ fdxd Q cdx

c x c x

= +

=

=

0)()( =+ xfcQdxdQ

Na

Num túbulo cujas paredes sejam impermeáveis ao Na+, fNa=0 e assim, cQ=constante.

Estas equações são aplicáveis a todos os tubulos do rim.

Modelo da Ansa de Henle

A construção do modelo do nefrónio deve começar pelo sistema da Ansa de Henle.

Fig.3 – Esquema da Ansa de Henle. A parte descendente ( tubo 1) é permeável à água e

impermeável a iões. A parte ascendente é impermeável à água e permeável a iões, que

saem a uma taxa fixa f*Na. X=0 corresponde à distância no topo da ansa e x=L no fundo.

A concentração do ião de sódio fora dos tubulos é designada por c(x). As concentrações

internas nos diferentes tubulos são designadas por c1(x) e c2(x).

Designando por ci(x) e Qi(x) a concentração de Na+ e o fluxo de água, respectivamente,

nos tubulos, onde i=1,2 e sendo c(x) a concentração externa de Na+ , temos que:

1) Na parte descendente da Ansa de Henle, as paredes são permeáveis à água e

impermeáveis ao Na+. Assume-se também que a permeabilidade da H2O é tão

grande que torna as concentrações interna e externa do Na+ iguais. Assim,

obtemos as seguintes equações:

x fH2O(x)

f*Na

Page 10: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

10

1 2

1 2

( ) ( )( ) ( )

c L c LQ L Q L

== −

2

*2 2

0

( )0 Na

dQdx

d Q c fdx

=

= +

2

* (1)( ) ( )Na H Of c x f x=

*

1

( ) (0)exp( )(0) (0)

Naf xc x cQ c

=

*2 1( ) (0) exp( ) ( ) exp( ) / (0)Nac x c x L f Qα α= + −

2) Assume-se que na parte ascendente da Ansa de Henle, o Na+ sai a uma taxa

constante e portanto considera-se Na

f + independente de x. Sabe-se também que

nesta zona as paredes são impermeáveis à água, o que significa que

3) Para x=L, considera-se que todo o Na+ e toda a água vindos da parte descendente,

entram na parte ascendente da Ansa de Henle e portanto:

4) A última aproximação deve-se aos capilares peritubulares que captam o Na+ e a

água localmente. Considerando que este é um modelo constante, quer dizer que

os capilares peritubulares captam água a uma taxa 2

(1)H Of e o Na+ a uma taxa *

Naf

por unidade de comprimento. Aqui, assume-se que o fluido intersticial é captado

por filtração, análogo ao que acontece no glomérulo, mas aqui na direcção

oposta. Isto implica que haja uma relação entre o fluxo de água e o de Na+:

Partindo destas considerações obtém-se a seguinte equação para a parte descendente da

Ansa de Henle:

Onde 1(0) (0)Q c é a taxa a que o Na+ entra na ansa do túbulo proximal. E por isso sabe-

se que *

1

1(0) (0)

Naf xQ c

α = ≤ .

E após determinadas substituições obtém-se a seguinte equação para a parte ascendente:

E assim expressa-se as saídas da Ansa de Henle em função das suas entradas.

Page 11: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

11

*1

*2

*2

(0) / (0)

/( /(0))( ) (0)(0)

Na

Na

Q f L c

Q f L ecc L ecc c

=− =

= =

O Aparelho Justaglomerular e o Sistema Renina-

Angiotensina

O aparelho justaglomerular é um conjunto de células especializadas que monitoriza o

fluido tubular e segrega a hormona renina na arteríola aferente à entrada do glomérulo.

Esta hormona é convertida em angiotensina, substância com propriedades

vasoconstritoras. Desta forma, a angiotensina é responsável pela constrição dos vasos

sanguíneos. Suspeita-se que o aparelho justaglomerular está envolvido num mecanismo

de feedback que envolve a regulação da concentração de Na+. Assim, na tentativa de

construir um modelo para este mecanismo, assume-se que o fluxo de entrada na ansa de

Henle, Q1 (0), pode tomar qualquer valor de modo a satisfazer a equação *)0(2 cc = ,

onde c*<c(0). Tendo em conta os efeitos provocados pela renina-angiotensina e após a

realização de algumas substituições e considerando α ≈ 1, obtém-se:

Obtém-se assim o comportamento da ansa de Henle controlada pelo aparelho

justaglomerular. Verifica-se que o fluxo de entrada na ansa de Henle é ajustado de

forma a que a quantidade de Na+ que entra na ansa por unidade de tempo (Q1(0)c(0)) é

igual à quantidade que é bombeada para fora da ansa ascendente por unidade de tempo

)( * Lf Na e que o fluxo (-Q2) na ansa ascendente é menor que o fluxo que entra na ansa

(Q1) de um factor e, pois a diferença foi reabsorvida da ansa descendente e levada para

capilares peritubulares juntamente com o sódio bombeado para fora da ansa ascendente.

Verifica-se também que a concentração de sódio fora dos tubulos aumenta de um factor

de e à medida que se segue na ansa descendente. Finalmente, observa-se que

Page 12: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

12

* **2

3 2( )( ) ( (0))

Naf LcQ cQ Lc L ec

= − =

O Tubo Distal e o Tubo Colector A urina está formada, a questão é se esta é excretada de uma forma muito diluída ou

concentrada. A hormona que determina este estado é a ADH (hormona antidiurética). Se

esta hormona está ausente, o tubo distal e o tubo colector são impermeáveis aos iões e à

água. Quando a hormona está presente, estes já são permeáveis à água. Considera-se

que a permeabilidade à água é tão elevada que se atinge um estado de equilíbrio. Assim,

a concentração de Na+ no tubo distal é igual à do plasma e é dado por ( ) (0)c L ec= .

Também o fluxo de Na+ no final do tubo colector deve ser igual ao que sai da Ansa de

Henle, dado por * * *2 .NaQ c f Lc− =

Assim, o fluxo que sai do tubo colector quando a ADH está presente é:

Estes resultados podem ser vistos na seguinte tabela:

Forma diluída (ADH ausente)

Forma concentrada (ADH presente)

Concentração de Na+ na urina

*c (0)ec

Taxa de H2O excretada * / (0)Naf L ec * * 2/( (0))Naf Lc ec Taxa de Na+ excretado * * /( (0))Naf Lc ec * * /( (0))Naf Lc ec

Conclui-se portanto que:

- A urina é mais diluída no plasma quando a ADH está ausente e é mais concentrada

quando a ADH está presente.

- A taxa de volume é mais pequena quando a ADH está presente. No entanto, a taxa a

que o Na+ sai é excretado é sempre igual.

Dada a importância de não haver tolerância de erros no sistema urinário, o rim precisa,

claramente, de mecanismos de controlo que ajustem a entrada para cada nefrónio de

acordo com a sua capacidade de reabsorção de Na+ e água. Uma vez que, na tabela as

concentrações são independentes da capacidade de reabsorção e a taxa de excreção é-lhe

proporcional, admite-se que cada nefrónio contribui como pode para a produção de uma

urina homogénea.

Page 13: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

13

Modelo do Nefrónio

O facto de para o modelo se considerar que o nefrónio não produz urina cuja

concentração de soluto seja e vezes superior à concentração no plasma sanguíneo, não

vai afectar a aproximação desse modelo ao caso real.

Os nefrónios encontram-se organizados em paralelo em relação uns aos outros,

trabalhando em conjunto, numa espécie de cascada, tendo cada um diferente

comprimento e partilhando o mesmo espaço intersticial, para produzir concentrações na

urina mais elevadas do que as concentrações alcançadas por um nefrónio

individualmente.

Considerando

A ansa de cada nefrónio pode tomar valores para L até um Lmáx. .

Expressando a densidade de população de ansas de Henle por ρ(L), tem-se:

∫máxL

dLL0

)(ρ

que é o nº total de ansas de Henle.

Apesar de a maioria das características dos nefrónios se manterem (permeabilidade à

água e impermeabilidade ao Na+ na ansa descendente, impermeabilidade à água e

bombeamento de Na+ para fora da ansa ascendente assim como as características do

x=L

x=0

x=Lmáx.

Page 14: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

14

aparelho justaglomerular), a taxa volumétrica de fluxo ao longo das diferentes ansas vai

variar.

Assim, serão definidas novas variáveis em função do comprimento: Q1(x,L) e

(fH2O)1(x,L) em que x≤L.

Desta forma, o comportamento da população de ansas de Henle é descrito por:

=

+=

=∂∂

=+∂∂

=

∫∫máxmáx L

xNa

L

x OH

Na

OH

dLLfdLLLxfxc

cLLQLfLcLLQ

LxQxcx

LxfLxx

Qcc

)()(),()()(

),()(),(

0)),()((

0),()(),(

)0(

*12

*1

*1

1

121

0

. ρρ

Obriga-se assim a que o fluxo de entrada nas ansas de Henle tenha a mesma

concentração em Na+ que o plasma sanguíneo.

A segunda equação expressa a conservação de volume durante o fluxo na ansa

descendente. Assegura-se também nestas equações que o transporte de sódio ao longo

de cada ansa descendente é constante, pois estas ansas consideram-se impermeáveis a

este ião. A penúltima equação expressa o balanço de Na+ para as ansas ascendentes. A

parte esquerda da equação refere-se à taxa a que o sódio entra no ramo ascendente de

uma ansa com comprimento L, ao passo que o lado direito da equação é a soma da

quantidade de sódio que é bombeado para fora do ramo ascendente e a quantidade de

sódio que apenas abandona a ansa no topo do ramo ascendente.

Quanto à última equação, o integral do lado direito é o nº de ansas de comprimento x

multiplicado por *Naf de modo a obter-se o fluxo total de sódio fora das ansas

ascendentes. O lado direito é o fluxo total de água fora das ansas descendentes na

posição x. Quando esta água é captada pelos capilares peritubulares, leva com ela um

fluxo de Na+ igual ao fluxo de água multiplicado por c(x) (concentração de sódio no

plasma).

(1) (2) (3) (4) (5)

Page 15: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

15

= ∫∫

∫x

L

x

L

x dx

LccdLLL

dLLcXc

máx

máx

0*

0

)(/1)(

)(exp)(

ρ

ρ

∫ =máxL

QcdLLLLQc0

301* )0()(),( ρ

0))()((

0)()(

3

33 2

=

=+

xcxQdxd

xfxQdxd

OH

∫ ∫=+máx máxL

x

L

xNaOHOH dLLfxfxcdLLLxfxc )()()()(),()( *31

22ρρ

Assim, combina-se todas estas equações, para se obter uma equação só, para a

concentração no plasma c(x). Depois de se desenvolver as equações (1), (2), (3), (4) e

substituindo os resultados na equação (5), obtém-se a seguinte expressão:

Agora admite-se que, no tubo colector e no tubo distal, a ADH está presente e portanto,

as suas paredes são completamente permeáveis à água e impermeáveis a Na+. Admite-se

que a interacção dos nefrónios, considerados anteriormente, partilham todos o mesmo

tubo colector. Assim, obteve-se a seguinte expressão para o tubo colector:

Em que o primeiro membro é a soma a que a taxa de Na+ deixa todas as ansas de Henle

e que depois entra nos tubos distal e colector. O segundo membro é a taxa a que o Na+

entra no tubo colector.

As equações para o fluxo de Na+ ao longo do tubo colector são idênticas às do ramo

ascendente da Ansa de Henle:

Assim, a equação (5) toma outra expressão:

Page 16: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

16

−+

= ∫∫ ∫

∫x

L

x

L

L

x dx

LccdLLLLcc

LccdLLL

dLLcxc

máx máx

máx

0

0*

*

*

0

)(/1)())(/(

)(/1)(

)(exp)(

ρρ

ρ

Têm-se assim todas as expressões necessárias para se obter uma única que represente a

concentração de Na+ no plasma ao longo de todo o sistema urinário. Assim, e

manipulando todas as equações, obtém-se:

Page 17: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

17

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

MATLAB:

Após o estudo detalhado do modelo do rim, em especial da sua unidade funcional, o

nefrónio, obtiveram-se os dados necessários à sua implementação em MATLAB.

Assim sendo, os gráficos obtidos são:

Temos que a=exp(alfa)(1-alfa), onde * 1(0)ca

c= ≤ - representa a razão entre a

concentração de saída ( c* - concentração de sódio na urina ), e a de entrada ( c(0) –

concentração de sódio no plasma ).e*

1

1(0) (0)

Naf xQ c

α = ≤ , como já tinha sido definido

anteriormente. Verifica-se sempre que 0 1α≤ ≤ , uma vez que a quantidade de sódio que entra no nefrónio nunca pode ser inferior à que sai. Conseguimos assim obter um gráfico para ‘a’. Observa-se que 0 1a≤ ≤ , ou seja, c*≤ c(0) e num caso extremo, c*=0. Isto vem de acordo com os conhecimentos teóricos em relação ao rim, em que sabemos que 99% do sódio filtrado é reabsorvido.

a

α

Page 18: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

18

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10-8

Concentração Sódio na Urina

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

200

250

300

350

400

Observa-se que a concentração de sódio na urina é constante e elevada para o modo concentrado (presença da ADH), e vai aumentando no modo diluído, á medida que ‘a’ aumenta. Taxas excreção de água Verificamos que no modo diluído, a taxa de excreção de água (TEA) é constante e elevada, e no modo concentrado vai aumentando. Inicialmente isto parece um contra-senso, porque o lógico seria o fluxo de água diminuir à medida que c* se afasta de zero e se aproxima de c0. Mas observando o gráfico da taxa de excreção de sódio (TES), verificamos que a TES também aumenta, mas a sua variação ao longo de ‘a’ é maior segundo um factor de (0)e c× . Podendo a concentração de sódio ser dada por TES/TEA, á medida que ‘a’ aumenta, a concentração de sódio também aumenta. (como já foi visto no gráfico anterior).

___ Modo concentrado ___ Modo diluído Unidades – mEq/litro

___ Modo concentrado ___ Modo diluído Unidades – mEq/litro

a c*=0 c*=c0

c*=c0 c*=0 a

Page 19: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

19

Taxas excreção de sódio

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8x 10-6

O código implementado em Matlab foi - plot (C,DTes,'g',C,CTes+0.000001,'r') Fez-se isto para poder ver ambas as curvas para as taxas de excreção de sódio, (estavam sobrepostas) Esta sobreposição era esperada, uma vez que a saída é controlada pelo aparelho justaglomerular, logo independentemente da entrada e do modo de funcionamento do rim (concentrado ou diluído). A taxa de excreção de sódio é sempre maior que a taxa de excreção de água, excepto no modo diluído para valores muito pequenos de ‘a’ (ou seja, quando a concentração de sódio na urina – saída - é muito maior que concentração de entrada – plasma). Este facto pode ser verificado no seguinte gráfico:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x 10-8

___ Taxa excreção de sódio

___ Taxa excreção de água

Unidades – mEq/litro

a

___ Modo concentrado ___ Modo diluído Unidades – mEq/litro

a

Page 20: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

20

= ∫∫

∫x

L

x

L

x dx

LccdLLL

dLLcXc

máx

máx

0*

0

)(/1)(

)(exp)(

ρ

ρ

mEq/Litro

mEq/Litro

410 m−×

410 m−×

Influências da densidade de ansas na concentração intersticial

0 50 100 150 200 250 300100

200

300

400

500

600

700

Efeito dos tubos colectores na concentração:

0 50 100 150 200 250 300100

150

200

250

300

350

400

−+

= ∫∫ ∫

∫x

L

x

L

L

x dx

LccdLLLLcc

LccdLLL

dLLcxc

máx máx

máx

0

0*

*

*

0

)(/1)())(/(

)(/1)(

)(exp)(

ρρ

ρ

____ ro(L)=1000 c(L)=331

____ ro(L)=1000*L c(L)=308

____ ro(L)=1000*L^2 c(L)=297

____ ro(L)=1000/L c(L)=394

a = 0.43

____ ro(L)=1000 c(L)=469

____ ro(L)=1000*L c(L)=418

____ ro(L)=1000*L^2 c(L)=392

____ ro(L)=1000/L c(L)=618

a = 0.43

Page 21: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

21

Esta é a equação final para o modelo matemático do rim, e considera os seguintes efeitos: -Propriedades de cada um dos ramos do nefrónio – ascendente e descendente

-Aparelho justaglomerular -‘Cascata’ de nefrónios distribuídos com densidade ro(L) -Efeito dos tubos colectores na concentração.

Observando os gráficos, verifica-se que quanto maior é a função de densidade de ansas ( ro(L) ), menor é a concentração intersticial necessária para obter a saída desejada, ou seja, mais eficaz é o sistema (menos ATP necessário, menos desgaste).

Page 22: Controlo pelos Rins do Sódio no PlasmaControlo pelos Rins do Sódio no Plasma 5 O sangue, depois de ter perdido a maior parte da pressão ao nível do glomérulo, flui passivamente

Controlo pelos Rins do Sódio no Plasma

22

Bibliografia:

- Berne R. M., Levy M. N., Koeppen B. M., Stanton B. A., Physiology, Mosby, 5ª

Edição, 2004;

- Silva A. D., Gramaxo F., Santos M. E., Mesquita A. F., Baldaia L., Terra

Universo de Vida – 2ª Parte, Porto Editora;

- Sullivan L. P. e Grantham J. J., Physiology of the kidney, 2ª Edição, Lea e

Febiger, 1982;

- Koushanpour E. e Kriz W., Renal Physiology: principles, Structure and

Function, 2ª Edição, Springer-Verlag, 1986;

- Thurau K. e Manson J., Kidney and Urinary Tract Physiology, International

Review of Science, Physiology Series 1, Volume 1, 1974;

- Layton H. E., Distribuition of Henle’s loops enhance urine concentrating ability,

Biophys, 1986;

- Knepper M. A. e Rector F. C., Urinary concentrating and Dilution, The kidney,

4ª Edição, Volume 1, 1991;

- Roy D. R., Layton H. E. e Jamison R. L., Countercurrent mechanism and its

regulation, The Kidney: Physiology and Pathophysiology, 3ª Edição, 2000.