CONTROLE CINEMÁTICO DE ROBÔS COOPERATIVOS · obtido pela composição dos movimentos elementares...

Departamento de Engenharia Elétrica

CONTROLE CINEMÁTICO DE ROBÔS COOPERATIVOS

Aluno: Marcelo Wizenberg

Orientador: Antonio Candea Leite

Introdução

Na maioria das áreas de atuação da robótica, autonomia e versatilidade são

características fundamentais para que robôs operem em ambientes complexos, pouco

estruturados, e algumas vezes hostis e distantes. Na teleoperação remota de sistemas

robóticos, os robôs manipuladores estão tipicamente localizados em um ambiente de difícil

acesso como, por exemplo, uma plataforma de petróleo offshore, uma estrutura submarina

tipo “árvore-de-natal” ou mesmo o espaço exterior. O operador controla os robôs que estão

localizados no ambiente remoto, em geral denominados robôs “escravos”, utilizando uma ou

mais interfaces hápticas – dispositivos do tipo joystick, com realimentação de força – que

permitem ao operador perceber as forças de interação com o ambiente. Este dispositivo

háptico é comumente denominado robô “mestre” pois determina os movimentos a serem

seguidos pelos robôs “escravos”. As realimentações de força, visão e áudio fornecem ao

operador uma sensação de “telepresença”, possibilitando a execução de comandos de controle

de maneira intuitiva, segura e eficiente. Sistemas robóticos cooperativos, compostos por dois

ou mais robôs manipuladores, possuem diversas vantagens quando comparados a um sistema

robótico convencional composto por um simples robô manipulador. Primeiramente, robôs

cooperativos podem ser configurados em uma formação similar a postura humana, permitindo

que o operador solucione uma grande variedade de tarefas de interação complexas. Então,

adicionando-se garras ou mãos robóticas na extremidade de cada robô é possível melhorar

ainda mais as suas características de versatilidade e destreza para a execução bem-sucedida de

tarefas de preensão e manipulação de objetos. Além disso, dois ou mais robôs cooperando

como uma equipe são capazes de executar diversas tarefas distintas que não poderiam ser

executadas por um único robô. Dentre alguns exemplos destacam-se (i) operações de elevação

e transporte de objetos de grande dimensão; (ii) operações de flexão e torção de objetos onde

um robô “mestre” é utilizado para monitorar ou supervisionar um ou mais robôs “escravos”

durante a operação; (iii) operações que envolvem a manipulação bi-manual cooperativa de

cargas e objetos [1].

Objetivos

Neste projeto de pesquisa avalia-se os potenciais benefícios da utilização de sistemas

robóticos tele-operados para executar tarefas em ambientes remotos e pouco estruturados. Em

particular, estuda-se como as metodologias de controle clássicas de controle cinemático,

desenvolvidas para robôs manipuladores simples, podem ser estendidas para a teleoperação

remota de robôs cooperativos, capazes de executar tarefas de manipulação bi-manual de

objetos. O objetivo desse projeto de pesquisa, a longo prazo, é contribuir para o

desenvolvimento do estado-da-arte em estratégias de controle avançadas para teleoperação

remota de robôs cooperativos, que sejam robustas a atrasos de comunicação e incertezas

paramétricas, para que esta nova solução possa se tornar no futuro uma tecnologia eficiente e

aplicável para diversas áreas de atuação da robótica (e.g., industrial, offshore, espacial,

agrícola e médica).


Metodologia

Neste trabalho, utilizou-se o conceito e a fundamentação teórica de teleoperação remota

de sistemas robóticos para considerar o problema de manipulação bi-manual de objetos por

robôs cooperativos. Em geral, sistemas robóticos tele-operados utilizam dispositivos hápticos

e metodologias de controle cinemático para interagir com o ambiente e manipular cargas e

objetos. As arquiteturas de teleoperação remota clássicas (e.g., direta, bilateral) serão

estudadas juntamente com os métodos de controle de robôs cooperativos como, por exemplo,

as abordagens (i) mestre-escravo [1] e (ii) formação de múltiplos agentes [2].

Primeiramente, será estudado o controle de sistemas robóticos com restrições

cinemáticas utilizando o paradigma de juntas ativas e passivas. Em seguida, será realizada

simulações numéricas com 2 (dois) robôs manipuladores, de 4-DoF (Degrees of Freedom)

cada, com o objetivo de executarem tarefas de manipulação bi-manual cooperativa de um

objeto. Nessa abordagem, sistemas robóticos cooperativos serão modelados matematicamente

e serão discutidos os conceitos de cinemática direta, cinemática diferencial, singularidades

cinemáticas e controle cinemático [3].

Após o desenvolvimento do projeto de controle e a implementação da simulação com

robôs cooperativos de 4-DoF, será realizado um estudo para estender o algoritmo proposto

para robôs manipuladores com mais graus de liberdade (ou redundantes). Isso implicará em

um melhor desempenho para o sistema de controle de posição e orientação do objeto, uma vez

que um robô com graus de liberdade extra possui maior destreza e pode evitar de maneira

segura e eficiente as configurações singulares. A verificação e validação da solução obtida

serão realizadas através de simulações numéricas em Matlab/Simulink e testes experimentais

com um robô industrial Baxter® (Rethink Robotics, Inc.) do tipo dual-arm com 14-DoF

conectado a um dispositivo háptico Phantom Omni (Sensable) ambos localizados no

Laboratório de Robótica do CENPES/Petrobras.

Modelagem e Projeto de Controle

Neste capítulo, serão apresentados alguns conceitos básicos relacionados à robótica,

tais como a modelagem de um robô manipulador, cinemática, controle cinemático. Além

disso, serão discutidos alguns princípios de cooperação robótica, onde faz-se o uso de mais de

um robô para determinada tarefa.

A. Modelagem de um Braço Robótico

Um manipulador robótico pode ser esquematicamente representado por uma série de

corpos rígidos, os elos, em cadeia e conectados por meio de juntas, prismáticas ou de

revolução. Cada junta proporciona um grau de mobilidade ao robô. No início desta cadeia é

estabelecida a origem, tipicamente a referência inercial escolhida para o sistema e, ao seu

final, é montado o efetuador (ou ferramenta). O movimento resultante de toda a estrutura é

obtido pela composição dos movimentos elementares de cada elo com respeito ao elo anterior.

De forma a possibilitar a manipulação de um objeto no espaço de trabalho pelo efetuador,

torna-se necessária a descrição de sua posição e orientação.


Figura 1: Representação de um robô através de juntas e elos.

Através dos parâmetros de Denavit-Harternberg (D-H), é possível modelar o braço

robótico. Nesta convenção, 4 (quatro) parâmetros permitem obter o conjunto de equações que

descreve a cinemática de uma junta com relação a junta seguinte e vice-versa:

i. Ângulo de rotação da junta, φ;

ii. Ângulo de torção da junta, α;

iii. Comprimento do elo, a;

iv. Deslocamento da junta, d;

Para um robô manipulador com N juntas numerados de 1 a N, há N+1 elos conectando 2

(duas) juntas, numerados de 0 a N. O elo 0 é a base do manipulador e o elo N tem o nome de

efetuador. A junta j conecta o elo j-1 ao elo j, e assim a junta j é responsável por mover o elo

j. Um elo pode ser especificado por 2 parâmetros: seu comprimento e seu ângulo de torção.

As juntas também podem ser caracterizadas por 2 parâmetros: seu deslocamento e seu ângulo

de rotação. A figura a seguir ilustra esta notação:

Figura 2: Representação dos parâmetros Denavit-Hartenberg [4]


A transformação do quadro de coordenados de um elo {j-1} para o quadro do elo

seguinte {j} pode ser calculado através de elementos rotacionais e translacionais da seguinte

maneira:

, no qual pode ser expandido para:

Como esperado, o cálculo da função da cinemática direta é recursiva e é obtida de

uma maneira sistemática pelo simples produto da contribuição de cada grau de mobilidade.

Este procedimento pode ser aplicado em qualquer cadeia cinemática aberta, e pode ser

facilmente reescrito em uma operação formal.

O espaço de trabalho de um robô manipulador é definido como o conjunto de todas as

configurações na qual pode ser alcançado por alguma escolha dos ângulos de junta. O espaço

de trabalho é utilizado para planejar uma tarefa para o manipulador executar.

Para controlar um robô, geralmente se faz uso de modelos matemáticos e alguma

forma de inteligência para atuar no modelo. O modelo matemático de um robô pode ser

obtido através de leis da física que governam o movimento. Com relação a inteligência, isto

requer o uso de capacidade sensorial para atuar e reagir a variáveis que foram medidas. Essas

ações e reações do robô são o que resultam no design do controlador.

B. Cinemática

Cinemática (do grego κινημα, movimento) é o ramo da física que se ocupa da

descrição dos movimentos dos corpos, sem se preocupar com a análise de suas causas

(dinâmica) [1]. O movimento é um conceito relativo, já que um objeto pode estar em repouso

em relação a um primeiro referencial, mas em movimento em relação a um segundo

referencial. Um robô pode ser considerado como um corpo rígido, isto é, todas as partes do

robô mantêm sempre as mesmas distâncias relativas às outras partes independentemente da

nova posição e orientação do robô. A posição de um corpo rígido em qualquer instante de

tempo pode ser determinada indicando a posição de um ponto do corpo, a orientação de um

eixo fixo em relação ao corpo e um ângulo de rotação em volta a esse eixo.

A maioria dos manipuladores modernos consiste de um conjunto de elos rígidos

conectados juntamente a uma série de juntas. Motores são acoplados às juntas para que o

movimento do mecanismo seja controlado a fim de realizar determinada tarefa. Uma

ferramenta, geralmente uma garra, é acoplada ao fim do robô para interagir com o ambiente.

Geralmente, deseja-se controlar a pose do efetuador de um robô e sua trajetória para

determinado instante de tempo. A pose do efetuador pode ser entendida pela descrição de sua

posição e orientação com relação a determinado referencial. Uma importante característica de

trajetória a ser seguida tem a ver com suavidade, isto é, a posição e orientação devem variar

suavemente com o decorrer do tempo. Isto quer dizer as primeiras derivadas temporais são

contínuas.


Cinemática Direta

O problema da cinemática direta está em calcular a posição e orientação da

extremidade final da cadeia cinemática (efetuador) com respeito a um sistema de coordenadas

de referência, tipicamente posicionado na base da estrutura mecânica, a partir do

conhecimento das variáveis de juntas (ângulos ou deslocamentos).

No nosso caso, restringiremos o estudo da cinemática direta para manipuladores de

cadeia aberta (serial), onde cada par de elos é conectado por uma junta de revolução. As

cadeias cinemáticas abertas correspondem a estruturas em que há apenas uma sequência de

elos conectando suas extremidades, enquanto cadeias fechadas correspondem a estruturas em

que uma sequência de elos forma um laço.

A solução da cinemática direta é única e pode ser obtida tanto na forma analítica

quanto na forma numérica através de um processo sistemático. A pose do efetuador de um

manipulador tem 6 (seis) graus de liberdade, onde 3 (três) para translação e 3 (três) para

rotação.

Com base nestas definições, a cinemática direta pode ser expressa através da seguinte

equação:

, onde a pose do efetuador é uma função das variáveis de junta. A pose pode ser calculada,

assim, através do produto da matriz de transformação de cada elo para um manipulador com

N-DoF:

Cinemática Inversa

O problema da cinemática inversa consiste em determinar as variáveis de juntas que

resultam em uma determinada posição e orientação do efetuador. A cinemática inversa é um

problema muito mais difícil de ser resolvido do que a cinemática direta. Isso se deve pelo fato

da cinemática inversa ser altamente não linear. Descobrir o inverso da velocidade e aceleração

são problemas lineares, e mais simples de serem resolvidos assim que o problema de

descobrir a posição inversa já foi solucionado. O maior problema da cinemática inversa são

as múltiplas soluções para determinada posição e orientação do efetuador, pois o sistema deve

ser capaz de escolher somente uma. O critério para que se possa tomar uma decisão pode

variar, mas a mais comumente utilizada é a solução mais próxima.

A cinemática inversa pode ser expressa através da seguinte equação:

Em geral essa função não apresenta soluções únicas e para determinada classe de

robôs manipuladores, não existem soluções de forma fechada, necessitando-se assim realizar

uma análise numérica.

Muitos pesquisadores preferem métodos numéricos para resolver o problema da

cinemática indireta por evitar a dificuldade de encontrar soluções analíticas. Normalmente, a

abordagem analítica é apropriada para aplicações em tempo real, porque todas soluções

podem ser encontradas e é computacionalmente mais rápida quando comparada com

abordagens numéricas.

Cada manipulador deve ser estudado previamente para que se possa entender seu

espaço de trabalho. Para um manipulador om menos de seis graus de liberdade, pode não ser

possível obter determinada posição e orientação no espaço tridimensional.


Cinemática Diferencial

Nas seções anteriores, as equações de cinemática direta e inversa estabeleceram as

relações entre as coordenadas de juntas e a posição e orientação do efetuador. A cinemática

diferencial estabelece a relação entre a variação temporal da postura do efetuador em função

da variação temporal das variáveis das juntas. Isto é, deseja-se descrever a relação entre as

velocidades linear e angular do efetuador e as velocidades das juntas. Este mapeamento é

realizado através da matriz Jacobiana, a qual é dependente da configuração do manipulador. O

Jacobiano do manipulador é uma das relações mais importantes para a análise e controle do

movimento de um robô manipulador, pois permite:

i. Planejamento e execução de trajetórias suaves;

ii. Determinação de singularidades;

iii. Cálculo das equações dinâmicas de movimento;

iv. Transformação de forças e torques do efetuador para as juntas.

Configuração Singular

Para qualquer robô, redundante ou não, é possível descobrir algumas configurações,

chamadas de configuração singular, no qual o número de graus de liberdade do efetuador é

inferior à dimensão na qual ele está operando. Configurações singulares podem ocorrer

quando:

i. Dois eixos de juntas prismáticas se tornam paralelos;

ii. Dois eixos de juntas de revolução se tornam idênticos.

Em configurações singulares, o efetuador perde um ou mais grau de liberdade, já que

equações cinemáticas se tornam linearmente independentes. Posições singulares devem ser

evitadas, pois as velocidades requeridas para mover o efetuador se tornam, teoricamente,

infinitas. É importante ressaltar também que a inversão da matriz Jacobiana pode representar

um grande inconveniente não apenas em uma configuração singular, mas também na

vizinhança de uma singularidade, onde a matriz se torna mal condicionada, resultando em

grandes valores de velocidades de juntas.

Configurações singulares podem ser determinadas através da matriz Jacobiana. A matriz

Jacobiana, J, relaciona o deslocamento infinitesimal do efetuador com as variáveis

infinitesimais das juntas. A dimensão da matriz J é m x n, onde m é o número de graus de

liberdade do efetuador, e n é o número de juntas. A matriz Jacobiana J também determina a

relação entre a velocidade do efetuador e a velocidade das juntas.

Configurações onde o Jacobiano não tem posto completo, correspondem às

singularidades do robô, que podem ser classificadas em dois tipos:

i. Singularidade do espaço de fronteira: Aqueles que ocorrem quando o

manipulador está esticado, ou dobrado sobre si mesmo;

ii. Singularidade do espaço interior (ou internas): Aqueles que ocorrem quando

dois ou mais eixos de alinham

Se o manipulador tem menos de seis graus de liberdade, a configuração singular

corresponde a configuração na qual o número de graus de liberdade decai. Isso é caracterizado

pelo manipulador Jacobiano caindo de posto, isto é, duas ou mais colunas da matriz Jacobiana

J se tornam linearmente dependentes.


A manipulabilidade de um robô pode ser descrita como sua habilidade de mover-se

livremente em todas direções dentro do espaço de trabalho. A manipulabilidade pode ser

classificada em:

i. A habilidade de alcançar certas posições ou conjunto de posições;

ii. A habilidade de mudar de posição ou orientação para determinada

configuração.

Um método eficiente de se obter o Jacobiano para matrizes não quadradas, é calcular o

Jacobiano pseudo-inverso. O cálculo desta matriz depende do seu número de linhas e colunas,

e pode ser determinado da seguinte maneira para o caso em que o Jacobiano apresenta posto

completo:

i. Para o caso underconstrained (se tem mais colunas do que linhas, isto é, m <

n):

ii. Para o caso overconstrained (se há mais linhas do que colunas, isto é, n < m):

iii. Para números iguais de linhas e colunas (m = n):

C. Controle Cinemático

O sistema de controle de qualquer robô é realizado por meio de um sistema de

software e hardware. Esse sistema processa os sinais de entrada e converte estes sinais em

uma ação ao qual foi programado. Neste trabalho serão apresentados o controle ponto-a-

ponto, onde o robô é capaz de se deslocar de um ponto para qualquer outro ponto de seu

volume de trabalho, sendo a trajetória e velocidade não controladas ao longo desse

movimento; trajetória continua, onde a trajetória é total ou parcialmente contínua; trajetória

controlada, onde geometrias diferentes são usadas para gerar trajetórias, como por exemplo

linhas, círculos, curvas.

Consideraremos que a dinâmica do manipulador pode ser desprezada. Esta hipótese é

aceitável para manipuladores que apresentam:

i. Elevados fatores de redução nas engrenagens (gear ratio);

ii. Quando baixas velocidades as utilizadas durante a realização de tarefas;

iii. Existe uma malha de controle de velocidades de alto desempenho para cada

junta.

O principal objetivo do controle no espaço da junta é projeta um controlador com

realimentação, de tal forma que as coordenadas na junta sigam o movimento desejado tão

próximo possível.


Simulação numérica e experimentos

Este capítulo tem como foco o desenvolvimento do modelo matemático do robô semi-

humanóide Baxter®, baseado em uma completa modelagem cinemática representado por

equações que expressam restrições ou que limitam a possibilidade de movimento dos corpos

que constituem o sistema.

A modelagem cinemática de um robô manipulador é o estudo da posição e da

velocidade do seu efetuador e dos seus elos. Quando se menciona posição, está se referindo

tanto à posição propriamente dita, como à orientação, e quando se fala em velocidade,

considera-se tanto a velocidade linear como angular.

O software Matlab foi escolhido para realizar a simulação devido ao seu poder computacional

com relação a matrizes e devido a toolboxes existentes na área de robótica. Robotics toolbox,

criado por Peter Corke, será utilizado por conter funções pré-escritas e descrições da estrutura

do robô pré-determinadas [4]. Assim, Matlab R2017a será utilizado nessa simulação,

juntamente com a toolbox Robotics versão 9.10.

A. Estrutura dos braços do robô

Baxter®, da Rethink Robotics™[5], foi o robô escolhido para a realização deste

trabalho pelos seguintes motivos:

i. Baxter® é seguro, contento sensores construídos internamente, para aplicações

acadêmicas e industriais;

ii. Câmeras no robô podem ser usadas para controlar seus movimentos;

iii. A tela de LCD pode ser usada para mostrar imagens (e.g.: objeto detectado;

interação com o usuário);

iv. É um robô que vem sendo bastante estudado recentemente, com diversas

pesquisas e experimentos;

v. Possível integração com o robô localizado no laboratório da Petrobras na

UFRJ.

O Baxter® é um robô semi-humanóide com dois braços, cada um contendo 7 juntas

rotacionais com 7-DoF e com uma alcançabilidade máxima de 1210 mm. Isto significa que os

braços do Baxter® podem chegar a qualquer posição e/ou orientação dentro de seu espaço de

trabalho. O robô conta ainda com um torso fixo em um pedestal móvel e uma cabeça

contendo um painel interativo de LCD.


Figura 3: Diagrama do robô Baxter®. As Juntas 1, 2, 3 representam o ombro; 4, 5

representam o cotovelo; e 6, 7 o punho. [6]

Seus braços podem ser considerados como robôs redundantes, onde cada braço conta

com 7 juntas rotacionais e 8 elos. Cada braço pode cooperar juntamente para realizar tarefas

específicas, como a manipulação de um objeto, ou separadamente, aumentando assim, sua

versatilidade. Os parâmetros D-H de cada braço podem ser modelados da seguinte maneira,

segundo [5]:

B. Ambiente de simulação

Utilizando-se o software Matlab com a toolbox de robótica, pode-se validar o controle

cinemática do robô em questão. O cálculo do espaço de trabalho dos braços do Baxter® é

importante para decidir quando um objeto pode ser manipulado. Este objeto deve estar dentro

do espaço alcançável pelos braços do robô. O espaço de trabalho é determinado de acordo

com os comprimentos dos elos, tipos de juntas e ângulos limites de cada junta. De acordo com

a fabricante, Rethink Robotics, temos as seguintes figuras representando o espaço de trabalho

do robô:


Figura 4: Espaço de trabalho dos braços do Baxter®, visão superior.

Figura 5: Espaço de trabalho dos braços do Baxter®, visão lateral.


C. Experimento

Através dos conceitos teóricos, brevemente detalhados neste relatório, uma simulação

de trajetória a ser seguida no espaço tridimensional foi realizada. O objetivo desta simulação é

simular os braços robóticos do Baxter®, e comparar sua posição com a posição desejada.

Outros parâmetros de extrema importância também serão analisados, como por exemplo,

ângulos de cada junta rotacional, velocidade das juntas, manipulabilidade, erro de posição.

A seguir, encontram-se os gráficos resultados da simulação de um braço robótico,

utilizando-se uma circunferência de raio 0,1m no plano XZ; um controlador proporcional com

ganho igual a 20; velocidade angular de π/20 rad/s; tempo de simulação de 20 segundos; e

utilizando-se a pseudo-inversa do Jacobiano como sinal de entrada.

Figura 6: Repesentação do robô Baxter® utilizando-se toolbox Robotics por Peter

Corke. Braços esquerdo e direito com ângulos de junta iguais a zero.

Figura 7: Trajetória real em azul; trajetória desejada em preto.


Figura 8: Manipulabilidade do robô.

Figura 9: Velocidade de cada junta.

Figura 10: Ângulo de cada junta.


Figura 11: Erro de posição em cada coordenada no espaço tridimensional.

Conclusões

Os resultados de simulações numéricas, realizadas em Matlab/Simulink com um robô

industrial Baxter®, comprovam o desempenho e a viabilidade da metodologia de controle

proposta. O controle cinemático de posição para o efetuador do robô apresentou resultados

satisfatórios para tarefas de rastreamento de trajetória. As estratégias de controle cinemático

foram implementadas de acordo com um algoritmo de cinemática inversa baseado no

Jacobiano inverso. Para avaliar o efeito das singularidades cinemáticas no desempenho do

sistema de controle utilizou-se o método DLS inverso. Os resultados obtidos (teóricos e

simulados) estão de acordo com as hipóteses adotadas pela abordagem de controle cinemático

para robôs manipuladores.

Sugestões para Trabalhos futuros

Os próximos tópicos a serem abordados por este projeto de iniciação científica se dão

pelo acréscimo do controle de orientação ao controle de posição. Além disso, servo-visão e

controle de força podem ser incrementados ao controlador para que haja um controle mais

robusto dos braços robóticos. Com a realização do controle de força, será possível integrar as

simulações realizadas com o sistema háptico.

Cooperação entre os 2 (dois) braços robóticos do Baxter® também devem ser

explorados profundamente. Sendo necessário fazer uma simulação de cooperação entre os

dois braços para a realização de uma tarefa, como por exemplo, a manipulação de um objeto.

Referências

1 – Niemeyer, G., Preusche, C., and Hirzinger, G., “Telerobotics”, Springer Handbook of

Robotics, Ed. Siciliano, B. and Khatib, O., pp. 747-757, 2008.

2 – Bai, H. and Wen J. T., “Cooperative Load Transport: A Formation-Control

Perspective”, IEEE Transactions on Robotics, Vol. 26, No. 4, pp. 742-750, August, 2010.

3 – Freitas, G. M., Leite, A. C., and Lizarralde, F., “Kinematic Control of Constrained

Robotic Systems”, SBA – Control & Automation Magazine, Vol. 22, No. 6, pp. 559-572,

Nov./Dec., 2011.

4 – P.I. Corke, “Robotics, Vision & Control”, Springer 2017, ISBN 978-3-319-54413-7.


5 – Zhangfeng J., Chenguang Y., and Hongbin M., “Kinematic modeling and experimental

verification of Baxter robot”. In Proceedings of the 33rd Chinese Control Conference

Nanjing, China, 28-30 Jul, 2014, pages 8518–8523. IEEE, 2014.

6 – Smith, A. M. C. “Biomimetic Manipulator Control Design for Bimanual Tasks in the

Natural Environment.”. England, 2016. Thesis (Philosophy specialization) – School of

Computing, Electronics and Mathematics, Plymouth University.

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