Problemario

Ingeniería de Control

Adalberto Cortés Ruiz

Instructor: Dr. Eliseo Hernández Martínez

Noviembre 2016

Problema 1: Diagramas de Bloques

Simplifique el diagrama de bloques que aparece en la Figura 1 y obtenga la función de

transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s).B-2-3 de (Ogata, 2010)

Figura 1. Diagrama de Bloques propuesto

1. Agrupación de los lazos de retroalimentación:

2. Reducción de los lazos de retroalimentación:

3. Multiplicación de bloques en serie

G1

H2

G3 _ + +

+ + G

2

H3

_ _ + ( )R s ( )C s

G1 G

3 _ +

H3

_ + ( )R s ( )C s

4. Reducción de la retroalimentación y multiplicación de la serie

Problema 2: Estimación de la constante de tiempo

Un termómetro requiere de un minuto para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una

entrada escalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de primer orden, encuentre la

constante de tiempo.

Partiendo de las ecuaciones de primer orden y del cambio en escalón:

Primer Orden Cambio escalón

( )( )

1

ku sy s

s

( )

uu s

s

( )

1

k uy s

s s

11

1 1 1

A s BsA B

s s s s s s

Determinando las constantes A y B por fracciones parciales:

1, A B

G1 _ +

H3

_ + ( )R s

( )R s

_ + ( )R s ( )R s

1 11

1

t

es s

L

( ) 1t

y s e

Ahora sustituyendo ( ) 0.98y s y 1 min 60 st

Control de nivel de agua en un tanque

Al analizar sistemas que implican el flujo de líquidos, resulta necesario dividir los regímenes de flujo

en laminar y turbulento, de acuerdo con la magnitud del número de Reynolds. Si el número de

Reynolds es mayor que entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento. El flujo es laminar si el número de

Reynolds es menor que unos 2000. En el caso laminar, tiene lugar un flujo estable en las corrientes,

sin turbulencia. Los sistemas que contienen un flujo laminar se pueden representar mediante

ecuaciones diferenciales lineales, (Ogata, 2010).

60

60

( ) 1

1 0.98 0.02

60ln(0.02)

6015.33 s

ln(0.02)

y s e

e

Altura máxima:

3m

Radio:

0.5m

Caso laminar

Modelo

Tomando en cuenta el balance general de materia [entradas-salidas=acumulación]

dVFe Fs

dt

El flujo de salida tiene una resistencia al caudal (la válvula) que es lineal debido a que el flujo es de

régimen laminar (constante) y es el cambio del nivel del tanque sobre el cambio del caudal (Flujo

volumétrico de salida).

dh hR

dFs Fs

El volumen del líquido en el tanque está dado por:

V Ah

Donde 2A r y es constante. Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en el balance general

de materia, se obtiene el modelo matemático del proceso:

dh Fe h

dt A AR

Parámetros

Capacidad del tanque: 2.3562 m3 (altura de 3 m y radio de 0.5m)

Fe Flujo volumétrico de alimentación 4 m3/s

r Radio del tanque 0.5 m

R Resistencia que ejerce la válvula de carga en el flujo de salida 0.6 s/m2

Condición inicial

Al inicio del proceso, el tanque está vacío, es decir:

0 0h t

Lazo abierto

Figura 2. modelo del tanque en simulink (lazo abierto).

Determinación de los parámetros de control

A partir del modelo, se realiza un cambio escalón del flujo de entrada y se observa la respuesta de

y de la altura.

Inicio Final

Cambio escalón de Fe 3 m3/s 4 m3/s

Respuesta de h 1.8 m 2.4 m

Figura 3. Respuesta de y (altura) ante un cambio escalón de u (flujo de entrada)

Ganancia ( K ) 0.6

Tiempo característico del proceso (63.2%

) 0.467

Control PI

Para el control PI, las reglas de sintonizado que se emplearon están descritas por (Skogestad, 2002),

donde la estructura del controlador es:

0

1 c

I

u u K e e d

Donde 0u ,

cK , e , I y son el valor nominal del flujo, la ganancia del controlador, la señal del

error, la constante de tiempo integral y el tiempo en el controlador, respectivamente.

El sintonizado sugiere que los parámetros del controlador sean el inverso de la ganancia del sistema

para la ganancia del controlador y el tiempo característico del proceso sea el tiempo integral, Esto

para cuando no se toma en cuenta el tiempo muerto.

63.2%

1 c IK

K

Figura 4. Propuesta del controlador PI

cK 1.6667

I 0.467

Figura 5. Modelo con la implementación del control PI

Figura 6. Lazo cerrado, control PI

En la Figura 5 la referencia comienza a partir del tiempo de control (tcontrol=4s), para ese

sintonizado se llega a la referencia en un tiempo aproximado de 6 segundos.

Parámetros de

Control

Figura 7. Prueba del controlador a una referencia cercana al límite de la altura del tanque, a partir de lazo abierto (línea amarilla) y sin lazo abierto (azul)

Cuando se requiere una referencia cercana a el valor máximo permitido por la física del proceso, es

posible que el controlador exija al actuador un aumento drástico generando así un sobrepico en la

respuesta del sistema que posiblemente pueda causar resultados no deseados en el proceso. Para

este caso, un sobrepico en el nivel del líquido en el tanque puede causar que el líquido se derrame

si el tanque es abierto, o que se estropee el equipo de bombeo o alguna tubería en un punto crítico

si el tanque es cerrado, es por ello que es importante tomar en cuenta estas consideraciones en el

controlador agregando límites en la variable de control.

Figura 8. Controlador PI con límites. Para este caso el límite máximo es Fe=5, cuando se tenga este flujo, la altura será de 3m

Figura 9. Resultado de la corrección del controlador (cotas para el controlador en nivel máximo y mínimo)

Aun así, se observa otro problema, pero no tan grave como el primero y consiste en el tiempo que

el controlador se demora en llegar a la referencia. Aunque el sintonizado realizado hace que sea

rápido, la cota superior (sólo permitir un máximo de una altura de 3m), retrasa al controlador de tal

forma que llega a la referencia al cabo de 50 segundos.

Figura 10. Proceso con nuevos parámetros de sintonizado.

A diferencia de la Figura 6, la Figura 10 no presenta un sobrepico tan pronunciado y es más suave al

momento de llegar a la referencia. Pero se tiene la ventaja de ser más rápido cuando la referencia

se encuentra cerca del límite máximo.

cK 0.13826667

I 0.467

Figura 11. Acción suave del controlador cercano al límite máximo

Figura 12. Perturbación en el proceso (se retiran del tanque 0.2m3/s)

Al comparar con un controlador PID (Figura 13), con un tiempo diferencial de 7 (Td) y la misma

ganancia de 0.13826667, se observa mayor velocidad en el PID al comparar la simulación del

proceso (Figura 14) y sus errores acumulados (Figura 15).

Figura 13. Controlador PID

Figura 14. Comparación del proceso bajo un controlador PI y PID

Figura 15. Comparación del error acumulado generado por un control PI y un PID para este proceso.

Uso de Simulink: Definir un modelo matemático

Entorno Simulink es un entorno de diagrama de bloques para el diseño de sistemas basados en modelos.

Al abrir Simulink, se despliega su librería de bloques (Figura 1) y en la esquina superior-derecha se

halla el botón para abrir un nuevo modelo Al seleccionar New model, se despliega una

Figura 1. Librería de Simulink, aquí se encuentran los bloques integradores para el diseño de una simulación, Además se tiene la capacidad de instalar paqueterías para el uso de Hardware.

Tabla 1. Bloques comunes usados en simulaciones básicas

(constant) Define una constante

(sum) operación matemática de suma

(integrator) integra la señal de entrada respecto al tiempo

(step) genera un cambio en escalón de una constante en un tiempo determinado

(To Workspace) guarda una variable en el workspace de MATLAB, aquí es utilizado cuando se requiere analizar una variable en el SDI de gran tamaño

(Mux) combina dos o más señales en una sola

(scope) visualiza una variable como una gráfica contra el tiempo

La Tabla 1 muestra algunos de los bloques comunes que se requieren para la simulación de modelos

matemáticos simples, siendo de mayor uso la paquetería de Math Operations de la librería de Simulink.

Simulink, además de su uso para la simulación de modelos matemáticos, puede ser usado para el

diseño y control de procesos, para la programación de hardware (ie, tarjetas Arduino, Raspberry Pi,

National Instruments, etc), adquisición y análisis de imágenes, etc.

Tiempo de la simulación Con la característica de que

las simulaciones pueden ir

hasta tiempo infinito (inf)

Botón de grabación Graba los datos de la simulación y permite su posterior análisis. No es posible utilizarlo cuando el tiempo es inf. Además, si el tiempo de simulación es grande, requiere el uso del bloque To Workspace conectado a la señal que se desea analizar. Ejecutar

Corre la simulación

Solve Indica la función empleada para la resolución de EDOs,

puede cambiarse en la parte de configuración

según sea la necesidad. Por defecto es ode45

ENTRADAS SALIDAS

Las entradas y salidas de los bloques se identifican a partir de la dirección de las flechas

Definiendo una ecuación Diferencial (modelo matemático) Tomando como ejemplo 1 el sistema de ecuaciones diferenciales:

( )

( )

dxa y x

dt

dyx b z y

dt

dzxy cz

dt

Donde 10, 28, 8 / 3a b c

Y condiciones iniciales (0) 1 (0) 5 (0) 5x y z

Se puede comenzar definiendo las 3 constantes (a, b y c) del modelo e identificando las entradas y

salidas de los 3 integradores que se requerirán.

En los integradores, las entradas serán igual a el valor de la derivada de cada ecuación, mientras que

por salidas se tendrá el valor de la variable que le corresponde.

Las condiciones iniciales se ingresan haciendo doble click en el bloque integrador que le

corresponda. Se desplegará una pantalla en la que se puede definir la condición inicial.

La primera ecuación diferencial dice que dx será igual a ( )a y x , Para ello se requieren dos

bloques, uno que reste a y y x (Sum) y otro que multiplique a toda la resta por la constante a. (Figura

2).

Dando doble Click al

bloque, se despliega una

ventana especificando

sus propiedades. Ahí es

posible cambiar el valor

de la constante que por

defecto es 1.

En List of signs se puede seleccionar

el signo que se requiere utilizar sea

+ o –

La | indica un espacio vacío o punto

cerrado del bloque

Cada singo que se agrega genera

una nueva entrada en el bloque,

pueden ser desde 1 hasta los que se

requieran.

La parte Icon shape define la forma

geométrica del bloque

Figura 2. Primera ecuación diferencial del sistema en la estructura de Simulink

La segunda ecuación diferencial dice que dy es ( )x b z y , se sigue el mismo procedimiento

utilizado en la primera ecuación diferencial (dos bloques: Sum y Product).

Para la tercera ecuación, dz igual a xy cz se requieren de tres bloques (dos de Product y uno de

Sum).

Se pueden hacer ramificaciones de

una señal acercándose a ella con el

puntero, dar click derecho y

arrastrarla.

A partir de aquí, el sistema de

ecuaciones diferenciales está

terminado. Ahora se puede

simular y visualizar los

resultados utilizando un

bloque scope para cada señal

(x, y y z).

Es posible cambiar el color de

las líneas de señal de cada

bloque dando click derecho,

seleccionar Format, después

Foreground Color y después el

color que se desee.

Ésta herramienta tiene la

finalidad de identificar las

señales de manera visual.

Para la visualización, se puede utilizar

un bloque Scope. Por defecto, Scope

tiene una sola entrada, se puede

modificar el no. de entradas dando

doble click en el bloque y luego en

Parameters.

Ahí se puede ajustar el no. de

entradas en la parte de Number of

Axes.

También se pueden visualizar gráficas de

X vs Y con XY Graph. La primera entrada

corresponde a X y la segunda a Y.

Para ésta simulación se utilizó un tiempo de 50

Simulation Data Inspector (Botón de grabación)

El botón de grabación, además de la visualización de los resultados de la simulación, sirve para

comparar los resultados cuando se hacen modificaciones en el modelo matemático.

Al abrir SDI, se despliega una ventana en la que se pueden analizar los resultados por cada corrida

del modelo (Figura 3). Por defecto, se nombran por el número de corrida realizada, en la Figura 4 se

compara la corrida 1 con la corrida 2, en la cual, se varió el valor de la constante b=20.

Para simulaciones con tiempos

mayores de 10, es necesario el uso

del bloque To Workspace. Éste

bloque tiene distintas maneras de

guardar los datos en el Workspace,

por defecto es Timeseries, pero

comúnmente se maneja en Array

(arreglos de vectores) y se puede

modificar dando doble click en el

bloque.

Al habilitar el botón de grabación se

despliega el siguiente cuadro de

diálogo y al finalizar la simulación, se

despliega una barra en la que se abre

el SDI (Simulation Data Inspector).

Figura 3. SDI inspector de señales

Figura 4. Comparación de corridas. En Compare Runs se pueden comparar las señales de una misma variable y visualizar su grado de diferencia y tolerancia.

Subsistema Los subsistemas son agrupaciones de bloques y señales en un solo bloque y pueden poseer las

entradas y salidas que se deseen o sean necesarias.

Crear un subsistema: Hacer doble Click en alguna esquina y

arrastrar la flecha hasta encerrar a todo

el conjunto de bloques que se desea

agrupar en un subsistema

Después se debe hacer Click derecho sobre

cualquier bloque que se haya seleccionado.

En seguida, seleccionar Create Subsystem

from Selection.