CONTRIBUIÇÕES DA ENGENHARIA DIDÁTICA...

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS

Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática

ANA PAULA NORO

CONTRIBUIÇÕES DA ENGENHARIA DIDÁTICA PARA O ENSINO E

APRENDIZAGEM DE POLIEDROS

Santa Maria, RS

2012

2

ANA PAULA NORO

CONTRIBUIÇÕES DA ENGENHARIA DIDÁTICA PARA O ENSINO E

APRENDIZAGEM DE POLIEDROS

Orientadora: PROFª DR VANILDE BISOGNIN

Santa Maria

2012

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado

Profissionalizante em Ensino de Física e de

Matemática do Centro Universitário

Franciscano, como exigência parcial para

obtenção do título de Mestre em Ensino de

Matemática.

3

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus pais e a

minha noninha, Olinda, que cantava em

alemão para eu dormir que me ensinou a

escrever as primeiras palavras, que me

levava no jardim de infância. E que

infelizmente não pode estar presente nesta

conquista.

Ana Paula

4

AGRADECIMENTO

Agradeço primeiramente a Deus, pelo dom da vida mostrando o caminho que devo seguir.

À minha orientadora Vanilde Bisognin, que não desistiu de mim em momento algum, pela

dedicação e compreensão. Muito obrigada!

Aos meus pais Valdir e Terezinha, por ter me ensinado o verdadeiro valor da vida. Por ter me

proporcionado privilégio de estudar apesar de todas as dificuldades.

Agradeço aos meu pais postiços Marco Antônio e Giselda por me acolherem em sua casa e

em seus corações como uma filha.

Aos meus irmãos Rudinei e Marineuza, pelas orações e palavras de conforto.

A família que construí em Santa Maria em especial ao Aelton e a Valquiria, muito obrigada

por tudo.

A toda a minha família de Santa Catarina pela preocupação e incentivo para continuar

estudando.

A minha amiga Suélen, pela iniciativa de me apoiar no ingresso no Mestrado.

Aos meus colegas da turma de 2009, Darcson, Carlos , Marcelo e todos os outros muito

obrigada pelos bons momentos que passamos juntos foi uma honra conhecer cada uma de

vocês.

A Mari e a Laura, por terem se tornado minhas irmãs de coração.

Agradeço as professoras Marlise e a Angélica pela troca de experiência e apoio a pesquisa

realizada.

Aos meus alunos que aceitaram participar da pesquisa.

5

Aos professores do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de

Matemática da UNIFRA pela convivência e aprendizado constante.

Muito obrigada a todos!

6

Epígrafe

“Jamais se desespere em meio às mais

sombrias aflições de sua vida, pois das

nuvens mais negras cai água límpida e

fecunda”.

(Provérbio Chinês)

7

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo analisar as possibilidades que a proposição de uma

Sequência Didática fundamentada na metodologia da Engenharia Didática traz para o ensino

e aprendizagem dos Poliedros.O referencial teórico da investigação envolve o ensino de

Matemática, em particular o ensino de Geometria, os fundamentos da Engenharia Didática e o

uso de materiais manipuláveis. A pesquisa teve cunho qualitativo. Os principais instrumentos

utilizados foram observações participativas durante todo o processo de desenvolvimento da

sequência didática em que a pesquisadora e participantes interagiram. Os participantes da

pesquisa foram alunos do Terceiro Ano do Ensino Médio, de uma escola da rede pública

Estadual de São Martinho da Serra- RS. Através destes instrumentos foram registrados e

analisados quais as possibilidades que a metodologia da Engenharia Didática pode oferecer ao

estudo de poliedros. Foi verificado que a proposta de uma sequência didática, que teve apoio

de materiais manipuláveis e de mídias, colaborou, de forma efetiva, para o ensino e

aprendizagem de poliedros. A sequência didática elaborada e aplicada é um produto que pode

auxiliar tanto professores do ensino médio quanto os estudantes dos cursos de licenciatura em

Matemática a superarem as dificuldades na passagem da geometria plana para a espacial.

Palavras- chave: Educação Matemática. Engenharia Didática. Poliedros. Materiais

Manipuláveis.

8

ABSTRACT

The present work aims to analyze the possibilities that the proposition of a sequence based on

the methodology of Curriculum Teaching Engineering brings to the learning and teaching

Poliedros. O theoretical research involves the teaching of mathematics, in particular the

teaching of geometry, the Teaching fundamentals of engineering and the use of

manipulatives. The research was qualitative. The main instruments used were participatory

observations during the whole process of developing the teaching sequence in which the

researcher and participants interacted. Survey participants were students from the Third Year

of High School, a public school in the State of São Martinho da Serra, RS. Through these

instruments were recorded and analyzed the possibilities that the methodology of Didactic

Engineering can offer to the study of polyhedra. It was found that the proposal of a didactic

sequence, which had the support of manipulatives and media, collaborated effectively for

teaching and learning of polyhedra. The didactic sequence designed and implemented is a

product that can help both high school teachers and students of degree courses in Mathematics

to overcome the difficulties in passing plane geometry for the space.

Key- words: Mathematics Education Didactic Engineering, Polyhedra, Manipulative

materials.

9

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Análise dos livros didáticos por categoria.............................................................31

Tabela 2: Número de vértices, arestas e faces de cada poliedro regular...............................64

10

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Figura que ilustra os poliedros no exemplo de introdução do livro do autor Luiz

Roberto Dante.......................................................................................................................28

Figura 2: Figura que ilustra os dois primeiros exemplos que os autores propõem para a

introdução do capítulo dos Poliedros....................................................................................30

Figura 3: Atividade número um do teste diagnóstico aplicado aos alunos..........................32

Figura 4: Atividade resolvida pela aluna de número 1.........................................................34

Figura 5: Atividade 2 proposta no teste diagnóstico aplicado aos alunos............................34

Figura 6: Atividade proposta no teste diagnóstico aplicado a alunos...................................36

Figura 7: Resolução do item (d) da atividade 3, desenvolvida pela aluna de número 3......38

Figura 8: Resolução do aluno de numero 4, para o item (e) da atividade 3.........................38

Figura 9: Atividade proposta no teste diagnóstico aplicado a alunos...................................39

Figura 10: Atividade proposta no teste diagnóstico aplicado a alunos.................................40

Figura 11: Resolução da atividade 5 pelo aluno 2, participante da pesquisa......................41

Figura 12: Atividade 1 da sequência didática.......................................................................42


Figura 14: Imagem inicial do vídeo Diálogo Geométrico....................................................46

Figura 15: Tela inicial do vídeo Mão na Forma...................................................................47


Figura 17: Sólidos construídos pelos alunos do Grupo A5...................................................49




Figura 21: Resolução da atividade7 da sequência didática desenvolvida pelo grupo A5, A4,

A3 e A2..................................................................................................................................67

Figura 22: Caixa utilizada pelo grupo A1............................................................................68

Figura 23: Caixa utilizada na atividade 8, pelo grupo A1, como suas medidas..................68

Figura 24: Resolução da atividade 8, pelo grupo A1............................................................69

11

Figura 25: Caixa utilizada na atividade 8, pelo grupo A2, como suas medidas.........................70

Figura 26: Resolução da atividade 8, pelo grupo A2..................................................................70

Figura 27: Caixa utilizada pelo grupo A2, como suas medidas na atividade 8..........................70

Figura 28: Resolução da atividade 8, pelo grupo A3.................................................................71

Figura 29: Caixa utilizada na atividade 8, pelo grupo A4..........................................................71

Figura 30: Resolução da atividade 8, pelo grupo A4................................................................71

Figura 31: Caixa utilizada na atividade 8, pelo grupo A5..........................................................72

Figura 32: Resolução da atividade 8, pelo grupo A5..................................................................73

Figura 33: Atividade 1 proposta como atividade complementar...............................................76

Figura 34: Resolução da atividade 1 proposta como atividade complementar, pela aluna 11.78

Figura 35: Atividade 2 proposta como atividade complementar...............................................79

Figura 36: Resolução da atividade 2 pelos grupos A1, A2, A4 e A5 ...........................................80

Figura 37: Resolução da atividade complementar dois, pelo grupo A3......................................81

Figura 38: Atividade complementar 3........................................................................................83

Figura 39: Resolução da atividade complementar 3, reescrita pela professora e alunos........ ..84

Figura 40: Atividade complementar 4........................................................................................84

Figura 41: Atividade complementar 4, desenvolvida pelo grupo A3.........................................86

12

SUMÁRIO

7.3.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE 3 7.4 ATIVIDADE 4

7.4.1ANÁLISE A PRIORI DA

7.4.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE 4

7.5 ATIVIDADE 5

7.5.1 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 5


7.6 ATIVIDADE 6

7.6.1 ANÁLISE A PRIORIDA ATIVIDADE 6.

1 INTRODUÇÃO......................................................................................................................15

2 JUSTIFICATIVA..................................................................................................................17

3 REVISÃO DE LITERATURA.............................................................................................19

3.1 DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO..............................19

3.2 GEOMETRIA – ENGENHARIA DIDÁTICA.........................................................21

3.3 O USO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS...........................................................24

4 METODOLOGIA DA PESQUISA....... ..............................................................................25

4.1 PROBLEMA DE PESQUISA..................................................................................25

4.2. OBJETIVO GERAL................................................................................................25

4.3 OBJETIVO ESPECÍFICO.........................................................................................26

4.4 INSTUMENTOS DA PESQUISA ...........................................................................26

4.5 CONTEXTO E PARTICIPANTES DA PESQUISA...............................................26

5 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS...............................................................26

5.1 ANÁLISE PRELIMINAR .......................................................................................26

5.1.1 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS................................................................27

5.1.2 TESTE DIAGNÓSTICO.......................................................................................32

5.1.2.1 ATIVIDADE 1....................................................................................................32

5.1.2.2 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIADE 1............................................................33

5.1.2.3 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE 1...............................................33

5.1.2.4 ATIVIDADE 2....................................................................................................34

5.1.2.5 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 2 ........................................................35

5.1.2.6 ANÁLISE A POSTERIORI ATIVIDADE 2......................................................35

5.1.2.7 ATIVIDADE 3....................................................................................................36

5.1.2.8 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 3.........................................................37

5.1.2.9 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE 3...............................................37

5.1.2.10 ATIVIDADE 4..................................................................................................39

5.1.2.11 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 4.......................................................39

13

5.1.2.12 ANÁLISE A POSTERIORI ATIVIDADE 4.....................................................39

5.1.2.13 ATIVIDADE 5....................................................................................................39

5.1.2.14 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 5.........................................................40

5.1.2.15 ANÁLISE APOSTERIO DA ATIVIDADE 5................................................. 40

5.1.2.16 CONSIDERAÇÕES DA PRIMEIRA FASE.....................................................41

6 SEGUNDA FASE: CONCEPÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA.................................42

7 TERCEIRA FASE:EXPERIMENTAÇÃO........................................................................42

7.1 ATIVIDADE 1............................................................................................................42

7.1.1 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 1..............................................................42

7.1.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE 1...................................................43

7.2 ATIVIDADE 2............................................................................................................45

7.2 .1 ANÁLISE A PRIORI DA DA ATIVIDADE 2......................................................45


7.3 ATIVIDADE 3............................................................................................................46

7.3.1ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 3...............................................................46

7.4 ATIVIDADE 4...........................................................................................................48

7.4.1ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 4...............................................................48

7.4.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE 4....................................................48

7.5 ATIVIDADE 5............................................................................................................50



7.6 ATIVIDADE 6............................................................................................................55



7.7 ATIVIDADE 7............................................................................................................65



7.8 ATIVIDADE 8............................................................................................................67



7.9 ATIVIDADES COMPLEMENTARES..................................................................76

7.9.1 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1............................77

7.9.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1..................77

7.9.3 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2......................................................................79

7.9.4 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2...........................77


7.9.3 ATIVIDADE COMPLEMENTAR3.......................................................................79

7.9.4ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2.............................79


14

7.9.6 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3.......................................................................83

7.9.7 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3..............................83

7.9.8 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3....................83

7.9.9 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 4.........................................................................84

7.9.10 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 4............................85

7.9.11 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 4...................85

7.10 REFLEXÃO DA PESQUISADORA SOBRE A SEQUÊNCIA DIDÁTICA

DESENVOLVIDA.......................................................................................................................87

8. CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................................89

REFERÊNCIAS...........................................................................................................................91

15

INTRODUÇÃO

Iniciei a docência no ano de 2010 com alunos do terceiro ano do Ensino Médio,

da Escola Estadual de Educação Básica Professora Lelia Ribeiro, no município de São

Martinho da Serra, Estado do Rio Grande do Sul e logo percebi que ensinar Matemática, e em

particular a Geometria Espacial, não era uma tarefa fácil, pois as características dessa área,

entre outras, requer dos alunos habilidades de imaginação, visualização e abstração, e que os

mesmos não as possuíam e, como consequência, apresentavam baixo rendimento escolar. Este

fato logo chamou-me a atenção e me motivou a desenvolver um trabalho relacionado a

Geometria Espacial e em particular ao estudo dos poliedros.

Em relação ao ensino da Geometria Espacial primeiramente, a partir de uma análise de

alguns livros didáticos como Dante (2005) e Giovanni e Bonjorno (2005), utilizados por

professores do Ensino Fundamental e Médio, conclui-se que os conteúdos geométricos são

apresentados nos últimos capítulos. Esta organização não é casual, pois há um descaso com o

ensino da Geometria desde o surgimento da Matemática Moderna.

O movimento da Matemática Moderna, que surgiu nas décadas de 1960 e 1970,

caracterizou-se por enfatizar o rigor e o simbolismo da teoria dos conjuntos, priorizar o ensino

da Álgebra, em detrimento do ensino da Geometria, dar pouca atenção às aplicações da

Matemática ao cotidiano das pessoas.

Conforme Pavanello (1989)

a ideia central da Matemática Moderna consistia em trabalhar a matemática

do ponto de vista de estruturas algébricas com a utilização da linguagem

simbólica da teoria dos conjuntos. Sob esta orientação, não só se enfatizava

o ensino da álgebra, como se inviabilizava o da Geometria da forma como

este era feito tradicionalmente (p.103).

Felizmente o descaso com o ensino da Geometria vem, aos poucos, sendo superado, à

medida que experiências e pesquisas em diferentes níveis de ensino vêm sendo desenvolvidas

em muitos cursos, escolas e universidades. Esse ramo da Matemática, tão importante e

fundamental para o conhecimento humano, é tema de muitas pesquisas desenvolvidas na área

de educação matemática e tem trazido experiências significativas para a melhoria deste

cenário, como se pode ver em Pavanello (1989), Sonego(2009), Rossi (2009) e Silveira

(2008), entre outros.

A Matemática surgiu como ciência empírica, isto é, para resolver problemas práticos

e, nessa perspectiva, pode-se pensar que o ser humano começa a aprender Geometria pelo

simples fato de ver, sentir e se mover no espaço. À medida que as crianças crescem, elas

16

começam a perceber características do mundo visual tais como: forma, tamanho, posição,

movimento, ordem e crescimento.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006), o estudo de

Geometria Espacial, por exemplo, auxilia o desenvolvimento da capacidade de abstração,

resolução de problemas práticos do quotidiano, estimação e comparação de resultados,

reconhecimento de propriedades das formas geométricas.

O ensino da Geometria Espacial apresenta um grande desafio, rotulado pela maioria

dos alunos como difícil. Pesquisas como as de Moraco (2005) mostram que a Geometria

Espacial vem sendo trabalhada, atualmente, desvinculada dos conceitos de Geometria Plana,

visto que os professores pressupõem o domínio desses conteúdos pelos alunos. No entanto,

deve haver relação entre os conteúdos já vistos e o proposto. Segundo o mesmo autor, outra

dificuldade encontrada é a baixa capacidade que os alunos possuem em relação à visualização

espacial. Muitos elementos e propriedades da Geometria Espacial deixam de ser

compreendidos pelos alunos devido a esta dificuldade de visualização, aliados com a forma

estática com que o conteúdo é abordado.

Buscando sanar ou diminuir essas dificuldades, o trabalho de dissertação tem como

propósito apresentar uma sequência de atividades, embasada nas concepções da Engenharia

Didática, com uso de materiais manipuláveis, de forma que os alunos possam construir os

conceitos básicos relacionados aos poliedros que os possibilitem a resolver questões que

envolvem o cálculo de área e volume desses sólidos.

A pesquisa foi realizada com alunos do terceiro ano do Ensino Médio, da Escola

Estadual de Educação Básica Professora Lelia Ribeiro, no município de São Martinho da

Serra, Estado do Rio Grande do Sul, durante o segundo semestre de 2011.

A pesquisa está organizada em capítulos. O primeiro capítulo apresenta uma pequena

introdução e a estrutura do trabalho; no segundo capítulo a justificativa, em que é apresentado

o porquê da escolha do tema. O terceiro capítulo contém a revisão de literatura, que trata

sobre o ensino da geometria no decorrer dos anos, do surgimento da engenharia didática, do

desenvolvimento do pensamento geométrico. No quarto capítulo são apresentados os

objetivos gerais e específicos, a abordagem metodológica, os instrumentos e os sujeitos da

pesquisa. No quinto capítulo são apresentadas as análises e discussões das atividades

desenvolvidas e, no sexto e último capítulo, as considerações finais.

Na sequência, são apresentadas as referências bibliográficas utilizadas na presente

pesquisa, bem como os apêndices que dela fazem parte.

17

2 JUSTIFICATIVA

Carvalho (1999) coloca em seu livro Introdução à Geometria Espacial, que é notável a

dificuldade que os alunos encontram na passagem da Geometria Plana para a Espacial. No

mundo bidimensional, da Geometria Plana, dispomos de excelentes modelos concretos para

os objetivos com os quais lidamos, já que as superfícies sobre as quais escrevemos ou

desenhamos são bons modelos para o plano, que permitem representar com fidelidade retas,

polígonos, círculos e demais figuras planas. Já no mundo tridimensional, da Geometria

Espacial, passamos a enfrentar limitações de diversas ordens, geralmente recorremos a

projeções bidimensionais de tais objetos, mas essas projeções distorcem ângulos, modificam

comprimento de segmentos e não permitem distinguir pontos que estejam sobre a mesma

linha de projeção, dificultando assim a aprendizagem. Apesar das dificuldades apontadas por

Carvalho (1999), o ensino da Geometria é muito importante e recomendado nas orientações

curriculares constantes nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

(BRASIL, 2006):

O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da

capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por

exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias

percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber

usar diferentes unidades de medida. Também é um estudo em que os alunos

podem ter uma oportunidade especial, com certeza não a única, de apreciar a

faceta da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas. Esse

estudo apresenta dois aspectos – a Geometria que leva à trigonometria e a

Geometria para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes. (p.75)

Outro aspecto importante da Geometria, segundo os PCNs para o Ensino Médio

(BRASIL, 2006) é apontado no trecho a seguir:

Ao usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do

mundo real é possível desenvolver capacidade de construção de modelos

para resolução de questões da Matemática e de outras disciplinas. Como

parte integrante deste tema, o aluno poderá desenvolver habilidades de

visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de

solução para problemas. (pg123).

De acordo com Leivas (2009), ao referir-se ao estudo da Geometria Espacial

destaca o tripé: imaginação, intuição e visualização como elementos fundamentais que devem

ser levados em consideração. Para o autor,

18

A imaginação se encontra interligada à abstração, assim como à intuição e

essas podem ser complementadas pela visualização, entendendo visualização

não como uma forma de representação em termos de uma figura ou

representação de um objeto e sim como um processo capaz de auxiliar na

construção do fazer matemático, bem como na comunicação dos conceitos

nas diversas áreas desse conhecimento matemático. (LEIVAS, 2009, p.137).

As propriedades dos poliedros podem ser melhor entendidas por meio da visualização

geométrica que Presmeg (1995, apud COSTA, 2011, p.173) a define como “processo de

construir ou usar imagens visuais, com ou sem diagramas, figuras ou gráficos”.

Diferentes pesquisadores da área da Educação Matemática definem o que é visualização

e com diferentes significados ligados à matemática, à investigação científica, à educação

matemática e à psicologia. Para Cunningham, (1991, p. 67),

“visualização em matemática constitui um aspecto importante da

atividade matemática onde se atua sobre possíveis representações

concreta ao uso da tecnologia gráfica do computador”.

Segundo Dreyfus, (1991, p. 119)

“visualização do ponto de vista da educação matemática inclui duas

direções: a interpretação e compreensão de modelos visuais e a

capacidade de traduzir em informação de imagens visuais o que é dado

de forma simbólica”.

Para Solano e Presmeg (1995, p. 67) “visualização é a relação entre imagens”.

Analisando-se estas diferentes definições é possível inferir que todas concordam que a

visualização se foca na percepção e manipulação de imagens visuais.

Devido á importância do papel que a visualização desempenha no estudo da

Geometria, esta dissertação tem como objetivo relatar uma experiência de ensino realizada

com alunos do terceiro ano do ensino médio, com atividades que valorizaram a visualização

das formas geométricas tridimensionais, as propriedades e as relações. Para que isso

ocorresse, desenvolvemos uma sequência de atividades embasada na metodologia da

Engenharia Didática, que contou com a construção e manipulação de alguns sólidos, pois a

partir do manuseio do material concreto o aluno tem a possibilidade de constatar aspectos

inerentes a Geometria, exercitando então sua criatividade e raciocínio, compreendendo

melhor ou de forma mais clara a teoria que está envolvida no conteúdo aplicado.

19

3 REVISÃO DE LITERATURA

3.1 DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO

O que é a Geometria? Esta pergunta tem diferentes respostas. De acordo com

Freudenthal (1973, apud COSTA, p.157), esta questão pode ser respondida de diferentes

modos levando-se em consideração os níveis de escolaridade; no nível mais elevado, a

Geometria é uma parte da Matemática axiomaticamente organizada. No nível inicial de

escolaridade, a Geometria é essencialmente compreender o espaço em que a criança vive,

respira e se move, que a criança deve aprender a conhecer, explorar, conquistar, de modo a

poder aí viver, respirar e mover-se melhor.

Esta concepção da Geometria retrata bem sua importância para o conhecimento do

mundo em que vivemos. Isso significa que a Geometria deve ser parte fundamental nos

currículos escolares em todos os níveis de ensino.

Do ponto de vista histórico, o ensino da Geometria, apesar de sua importância, não foi

sempre tão valorizado. De fato, a implantação do Movimento da Matemática Moderna, no

Brasil, teve seu auge a partir da década de 60 e as críticas tiveram início a partir da década de

80, devido ao fraco desempenho dos alunos em exames nacionais e internacionais. Uma das

características deste movimento foram o abandono da ênfase do ensino da Geometria nos

diversos níveis de ensino e a super valorização de uma Matemática mais axiomática.

Reagindo aos maus resultados, surgiu, em 1989, nos Estados Unidos, um documento

intitulado “Normas para o Currículo e Avaliação Escolar”, do National Council of Teachers

of Mathemtics (NCTM), que pretendia fornecer recomendações e orientações para o ensino da

Matemática. Este documento constituiu-se como referência curricular para muitos países e em

particular o Brasil.

Este documento (NCTM,1991, apud COSTA, p.162), propõe, especificamente em

relação ao ensino da Geometria:

Compreensão dos objetos geométricos e suas relações e utilização da Geometria na

resolução de problemas;

Integração da Geometria em todos os temas e em todos os anos de escolaridade;

Abordagem da Geometria por intermédio das coordenadas e das transformações

geométricas;

Argumentos dedutivos expressos oralmente ou por frases ou parágrafos escritos;

Explorações em computador de figuras bi e tridimensionais;

20

Geometria no espaço;

Aplicações ao mundo real e modelagem.

Este documento reflete a importância do ensino da Geometria e, em particular, dá

ênfase à Geometria espacial e ao sentido espacial. Sobre isso, sugere que seja dada

importância: à análise das características e propriedades dos objetos geométricos em duas e

três dimensões; à seleção e uso de diferentes sistemas de coordenadas, incluindo a teoria de

grafos; à ênfase na importância do reconhecimento das transformações e simetrias e ao uso da

visualização e raciocínio espacial para resolução de problemas.

Este documento constitui-se ainda como referência nacional e internacional relativo

aos currículos em diversos níveis de escolaridade e em diferentes países. Ele traz um resgate,

especialmente, em relação ao desenvolvimento do pensamento geométrico, que havia sido

deixado de lado com a Matemática Moderna. Assim, a partir da década de 90, passa-se a dar

importância ao estudo da Geometria e ao desenvolvimento do pensamento geométrico no

plano e no espaço em todos os níveis de ensino.

A questão relacionada ao “pensamento geométrico” tem sido objeto de estudos, nos

últimos tempos, por parte de educadores de diferentes áreas da Psicologia, da Matemática, da

Filosofia, de acordo com Leivas (2009). Segundo o autor, existem diferentes concepções

sobre pensamento geométrico e Leivas (2009) propõe sua própria definição: “é um processo

capaz de construir estruturas geométricas mentais a partir de imaginação, intuição e

visualização para a aquisição de conhecimentos matemáticos científicos”.(p.134) .

Esta forma de pensar a Geometria está de acordo com Alsina (1999, p. 65,apud

COSTA, 2000, p.158), quando se refere ao seu ensino :

Não servem nem os elementos de Euclides, nem os tratados de Bourbaki, nem os

livros sábios de geometria métrica, nem os mais sofisticados livros de álgebra

linear. O silêncio e o esquecimento menos servem. Fazer geometria na sala de aula

não é repetir a história. A geometria no ensino da matemática deve ser a geometria

útil para todos: o conhecimento matemático do espaço. Uma geometria baseada na

intuição e na experimentação aconselhada pelo sentido comum; rica em temas de

representação e interpretação; capaz de ordenar, classificar e mover figuras planas e

espaciais; audaz na combinação de linguagens diversas (gráficas, analíticas e

simbólicas...); apoiada no rigor das definições e das deduções sobre factos

relevantes; com técnicas diversas para medir, construir e transformar; induzindo à

compreensão do diálogo plano-espaço; aberta à interdisciplinaridade com as

ciências e as artes; paradigma da modernização matemática; predicadora de

aplicações assombrosas e relações interessantes (…) esta é a geometria com a qual

nos gostaríamos de educar todos.

21

Este trabalho apresenta os resultados da pesquisa que envolveu a aplicação de uma

sequência didática para o estudo de poliedros que levou em consideração a visualização

geométrica, a manipulação e experimentação no sentido de tentar dar significado ao

pensamento geométrico espacial.

3.2 GEOMETRIA E A ENGENHARIA DIDÁTICA

Sabe-se pela história da Matemática, de acordo com Boyer (1974), que a Geometria

surgiu de necessidades práticas, da utilização das formas geométricas, na agricultura, na

pecuária, nas artes etc... e hoje os conhecimentos geométricos são utilizados nas mais diversas

áreas como engenharia, arquitetura, astronomia, entre outras.

Dada sua importância, o ensino da Geometria tem adquirido, nos últimos anos, lugar

de destaque no cenário das reformas educacionais em todo o país. O ensino de Geometria vem

sendo proposto pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, como fator fundamental para o

desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas para os níveis do Ensino

Fundamental e Médio.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio destacam que, “o estudo da

Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver

problemas no cotidiano. (p. 75).

Da mesma forma, Carneiro (2005, p. 87) afirma que “O ensino e a aprendizagem da

Geometria propiciam o desenvolvimento de um certo tipo de pensamento lógico, organizado,

estruturado e sistematizado que auxilia na resolução de problemas mais diversos.”

Mas, apesar da importância da Geometria na vida dos indivíduos, a Geometria

Espacial, segundo Pavanello (1989) é um dos assuntos em que os alunos demonstram mais

dificuldades, entre os conteúdos de Matemática ensinados no Ensino Médio. A autora aponta

que uma das causas da dificuldade é que os professores trabalham esse conteúdo, usando

somente quadro e o giz, o que torna a Geometria um tema abstrato e dificultando a

visualização dos objetos geométricos. A mesma autora mostra ainda que a maneira de ensinar,

utilizada por parte de algumas escolas, no que diz respeito ao ensino de Geometria Espacial,

não leva o aluno a uma aprendizagem efetiva, pois o professor deve partir do conhecimento

espontâneo do aluno, criar conflitos e contradições por meio de perguntas, problemas que

estimulem a reflexão e auxiliem no aprendizado.

O papel do professor é de levar o aluno a refletir, “enxergar” o que ocorre em cada

caso, levando-o à construção do conhecimento. Mas, para que o aluno seja levado a essa

22

construção, o ambiente educacional requer muito mais do que aluno, professor e conteúdo,

conforme afirma Maltempi (2005):

É preciso um ambiente acolhedor que propicie a motivação do aprendiz a

continuar aprendendo, um ambiente que seja rico em materiais de referencia,

que incentive a discussão e a descoberta e que respeite as características

especificas de cada um. (p. 266)

Tendo como propósito criar um ambiente de aprendizagem acolhedor, onde ocorra

de fato uma aprendizagem significativa, os professores buscam alternativas para envolver os

alunos no processo de ensino-aprendizagem.

Uma das alternativas, que pode ser usada para chamar o aluno a participar do

processo de ensino aprendizagem é o uso de uma Sequência Didática embasada na

Engenharia Didática. A Sequência Didática é um conjunto de atividades ligadas entre si,

planejadas para ensinar um conteúdo, aula por aula. São organizadas de acordo com os

objetivos que o professor quer alcançar em cada aula; uma Sequência envolve atividades de

aprendizagem e avaliação.

A Engenharia Didática surgiu em meados de 1980 e teve como precursora a

pesquisadora francesa Michele Artigue inspirada no trabalho de um engenheiro. O trabalho

didático tem como objetivo construir o conhecimento e o trabalho de um engenheiro é voltado

para a construção de um projeto. Artigue (1996) estabelece a seguinte relação: tal como o

engenheiro, o professor necessita de um conjunto de conhecimentos teóricos, ter planejamento

de todas as etapas da pesquisa, ir prevendo as possíveis dificuldades e soluções para os

problemas encontrados, até a aplicação da sequência didática.

Segundo Pais (2001, p. 102),

Uma Sequência Didática é formada por um certo número de aulas planejadas

e analisadas previamente com a finalidade de observar situações de

aprendizagem, envolvendo os conhecimentos previstos á pesquisa didática.

Essas aulas são denominadas sessões.

Artigue (1988) divide a metodologia da Engenharia Didática, em quatro fases:

Análise prévias ou preliminares;

Concepção e análise a priori de experiências didático pedagógicas.

Experimentação, implantação da experiência ou aplicação da Sequência

Didática.

Análise a posteriori e validação da experiência.

23

Na primeira fase, das análise prévias ou preliminares, faz-se um levantamento das

concepções envolvidas, buscando referências teóricas para fundamentar a pesquisa. Para esta

fase foram considerados os seguintes instrumentos de pesquisa: primeiramente analisou-se os

livros didáticos que são utilizados pela escola, para este nível de ensino e, em segundo lugar,

aplicou-se um teste diagnóstico composto de cinco questões que tinha por objetivo analisar as

dificuldades dos alunos referente aos conceitos da geometria plana.

Estas análises foram realizadas com a finalidade de dar suporte a elaboração e

concepção das atividades presentes na sequência didática.

A análise a priori segundo Artigue:

Deve ser concebida como uma análise de controle do sentido, pois a teoria

das situações didática que serve de referência á metodologia da Engenharia

Didática teve desde sua origem a ambição de construir como uma teoria de

controle das relações entre sentido e situações.

[...] o objetivo da análise a priori é determinar no que as escolhas feitas

permitem controlar os comportamentos dos alunos e significado de cada um

desses comportamentos. Para isso ela vai se basear em hipóteses e são essas

hipóteses cuja validação está indiretamente em jogo, na confrontação entre a

análise a priori e a análise posteriori a ser operada na quarta fase (1988, apud

MACHADO, 2002, p. 205)

Com base nestas afirmações, estabeleceu-se as seguintes hipóteses de pesquisa:

H1: Abordar o estudo dos poliedros por meio do uso de materiais manipuláveis que

podem levar o aluno a compreender os conceitos relacionados aos mesmos.

H2: O trabalho em grupo vai proporcionar um ambiente de discussões entre os

elementos e pode contribuir para a construção do conhecimento dos Poliedros.

Nessa fase e com os dados recolhidos na fase anterior, desenvolvemos as atividades

presentes na sequência didática que foi aplicada aos alunos do terceiro ano do Ensino Médio.

Na fase de experimentação, implantação da experiência ou aplicação da Sequência

Didática, terceira fase da Engenharia Didática, é o momento em que são aplicadas as

atividades propostas para o cumprimento da pesquisa. Essa fase de experimentação pode ser

dividida em quatro itens a ser seguidos, que são;

Apresentação dos objetivos e condições de realização da pesquisa didática aos

alunos.

Estabelecimento de um contrato didático.

Aplicação da Sequência Didática já definida.

Registro das observações feitas durante a realização da sequência.

24

E por fim dá–se a última fase da Engenharia Didática, a fase da análise a posteriori e

validação. É nessa fase que é feita a análise dos dados observados e anotados pelo professor-

pesquisador, durante a aplicação da Sequência Didática. É também nessa fase que são

confrontados os dados obtidos na análise a priori com os dados da análise a posteriori. É

importante que essa análise relate bem a realidade. Os dados obtidos para a análise a

posteriori podem ser obtidos pela observação do pesquisador devidamente registrados e

protocolados.

3.3 O USO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS

Grande parte dos professores utiliza o livro, como uma das principais fontes para a

elaboração das sequências didáticas. Mas, há outros pesquisadores que utilizam outros

recursos para a elaboração dessas sequências como softwares educacionais, jogos didáticos

entre outros recursos.

Em nossa pesquisa as atividades propostas na Sequência Didática foram elaboradas

com o auxílio de materiais manipuláveis. Usar materiais manipuláveis pode ser tanto por meio

de materiais já prontos disponíveis no laboratório da escola ou até mesmo pela sua confecção.

Vale destacar que, assim como qualquer outra metodologia de ensino, o uso de

materiais manipuláveis não vai substituir ou desvalorizar o papel do professor, mas sim vai

contribuir e auxiliá-lo no processo de ensino aprendizagem. O uso de materiais manipuláveis

em sala de aula, segundo experiências descritas por professores em cursos de formação, ou até

mesmo em comentários informais na sala de professores, faz com que os alunos fiquem

agitados, mas este agito é “saudável” pois é neste momento que está ocorrendo uma troca de

saberes, onde os alunos estão assimilando novos conhecimentos com os já existentes.

Nosso propósito, por exemplo, não está somente na construção dos Poliedros com

material manipulável, nosso intuito é fazer um estudo detalhado de cada um dos sólidos a

partir desta construção.

Essa ideia está de acordo com Castelnuovo (apud FIORENTINI; MIORIM, 1993),

quando afirma que:

O concreto deve ter uma dupla finalidade: “exercitar as faculdades sintéticas

e analíticas da criança, sintética no sentido de permitir ao aluno construir o

conceito a partir do concreto; analítica porque, nesse processo, a criança

deve discernir no objeto aqueles elementos que constituem a globalização”.

(p.4).

25

A Geometria constitui um campo propício à utilização de materiais manipuláveis,

pois o contato e manipulação das figuras e as transformações que vão ocorrendo com os

materiais, através de uma série de tentativas, facilitam a passagem do concreto para o abstrato,

contribuindo para a construção do conhecimento matemático mais sólido e duradouro.

4 METODOLOGIA DA PESQUISA

Neste capítulo, são apresentados a metodologia que foi aplicada no trabalho, o

problema de pesquisa, os objetivos a serem alcançados, os instrumentos que foram utilizados

para a coleta e finalmente a análise dos dados.

A pesquisa teve caráter qualitativo, pois nela o pesquisador interage com os agentes

pesquisados, observa a realidade e insere-se no contexto do local onde está sendo realizada a

coleta de dados. Este tipo de pesquisa estimula o participante a pensar livremente sobre um

tema.

Diferente da pesquisa quantitativa, que segue um rigor previamente estabelecido, a

pesquisa qualitativa costuma ser direcionada no decorrer da pesquisa. Além disso, ela não

possui o interesse de medir, enumerar eventos e geralmente não emprega instrumentos

estáticos para a análise de dados, possuindo um foco de interesse amplo.

A pesquisa qualitativa tem como característica a utilização de múltiplas formas para a

coleta de dados. Devido a esta particularidade, para esta pesquisa foi usado como instrumento

de coleta de dados a observação participante registrada no Diário de Campo da pesquisadora e

teste diagnóstico.

4.1 PROBLEMA DE PESQUISA

O problema de pesquisa proposta para este trabalho foi o seguinte: A proposição de

uma Sequência Didática fundamentada na metodologia da Engenharia Didática e com apoio

de matérias manipuláveis podem contribuir para a compreensão dos conceitos e propriedades

dos Poliedros?

4.2 OBJETIVO GERAL

A pesquisa tem como objetivo geral investigar se a utilização de uma sequência

didática, embasada nos princípios da Engenharia Didática, contribui para o estudo de

poliedros em uma turma do terceiro ano do ensino médio.

4.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

26

Investigar se o uso de materiais manipuláveis e digitais auxilia a aprendizagem

dos alunos sobre poliedros.

Analisar se a proposição de uma sequência didática composta de atividades

relacionadas com o conteúdo de poliedros possibilita a compreensão das inter-

relações entre os conceitos e suas propriedades .

4.3 INSTRUMENTOS DE PESQUISA

A pesquisa em pauta usou como instrumento de coleta de dados a observação

participante e registrada no Diário de Campo da pesquisadora. Para o desenvolvimento do

trabalho de sala de aula, seguiu-se os passos da Engenharia Didática, proposta por

Artigue(1996), que são os seguintes: Análise prévias ou preliminar composta de um teste para

analisar as dificuldades e fragilidades dos alunos em relação aos conhecimentos prévios da

geometria plana e a análise dos livros didáticos utilizados na escola; Concepção da sequência

didática; Experimentação, implantação da experiência ou aplicação da Sequência Didática;

Análise a priori e análise a posteriori que permitem a validação da experiência.

A observação participante foi um instrumento que permitiu verificar a coerência entre a

o conteúdo estudado e os comportamentos dos sujeitos observados. É um instrumento

fundamental para auxiliar na análise dos dados após a aplicação da sequência didática.

4.4 CONTEXTO E PARTICIPANTES DA PESQUISA

Os sujeitos participantes da pesquisa foram 20 alunos do terceiro ano no Ensino Médio,

da escola Professora Lelia Ribeiro, do município de São Martinho da Serra, Rs. A pesquisa

ocorreu durante as aulas de matemática e teve a duração de 10 horas aula. Para o

desenvolvimento do trabalho na sala de aula os alunos foram divididos em cinco grupos

formados livremente. Em todo o trabalho os elementos dos grupos mantiveram-se os mesmos.

5. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

A análise e discussão dos resultados decorre dos instrumentos de coleta de dados

utilizados. Neste trabalho utilizamos, na primeira fase: “Análise Preliminar” a análise de

dois livros didáticos mais usados na escola para o ensino médio e um teste diagnóstico .

27

5.1 ANÁLISE PRELIMINAR

5.1.1 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS

No processo de ensino aprendizagem no Brasil, um dos instrumentos mais antigos

utilizados é o livro didático. Segundo Gonçalves (2007) um livro para ser considerado

didático e de boa qualidade, no que se refere á questão de assimilação de conteúdos precisa

apresentar algumas características como, por exemplo, conteúdo objetivo, com linguagem de

fácil compreensão, relacionado com a realidade do aluno, com exercícios que auxiliem na

aprendizagem, com boa apresentação e matéria- prima de qualidade.

Com a utilização do livro o aluno tem a possibilidade de formular novas idéias,

compreender ou finalizar assimilações dos conteúdos abordados pelo professor em sala de

aula. Para o professor o livro didático serve como referência ou até mesmo como principal

roteiro no preparo e execução de suas aulas.

Conforme Lee (2003), e partindo do pressuposto que o livro didático tem papel

fundamental no processo de ensino aprendizagem dos conceitos de matemática, nosso

primeiro passo para o desenvolvimento da pesquisa foi a análise dos livros didáticos

utilizados no Terceiro Ano do Ensino Médio durante os últimos anos.

Os dois livros considerados para análise na pesquisa foram – “ Matemática” volume

único do autor Luiz Roberto Dante, e o livro “A Matemática Completa”dos autores José Rui

Giovanni e José Roberto Bonjorno.

A análise dos livros tinha como objetivo verificar como eles trazem o conteúdo de

Geometria Espacial, se estes permitem ao aluno perceber e explorar os conceitos geométricos

espaciais quanto à abstração e a realidade, e como eles estabelecem a relação entre conceitos e

fórmulas estudadas na geometria plana.

Para a análise de como o conteúdo sobre os Poliedros vem sendo apresentado nos livros

didáticos, utilizados nos últimos anos pela Escola Estadual de Educação Básica Professora

Lelia Ribeiro foram utilizados as seguintes categorias:

a) Quais os conteúdos que antecedem o conteúdo dos Poliedros?

b) Como os autores de cada livro introduzem o conteúdo de poliedros?

c) A linguagem que cada um dos autores utiliza em seus livros é acessível para o aluno?

d) Como é feita a abordagem dos exercícios? Descontextualizada, ou somente

exercícios de repetição?

28

e) São levados em consideração os aspectos ligados a visualização? E à Representação

gráfica?

5.1.1.1 Matemática - Volume único- do Autor Luiz Roberto Dante.

O livro está dividido em oito unidades de ensino, sendo que cada unidade está

subdividida em capítulos. O capítulo referente aos poliedros é o capítulo 29, que está na

unidade 6, que tem como título “Geometria Espacial: de posição e métrica”. O capítulo 28 que

antecede o capítulo dos poliedros faz uma introdução à geometria espacial, nele são

enunciados os postulados, axiomas e teorema da geometria espacial.

O capítulo 29 tem como título “Poliedros: Prismas e Pirâmides”, para a introdução desse

capítulo o autor apresenta a seguinte questão:

Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas na figura

abaixo:

Figura 1: Figura que ilustra os poliedros no exemplo de introdução do livro do autor Luiz Roberto Dante.

Deseja-se saber:

Em qual delas é usada maior quantidade de madeira?

Qual delas tem espaço interno maior?

É com essa questão que o autor faz a introdução do capítulo e após a colocação da

atividade ele explica que a resolução desse e de outros problemas serão possíveis de resolver

com o estudo do assunto que será abordado nesse capítulo.

Logo em seguida o autor apresenta figuras que são exemplos de poliedros, escolhe uma

delas e coloca o que são vértices, arestas e faces. Em seguida vem o primeiro exercício que é

uma outra figura que representa um poliedro e é solicitado que o aluno responda algumas

questões.

Na sequência, vem os poliedros convexos e não-convexos, é colocada a definição e em

seguida, o autor apresenta a relação de Euler, dois exemplos e 7 exercícios. O capítulo todo é

colocado dessa forma: teoria, de dois a três exemplos seguidos de uma pequena lista de

29

exercícios, que são em sua maioria apresentados de forma descontextualizada, sendo que para

a resolução dos mesmos o aluno só precisa retornar ao exemplo e segui-lo.

A linguagem utilizada pelo autor é de fácil compreensão para os alunos, se levarmos

em consideração que os alunos estão no terceiro ano do Ensino Médio.

Com essa análise podemos perceber que o autor organiza o capítulo começando pela

geometria de posição, teoremas e postulados da geometria plana. Para a introdução dos

poliedros o autor utiliza um exemplo de aplicação do conteúdo, a linguagem utilizada pelo

autor é simples, porém os exercícios são descontextualizados, trata-se apenas exercícios de

repetição. Aspectos como a visualização e representação gráfica não estão muito presentes na

obra.

5.1.1.2. Matemática Completa - Volume 2 - do Autor José Rui Giovanni e José Roberto

Bonjorno.

A coleção “Matemática Completa” é dividida em três volumes. No volume dois está

presente o conteúdo dos poliedros. Dessa forma ao invés de analisar o livro do terceiro ano

estaremos analisando o livro do segundo ano do ensino médio. O livro “Matemática

Completa” volume dois está dividido em oito capítulos, cada um desses dividido em

subcapítulos.

O conteúdo “Poliedros” é um subcapítulo do capítulo oito, que é apresentado com o

título “Geometria”, o capítulo sete, que antecede o capítulo da geometria traz o conteúdo de

Probabilidade e portanto os autores iniciam a Geometria Espacial sem referência a geometria

plana. Para fazer a introdução do capítulo os autores propõem duas atividades conforme

colocamos abaixo:

30

Figura 2: Figura que ilustra os dois primeiros exemplos que os autores propõe para a introdução do capítulo dos Poliedros

Embaixo das atividades os autores colocam o seguinte comentário: “são questões

desse tipo que vamos aprender a resolver nessa unidade”.

No subcapítulo um, os autores fazem uma pequena introdução a geometria com um

pequeno texto que aborda seu significado, sua importância, e faz uma retomada da geometria

ao longo da história. Neste primeiro subcapítulo, os autores colocam as noções primitivas, os

postulados e teoremas da geometria espacial.

O subcapítulo dois, os autores o denominaram como tópicos de Geometria Plana. É

onde os autores se reportam para a geometria plana, apresentando fórmulas mais usadas para

o cálculo da área de figuras planas. Também apresentam uma noção de polígonos regulares,

elementos de um polígono regular inscrito e as relações métricas nos polígonos regulares.

O subcapítulo número três que estamos interessados os autores o nomearam como

Poliedros. Para esse subcapítulo os autores iniciam o conteúdo apresentando a definição do

que é um poliedro e descrevem quais são os vértices, as arestas e as faces, uma tabela com os

nomes de alguns poliedros especiais. A seguir apresentam o que são poliedros regulares, a

relação de Euler. Em seguida eles colocam três exemplos, e propõem alguns exercícios todos

eles contextualizados.

A linguagem utilizada pelos autores é de fácil compreensão, exploram muito a

visualização das figuras tridimensionais em todo o capítulo. A visualização e a representação

gráfica estão presentes em toda coleção.

31

A tabela a seguir apresenta um resumo da análise dos livros didáticos, de acordo com

as categorias propostas:

Tabela 1: Análise dos livros didáticos por categoria.

Livro Didático Categorias Análise

Matemática

(Luiz Roberto Dante)

1. Conteúdos que

antecedem o conteúdo dos

Poliedros.

2. Como os autores

introduzem o conteúdo de

Poliedros.

3. Linguagem.

4. Abordagem dos

exercícios.

5. Visualização e

representação gráfica.

Faz relação com problemas

da Geometria Plana.

O estudo é introduzido por

meio de um problema do

cotidiano dos alunos.

De fácil compreensão.

Descontextualizada.

Pouco presente.

Matemática Completa

(José Ruy Giovanni e José

Roberto Bonjorno)

1. Conteúdo que

antecede o conteúdo de

poliedros.

2. Como os autores

introduzem o conteúdo

de poliedro.

3. Linguagem.

4. Abordagem dos

exercícios.

5. Visualização e

representação gráfica.

Não faz relação com a

Geometria Plana.

O estudo é introduzido por

meio de dois problemas de

aplicação.

De fácil compreensão.

Contextualizados.

Presentes em toda a obra.

32

Da análise dos livros didáticos utilizados pela escola, de acordo com as categorias

propostas, pode-se concluir que ambos possuem aspectos positivos para o estudo dos

poliedros, mas o livro que mais tem preocupação com a visualização e representação gráfica

é o livro “Matemática Completa”. Neste sentido, como a proposta deste estudo é apresentar

uma sequência didática que leva em consideração estes aspectos, optou-se em seguir as

orientações constantes neste livro.

5.1.2 TESTE DIAGNÓSTICO

Com a finalidade de verificar o nível de conhecimento dos alunos, referente ao

conteúdo de geometria, optou-se por aplicar um teste diagnóstico composto de cinco questões.

O teste teve duração de uma hora aula, realizado individualmente e envolveu conteúdo de

geometria plana, nomenclatura, elementos dos polígonos, cálculo de área e perímetro. Os

alunos receberam, cada um, um número de 1 a 20 como identificação.

5.1.2.1 ATIVIDADE 1

Figura 3: Atividade número um do teste diagnóstico aplicado aos alunos .

33

5.1.2.2 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIADE 1

A proposição desta atividade teve como objetivo verificar os conhecimentos que os

alunos possuíam sobre os elementos básicos da geometria plana. Com esta atividade esperava-

se que os alunos fossem capazes de identificar as figuras planas e seus elementos.

5.1.2.3 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE 1

Dos vinte alunos que responderam o teste diagnóstico, todos acertaram a questão,

apesar de no primeiro momento demonstrarem insegurança sobre a nomenclatura dos

polígonos. Durante a realização da atividade surgiram os seguintes comentários de alguns

alunos.

Aluna 1: “Assim fica fácil professora, a gente está vendo a figura e é só colocar o nome.

Difícil é quando a senhora coloca, seja um trapézio isósceles, a gente não sabe que figura é.”

Professora: “Quer dizer se em alguma atividade eu colocar, por exemplo, um quadrado que

possui 4m de lado, e solicitar determinar o perímetro dessa figura, você não saberia resolver?

Aluna 1: “Não essa do quadro eu sei fazer, mas lembra que no ano passado quando

estávamos estudado trigonometria e a senhora dava umas atividades só com o enunciado sem desenho

e nós não conseguíamos resolver, aí a senhora desenhava no quadro o que estava no enunciado e

nós conseguíamos resolver”.

Aluno 2: “É professora ver a figura e colocar o nome dela e seus elementos é barbadinha,

agora do nome ter que desenhar ai fica mais difícil”.

Aluno 3: “É professora, só coloca exercícios com desenho que fica mais fácil.

A grande maioria dos alunos concordou com as colocações dos colegas. O que eles

tentaram dizer nesse momento é que para eles é mais fácil associar a figura que estão vendo

com o nome, do que o nome com uma figura desconhecida. Aqui já aparece a importância da

visualização para o estudo de geometria. Na figura abaixo está representada a resolução de

uma das alunas da turma, denominada como aluna1.

34

Figura 4: Atividade resolvida pela aluna de número 1.

5.1.2.4 ATIVIDADE 2

A questão número dois, é uma questão de completar onde o aluno deveria colocar a

palavra que faltava para a frase ficar completa. Todos os itens trazem a definições de alguns

elementos da geometria plana.

Figura 5: Atividade 2 proposta no teste diagnóstico aplicado aos alunos.

2) Complete as frases:

a) O________________ possui quatro vértices, quatro lados iguais e seu ângulos são

congruentes entre si.

b) O _________________é um polígono que possui cinco vértices, cinco lados e cinco ângulos.

c) Chamamos de _____________, o ponto comum a dois lados de um polígono.

d) Chamamos de triângulo eqüilátero o triângulo que possui _______________.

e) A distância do centro a um ponto qualquer da circunferência é chamado de __________.

35

5.1.2.5 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 2

Com esta atividade esperava-se que os alunos fossem capazes de, a partir de algumas

características e propriedades dos polígonos, identificar as figuras geométricas planas.


Na letra (a), dezenove dos vinte alunos responderam que seria um. O quadrado possui

quatro vértices, quatro lados iguais e seus ângulos são congruentes entre si. Apenas um dos

alunos respondeu que seria o losango.

Essa questão pode ser considerada uma das mais fáceis, pois, o quadrado é o polígono

mais usado nas aulas de matemática, tanto para o cálculo de perímetro e área, como para

atividades sobre funções, multiplicação e fatoração algébrica, fazendo com que os alunos

estejam mais familiarizados com este polígono.

O fato de ter havido uma resposta que seria um losango é relevante, sendo que um

quadrado pode ser considerado um losango, pois pela definição, “losango é um polígono que

possui todos os lados iguais entre si, suas diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos

ângulos internos”, e são todas condições satisfeitas para um quadrado.

No item (b) da questão número dois todos os alunos responderam corretamente que o

pentágono possui cinco vértices cinco lados e cinco ângulos.

No item (c), dezessete alunos responderam a questão corretamente e três dos alunos

não responderam corretamente sendo que dois afirmaram que o ponto em comum a dois lados

chama-se perpendicular e o terceiro respondeu que seria um retângulo.

Os erros cometidos pelos alunos, nesta questão, não deveriam ter acontecido, pois, a

questão estava se referindo a um ponto, quando falamos em perpendicular estamos nos

referindo a reta, e o retângulo é um polígono.

No item (d), também três alunos não responderam corretamente. Nesse caso o nosso

objetivo era que respondessem “3 lados congruentes”. Os alunos que erraram responderam 3

lados, sendo que um deles ao ler a questão fez o seguinte comentário ironizando –“ se é um

triângulo tem três lados, queria que tivesse quantos”.

Observa-se durante o desenvolvimento da atividade que grande parte dos alunos sabe

que um triângulo possui três lados, três ângulos e três vértices, que são características comuns,

36

mas quando passam a utilizar triângulos específicos como um triângulo retângulo, isósceles,

escaleno ou até mesmo um triângulo equilátero eles não conseguem ver qual é a característica

especifica de cada um.

O último item da questão número dois, o item (d), três alunos responderam π, e um

aluno respondeu que seria o diâmetro, os demais responderam a atividade corretamente.

Apesar dos erros cometidos por alguns alunos observou-se que muitos conseguiram fazer a

relação entre os termos que fazem parte do estudo de uma circunferência, o pi (π) e o

diâmetro.

Considerando o número de questões, e o número de erros cometidos pelos alunos,

podemos dizer que existem lacunas no que se refere ao conhecimento das propriedades

básicas das figuras geométricas planas, sendo que todas as questões feitas até agora eram

atividades simples, que não exigiam muito do aluno.

5.1.2.7 ATIVIDADE 3

Figura 6: Atividade proposta no teste diagnóstico aplicado a alunos.

37


A questão número três tinha como objetivo, fazer com que os alunos reconhecessem

as figuras que compõem uma figura maior, que efetuem a cálculo da área de cada uma das

figuras e, da mesma forma, com o perímetro.

A figura da atividade é composta de um retângulo, um quadrado e um semicírculo e

esperava-se que os alunos, encontrassem o perímetro e a área de cada uma das figuras e

posteriormente determinassem o perímetro e a área total da figura. Com essa questão

esperava-se que os alunos recordassem de como realizar o cálculo de área e perímetro de

figuras planas.


De todos os alunos que responderam o teste somente 10% acertaram a questão,

respondendo que a figura era composta de um quadrado, um retângulo e um semicírculo, 5%

responderam que a figura era composta de um quadrado, de um retângulo e um círculo e os

85% restantes responderam que era composta apenas de um quadrado e um retângulo.

O item (a) pode ser considerado de nível básico, pois o aluno necessitava somente

identificar as formas geométrica s que compunham a figura. O percentual de alunos que errou

foi alto e isto significa que os alunos, como nas atividades anteriores, conseguem identificar

as figuras geométricas quando elas aparecem individualmente, mas quando se apresenta uma

composição delas os alunos não são capazes de identificar.

Por outro lado os itens (b) e (c) tiveram 100% de acerto. O cálculo da área do retângulo

e do quadrado, foi obtido a partir da identificação das medidas de cada lado e houve a

aplicação da fórmula corretamente.

No item (d), o que estávamos procurando era a área total da figura, ou seja, a área do

semicírculo. Essa questão não teve nenhum acerto, três alunas colocaram da seguinte maneira:

área do quadrado + área do retângulo + área do semicírculo (não sei calcular), dois só fizeram

a soma da área do quadrado e do retângulo e os demais não responderam a questão.

Na figura a seguir apresenta-se a resolução da aluna 3, para a item (d).

38

Figura 7: Resolução do item (d) da atividade 3, desenvolvida pela aluna de número 3.

No item (e), 15 alunos responderam corretamente, mas não apresentaram nenhum

cálculo só colocaram a resposta direto. Na figura a seguir apresenta-se a resolução do aluno 4,

para o item (e) da atividade 3.

Figura 8: Resolução do aluno de numero 4, para o item (e) da atividade 3.

Da solução apresentada observa-se que o erro cometido está na fórmula em que o

aluno confundiu o cálculo da área com o cálculo do perímetro, pois sabe-se que a fórmula do

cálculo do perímetro é dado por: P = L+L+L+L, quando se trada de um quadrilátero podemos

simplificá-la, ficando da seguinte maneira P = 2L+ 2L. Por outro lado, o aluno não conseguiu

interpretar as medidas dos lados corretamente.

Observa-se que os alunos não tem claro o conceito de “perímetro” e confundiram o

cálculo do mesmo com o da área da figura. Neste momento a professora retomou o conceito

de área e perímetro em plenária e estabeleceu a diferença entre os mesmos.

39

5.1.2.10 ATIVIDADE 4

Figura 9: Atividade proposta no teste diagnóstico aplicado a alunos.


Nesta atividade esperava-se que os alunos, primeiramente, calculassem a área do

retângulo e, a seguir, a área de cada uma das figuras circulares e realizassem a soma das

áreas, e, finalmente subtraíssem a área do retângulo com a soma das áreas das figuras

circulares.


Ao analisar o trabalho dos alunos, constatou-se que 100% dos alunos não responderam

corretamente a questão. Dos 20 alunos envolvidos na pesquisa 19 calcularam somente a área

do retângulo, não descontando o material gasto para a confecção dos círculos, sendo que o

outro aluno deixou a questão em branco.

5.1.2.13 ATIVIDADE 5

4. De uma chapa de aço foram recortadas figuras circulares conforme nos mostra a figura abaixo.

As medidas estão na figura. Calcule a área que sobra da figura original.

40

Figura 10: Atividade proposta no teste diagnóstico aplicado a alunos .


Nesta questão esperava-se que os alunos conseguissem explorar o conceito de área e

perímetro, apenas analisando a composição das figuras e desconhecendo as medidas dos

lados.


Ao contrário da questão anterior, 19 alunos responderam a questão corretamente e

apenas um deixou a questão em branco. O aluno que deixou a questão em branco é o mesmo

que deixou a questão anterior também em branco, o que é estranho, pois este demonstra um

ótimo rendimento em sala de aula. A solução apresentada pelo aluno, a seguir, mostra que os

alunos, de modo geral, após as discussões estabelecidas durante a resolução das questões do

teste diagnóstico conseguiram aplicar com propriedade as fórmulas relativas á área e

perímetro das diferentes figuras geométricas planas.

5. Observe as figuras a seguir e responda:

a) Quantos quadrinhos existem no interior de cada figura? b) Qual é o perímetro de cada figura? c) A que conclusão você pode chegar após responder aos itens anteriores? d) o que há em comum entra as três figuras?

41

Figura 11: Resolução da atividade 5 pelo aluno 2, participante da pesquisa

Pode-se observar, que a maioria dos alunos atingiu os objetivos propostos para o teste

diagnóstico, pois o número de acertos foi bem maior do que o número de erros.

O teste diagnóstico permitiu a professora-pesquisadora, à percepção das dificuldades e

das potencialidades desse grupo de alunos e permitiu também perceber que os alunos

possuíam os conhecimentos mínimos para avançar nas atividades da sequência didática que

foi constituída, a partir da análise dos resultados das respostas das questões propostas.

5.1.3 CONSIDERAÇÕES DA PRIMEIRA FASE.

Após a análise dos livros e a aplicação do teste diagnóstico, é possível notar que os

alunos possuem algumas dificuldades em relação a conteúdos que envolvam geometria, pois

estes não possuem uma base que de sustentação a conteúdos dessa natureza. Eles não

desenvolveram a capacidade de visualização das figuras geométricas necessária para a

resolução de problemas geométricos, partindo desse ponto de vista o livro mais apropriado

para a exploração do conteúdo de poliedros é “A matemática Completa”. Pois esse apresenta

mais imagens e atividades que fazem com que o aluno desenvolva a capacidade de

visualização e resolução de problemas.

42

Realize uma pesquisa em livros, internet e aponte as diferença entre

polígonos e poliedros.

Da observação e análise dos resultados e das falas dos alunos sobressai fortemente o

apelo e a importância dos aspectos visual e representação gráfica. Neste sentido, este

resultado está de acordo com a afirmação de Dreyfus (1991, pg. 119) de que do ponto de vista

da Educação Matemática a visualização permite traduzir em informações visuais tudo o que é

dado de forma simbólica, portanto, a partir desta constatação, a sequência didática a ser

proposta deve levar em consideração este aspecto.

6. SEGUNDA FASE: CONCEPÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

A partir dos dados que coletamos com a análise dos livros didáticos e com as

fragilidades observadas e registradas no diário da professora-pesquisadora durante a aplicação

do teste diagnóstico, foi elaborada uma sequência de atividades que foi aplicada aos alunos e

cujos resultados estão descritos na fase seguinte que é da experimentação. As atividades

constantes dessa fase encontram-se descritas no Apêndice I.

7. TERCEIRA FASE: EXPERIMENTAÇÃO

Na fase da experimentação, colocamos em prática, as atividades que foram propostas na

concepção da sequência didática. Nesta etapa fizemos uso de: vídeos, construção dos

poliedros com materiais manipuláveis e pesquisa na internet. A experimentação foi realizada

no próprio horário de aula, em três períodos semanais, sendo que para a realização das

atividades a turma foi dividida em cinco grupos, que aqui nomeamos como A1, A2, A3, A4,

A5.

Segue abaixo a sequência de atividades aplicas com as resoluções propostas pelos

alunos e comentários.

7.1 ATIVIDADE 1

Figura 12-Atividade 1 da sequência didática


43

A primeira atividade proposta tinha como objetivo fazer com que o aluno buscasse

estabelecer a diferença entre um polígono (figura plana) e um poliedro (figura tridimensional).

Aqui, esperava-se que os alunos sentissem dificuldades no pensamento geométrico, pois os

polígonos são figuras geométricas planas e os poliedros são figuras geométricas espaciais.

Esta questão tratava de uma pesquisa bibliográfica que poderia ser realizada fora do

período de aula, onde os alunos poderiam fazer está pesquisa tanto na internet, como em

livros ou até mesmo consultar outros professores da área.


A atividade 1 foi realizada fora do horário de aula, pois a escola possui um

laboratório de informática mas sem acesso a internet. Esta atividade foi proposta em uma aula

e discutida na aula seguinte. Feita a pesquisa reunimos os grupos em um grande grupo, onde

cada um dos cinco grupos expos sua resposta, sendo que a professora-pesquisadora anotou

todas elas, conforme descritas a seguir.

Grupo A1: Polígono tem duas dimensões: comprimento e largura. Poliedro tem três

dimensões: comprimento, largura e profundidade.

Grupo A2: Polígono é uma figura plana: folha de papel, quadro. Poliedro: sólido no qual

cada face é um polígono, o dado por exemplo.

Grupo A3: Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número

infinito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais

importantes são as faces, as arestas e os vértices. Polígono é uma figura geométrica plana

limitada por uma linha poligonal fechada. A palavra “polígono” vem do grego e quer dizer

muitos (Poly) e ângulos (gon), exemplo um quadrado.

Grupo A4: Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta de um número finito

de faces, em que cada face é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces

as arestas e os vértices.

Faces: figuras planas que limitam o sólido.

Arestas: segmentos de reta que limitam as faces.

Vértices: ponto de encontro das arestas.

44

Polígono é uma figura plana limitada por segmentos de reta consecutivos chamados de lados.

A palavra “polígono” advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon). É uma

linha fechada simples, os polígonos são os lados dos poliedros.

Grupo A5: A palavra polígono significa “muitos ângulos”. “Um polígono é uma figura

geométrica plana cujo contorno é fechado e formado por segmentos de reta, que são seus

lados. Em outras palavras, o contorno de um polígono é uma linha poligonal fechada”.

Pensamos em um polígono como sendo constituído por seu contorno (um linha poligonal

fechada) e seus pontos interiores. Os triângulos, os quadriláteros e os pentágonos são

polígonos de três, quatro e cinco lados, respectivamente. Se todos os lados têm a mesma

medida, dizemos que o polígono é um polígono regular.

Numa interpretação bem livre, a palavra poliedro pode significar “muitas bases”. O poliedro

é uma figura “espacial cuja superfície é formada por polígonos, que são suas faces”. Quando

as faces de um poliedro são polígonos regulares, dizemos que o poliedro é regular. O cubo

tem seis (hexa) faces, que são quadrados; logo, o cubo é um poliedro regular. Ele é um

hexaedro.

De fato, existem somente cinco poliedros regulares, também chamados de poliedros de

Platão. São eles: o tetraedro regular (quatro faces), o cubo ou hexaedro regular (seis lados),

o octaedro regular (oito faces), o dodecaedro regular (12 faces) e o icosaedro regular (20

faces).

Após a apresentação de todas as respostas ao grande grupo, a professora, juntamente

com os alunos, escolheram a resposta do grupo A5, como sendo a resposta mais completa, ou

seja, aquela que possui mais informações. Para essa atividade os alunos, em seus

depoimentos, não encontraram dificuldades, pois encontraram muitos sites que mostraram as

figuras geométricas e as diferenças entre polígonos e poliedros.

Durante a apresentação dos resultados da pesquisa, realizada pelos grupos, observou-se

muito entusiasmo por parte dos alunos. Ao mesmo tempo, observou-se que eles ficaram

motivados com o trabalho, pois participaram ativamente das discussões que ocorreram na

aula seguinte. Observou-se também que os alunos compreenderam a diferença entre polígonos

e poliedros e, o mais importante foi que eles próprios construíram o conceito de poliedro.

45

7.2 ATIVIDADE 2

Figura 13-Atividade 2 da sequência didática

7.2 .1 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 2

Esta atividade, foi proposta logo após a leitura e discussão da atividade 1. O propósito

dessa atividade era fazer com que o aluno identificasse os poliedros ao ser redor, ou seja, os

poliedros que fazem parte do seu cotidiano. Esperava-se que cada grupo conseguisse

identificar, pelo menos, um poliedro que faz parte do dia a dia dos alunos.


Essa atividade também foi desenvolvida em grupo, porém em sala de aula. O tempo de

elaboração das respostas foi de 10mim. Segue abaixo as respostas de cada grupo.

Grupo A1: Sim estamos rodeados por poliedros, eles estão presentes em construções, obras

de arte, em embalagens de alimentos e em diversas outras coisas ao nosso redor.

Grupo A2: Sim, os poliedros podem ser encontrados em obras de arte, na natureza (cristais,

organismos vivos), na cultura humana, por exemplo, as pirâmides do Egito.

Grupo A3: Sim, os poliedros podem ser encontrados na arquitetura dos prédios, em nosso

dia-dia na caixa de leite, de sabão em pó, na natureza como o favo de mel, na arte, na

tecnologia o formato de um CPU é um paralelepípedo.

Grupo A4: Sim, os poliedros estão presentes na natureza através das cadeias de DNA,

formação de algumas algas e seres vivos e até mesmo na forma de um brinquedo de criança

como, por exemplo, o cubo mágico.

É possível afirmar que os poliedros fazem parte de nossa vida?Façam uma pesquisa sobre

isto.

46

Grupo A5: Sim, vivemos em um mundo tridimensional dessa forma alguns poliedros fazem

parte de nosso cotidiano, nossa sala de aula é um poliedro, a caixa dos nossos tênis é um

poliedro, um pote de sorvete, até mesmo a casquinha do sorvete é um cone.

As repostas da questão 2, foram sucintas mas todos os grupos conseguiram identificar

poliedros que se encontram em nosso dia a dia. Dessa forma, pode-se dizer que o objetivo da

atividade foi alcançado e que todos os alunos do grupo souberam identificar os poliedros que

nos cercam.

Com as duas primeiras atividades realizadas pelos alunos foi possível mostrar de forma

resumida a diferença entre polígono e poliedro e onde podemos encontrar esses poliedros no

cotidiano. Dessa forma foi possível mostrar ao grupo que o conteúdo que iríamos estudar, a

partir daquele momento, não era algo abstrato e sem aplicação.

Para dar mais ênfase ao novo conteúdo que estávamos iniciando, propomos a atividade

3, composta de dois pequenos vídeos de 10min de duração cada.

7.3 ATIVIDADE 3

Para a atividade 3 planejamos a ida dos alunos no laboratório para que eles assistissem

dois vídeos: “Diálogo Geométrico” e “Mão na Forma”.


Esta atividade teve como objetivo propiciar a compreensão dos diferentes poliedros

que se encontram em nosso cotidiano e que estão presentes nos vídeos escolhidos e

disponíveis no portal da TV ESCOLA. O primeiro vídeo que utilizamos está disponível no

site: http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001052.wmv.

Figura 14: Imagem inicial do vídeo Diálogo Geométrico.

http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001052.wmv

47

Figura 15: Tela inicial do vídeo Mão na Forma.


A atividade 3, foi bem recebida pelos alunos pois não é comum , em uma aula de

matemática, os alunos assistirem vídeos. Primeiramente foi assistido o vídeo, “Diálogo

Geométrico” e estabelecido um diálogo com os alunos sobre os diferentes poliedros. Em

seguida o vídeo “Mão na Forma” e também estabeleceu-se uma discussão no final do mesmo.

Ambos os vídeos mostram como as formas geométricas estão presentes na natureza ou até

mesmo no corpo humano. Eles também mostram que para Platão existiam dois triângulos

elementares, e que a partir deles tudo mais se constitui, sendo que esses triângulos formam os

quatro primeiros poliedros regulares que podem se transformar um nos outros, somente o

dodecaedro não possui essa característica.

Observou-se durante as discussões do conteúdo constante nos vídeos que os alunos

compreenderam bem o que são poliedros e sua diferença com polígonos da geometria plana.

Neste sentido, a questão da visualização por meio de vídeos foi fundamental para que eles

compreendessem as características dos polígonos e dos poliedros e as diferenças entre eles.

Por outro lado, das respostas das questões propostas pela professora-pesquisadora após a

O segundo vídeo que foi apresentado para os alunos é um dos sete programas da série

mão na forma que mostram como brincadeiras com formas da natureza ajudam a compreender

as teorias e regras da geometria. Este programa trata de como os gregos entendiam o mundo, ou

seja, composto por formas geométricas. Este vídeo pode ser encontrado na videoteca da maioria

das escolas, ou pelo site.

http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4816.

48

assistência de cada vídeo mostrou que os alunos tem bem presente o entendimento de que os

sólidos podem ser encontrados em estruturas de cristais, dados de jogos, estabelecendo uma

relação com a biologia, o que está frisado no vídeo um.

7.4 ATIVIDADE 4

Figura 16.Atividade 4 da sequência didática


Nesta atividade propomos a construção, com materiais manipuláveis, dos cinco

principais poliedros, ou seja, o tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e o

icosaedro. O principal objetivo da atividade era que através da construção os alunos,

começassem a descobrir algumas características dos poliedros: número de faces, vértices,

arestas e as formas dos polígonos que formam as faces.


Para a realização dessa atividade os alunos continuaram divididos nos mesmos grupos

que tínhamos formado, para a pesquisa inicial. Para a escolha dos poliedros fizemos um

sorteio e a divisão ficou assim: GrupoA1: cubo; Grupo A2: icosaedro; Grupo A3: tetraedro;

Grupo A4: octaedro; Grupo A5: dodecaedro. O material sugerido aos alunos foram bolas de

isopor, palitos de churrasquinho e papel colorido. Na figura 17 a seguir, apresenta-se o

trabalho construído pelos alunos do grupo A5.

Cada grupo fará a

construção de um

dos seguih) O que

se pode dizer a

respeito das

facesNomenclatura

Número de

vértices

Número de arestas Número de faces

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

ntes sólidos :tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

49

Figura 17: Sólidos construídos pelos alunos do Grupo A5

O desenvolvimento da atividade deu-se de forma tranquila para maioria dos grupos e

todos usaram como referência as atividades anteriores. Como sabiam a forma geométrica de

cada face construíram primeiramente os polígonos separadamente, por exemplo, o Grupo A3,

que construiu o tetraedro. Primeiramente, o grupo construiu três triângulos para,

posteriormente, juntá-los e formar o tetraedro. No processo de construção deste grupo surgiu

uma dificuldade que foi o fechamento do poliedro, pois os três triângulos possuem três

ângulos, três vértices e três lados e sendo assim, na hora de montar o tetraedro alguns vértices

e lados não estavam coincidindo.

Neste momento houve a necessidade da intervenção da professora-pesquisadora para

explicar que em um tetraedro de cada vértice partem três arestas e para que a construção

ficasse correta eles deveriam partir de um único polígono, que seria a base do poliedro e em

seguida construir as outras faces, levando em consideração que de cada vértice saem três

arestas.

Os grupos A2 e A5 responsáveis pelo, icosaedro e dodecaedro respectivamente,

começaram suas construções da mesma forma, porém por se tratarem de dois poliedros com

muitas faces, eles não estavam obtendo a forma desejada e os poliedros estavam ficando

enormes, e assim os alunos optaram por construí-los no papel colorido.

O momento de construção dos poliedros por meio de materiais manipuláveis foi rico,

pois os alunos tiveram que associar a geometria plana com a espacial por meio da construção

de polígonos e do poliedro que cada grupo recebeu para ser construído.

50

7.5 ATIVIDADE 5

Figura 18:Atividade 5 da sequência didática

Figura 18 :Atividade 5 da sequência didática


Com base nos poliedros construídos na atividade anterior, propomos a atividade

cinco. O objetivo dessa atividade era fazer com que o aluno identificasse os elementos de

cada poliedro: as faces, número de arestas e vértices .

A atividade foi desenvolvida em grupo sendo que cada grupo era responsável pelo

estudo relacionado com o poliedro construído na atividade anterior. Para desenvolver a

atividade cada grupo recebeu uma ficha que deveria ser completada com os dados do seu

poliedro.


Para a análise a posteriori da atividade, relacionamos a seguir as questões relacionadas

com cada poliedro e as respostas dos respectivos grupos.

Grupo A1: Análise o Hexaedro (cubo) e responda:

a) Qual a forma geométrica das faces do poliedro?

R: A forma geométrica que forma cada face são quadros,isto é, um polígono regular que

possui os quadro lados iguais.

b)Quantas arestas saem de cada vértice?

R: De cada vértice saem três arestas.

c) De cada vértice saem o mesmo número de arestas?

Com base nos poliedros construídos respondam as seguintes questões:



c) De cada vértice saem o

mesmo númNomenclatura

Número de

vértices

Número de

arestas

Número de faces

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

e se pode dizer a respeito

das

facesNomenclNomenclatura

Número de

vértices

Número de

arestas

Número de

faces

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

ângulos dos poliedros?

51

R: Sim, de cada vértice saem três arestas.

d)As faces são todas iguais?

R: Sim, pois para construir o poliedro utilizamos palitinhos todos com a mesma medida e

assim todos os quadrados tem o mesmo tamanho.

e)Quantas faces tem esse poliedro?

R: As faces são os polígonos que formam esse poliedro, assim temos seis quadrados que

formam o cubo, dessa forma o número de faces é seis. ( seis quadrados, seis faces).

f) Quantas arestas tem?

R: Temos seis quadrados, cada quadrado com quatro lados, temos então, 24 arestas.

g) Quantos vértices tem?

R: O número de vértices é o numero de bolinhas usadas para construir o cubo e usamos oito

bolinhas. O cubo possui oito vértices.

h) O que se pode dizer a respeito das faces e dos ângulos dos poliedros?

R: Um cubo possui suas faces quadradas e iguais, os ângulos das faces são todos de 90º logo

são todos iguais.

Grupo A2: Análise o icosaedro e responda:


R: As faces são os lados do poliedro e esses lados são triangulares.






R: Sim.


R: São 20 triângulos, 20 faces.


52

R: Foram usados 30 palitos, portanto temos 30 arestas.


R: Na cosntrução usamos as bolinhas para ser o vértice, para a construção usamos 12

bolinhas. Temos então 12 vértices.


R: As faces são formadas por triângulos que possuem todos os lados iguais, são triângulos

equiláteros com lados e ângulos iguais.

Grupo A3: Análise o tetraedro e responda:


R: São triângulos.






R: Sim.


R: Três.


R: Seis.


R: Quatro.



equiláteros com lados e ângulos iguais.

Grupo A4: Análise o octaedro e responda:


53

R: As faces são os lados do poliedro e esses lados são triangulares.






R: Sim.


R: Oito.


R: São 12.


R: Seis.



equiláteros lados e ângulos iguais.

Grupo A5: Análise o dodecaedro e responda:


R: São pentágonos.






R: Sim.


54

R: São 12.


R: São 30.


R: 20.

h) O que se pode dizer a respeito das faces e dos ângulos dos poliedros? Não houve resposta

para esta questão.

Analisando-se as respostas dos grupos observa-se que ocorreram poucos erros. O mais

significativo ocorreu no Grupo A1, item f, que responderam que o cubo possui 24 arestas.

Nesta atividade o erro cometido foi devido ao fato de que os alunos levaram em consideração

o número de palitos usados para construir o poliedro e não o conceito de aresta.

Os Grupos A2 e A4 não responderam corretamente todas as questões e associaram

muito bem os elementos usados para a construção do icosaedro e do octraedro com as

questões propostas. O grupo A3, cometeu um erro no item e, uma vez que responderam que o

tetraedro possui três faces, sendo que realmente possui quatro. O último grupo, responsável

pelo dodecaedro, não respondeu o item h e afirmaram que não poderiam dizer nada sobre os

ângulos, pois não conheciam suas medidas.

Durante a realização da atividade as intervenções da professora-pesquisadora foram

poucas e, em geral, os alunos não tiveram dificuldades em responder as questões. Observou-

se que muitos alunos usaram os conhecimentos adquiridos na construção manual dos

poliedros para achar as respostas das questões.

55

7.6 ATIVIDADE 6

Figura 19: Atividade 6 da sequência didática


Com esta atividade esperava-se que os alunos consolidassem a compreensão dos

elementos que compõem cada poliedro, ou seja, as faces, arestas e vértices e, ao mesmo

tempo, que avançassem no conhecimento e conseguissem construir a lei de Euler para os

poliedros regulares.

Além disso, com a proposição do item a, desta atividade, esperava-se que os alunos

desenvolvessem a criatividade e preparassem uma apresentação sobre as características dos

poliedros que cada grupo constriu. Com esta atividade pretendia-se também avaliar o trabalho

realizado pelos alunos, levando em consideração tanto o teor do conteúdo como a precisão da

linguagem usada na apresentação.


a)Com base no poliedro que cada grupo construiu preparem uma

apresentação para os demais colegas dos outros grupos com uma descrição

completa de todas as características do mesmo.

b) Com base nos sólidos construídos completem a tabela abaixo:

Nomenclatura Número de vértices Número de arestas Número de faces

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

c) Use os dados tabelados acima para verificar a veracidade da seguinte fórmula, F

+ V = A + 2. Onde F = número de faces, V = número de vértices e A = número de

arestas.

Atividade 6.1. Use os dados tabelados acima para verificar a veracidade da

seguinte fórmula, F + V = A + 2. Onde F = número de faces, V = número de vértices

e A = número de arestas.

56

Para o desenvolvimento da atividade organizou-se a sala em forma de um semi-círculo

de forma que todos os elementos do grupo pudessem visualizar as apresentações dos grupos.

No quadro a professora desenhou uma tabela, igual a que foi entregue a cada um dos alunos e

a partir da apresentação de cada grupo os alunos completaram os dados solicitados no item b.

Para essa apresentação os grupos deveriam mostrar o poliedro construído, quais eram

os vértices, as arestas e faces e em seguida completar a tabela que estava no quadro. Para essa

apresentação os alunos foram instigados a usar a criatividade, não simplesmente dizer o nome

do poliedro, e sim que deveriam procurar fazer uma apresentação mais completa possível.

Segue abaixo a apresentação de cada grupo, sobre os itens a e b, bem como a tabela

completa com as informações obtida pelos grupos A1, A2, A3.

Grupo A1: Apresentação do grupo responsável pelo Hexágono (cubo)

O hexaedro (cubo), pode ser encontrado em objetos de decoração, obras de arte, em

brincadeiras.

Este sólido chama-se Hexágono, mas todos nós o conhecemos como cubo,

ou o dado de nossas brincadeiras.

Ele é formado por seis quadrados que são chamados de faces. Cada lado do

quadrado e chamado arestas, e os pontos que unem as arestas é chamado de

vértice.

O hexágono possui: seis faces, 12 arestas e oito vértices.

Cubo com objetos de

decoração e embalagens

para presentes.

http://www.google.com.br/imgres?q=objetos+de+decora%C3%A7%C3%A3o+na+forma+de+cubo&hl=pt-BR&sa=X&qscrl=1&nord=1&rlz=1T4ADFA_pt-BRBR386BR386&biw=1280&bih=550&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=Qn2bExtfhKBHkM:&imgrefurl=http://sp.quebarato.com.br/sao-paulo/cubo-fotografico-de-cristal-porta-retrato-6x6cm-peso-de-papel__5225CB.html&docid=tYxXh6Dmih7J8M&imgurl=http://images.quebarato.com.br/T440x/cubo+fotografico+de+cristal+porta+retrato+6x6cm+peso+de+papel+sao+paulo+sp+brasil__5225CB_3.jpg&w=440&h=330&ei=c34NT4S_HMW-gAe70NHTBw&zoom=1

57

Conhecido como cubo mágico, objeto usado em

brincadeiras.

Móveis, construídos usando cubos.

Dados, usado em brincadeiras infantis, jogos de azar.

O arranha-céu Urban Tree é composto por uma série

de cubos que parecem flutuar no ar. Acima de cada

um, há a possibilidade de criar um grande jardim,

com árvores e plantas. Projetado pelo escritório de

arquitetura verde israelense Geotectura, o prédio

também teria a função de captar a energia

solar. A intenção de criar um prédio em cubos é

transformá-lo em uma construção modular e flexível,

capaz de otimizar a vista e a circulação de ar.

Cubos de gelo.

Embalagens de presentes.

http://www.google.com.br/imgres?q=objetos+de+decora%C3%A7%C3%A3o+na+forma+de+cubo&hl=pt-BR&sa=X&qscrl=1&nord=1&rlz=1T4ADFA_pt-BRBR386BR386&biw=1280&bih=550&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=ewAJbb1pqZpnnM:&imgrefurl=http://www.desideratto.com/decoracao/cubos-decorativos/&docid=qSaJ3DYv9I_jWM&imgurl=http://www.desideratto.com/wp-content/uploads/cubo-decorativo-21.jpg&w=600&h=488&ei=c34NT4S_HMW-gAe70NHTBw&zoom=1

http://www.geotectura.com/

58

O cubo Universo*

O cubo ao primeiro olhar parece ser um simples objeto, inanimado, incapaz, peso de papel, decoração, pedaço...

O cubo fica ali parado, parado em qualquer lugar, alguns opacos outros coloridos. Uns artesanais, outros

modernos. Pesados, leves, ocos ou não.

O cubo de pedra esculpido sem querer pela natureza, o cubo de madeira cortado pela mão do marceneiro, o cubo

de acrílico feito pelo designer, cientista, o cubo de plástico feito pela fábrica de brinquedo,o cubo de metal feito pela

indústria e para a indústria.

O cubo desenhado no chão como piso de calçada. O cubo desenhado no chão pelo giz da criança quando brinca

de amarelinha. Céu e inferno?

Apesar da intensa presença, cubos e mais cubos, para todos os fins e com as mais simbólicas representações, o

cubo mantém a medida. Na entrelinha do corte lateral ela está lá.Não há cubo sem medidas iguais.Há cubo de texturas

diferentes, uns mais polidos, outros mais ásperos, mas ainda assim cubos.

Vem o artesão e molda incansavelmente com a lixa o bloco de madeira. Vem um criativo e coloca pequenos cubos

em todas as faces do cubo, põe cores e movimento.O cubo desmontável,objeto de raciocínio surge então.Cubo com

objetivo, que te deixa horas sentado com desejo de acertar.

Um cubo que atravessa eras e traz implícito o Algoritmo sagrado. Só os movimentos precisos para remontar.

Mito? Talvez.

Matemática? Muita.

O cubo está ali na estante esperando utilidade.

O cubo está ali no chão esperando cor.

O cubo está ali na pedra querendo se tornar escultura.

O cubo guarda também segredos quando, dentro do guarda- roupa vira porta treco.

Guardião de chaves, saudades e batons.

O cubo e sua dinâmica de ser tudo e nada ao mesmo tempo.

Incrível isso não?

Óbvio que tudo depende de quem vê e sente o Universo: Geométrico ou Ilusão !

O cubo em sí, desmontado, gera mais formas e por isso, quem te garante que a Terra não?Destrinchada,

planificada, cortada?

Um Planeta feito de cubos?

Um cubo Universo? Talvez , Por que não?

Autor desconhecido. Disponível em http://borboletarosarubra.blogspot.com/2010/03/o-cubo-

universo.html

59

Grupo A2: Apresentação do grupo responsável pelo icosaedro

Podemos encontrar as formas tetraédricas em várias situações, conforme

descreveremos a seguir.

Este sólido é o icosaedro.

Ele é formado por triângulos equiláteros, que constituem suas

faces. Ele possui 20 faces, 30 arestas e 20 vértices.

Platão identificou este sólido como sendo o elemento água.

Circogonia icosahedra: Protistas radiolários

Lâmpada no formato de um icosaedro, gerado a partir da união de seções de uma esponja vegetal.

Vestido criado pela artista Amila Hrustic, que

faz parte da coleção sólidos de Platão.

Muitos vírus, como o vírus da herpes, assumem uma simetria icosaédrica.

http://pathmicro.med.sc.edu/mhunt/intro-vir.htm

60

Grupo A3: Apresentação do grupo responsável pelo Tetraedro

Podemos encontrar as formas tetraédricas em várias situações, conforme

descreveremos a seguir.

O tetraedro é um poliedro, formado por triângulos

equiláteros.

Ele possui: 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.

O tetraedro regular representa o elemento fogo.

A figura ilustra a molécula de metano. Os quatro

átomos hidrogênio (H) estão dispostos em torno do átomo de

carbono (C) formando um tetraedro regular.

O Pyramorphix

O pyramorphix é um quebra cabeça tridimensional em

forma de um tetraedro semelhante ao pyramix, porém mais

simples, sendo composto por apenas 8 peças móveis.

Este auto falante produzido pela CNMAT (California Berke-ley's Center for New Music and Audio Technologies) tem co-mo finalidade mimetizar os diversos tipos de padrões de radi-ações produzidas por diversos instrumentos musicais acústi-cos.

Icosaedro Romano de Bronze

http://www.meyersound.com/news/2006/cnmat_project/

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/roman_dodecahedra.html

61

O Robô Tetraédrico da NASA

O TETWalker (do ingês “TETrahedral walker”,

andarilho tetraédrico) é um dos primeiros protótipos de robôs

que conseguem mudar a sua forma para que, através deste

movimento, sejam capazes de ultrapassar os diferentes

obstáculos da superfície de um planeta.

A Plataforma de Observação em Bottrop-Batenbrock

Esta plataforma de observação na forma de um tetrae-

dro foi idealizada pelo arquiteto Wolfgang Christ em 1995. Ela

possui 60 metros de altura e está localizada na área industrial da

cidade de Bottrop-Batenbrock na Alemanha

Cristais da Calcopirita em Formato de Tetraedro

A calcopirita é um sulfeto de cobre e ferro tetragonal,

o mais importante mineral-minério de cobre, que ocorre especi-

almente em veios hidrotermais de alta temperatura e em pegma-

titos, depósitos metamórficos e xistos.

http://www.nasa.gov/vision/universe/roboticexplorers/ants.html

http://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder_(Bottrop)

http://skywalker.cochise.edu/wellerr/mineral/chalcopyrite/chalcopyriteL.htm

62

Grupo A4: Apresentação do grupo responsável pelo octaedro.

Podemos encontrar octaedros em várias situações, conforme descreveremos a seguir:

O octaedro é um poliedro regular ou sólido platónico.

O octaedro é constituído por oito faces iguais sendo

todas triângulos equiláteros, reunindo-se em cada vértice

quatro triângulos (“octo” significa “oito” em grego), tem seis

vértices e doze arestas.

Este refletor no formato de um octaedro tem por finalidade

refletir o sinal de um navio a outro a fim de mostrar sua

localização

A magnetita é um óxido de ferro cúbico, de cor preta, fortemente

magnético, opaco, um dos três principais minerais-minério de

ferro.

http://www.fondear.org/infonautic/Equipo_y_Usos/Electronica_Instrumentacion/Reflector/Reflector.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluorita

63

Grupo A5: Apresentação do grupo responsável pelo dodecaedro.

Podemos encontrar octaedros em várias situações, conforme descreveremos a seguir:

Doce em Formato de Dodecaedro

Caixa Acústica

Este sistema de sonorização de alto desempenho foi projetado pelo

professor Sylvio Bistafa da Escola Politécnica da Universidade de

São Paulo. Sua patente de desenho industrial foi concedida à

Agência USP de Inovação.

Dodecaedro de Bronze

Em 1939 foi encontrado um dodecaedro de bronze na cidade de Leopoldswall na

Alemanha. Não se sabe qual era a finalidade deste objeto. Hipóteses incluem:

um candelabro, um instrumento de guerra, um instrumento de medida ou um

objeto místico.

.

Um dodecaedro regular é constituído por 12 pentágonos

regulares e é um do sólidos platônicos.

O dodecaedro possui 20 vértices, 30 arestas, 12 faces.

http://www.candyfab.org/article.php/heater2results/print

http://www4.usp.br/index.php/ciencias/13140

http://en.wikipedia.org/wiki/Roman_dodecahedron

http://matematica.com.br/site/dicionario-matematica/90/181.html

http://matematica.com.br/site/dicionario-matematica/93/367.html

64

Após as apresentações de todos os grupos a professora-pesquisadora retomou o

preenchimento dos dados da tabela e explorou em grande grupo a lei de Euler.

Tabela 2:Número de vértices, arestas e faces de cada poliedro regular.

Nomenclatura Número de vértices Número de arestas Número de faces

Tetraedro 4 6 4

Hexaedro 8 12 6

Octaedro 6 12 8

Dodecaedro 20 30 12

Icosaedro 12 30 20

A partir dos dados constantes da Tabela 1 os alunos não encontraram dificuldades em

verificar a validade da lei de Euler.

65

7.7 ATIVIDADE 7

7. A superfície de um poliedro, que é formada de superfícies poligonais planas, pode

ser colocada sobre um plano de tal modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo

menos um lado em comum com a outra face. Obtemos assim uma figura plana, que costuma

ser chamada de molde do poliedro, ou planificação da superfície do poliedro ou

simplesmente de planificação do poliedro. Dessa forma associe cada uma das planificações

com o seu poliedro de origem.

Figura 20:Atividade 7 da sequência didática

http://www.google.com.br/imgres?q=cubo&hl=pt-BR&qscrl=1&nord=1&rlz=1T4ADFA_pt-BRBR386BR386&biw=1280&bih=550&tbm=isch&tbnid=O35oz3tVXhd38M:&imgrefurl=http://froilamoliveira.blogspot.com/2009_05_01_archive.html&docid=ncFARXB1VfP5AM&imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_gtf88lneNus/Sh2t7BxgLcI/AAAAAAAABxs/AM5JpLIrPPQ/s320/CUBO.jpg&w=300&h=270&ei=ShogT9LgEMv6gge09tCzDw&zoom=1

66

7.7.1 ANÁLISE A PRIORIDA ATIVIDADE 7.

Para a realização da atividade 7, todos os elementos do grupo receberam a atividade de

associação. Com essa atividade esperava-se que os alunos associassem a planificação com os

sólidos que construíram nas atividades anteriores.

7.7.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE 7.

Figura 21: Resolução da atividade7 da sequência didática desenvolvida pelo grupo A 5, A4, A3 e A2.

7. Associe cada uma das planificações com o poliedro de origem.


67


A atividade 7 obteve 80% de acerto, o grupo A1, cometeu um erro ao trocar a

planificação do tetraedro com a planificação do octaedro, os demais grupos acertaram a

questão.

7.8 ATIVIDADE 8

Figura 22 Atividade 8 da sequência didática

7.8.1 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE 8.

Para a realização da atividade os alunos receberam caixas de papelão, todas no formato

de um hexaedro, e eles deveriam calcular a quantidade de papel que seria necessário para

forrar a caixa, desconsiderando as laterais da tampa. Cada grupo deveria encontrar a solução

para a sua caixa e em seguida colocar a solução no quadro negro para posteriormente escrever

a fórmula para o cálculo da área lateral de um hexaedro. Esperava-se que os alunos, com as

experiências adquiridas nos problemas anteriores conseguissem encontrar as soluções.

8. Calcule a quantidade de papel utilizado para forrar as caixas. (desconsiderando

as laterais da tampa).

68


Durante a realização desta atividade observou-se que os alunos trabalharam com mais

autonomia, que estavam familiarizados com o trabalho em grupo e com o tipo de atividade

proposta. Notou-se que todos os grupos já se sentiam responsáveis pelo andamento da aula e

compromissados com o trabalho. Após o término das atividades todas as soluções foram

digitadas e organizadas pela professora pesquisadora e descritas a seguir.

Resolução da atividade pelo grupo A1

Figura 22 : caixa utilizada pelo grupo A1

A1: Como vamos fazer isso professora? Não sabemos as medidas.

Professora: Vocês devem buscar uma solução.

A1: Podemos utilizar régua para encontrar as medidas, professora?

Professora: Cada grupo determina uma estratégia para encontrar a solução.

A1: Nós vamos usar a régua.

Figura 23 : caixa utilizada na atividade 8, pelo grupo A1, como suas medidas

9,5cm

26,5 cm

13 cm

69

Figura 24: resolução da atividade 8, pelo grupo A1.

Resolução da atividade pelo grupo A2

Papel gasto na tampa.

Papel gasto na lateral maior

Papel gasto na lateral menor

Como a tampa e o fundo tem as mesmas medidas fazemos. 344,5 x 2 = 689.

Também temos duas laterais maiores e duas laterais menores, portanto fazemos:

251,75 x 2 = 503,5 e 123,3 x 2 = 246.

Sendo assim o material gasto para forrar a caixa, desconsiderando as laterais da tampa

é:

689 + 503,5 + 246 = 1438,5 cm ².

13 cm

26,5 cm

Temos um retângulo por isso

fazemos a base vezes à altura.

At: 26,5 x 13 = 344,5 cm²

26,5 cm

9,5cm

Temos um retângulo por isso fazemos a

base vezes à altura.

AL: 26,5 x 9,5 = 251,75 cm²

13 cm

9,5 cm

Temos um retângulo por isso fazemos a base

vezes à altura.

Al: 13 x 9,5 = 123,5 cm²

70

A1: Nós também vamos calcular usando a régua.

Professora: Não tem problema.

Figura 25 : caixa utilizada na atividade 8, pelo grupo A2, como suas medidas

Figura 26 : resolução da atividade 8, pelo grupo A2.

Resolução da atividade pelo grupo A3;

Figura 27 : caixa utilizada pelo grupo A2, como suas medidas na atividade 8.

12cm

12cm

4 cm

A quantidade de papel gasto na tampa e no fundo é a mesma. O polígono que forma a

tampa e o fundo da caixa é um quadrado que tem 12cm de lado .Assim a área é dada

por base x altura.

A( tampa) = 12 x 12 =144 cm² .

Área da tampa e fundo = 144 + 144 = 288 cm².

Área lateral (um retângulo).

Área (base x altura)= 12 cm x 4 cm = 48 cm².

48 cm² x 2= 96 cm².

Área total = 288 cm² + 96cm² = 384cm².

15,5 cm

6,5 cm

71



Figura 29 : caixa utilizada na atividade 8, pelo grupo A4

Figura 30: resolução da atividade 8, pelo grupo A1

Não apresentaram cálculo.

Quantidade de papel usado para forrar a caixa 870,5cm ² .

não apresentaram as medidas.

Área da tampa e fundo. Área da lateral menor. Área da lateral maior. Quantidade de papel usado : 896 + 320 + 560 = 1776 cm ².

28 x 16 = 448 x 2 = 896 cm ²

16 x10 = 160 x 2= 320 cm ²

28 x 10 = 280 x 2 = 560 cm²

72


A5: Professora se nós não sabemos as medidas podemos colocar letras?

Professora: Se estamos com valores desconhecidos podemos usar variáveis, incógnitas.

A5: Assim como fazíamos nas funções?

Professora: Isso assim como fazíamos nas funções.

A5: Mas ai nós não vamos chegar a um resultado e sim numa expressão. Isso pode acontecer?

Professora: Pode sim. Se vocês fizerem dessa maneira não estarão encontrando somente a

quantidade de papel usado para forrar esta caixa, mas sim de qualquer caixa que tem este

formato. (mostrando a caixa do grupo)

A5: Tipo uma fórmula.

Professora: Isto mesmo.

A5: A gente vai tentar fazer dessa forma, sem medir tá professora. Vamos ver se conseguimos.

Figura 29 : caixa utilizada na atividade 8, pelo grupo A5

a

b

c

73


A ordem de apresentação se deu pela numeração dos grupos, todos colocaram sua

solução no quadro dando suas explicações e sendo questionados pela professora. O grupo A1

respondeu corretamente a questão, sendo questionado da seguinte maneira.

Professora: Qual o procedimento que o grupo usou para a resolução?

A5: Estávamos procurando a quantidade total de papel que seria usado para forrar a caixa,

desconsiderando as dobras da tampa, certo?

Professora: Isso! Gostaria de saber qual é a quantidade de papel gasto.

Área da lateral maior;

Área da lateral menor Área da tampa e do fundo Como encontramos a área de cada um dos retângulos separadamente agora é só fazer a soma dessa forma teremos. Quantidade de papel usado será dado por : 2ac + 2 ab + 2cb

a

C

É um retângulo, portanto é só calcular base vezes

altura então área = a.c. Como temos dois

retângulos com essas medidas temos assim 2ac.

a

b

É um retângulo, portanto é só calcular base vezes

altura então área = a.b. Como temos dois retângulos

com essas medidas temos assim 2ab.

b

c

É um retângulo, portanto é só calcular base vezes altura

então área = c.b. Como temos dois retângulos com

essas medidas temos assim 2cb.

74

A5: Pois, então como não sabíamos as medidas, pedimos para a senhora se podíamos medir

com a régua e a senhora deixou. Ai, encontramos estas medidas que colocamos no quadro.

Como nossa caixa é formada de retângulos usamos a fórmula base vezes altura para cada um

dos retângulos e em seguida somamos cada um deles dando assim a quantidade de material

gasto.

Professora; Muito bem. E o grupo A2, qual foi o procedimento utilizado? Vocês sabem

identificar onde está o erro de vocês?

A2: Nós também medimos com a régua e calculamos a área usando a fórmula da área de um

retângulo. Fundo e tampa são quadrados, encontramos a área de um e multiplicamos por

dois. As laterais também são retângulos iguais, achamos a área de um, mas não

multiplicamos por quatro. Só fizemos área da tampa mais fundo mais uma lateral deixamos

as outras três de fora.

Professora: Foi isso mesmo! O erro cometido por vocês foi não ter considerado os outros

três lados. E o grupo A3, como chegaram a 870,5cm ²?

A3: A gente achou as medidas com a régua, e depois fomos fazendo base vezes altura para

todos os retângulos e depois somamos tudo ai chegamos aos 870,5 cm².

Professora: Mas cadê os cálculos? Fizeram tudo de cabeça?

A3: Não a gente fez na classe e depois apagamos e só anotamos o resultado final.

Professora: Ok, mas não esqueçam que devem anotar no caderno ou na folha, não na classe,

mas o resultado obtido está correto. E o grupo A4, como resolveram?

A4: Bom, nós não anotamos as medidas de cada lado, medimos e já fomos fazendo os

cálculos, igual aos que os colegas fizeram, e depois somamos tudo.

Professora: Muito bem! Conforme podemos perceber o grupo A5, resolveu a atividade de

forma diferente, vocês podem explicar como realizaram a atividade?

75

A5: Sim professora, como não tínhamos régua, lembramos que quando desconhecemos um

valor usamos uma letra geralmente x, como usamos em funções, aqui substituímos as

medidas por a, b e c, que são os valores que não conhecemos. O resto fizemos igual aos

colegas calculamos usando a fórmula do calculo da área de um retângulo base vezes altura e

depois somamos todas elas chegando a área total igual a 2ac + 2 ab + 2cb.

Professora: Muito bem, sendo assim se conhecemos as medidas de cada lado é só substituir

as letras pelos valores e chegaríamos à quantidade de material gasto para forrar a caixa

desconsiderando as laterais da tampa. Então qual é a forma mais prática de encontrarmos a

quantidade de papelão gasto para forrar a caixa? Quem gostaria de falar?

A5: Nós achamos que a forma mais fácil é achar separadamente a área do fundo, do lado

maior e do lado menor multiplicar os valores encontrados por dois e depois somar todos eles.

Professora: Isso mesmo. As caixas como as que trabalhamos nessa atividade são chamadas

de prisma. Pela definição temos que prismas são aqueles poliedros com duas bases paralelas

e congruentes de tal modo que as arestas que as une são paralelas entre si. Assim chegamos

á fórmula para o cálculo da área de um prisma: área total igual a área lateral mais duas

vezes a área da base. ( At =Al + 2ab)

A atividade foi desenvolvida de forma excelente. Os alunos questionavam a professora

e também os colegas e todos procuravam dar alguma ideia para a resolução. Eles partiram da

geometria plana para determinar a área de uma figura espacial. Observou-se que as atividades

realizadas anteriormente foram bem compreendidas pelos alunos e que a cada nova atividade

os alunos estavam mais confiantes e participativos.

A partir dessa última questão a professora pesquisadora, juntamente com os alunos

participantes da pesquisa, chegaram a desenvolver a noção de área de prismas, último

conceito abordado na sequencia didática.

Para a avaliação do trabalho realizado a professora propôs aos alunos algumas

atividades que denominamos como sendo as atividades complementares. Estas atividades

serviram para que a professora verificasse se o objetivo do trabalho foi alcançado.

Segue abaixo algumas atividades propostas como atividades complementares.

76

7.9 ATIVIDADES COMPLEMENTARES

Figura 31: Atividade 1, proposta como atividade complementar

Atividade 1: Considerando os cinco poliedros construídos complete o quadro abaixo com os valores

inexistentes.

Poliedro

Planificação

Nomenclatura

Elementos

________________

___ faces triangulares

4 vértices

_____ arestas

Hexaedro regular

6 faces ___________

8 ___________

______arestas

________________

____ faces ________

6 _______________

12_____________

________________

____faces _________

_____ vértices

_______arestas

Icosaedro regular

____faces

_________

_____ vértices

_______arestas

77

7.9.1 ANÁLISE A PRIORI DA ATIVIDADE COMPLEMETAR 1

A atividade complementar um, conforme colocado acima está representada em um

quadro que deveria ser preenchido com as informações que estavam faltando. Esta atividade

tinha como objetivo verificar se os alunos sabem quais são os cinco poliedros de Platão

identificar sua estrutura, planificação, nomenclatura e elementos que fazem parte de cada um

dos poliedros.

Para a resolução dessa atividade os alunos formaram os grupos conforme estavam

distribuídos anteriormente, cada aluno recebeu um quadro para a resolução individual,

posteriormente deveriam debater e anotar suas dúvidas se existisse para ser debatido no

grande grupo.

7.9.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1

Durante a resolução da atividade um, a professora pode perceber que os alunos não

sentiram muita dificuldade. Surgiram alguns comentários relevantes conforme descreveremos

a seguir.

Aluna 1: Professora, nosso desenho não vai ficar bem igual a nossa construção. Tem

algum problema?

Professora: Não tem problema. A representação geométrica que vocês vão fazer não

vai ficar bem igual á construção, pois vocês estão representando uma figura tridimensional

em um plano bidimensional. Esse tipo de representação distorce ângulos, modificam

comprimento de segmentos e não permitem distinguir pontos que estejam sobre a mesma

linha.ok!

Aluna 4: No último item a senhora está nos pedindo para colocar o número de faces e

qual é o polígono que forma esta face?

Professora: Isso! Quero saber quantas faces o polígono possui e qual é a sua forma?

78

Como a atividade foi realizada com 100% de aproveitamento, a professora optou por

transcrever a solução as atividades.

Figura 31: Resolução da atividades complementar 1

Atividade 1: Considerando os cinco poliedros construídos complete o quadro abaixo com os valores

inexistentes.

Poliedro

Planificação

Nomenclatura

Elementos

Tetraedro regular

4 faces

triangulares

4 vértices

4 arestas

Hexaedro regular

6 faces quadradas

8 vértices

12 arestas

Octaedro regular

8 faces triângulares

6 vértices

12 arestas

Dodecaedro regular

12 faces

pentagonais 20

vértices

30 arestas

Icosaedro regular

20 faces

triangulares

12 vértices

30 arestas


79

7.9.3 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2

7.9.3 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2.

Figura 33: Atividade 2 proposta como atividade complementar


A atividade dois pretendia que o aluno encontrasse a partir do número de faces o

número e arestas e vértices. A professora pretendia verificar se para os alunos tinha ficado

claro a relação de Euler, e se estes eram capazes de aplicar esta relação em um problema de

aplicação.


A resolução da atividade dois foi um pouco mais trabalhosa, os alunos sugeriram que

cada um dos grupos colocasse sua resposta no quadro negro para a verificação do resultado. A

sugestão foi aceita pela professora. Sendo assim após a colocação de todas as soluções no

quadro a professora observou que somente o grupo A3 não respondeu corretamente a

atividade. Segue abaixo a resolução da atividade pelos grupos A1, A2, A4 e A5.

Observação: As soluções foram transcritas pela professora- pesquisadora.

Atividade 2. (UFPel- RS) No país do México, há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o

problema de armazenamento da pós- colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola

colocada sobre uma base circular de alvenaria. A forma desse silo é obtida juntando 20 placas

hexagonais e mais 12 pentagonais. Com base no texto é correto afirmar que esse silo tem:

a) 90 arestas e 60 vértices.

b) 86 arestas e 56 vértices.

c) 90 arestas e 56 vértice.

d) 86 arestas e 60 vértices.

e) 110 arestas e 60 vértices.

Observação: Realize os cálculos e posteriormente marque a atividade correta.

80

Figura 34: Resolução da atividade 3 pelos grupos A1, A2, A4 e A5.





f) 90 arestas e 60 vértices.

g) 86 arestas e 56 vértices.

h) 90 arestas e 56 vértice.

i) 86 arestas e 60 vértices.

j) 110 arestas e 60 vértices.


Resolução:

Nº de faces totais

F= 20 +12= 32.

Nº de arestas

20 faces hexagonais: 20 * 6 =120.

12 faces pentagonais: 12 * 5= 60.

Como cada aresta é comum a duas faces, o número de arestas do silo é

A =( 120 + 60)/ 2 = 180/2 = 90.

Nº de vértices

Aplicando a relação de Euler temos F= 32, A = 90.

V + F = A + 2

V + 32 = 90+2

V= 60.

Portanto o silo tem 90 arestas e 60 vértices, ou seja, a alternativa correta é a alternativa (a).

81

Figura 35: Resolução da atividade 3 pelos grupos A3.

Conforme dito acima a atividade complementar dois, deu um pouco mais de trabalho

para a resolução, pois os alunos não estavam mais trabalhando com nenhum dos sólidos que

haviam construído e a visualização só era possível por meio de uma figura representativa.





k) 90 arestas e 60 vértices.

l) 86 arestas e 56 vértices.

m) 90 arestas e 56 vértice.

n) 86 arestas e 60 vértices.

o) 110 arestas e 60 vértices.


Resolução:

Nº de faces totais

F= 20 +12= 32.

Nº de arestas

20 faces hexagonais: 20 * 6 =120.

12 faces pentagonais: 12 * 5= 60.

Como cada aresta é comum a duas faces, o número de arestas do silo é

A =( 120 + 60) = 180 =180.

Nº de vértices

Aplicando a relação de Euler temos F= 32, A = 90

V + F = A + 2

V + 32 = 180+2

V= 150.

Nenhuma das alternativas.

82

Eles deveriam levar em consideração que o número de faces era a soma das faces

hexagonais e pentagonais. Todos os grupos realizaram este procedimento somaram as faces

hexagonais e pentagonais. Quanto às arestas deveriam levar em consideração que estávamos

trabalhando com hexágonos seis lados e como tínhamos 20 faces hexagonais, deveríamos

multiplicar 20 por 6, da mesma forma com a 12 pentagonais, 12 por cinco, cinco lados. Mas

era necessário lembrar que algumas arestas coincidem logo somando todas as arestas

deveríamos dividir por dois desconsiderando assim as arestas que coincidem.

E por fim determinar o número de vértices que seria necessário para a aplicação da

relação de Euler. A aplicação da relação deu-se de forma correta, mas como o grupo A3, não

dividiu por dois a soma das arestas acabou erram a questão. Conforme comentário abaixo.

Grupo A3: Professora, nosso erro foi não dividir a soma das arestas por dois, isso?

Professora: Isso mesmo! Lembra o que quando vocês estavam construindo o

tetraedro, e fizeram primeiro os quatro triângulos para depois tentar montar o tetraedro.

Lembram o que aconteceu?

Grupo A3: Sim sobraram bolinhas e palitos, pois eles coincidiam.

Professora: Isso mesmo! As arestas e os vértices coincidiam, a mesma coisa acontece

nesta atividade. Vocês calcularam separadamente e depois quando vão juntar vai sobrar

alguma coisa?

Grupo A3: Sim sobraram os lados que coincidem. Por isso tínhamos que dividir por

dois.

Professora: Isso ai! Mais alguma dúvida?

Grupo A3: Não tudo certo agora a gente lembrou a senhora já tinha falado sobre isso.

83


Figura 35: Atividade complementar 3


A atividade complementar 3 é uma questão objetiva, de caráter avaliativo. O objetivo

dessa atividade era verificar se o aluno conseguiu estabelecer uma relação entre os conteúdos

abordados nas atividades da sequência aplicada. O processo de aplicação da atividade 3 deu-

se da mesma forma que o da atividade complementar 2.


A atividade complementar 3, foi desenvolvida de forma espetacular, todos os grupos

tiveram 100% de aproveitamento. Houve discussão das atividades por parte dos grupos para

que chegassem a um consenso final, e pudessem elaborar suas justificativas. Desta forma a

professora pesquisadora selecionou uma das soluções para descrever nessa dissertação, sendo

que todas as respostas seguem essa mesma linha de raciocínio.

ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3: Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação. Justificando

cada caso:

a) O cubo é um poliedro de Platão.

b) As faces de um icosaedro regular são triângulos equiláteros.

c) A relação de Euler é válida somente para os cinco poliedros de Platão.

84

Figura 36: Resolução da atividade complementar 3 reescrita pela professora e alunos.


Figura 37: Atividade complementar 4

85


A atividade complementar 4, explora a noção de área de um prisma, conforme

trabalhado na última atividade da sequência didática. Porém agora estaremos trabalhando com

um prisma de base hexagonal, esta poderia ser a dificuldade encontrada pelos alunos, calcular

a área da base.

A atividade assim como as demais foi desenvolvida em grupo e posteriormente

comentada e discutida com todos os participantes da pesquisa.


A atividade 4 foi recebida pelos alunos com empolgação, sendo desenvolvida de forma

prazerosa pelos mesmos. Sendo que esta atividade teve 100% de aproveitamento. Segue

abaixo a resolução da atividade pelo grupo A3, que demonstrou maior dificuldade na

resolução da mesma.

Grupo A3: Professora, podemos fazer esta atividade seguindo o modelo da atividade que

fizemos antes?

Professora: Isso! Desenvolvam a atividade seguindo o modelo da atividade que fizemos com

as caixinhas de papelão, mas notem que existe uma diferença em relação a base de uma

delas.

Grupo A3: Professora, temos que calcular a área de um hexágono que é a base de uma das

caixas e depois as laterais e por fim somarmos tudo? Qual é a fórmula da área de um

hexágono.

Professora: É assim mesmo que vocês devem fazer! Quanto a área do hexágono, lembrem

que o hexágono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros.

86

Figura 38: Resolução da atividade complementar 4, desenvolvida pelo grupo A3.

Os demais desenvolveram a atividade da mesma forma, seguindo o mesmo

pensamento, porém não realizaram questionamento nenhum.

a) Caixa de base hexágonal: AL= área lateral. AH = área da base. AL= 6 * 8 * 8 = 384 cm².

AH = 6* = 166cm².

AL + AH = 384 + 166 = 550 cm².

b) Valor a ser pago para forar cada caixa:

2 * 550 + 3* 256= 1868 cm² ou 0,1868 m².

Gasto com papel 0,1868 * 3,20= 0,6 aproximadamente R$ 0,60.

Caixa de base quadrada: AL= área lateral. AB= área da base. AL + AB= 256 cm².

87

7.10 REFLEXÃO DA PESQUISADORA SOBRE A SEQUÊNCIA DIDÁTICA

DESENVOLVIDA

Ao finalizar a aplicação da sequência didática desenvolvida seguindo os preceitos da

Engenharia Didática, a professora aplicou algumas atividade complementares, coletou alguns

depoimentos dos alunos afim de verificar a validação da sequência aplicada.

A análise dos resultados da aplicação da sequência didática bem como das atividades

complementares mostrou um maior interesse no que diz respeito ao processo de ensino

aprendizagem o que também pode ser notado nos depoimentos dos alunos ao finalizarmos o

trabalho.

Professora: Gostaria que uma pessoa de cada grupo colocasse sua opinião sobre a

forma como o conteúdo está sendo desenvolvido até o momento.

Segue abaixo os depoimentos de um aluno de cada grupo.

Aluna 3(Grupo A1): Professora, para todos nós do nosso grupo essa foi a primeira vez que

fizemos alguma coisa diferente na aula de matemática. As aulas sempre foram monótonas,

como a senhora brinca é sempre definição, exemplo e exercício. Podemos dizer que essa foi

a primeira fez que aprendemos e não decoramos. Na nossa opinião está sendo ótimo, tomara

que continue assim.

Aluno 18 ( Grupo A2): Nosso grupo gostou muito, para nós também é a primeira vez que

tivemos uma aula....( de matemática) assim, com vídeos, construções e pesquisas. Nos

sentimos envolvidos com as questões propostas procuramos dar o melhor do grupo.

88

Aluno 8 (grupo A3): Nós também gostamos de trabalhar dessa forma entendemos bem o

conteúdo, quando tivemos que resolver as atividades tivemos pouquíssimas dificuldades, era

só a senhora falar “lembram da construção, os palitinhos, as bolinhas” e pronto vinha a luz

que faltava.

Aluno 20 (grupo A4): Nosso grupo também gostou de fazer as atividades propostas, podemos

trabalhar em grupo, tirar nossas dúvidas com a professora. Foi muito bom.

Aluno 15 (grupo A5): Nós gostamos da forma como as aulas foram conduzidas, geralmente

temos muitas dificuldades para entender matemática, mas dessa forma ficou mais fácil,

vértice bolinhas, arestas palitos, e as faces o polígono que os palitinhos formam. Foi muito

legal.

A partir dos relatos dos alunos, e dos resultados obtidos durante a aplicação da

sequência didática pode-se dizer que os objetivos da pesquisa foram alcançados. Trabalhando

de uma forma diferenciada conseguimos manter e atenção dos alunos durante todo o tempo,

pois estes estavam interessados e envolvidos no processo de ensino aprendizagem.

89

8. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho desenvolvido nesta pesquisa buscou apresentar uma sequência de

atividades que contemplou o ensino de poliedros buscando relacionar o assunto matemático

com o dia a dia dos alunos, mostrando a importância e aplicabilidade da geometria ao

cotidiano dos mesmos. Usou-se os recursos de materiais manipuláveis, juntamente com

vídeos que mostraram-se ser excelentes ferramentas que motivaram os alunos para a

realização do trabalho, além de facilitar a compreensão dos conceitos envolvidos.

Para a realização do trabalho, primeiramente, analisou-se os livros didáticos utilizados

na Escola Estadual de Educação Básica Professora Lelia Ribeiro, nos últimos anos, com o

objetivo de verificar como estes traziam o conteúdo, qual era a linguagem utilizada pelos

autores e se estes davam enfoque à visualização. Em seguida desenvolvemos um teste

diagnóstico para verificar quais as dificuldades e conhecimentos que os alunos possuíam em

relação á geometria plana e espacial.

A partir dos dados recolhidos com a análise dos livros didáticos e com o teste

diagnóstico elaborou-se uma sequência de atividades embasada nos princípios da Engenharia

Didática, para o estudo dos poliedros. A sequência proposta contou com oito atividades sobre

os poliedros, que envolveram pesquisa bibliográfica, construção de materiais manipuláveis e

exploração dos mesmos. Os conceitos explorados foram os elementos que compõem um

poliedro, número de faces, arestas e vértices, relação de Euler e área total.

A sequência didática foi desenvolvida em grupos de modo que os alunos tiveram a

oportunidade de discutir, analisar, estabelecer conjecturas e construir os sólidos geométricos,

além de permitir a troca de idéias, respeito às opiniões dos outros , o desenvolvimento da

capacidade de argumentação. Ao manipular os objetos geométricos, os alunos tiveram a

oportunidade de colocar-se frente às oportunidades de novas aprendizagens, em que eles

mesmos puderam investigar e encontrar soluções. O trabalho em grupo não é muito utilizado

na escola, pois na opinião da maioria dos colegas professores “um faz e os outros só copiam”.

Da construção e aplicação de uma sequência didática, dos resultados das observações em

classe, dos resultados do teste diagnóstico e da análise dos livros didáticos, é possível concluir

que os objetivos da pesquisa foram alcançados. Em relação aos resultados da pesquisa

esperava-se poder utilizar o laboratório de informática da escola, mas as restrições impostas

com a falta de rede de internet foi uma dificuldade que tivemos que superar.

90

Nas observações realizadas em classe, identificaram-se várias dificuldades no processo

de ensino e aprendizagem dos conceitos relacionados com a geometria espacial e , em

particular, os poliedros. Algumas dessas dificuldades de aprendizagem foram geradas por

vários fatores: o uso da linguagem matemática, ou seja, observou-se que os alunos são

imprecisos ao expressarem-se matematicamente; a falha em conteúdos básicos, como os

relacionados com a geometria plana, o que é apoiado na realidade encontrada nos livros

didáticos, em especial, nos pesquisados.

Ao longo da aplicação das atividades, observou-se que os alunos, inicialmente,

sentiram dificuldades em trabalhar em grupo, pois esta não era, em geral, a rotina que estavam

acostumados a seguir. Porém, com o passar do tempo percebeu-se que estavam totalmente

integrados entre si e com a professora-pesquisadora. Em geral, durante o desenvolvimento do

trabalho, os alunos buscaram respostas e discutiram entre si, até chegarem a um consenso.

Solicitavam a presença do professor apenas quando necessário. Dessa forma, o trabalho em

grupo mostrou-se uma estratégia que permitiu que os alunos participassem da construção do

conhecimento.

A análise dos resultados da aplicação da sequência didática mostrou-se positiva no

entendimento dos conceitos relacionados com os poliedros.. Os alunos, em sua maioria,

mostraram-se motivados e participantes durante todo o trabalho. A metodologia proposta

propiciou um ambiente rico de discussões entre os grupos e entre todos os estudantes da

classe, no momento da formalização do conteúdo em questão. O diferencial é que os

conceitos não foram expostos, mas foram construídos pelos alunos, passo a passo, por meio

da resolução das atividades. Neste sentido, as ideias de Costa (2000,p.158) também foram

comprovadas neste trabalho quando afirma que

A geometria no ensino da matemática deve ser a geometria útil para

todos: o conhecimento matemático do espaço. Uma geometria baseada na

intuição e na experimentação aconselhada pelo sentido comum; rica em

temas de representação e interpretação; capaz de ordenar, classificar e

mover figuras planas e espaciais.(p.158)

A possibilidade de manipulação dos poliedros e da sua construção, passo a passo,

favoreceu a visualização, que é um aspecto importante no estudo da geometria, tanto plana

quanto espacial. Isto está de acordo com Cunningham, (1991, p. 67), quando afirma que

“visualização em matemática atua sobre possíveis representações concretas ao uso da

tecnologia gráfica do computador”.

91

As atividades pensadas e propostas a partir dos resultados do teste diagnóstico e da

análise dos livros didáticos foram simples e de fácil compreensão, porém exigiram dos alunos

muita dedicação e como uma atividade estava interligada com a outra, exigiu que os mesmos

percebessem tais relações. Estas tinham como objetivo introduzir o conteúdo de poliedros,

suas características, relações e cálculo de área total, utilizando os conhecimentos adquiridos

anteriormente pelos alunos.

A aplicação da sequência assim como os resultados obtidos foram consideradas

excelentes pois em todo o tempo de duração da aplicação da sequência os alunos mostraram-

se interessados e envolvidos nas aulas. Isto pode ser comprovado por meio das falas dos

alunos que, em cada nova aula questionavam a professora “ e aí professora o que vamos fazer

hoje”, “ as suas aulas estão muito boas”, “até estou gostando um pouco de matemática”.

Essas pequenas colocações e a forma como os alunos demonstravam interesse pelas aulas de

matemática entusiasmou a professora para seguir adiante com o trabalho.

Essa sequência didática pode ser um importante recurso para os professores que

trabalham em disciplinas de Matemática no nível médio. A sequência contempla uma série de

atividades com problemas que permitem aos alunos terem experiências em diferentes

situações e construírem os conceitos relacionados com os poliedros, sem a necessidade de

uma exposição formal por parte do professor. Ela representa um importante recurso que o

professor poderá, utilizar no processo de ensino e aprendizagem do conteúdo de poliedros.

92

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95

APÊNDICES

96

Unidade de ensino 1- Teste diagnostico

O teste diagnóstico tem como objetivo verificar os conhecimentos que os alunos

possuem em relação a um determinado conteúdo, para que assim o professor- pesquisador

possa ter noção de qual é o nível de conhecimentos dos mesmos.

O teste diagnóstico, é formado de questões de geometria plana como, por exemplo,

nomenclatura de figuras, cálculo de área e perímetro. Conforme dito anteriormente às

questões que iremos propor tem como objetivo averiguar qual é o nível de conhecimento que

os alunos do terceiro ano do Ensino médio possuem em relação a geometria plana que

posteriormente será utilizada na geometria espacial.

TESTE DIAGNÓSTICO

E.E.E. B. PROFESSORA LELIA RIBEIRO- SÃO MARTINHO DA SERRA – RS

ALUNO:________________________________ TURMA: 311 DATA: __/__/2011

PROFESSORA: ANA PAULA

97

2) Complete as frases:

a) O________________, possui quatro vértices, 4 lados iguais e seu ângulos

internos são iguais.

b) __________________, une um vértice com o outro e não é uma diagonal.

c) Chamamos de _____________, o ponto comum a dois lados.

d) O ___________________, é um paralelogramo que possui os lados paralelos ou

perpendiculares entre si.

e) Possui 7 vértices todos os lados e ângulos internos iguais, estamos falando do

_____________, que é um______________________.

f) A distância do centro a um ponto qualquer da circunferência é chamado de

__________.

3.Com base na figura abaixo responda as questões propostas:

a) Quais formas geométricas estão presentes na figura?

b) Encontre a área da figura BCDG?

c) Qual é a área da figura ABCDEF?

d) Qual a área total da figura?

98

4. De uma chapa de aço foram recortadas figuras circulares conforme nos mostra a figura abaixo. As medidas estão na figura. Calcule a área que sobra da figura original. 5. Observe as figuras a seguir e responda:

a) Quantos quadrinhos existem no interior de cada figura? b) Qual é o perímetro de cada figura? c) A que conclusão você pode chegar após responder aos itens anteriores?

4m

12m

CONTRIBUIÇÕES DA ENGENHARIA DIDÁTICA...

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