Conteúdo Classesgenotípicas...

Análise dos Marcadores Individualmente Mapeamento por Intervalo Referências

LGN5830 - Biometria de Marcadores GenéticosTópico 8: Mapeamento de QTLs II

Análise dos Marcadores Individualmente (cont.)Mapeamento por Intervalo

Antonio Augusto Franco Garciahttp://about.me/augusto.garcia

[email protected]

Departamento de GenéticaESALQ/USP

2017


Conteúdo

1 Análise dos Marcadores IndividualmenteRevisãoVerossimilhançaSignificado Genético da Análise

2 Mapeamento por IntervaloIntroduçãoModelo (IM)Estimativas de Máxima Verossimilhança

3 Referências


Revisão

Dados Fenotípicos e GenotípicosAzul: Aa; amarelo: AA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15

914

2026

3238

4450

5662

6874

8086

9298

Marcadores


Revisão

Classes genotípicas

Mouse data, M1

30

40

50

60

70

80

Genotype

BW

M1

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AA AB

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0 1

3040

5060

7080

M1

Genótipo

Fen

ótip

o

http://about.me/augusto.garcia

[email protected]


Revisão

Regressão Linear Simples

Modelo Linear, Retrocruzamento

yj = µ+ βxj + εj

j = 1, 2, . . . , n

yj = valor fenotípico do indivíduo j

µ = intercepto

xj =

{1 se o indivíduo j tem genótipoMi/Mi

0 se o indivíduo j tem genótipoMi/mi

β = coeficiente de regressão linear (efeitos genéticos)

εj ∼ N(0, σ2)


Revisão

Regressão Linear Simples

Teste de Hipóteses: H0 : β = 0 vsH1 : β = 0

Note que β = tan(α) = µ1−µ0

1 = µ1 − µ0

Logo, testarH0 : β = 0 equivale ao teste deH0 : µ1 = µ0 vsH1 : µ1 = µ0


Revisão

Quadrados Mínimos

Equações Normais

X⊤Xθ = X⊤y

θ0 = (X⊤X)−1(X⊤y)

y = Xθ + e (Modelo de Gauss-Markov)

Aproximação de quadrados mínimos

y = Xθ0

e = y− y


Revisão

Análise de Variância

Somas de Quadrados

SQtot = y⊤y

SQres = e⊤e

SQpar = θo⊤X⊤y

Graus de liberdade: n, n− r[X] e r[X], respectivamente


Verossimilhança

Verossimilhança e LOD Score

H0

SobH0 (ausência de QTL): yj ∼ N(µ, σ2)

Peso

Den

sida

de

30 40 50 60 70 80

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

ResíduosD

ensi

dade

−20 −10 0 10 20

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04


Verossimilhança


H0

SobH0 (ausência de QTL): yj ∼ N(µ, σ2)

Verossimilhançaϕ(): densidade da distribuição normal:

L0(µ, σ2) =

∏j

ϕ(yj ;µ, σ2)

MLEs:µ = yσ2 = RSS0/n

sendo RSS0 =∑

i(yj − y)2

log10 L0 = −n2 log10 RSS0 (substituindo os MLEs em L0)


Verossimilhança


H1

yj |gj ∼ N(µgj , σ2) (mistura de normais!)

Mouse - M1

Genótipo Mm

Peso

Fre

qüên

cia

30 40 50 60 70 80

05

1015

Genótipo MM

Peso

Fre

qüên

cia

30 40 50 60 70 80

04

8


Verossimilhança


H1

yj |gj ∼ N(µgj , σ2)

L1(µMM , µMm, σ2) =∏

j ϕ(yj ;µgj , σ2)

µgj : médias fenotípicas de cada classe

σ2 = RSS1/n, sendo RSS1 =∑

j(yj − µgj )2

Usando os MLEs em L1, log10 L1 = −n2 log10 RSS1

LOD ScoreDiferença entre os logaritmos:

LOD =n

2log10

(RSS0RSS1

)


Verossimilhança

Resultados

Mouse data

0 10 20 30 40 50

0

1

2

3

4

5

6

Análise de cada marcador − LOD Score

Map position (cM)

LOD

Sco

re

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

0 10 20 30 40 50

10

15

20

25

30

Análise de cada marcador − teste F

Mapa

Est

atís

tica

F


Verossimilhança

Relações entre F e LOD

Sendo df o número de graus de liberdade (1 para RC, 2 para F2):

LOD =n

2log10

[F

(df

n− df − 1

)+ 1

]Proporção da variância fenotípica explicada pelo QTL (herdabilidade,h2):

R2 =RSS0 − RSS1

RSS0= 1− 10−

2nLOD

Note que ocorre redução na SQ do resíduo!


Verossimilhança

Resultados (Mouse)

Marcador Efeito p-valor R2M1 6.87 0.00029 0.1224M2 8.71 0.00000 0.1980M3 9.00 9.14494e− 07 0.2132M4 9.35 3.31917e− 07 0.2283M5 8.80 1.69523e− 06 0.2038M6 9.38 2.43176e− 07 0.2329M7 8.78 1.57553e− 06 0.2050M8 9.15 3.87365e− 07 0.2261M9 8.87 9.66365e− 07 0.2124M10 8.98 6.64918e− 07 0.2180M11 8.90 8.53814e− 07 0.2142M12 7.61 3.48110e− 05 0.1567M13 7.54 4.49148e− 05 0.1527M14 5.65 0.00262 0.0861


Verossimilhança

População F2

Maize Datagy

[1,] 6.25 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0[2,] 3.00 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 1[3,] 3.00 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2[4,] 4.00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2[5,] 3.00 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

...[167,] 4.00 2 2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1[168,] 3.50 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2[169,] 5.50 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1[170,] 3.00 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1[171,] 5.75 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0


Verossimilhança

Regressão Linear Múltipla

Modelo para F2

yj = µ+ β1x1j + β2x2j + εj


µ = intercepto

x1j =

1 se o indivíduo j tem genótipoMiMi

0 se o indivíduo j tem genótipoMimi

−1 se o indivíduo j tem genótipo mimi

x2j =

−1/2 se o indivíduo j tem genótipoMiMi

+1 se o indivíduo j tem genótipoMimi

−1/2 se o indivíduo j tem genótipo mimi

β1, β2 = coef. reg. linear (ef. aditivo e de dominância, respect.)

εj ∼ N(0, σ2)


Significado Genético da Análise

Retrocruzamento

Probab. condicionais

P (QQ|MM) = 1− rMQ

P (QQ|Mm) = rMQ

P (Qq|MM) = rMQ

P (Qq|Mm) = 1− rMQ

QQ Qq Efeito Médio

MM Prob. cond. 1 − rMQ rMQ (1 − rMQ)(µ + a) + rMQ(µ + d)Efeito µ + a µ + d

Mm Prob. cond. rMQ 1 − rMQ rMQ(µ + a) + (1 − rMQ)(µ + d)Efeito µ + a µ + d



Retrocruzamento

Esperança

E(µMM − µMm) = [(1− rMQ)(µ+ a) + rMQ(µ+ d)]−[rMQ(µ+ a) + (1− rMQ)(µ+ d)]

= (1− 2rMQ)(a− d)



Retrocruzamento

E(µMM − µMm) = (1− 2rMQ)(a− d)

Considerações

Teste: parâmetro composto enviesado

Parâmetro: função do efeito do QTL e da fração de recombinação

SeH0 não for rejeitado, não dá para saber a razão

Se rMQ = 1/2: QTL não ligado

Note que o viés diminui o poder do teste

Se a = d, não há detecção

Pode haver mais de um QTL ligado

O número de QTLs mapeados é estimativa conservativa do númeroreal de QTLs que influenciam o caráter



Propriedades (Single Marker)Vantagens

Fácil implementação e entendimento

Não requer softwares específicos

Não precisa que o mapa tenha sido estimado

Pode ser aplicada para marcadores não ligados

Base para métodos como GWAS e GWS

Limitações

Não é possível saber se há mais de um QTL ligado ao marcador

Não há estimativa da posição do QTL

Considera um único QTL, logo, não permite estudos de epistasia

O efeito do QTL é subestimado

Em função do viés, o poder dos testes é reduzido


Introdução

Referência

Lander, E. S.; Botstein, D. 1989.Mapping Mendelian factors underlying quantitative traits using RFLPlinkage maps.Genetics 121: 185-199.


Introdução

Introdução

Método que permite percorrer o genoma sistematicamente embusca de QTLs

Estatisticamente: extensão da análise de cada marcador, permitindoanálise em intervalos

Usa informação dos marcadores flanqueadores dos intervalos(modernamente: informação multiponto)

Abordagem inovadora que permitiu posteriormente odesenvolvimento de vários métodos de análise (CIM, MIM, etc)

Idéia central: considerar o genótipo dos QTLs como dados perdidos,ou variáveis latentes (modelo de misturas)


Introdução

Idéias Iniciais

Mouse Data

1 3 5 7 9 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

15

913

1823

2833

3843

4853

5863

6873

7883

8893

9810

3

Distância (cM)


Introdução

Idéias Iniciais

Mouse Data

15

914

2026

3238

4450

5662

6874

8086

9298

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●

● ●

●

01

23

45

6

LOD Score

01

23

45

6


Introdução

Mistura de Distribuições

Mouse - M1

30 40 50 60 70 80

0.00

0.02

0.04

Genótipo Mm

Peso

Den

sida

de

30 40 50 60 70 80

0.00

0.04

Genótipo MM

Peso

Den

sida

de


Introdução


Mouse - M1

30 40 50 60 70 80

0.00

0.02

0.04

Mistura: MM e Mm

Den

sida

de

Peso

Fre

qüên

cia

30 40 50 60 70 80

015


Modelo (IM)

Modelo de Misturas

Modelo para Retrocruzamentos

yj = µ+ β∗x∗j + εj

j = 1, 2, . . . , n


µ = intercepto

x∗j =

{1 se o genótipo do QTL do indivíduo j é QQ0 se o genótipo do QTL do indivíduo j é Qq

β∗ = efeito do possível QTL

εj ∼ N(0, σ2)


Modelo (IM)

Verossimilhança

Função densidade de probabilidades da dist. normal (reduzida):

ϕ(z) =1√2Π

e−z2

2

Assumindo distribuição normal dentro de cada classe (para cadagenótipo do QTL):

L(µ, β∗, σ2, θ) =n∏

j=1

[p1jϕ

(yj − µ− β∗

σ

)+ p0jϕ

(yj − µ

σ

)]

Note a diferença com o modelo para “single marker analysis”:

L1(µMM , µMm, σ2) =∏j

ϕ(yj ;µgj , σ2)


Modelo (IM)


Note que o modelo considera o genótipo do QTL, não dosmarcadores

Estatisticamente, este é ummodelo de misturas, já que x∗j não éobservável

Genótipo dos QTLs: variável latente

As marcas que flanqueiam o intervalo podem ser usadas para calcularas probabilidades dos genótipos dos QTLs numa dada posição θ

pkj = P (x∗j = k|Mi,Mi+1, θ), k = 0, 1

O viés presente nas análises de cada marcador não está presente, jáque há separação entre efeito e posição dos QTLs


Modelo (IM)

Marcadores Flanqueadores

RC

xP1

RC1

1-r 2

r2

r2

1-r 2

r2

r2

1-r 2

1-r 2

P2m q mm q m

xP1

1

1

2

2

M Q MM Q M

2

2

1

1

F1 1

1

2

2

M Q Mm q m

1 2m M1 2M M 1M m 2m m12

1 2M M1 2M M

1 2M M1 2M m

1 2M M1 2m M

1 2M M1 2m m

1 2M Q M 1 2m q m

Notação:

iM i+1M Q

1r 2r


Modelo (IM)

Probabilidades Condicionais

RC, assumindo r1r2 → 0

θ = r1r

pk

Marcador QQ Qq

MiMiMi+1Mi+1(1− r1)(1− r2)

1− r ≈ 1 r1r21− r ≈ 0

MiMiMi+1mi+1(1− r1)r2

r ≈ 1− θr1(1− r2)

r ≈ θ

MimiMi+1Mi+1r1(1− r2)

r ≈ θ(1− r1)r2

r ≈ 1− θ

MimiMi+1mi+1r1r21− r ≈ 0

(1− r1)(1− r2)1− r ≈ 1


Modelo (IM)

Exemplo - RC

rMiMi+1 = 0.04

θ =r1r

= 0.000.04

= 0.00

Marcador P (QQ|Mi,Mi+1, θ = 0.00) P (Qq|Mi,Mi+1, θ = 0.00)

MiMiMi+1Mi+1 1.00 0.00MiMiMi+1mi+1 1 − θ = 1.00 θ = 0.00MimiMi+1Mi+1 θ = 0.00 1 − θ = 1.00MimiMi+1mi+1 0.00 1.00

θ =r1r

= 0.010.04

= 0.25




Modelo (IM)

Exemplo - RC

rMiMi+1 = 0.04

θ =r1r

= 0.020.04

= 0.50


MiMiMi+1Mi+1 1 0MiMiMi+1mi+1 1 − θ = 0.50 θ = 0.50MimiMi+1Mi+1 θ = 0.50 1 − θ = 0.50MimiMi+1mi+1 0 1

θ =r1r

= 0.030.04

= 0.75




Estimativas de Máxima Verossimilhança

Algoritmo EM

L(µ, β∗, σ

2, θ) =

n∏j=1

[p1jϕ

(yj − µ − β∗

σ

)+ p0jϕ

(yj − µ

σ

)]

Passo E:

π1j =

p1jϕ

(yj−µ[s]−β∗[s]

σ[s]

)

p1jϕ

(yj−µ[s]−β∗[s]

σ[s]

)+ p0jϕ

(yj−µ[s]

σ[s]

)π0j = 1 − π1j

Passo M:

µ[s+1]

=

∑nj=1(yj − π1j β∗[s]

)

n

β∗[s+1]=

∑nj=1 π1j(yj − µ[s+1])∑n

j=1 π1j

σ2[s+1]=

∑nj=1

[π1j(yj − µ[s+1] − β∗[s+1]

)2 + (1 − π1j)(yj − µ[s+1])2]

n



Teste da Razão de Verossimilhança

Estimadores: semelhantes aos quad. mín. (πkj : pesos)Os parâmetros são estimados em cada posição (θ)

H0 : β∗ = 0

L0(µ, σ2) =∏

j ϕ(yj ;µ, σ2)

µ = y; σ2 = RSS0/n

log10 L0 = −n2log10 RSS0

H1 : β∗ = 0

L(µ, β∗, σ2) =∏nj=1

[p1jϕ

(yj−µ−β∗

σ

)+ p0jϕ

(yj−µ

σ

)]L1(µ, β∗, σ2); log10 L1

LOD = log10 L1 − log10 L0

LRT = −2 logL0

L1

Mapeamento por Intervalo

É possível testar se há evidência estatística para a presença de umsuposto QTL (em cada posição do genoma)



Interval Mapping

Mouse Data

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ●

● ●

●

LOD

01

23

45

6

0 10 20 30 40 50

0

1

2

3

4

5

6

IM (LODs)


Principais Referências

K.W. Broman, S. SenA Guide to QTL Mapping with R/qtl, 1 ed.New York, Springer, 2009.

M. Lynch, B. WalshGenetics and Analysis of Quantitative Traits, 1 ed.Sinauer Associates, Inc., 1998.

Lander, E. S.; Botstein, D. 1989.Mapping Mendelian factors underlying quantitative traits using RFLPlinkage maps.Genetics 121: 185-199.

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