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Conteúdo 1

1 Conjuntos parcialmente ordenados, totalmente ordenados ebem ordenados 21.1 Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Diagramas de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Elementos especiais num c.p.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Isomor�smo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Produto cardinal de conjuntos parcialmente ordenados . . . . 7

1.7 Subconjuntos especiais de um c.p.o. . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Lema de Zorn: sua equivalência a outras condições . . . . . . 10

1.9 Conjuntos totalmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.10 Conjuntos bem ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Conceitos gerais em reticulados 182.1 De�nição e propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Subconjuntos especiais de inf-semireticulados, sup-semireticulado,

reticulado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Mor�smos de reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Semireticulados e reticulados completos . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Reticulados distributivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

Capítulo 1

Conjuntos parcialmenteordenados, totalmenteordenados e bem ordenados

1.1 Conjuntos parcialmente ordenados

De�nição 1.1.1 Seja A um conjunto. Uma relação binária � num conjuntoA é qualquer subconjunto de A� A:

Nota 1.1.2 Se � é uma relação binária num conjunto A e (x; y) 2 �,

escreve-se habitualmente x�y:

De�nição 1.1.3 Dado um conjunto A 6= ;, uma relação � em A diz-se de

ordem parcial (r.o.p.) se satisfaz:

i) a�a;8a 2 A (re�exiva).ii) a�b ^ b�a) a = b (anti-simétrica).

iii) a�b ^ b�c) a�c (transitiva).

De�nição 1.1.4 Se � é uma relação de ordem parcial de�nida num conjuntonão vazio A, diz-se que (A; �) é um conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.).

As relações de ordem parcial designam-se habitualmente, quando não há

ambiguidade, pelo símbolo �.

2

3

Notação 1.1.5 Supondo que (A;�) é um conjunto parcialmente ordenado:

� x � y - x menor ou igual que y ou x precede y:

� y � x, x � y - y maior ou igual que x ou y segue x:

� x � y - x não está em relação com y.

� Se a � b e a 6= b; escreve-se a < b e diz-se que a precede propriamente bou que a é propriamente menor que b.

� Se a < b e @ _z : a < z < b; diz-se que b cobre a e nota-se a� b:

� Se a � b e b � a; diz-se que a e b são não comparáveis - a k b:

Exemplos 1.1.6 (Conjuntos parcialmente ordenados)

1. (P (C) ;�) em que C é um conjunto qualquer e P (C) o conjunto dossubconjuntos (partes) de C.

2. (S (G) ;�) em que G é um grupo e S (G) o conjunto dos subgrupos deG:

3. (N;�) ; (Q;�) ; (R;�) ; etc., sendo � a relação de ordem usual nesses

conjuntos.

4. (N; �) ; em que 8x; y 2 N; x�y , x divide y (xjy):5. (C; �) ; em que 8z1; z2 2 C; z1�z2 , Re (z1) � Re (z2) e Im (z1) �

Im (z2) :

6. (C (R;R) ;�) ; em que C (R;R) designa o conjunto das funções reais devariável real contínuas e 8f; g 2 C (R;R) ; f � g , 8x 2 R; f (x) � g (x) :

Exercícios 1.1.7

1. Mostre que cada um dos exemplos de 1.1.6 é um conjunto parcialmente

ordenado.

2. Veri�que se (C; �) é um conjunto parcialmente ordenado; sendo a re-

lação � de�nida por 8z1; z2 2 C; z1�z2 , jz1j � jz2j :

3. Sendo (A;�) um conjunto parcialmente ordenado, considere a relação

< em A, isto é a < b se e só se a � b e a 6= b.

4

(a) Veri�que que

i. a � a (< é irre�exiva)ii. a < b) b � aiii. a < b e b < c) a < c

(b) Supondo que em A está de�nida uma relação � que satisfaz i, ii e

iii da alínea (a), mostre que a relação � de�nida por

a�b, a�b ou a = b; 8a; b 2 A; é uma relação de ordem parcial.

4. Sendo (A;�) um conjunto parcialmente ordenado e B é um subcon-

junto de A, mostre que B é também um conjunto parcialmente orde-

nado para a relação induzida pela relação � :

1.2 Diagramas de Hasse

Seja (A;�) um conjunto parcialmente ordenado �nito. Este conjunto pode

ser representado por um diagrama, chamado Diagrama de Hasse, que se faz

do seguinte modo: Cada elemento de A é representado por um ponto; se um

elemento y cobre um elemento x, coloca-se o ponto correspondente a y num

nível mais elevado que o ponto correspondente a x e unem-se os dois pontos

por um segmento de recta.

Exemplo 1.2.1 Considere o conjunto A = f2; 3; 5; 6; 12; 18; 24; 36g com a

relação x � y , x divide y: O diagrama de Hasse correspondente é:

• 24

•2

•3

• 12

• 6

• 18

• 36

• 5

5

Exercício 1.2.2 Construa todos os possíveis diagramas de Hasse para umconjunto parcialmente ordenado com três elementos.

1.3 Dualidade

De�nição 1.3.1 Se (A;�) é um conjunto parcialmente ordenado, a relação�0 de�nida por x �0 y se e só se y � x diz-se relação dual de � :

Observações 1.3.2

1. A relação dual é também uma relação de ordem parcial (veri�car) e,

portanto, (A;�0) é também um conjunto parcialmente ordenado que sediz dual de (A;�) :

2. Um conceito diz-se dual de outro conceito se pode ser obtido substi-

tuindo na de�nição do primeiro � por �.

3. Conceito dual de um determinado conceito vem a ser o mesmo conceito

de�nido para o conjunto parcialmente ordenado dual, mas traduzido em

termos do conjunto parcialmente ordenado original. As de�nições das

secções seguintes permitem exempli�car esta noção.

4. A classe de todos os conjuntos parcialmente ordenados coincide com a

classe dos seus duais. Isto dá origem ao:

5. Princípio da dualidade de Schroeder: Na teoria de conjuntos parcial-

mente ordenados, se uma determinada proposição é verdadeira também

é verdadeira a proposição que se obtém quando se substituem os con-

ceitos pelos seus duais e a relação � por �.

1.4 Elementos especiais num c.p.o.

De�nição 1.4.1 Seja (A;�) um conjunto parcialmente ordenado e X � A:i) a 2 A é majorante de X (minorante de X) se 8x 2 X; x � a (a � x) :ii) m 2 A é supremo ou limite superior de X (ín�mo ou limite inferior

de X) se

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� m é majorante de X (minorante de X)

� m � c; 8c 2 A tal que c é majorante de X

(d � m;8d 2 A tal que d é majorante de X )

iii) m é máximo de X (mínimo de X) se m 2 X e x � m; 8x 2 X

(m 2 X e m � x; 8x 2 X):iv) a 2 A é um elemento maximal (minimal) se não existe x 2 A tal que

a < x (x < a) :

Observações 1.4.2

1. Quando A tem elemento máximo, este designa�se frequentemente por

último elemento ou 1 e se existir elemento mínimo, designa-se por

primeiro elemento ou 0.

2. O conceito de majorante pode-se obter do conceito de minorante do

c.p.o. dual, traduzido em termos da relação de ordem parcial dada. A

mesma observação pode ser feita para os outros conceitos dados.

1.5 Isomor�smo

De�nição 1.5.1 Sejam (A;�) e (A0;�0) dois conjuntos parcialmente orde-nados. Chama�se isomor�smo de conjuntos parcialmente ordenados a uma

aplicação ' : A! A0 que satisfaça:

(i) ' é sobrejectiva.

(ii) a � b, ' (a) �0 ' (b) ;8a; b 2 A:Se existe um isomor�smo entre (A;�) e (A0;�0) ; diz -se que A e A0 são

isomorfos, o que se denota por A �= A0:

Exercício 1.5.2

Veri�car que se ' é um isomor�smo de c.p.o., então ' é uma aplicação

bijectiva.

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De�nição 1.5.3 Sejam (A;�) e (A0;�0) dois conjuntos parcialmente or-denados. Uma aplicação ' : A ! A0 é uma aplicação isótona se satisfaz

a � b) ' (a) �0 ' (b) ;8a; b 2 A:

Observações 1.5.4

1. Um isomor�smo é sempre aplicação isótona.

2. Uma aplicação isótona bijectiva nem sempre é um isomor�smo. Contra-

exemplo:

•

•

• ϕ(a)

• b

•

• a

•

• ϕ(b)

ϕ

' (a) �0 ' (b) e a � b (a k b)

3. Dois conjuntos parcialmente ordenados �nitos têm o mesmo diagrama

de Hasse se e só se são isomorfos.

1.6 Produto cardinal de conjuntos parcialmente

ordenados

De�nição 1.6.1 Seja (A�;��)�2� uma família de conjuntos parcialmenteordenados. O produto cardinal é formado pelos elementos (a�)�2�, em que

a� 2 A�;8� 2 �:

Observações 1.6.2

1. No caso in�nito a existência do produto cardinal é garantida pelo ax-

ioma da escolha.

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2. Se � é �nito, o produto cardinal é o produto cartesiano dos conjuntos

da família.

Proposição 1.6.3 O produto cardinal de uma família (A�;��)�2� é umconjunto parcialmente ordenado com a relação (a�)�2� � (b�)�2� , a� ��b�;8� 2 �:

1.7 Subconjuntos especiais de um c.p.o.

De�nição 1.7.1 Seja (A;�) um c.p.o. e seja X � A: X é uma cadeia ou

subconjunto totalmente ordenado se (�) 8x; y 2 X, x � y ou y � x:

Exercícios 1.7.2

1. Mostre que a condição (�) é equivalente a cada uma das seguintescondições:

(a) (�0)8x; y 2 X; se x 6= y então x < y�_ y < x:

(b) (�00)8x; y 2 X; x = y�_ x < y

�_ y < x:

2. Mostre que se (A;�) é um conjunto parcialmente ordenado que satisfaz(�) então < (� e 6=) satisfaz:

(a) irre�exiva.

(b) x 6= y ) x < y�_ y < x:

(c) transitiva.

3. Considere o teorema �Se num conjunto parcialmente ordenado (A;�)todo o subconjunto minorado tem ín�mo então todo o subconjunto

majorado tem supremo�.

(a) Escreva o teorema dual.

(b) Demonstre o teorema.

De�nição 1.7.3 Seja (A;�) um c.p.o. e seja K � A: K é um subconjunto

convexo ou denso se dados a; b 2 K e c 2 A tal que a < c < b, então c 2 K:

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Exemplos 1.7.4 ((Suconjuntos convexos))

1. Triviais: ; e A:

2. Dados dois elementos a; b 2 A; a � b, os intervalos

[a; b] = fx 2 A : a � x � bg

]a; b[ = fx 2 A : a < x < bg

(b] = fx 2 A : x � bg

[b) = fx 2 A : b � xg

são subconjuntos convexos.

3. Se X � A; os conjuntos

Ma (X) = fx 2 A : x é majorante de Xg

Mi (X) = fx 2 A : x é minorante de Xg

são subconjuntos convexos.

Exercício 1.7.5

Mostrar que a intersecção de uma família arbitrária de subconjuntos con-

vexos de um c.p.o. é um subconjunto convexo e justi�car que se pode de�nir

o subconjunto convexo gerado por qualquer subconjunto desse c.p.o.

De�nição 1.7.6 Seja (A;�) um c.p.o.

1. I � A é semi-ideal se

x 2 I e y � x) y 2 I

2. F � A é semi-�ltro se

x 2 F e x � y ) y 2 F

Exercícios 1.7.7

1. Mostre que I é semi-ideal se e só se AnI é semi-�ltro

2. Veri�car para semi-ideais e semi-�ltros o problema 1.7.5 dado para

subconjuntos convexos.

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3. Mostre que a intersecção de um semi-ideal com um semi-�ltro é um

subconjunto convexo.

4. Mostre que um subconjunto convexo não vazio é intersecção de um

semi-ideal com um semi-�ltro.

De�nição 1.7.8 Seja (A;�) um c.p.o.

1. I � A é ideal se

(a) I é semi-ideal

(b) x; y 2 I; 9 z 2 I tal que z � x e z � y:

2. F � A é �ltro se

(a) I é semi-�ltro

(b) x; y 2 F;9 z 2 F tal que z � x e z � y:

1.8 Lema de Zorn: sua equivalência a outras

condições

De�nição 1.8.1 Seja (A;�) um c.p.o.

1. (A;�) diz-se indutivo se toda a cadeia é majorada, isto é, se sendo Cuma cadeia em A existe m 2 A que é majorante de C:

2. (A;�) diz-se fortemente indutivo se existe supremo para toda a cadeia.

De�nição 1.8.2 Seja A = fA g 2� uma família de conjuntos parcialmenteordenada por inclusão. Diz-se que A tem uma propriedade de carácter �nito

se satisfaz:

f1 A 2 A )F � �A (� � - parte �nita)

f2 Se A é tal que 8F � �A;F 2 A; então A 2 A.

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Teorema 1.8.3 As seguintes condições são equivalentes:

1. Condição de Kuratowski

Num conjunto parcialmente ordenado toda a cadeia está contida numa

cadeia maximal.

2. Condição de máximo

Um conjunto parcialmente ordenado indutivo tem elemento maximal.

3. Lema de Zorn

Um conjunto parcialmente ordenado fortemente indutivo tem elemento

maximal.

4. Condição de Hausdor¤

Num conjunto parcialmente ordenado existe elemento maximal.

5. Condição de Tukey

Uma família de conjuntos que goza de uma propriedade de carácter

�nito tem elemento maximal.

Exemplo 1.8.4 O objectivo é aplicar as condições anteriores à prova que

qualquer espaço vectorial tem uma base. Para isso é necessário de�nir (ou

lembrar) alguns conceitos:

De�nição 1.8.5 Seja (V;+;K) um espaço vectorial sobre um corpo K:

1. X � V é um conjunto linearmente independente de vectores se e só se

qualquer F � �X é linearmente independente.

2. X � V é um conjunto linearmente dependente de vectores se e só se

existir F � �X tal que F é linearmente dependente.

3. B � V é uma base se:

(a) B é um conjunto linearmente independente de vectores.

(b) 8x 2 V nB;B[fxg é linearmente dependente. (, x é combinação

linear de um subconjunto �nito de B).

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Da de�nição anterior é claro que B é uma base de V se e só se é um

elemento maximal na família de conjuntos.

Seja A = fX�jX� � V e X� é linearmente independenteg, ordenada porinclusão. Esta família goza de uma propriedade de carácter �nito pois

X� 2 A se e só se qualquer F � �X� é linearmente independente. Pela

condição de Tukey, em A existe uma família maximal de vectores linear-

mente independente. Pela proposição anterior conclui-se que qualquer espaço

vectorial tem uma base.

1.9 Conjuntos totalmente ordenados

De�nição 1.9.1 Dado A 6= ;; uma relação � em A é uma relação de ordemtotal se:

O1 x�x;8x 2 A.

O2 x 6= y ) x�y�_ y�z (dicotomia).

O3 x�y e y�z ) x�z:

(A; �) é um conjunto totalmente ordenado (c.t.o.). Podemos também

considerar a seguinte de�nição para relação de ordem total:

De�nição 1.9.2 Dado A 6= ;; uma relação � em A é uma relação de ordemtotal se:

O01 x /�x; 8x 2 A.

O02 x 6= y ) x�y _ y�z (dicotomia).

O03 x�y e y�z ) x�z:

Neste caso, quando não haja ambiguidade, � pode-se representar por < :

Observações 1.9.3

1. Há casos em que a de�nição apresenta só como propriedades a dicoto-

mia e a transitividade

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2. Dado um conjunto A e duas relações binárias de�nidas em A; � e �

podem-se de�nir outras relações

(i) x (� _ �) y , x�y ou x�y:

(ii) x (� ^ �) y , x�y e x�y:

(iii) x (��) y , 9z 2 A tal que x�z e z�y:

3. Com a relação de�nida em 1.9.2 pode-se obter uma r.o.p. fazendo a

relação < _ =; que é também relação de ordem total de acordo com a

de�nição 1.9.1.

4. Existe uma correspondência bijectiva entre as relações de ordem total

de�nidas em 1.9.1 e em 1.9.2:

� A � corresponde � ^ 6= :

� A < corresponde < _ = :

Pode-se ver então que a cada relação de ordem total não re�exiva está

associada uma re�exiva e vice-versa e por isso o uso quase indistinto

de < ou � quando está em jogo uma relação de ordem total.

5. Podem-se transportar para c.t.o.todos os conceitos dados para c.p.o.:

Por exemplo, se (A;<) é c.t.o. e X � A;m 2 A é majorante de X se

x < m ou x = m; 8x 2 X:

De�nição 1.9.4 Sejam (A;<) e (A0; <0) dois c.t.o. Uma aplicação ' : A!A0 é isomor�smo se ' é isomor�smo entre (A;�) e (A0;�0) :

Proposição 1.9.5 Sejam (A;<) e (A0; <0) dois c.t.o. Uma aplicação ' :

A! A0 é isomor�smo se e só se:

1. ' é sobrejectiva.

2. ' é isótona.

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Exercícios 1.9.6

1. Seja (A;�) um c.t.o. e seja X � A: Mostre que:

(a) Se x 2 X é elemento maximal (minimal) de X; então x é máximo

(mínimo) de X:

(b) Para cada x 2 A existe no máximo y 2 A tal que x� y.

Todo o subconjunto não vazio e �nito de um c.t.o.contém um elemento

mínimo e um elemento máximo.

1. Seja (A;�) um c.p.o. Mostre que (A;�) é um c.t.o. se e só se para

qualquer subconjunto �nito X de A; um elemento maximal de X é

máximo.

1.10 Conjuntos bem ordenados

De�nição 1.10.1 Seja B 6= ;. O conjunto totalmente ordenado (B;<) é

bem ordenado (c.b.o.) se qualquer seu subconjunto não vazio tem elemento

mínimo. [8X � B;X 6= ;; X tem elemento mínimo ou 1o elemento]

Exemplos 1.10.2

1. (N; <) é c.b.o.

2. (N; �) em que x�y , xjy; não é c.b.o.

3. (Q; <) não é c.b.o.

4. (N; �2) em que x�2y ,

8><>:x; y pares e x < y:

x; y ímpares e x < y:

x ímpar e y par.

é um c.b.o.

5. (N; �3) em que x�3y ,

8>>>>>><>>>>>>:

x; y múltiplos de 3 e x < y:

x; y (múltiplos de 3)+1 e x < y:

x (múltiplos de 3)+2 e x < y:

x (múltiplo de 3)+1 e y (múltiplo de 3)+2

x (múltiplo de 3)+2 e y múltiplo de 3é um c.b.o.

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Observações 1.10.3

1. Todo o subconjunto diferente de vazio de um c.b.o. é bem ordenado

para a relação induzida.

2. Todo o conjunto totalmente ordenado �nito é bem ordenado.

3. O dual de um conjunto bem ordenado pode não ser bem ordenado

(basta pensar em (N; <)).

Proposição 1.10.4 Seja (B;<) c.b.o. e x 2 B: Se x não é máximo existeum e um só y 2 B tal que x� y:

De�nição 1.10.5 Seja (B;<) c.b.o.

(i) y diz-se sucessor de x se y � x:

(ii) l diz-se elemento limite do c.b.o. se l não é mínimo nem sucessor.

Exemplos 1.10.6

1. Em (N; <) não há elementos limites.

2. Em (N; �2) (Exemplo 1.10.2-4), 2 é elemento limite - não é primeiroelemento nem é sucessor.

3. Em (N; �3) (Exemplo 1.10.2-5), 2 e 3 são elementos limites.

Exercício 1.10.7

Seja ' de (A;<) para (A0; <0) um isomor�smo de conjuntos totalmente

ordenados. Mostre que:

(a) Se (A;<) é c.b.o.,então (A0; <0) também é c.b.o..

(b) Se l é elemento limite, então ' (l) também é elemento limite.

(c) Se y é sucessor de x então ' (y) é sucessor de ' (x) :

(d) Se x é mínimo de A então ' (x) é mínimo de A0:

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Proposição 1.10.8 Seja (B;<) um c.b.o.. Os ideais próprios de B sãio os

conjuntos

Bx = fy 2 B : y < xg ; x 2 B:

Corolário 1.10.9 Seja (B;<) um c.b.o..O conjunto dos ideais próprios de

B é um conjunto bem ordenado para a relação de inclusão, é ideal do conjunto

bem ordenado de todos os ideais de B e é isomorfo a B:

Teorema 1.10.10 (Primeiro teorema de indução trans�nita)Seja B um c.b.o. e seja X � B satisfazendo

1) O primeiro elemento de B pertence a X:

2) Se b 2 X, então sucb 2 X:3) Se l é elemento limite e Bl � X então l 2 X:Então X = B:

Nota 1.10.11 �Traduzindo�o teorema para (N; <) obtemos o princípio deindução usual. (em N não há elementos limite):Se X � N é tal que1) 1 2 X2) n 2 X ) n+ 1 2 Xentão X = N.

Teorema 1.10.12 (Segundo teorema de indução trans�nita)Seja B um c.b.o. e seja X � B satisfazendo

Bx � X ) x 2 XEntão X = B:

Teorema 1.10.13 Um c.b.o. B não pode ser isomorfo a nenhum dos seus

ideais próprios. [Se I é ideal de B e se ' : B ! I é um isomor�smo, então

B = I]

Corolário 1.10.14 Entre dois conjuntos bem ordenados existe no máximo

um isomor�smo.

17

Teorema 1.10.15 Dados dois conjuntos bem ordenados, um é sempre iso-

morfo a um ideal do outro. [Dados B e B0 c.b.o. então

8><>:B �= B0

ou B �= B0xou Bx �= B0

Teorema 1.10.16 Qualquer família fB�g�2� de conjuntos bem ordenados

não isomorfos admite uma relação de boa ordem da seguinte forma:

B� < B�0 , B� isomorfo a um ideal próprio de B�0 :

Teorema 1.10.17 (Teorema da Boa Ordenação) Em todo o conjunto

não vazio existe uma relação de boa ordem (ou "Todo o conjunto não vazio

pode ser bem ordenado").

Observações 1.10.18

1. O Teorema da Boa Ordenação é equivalente ao Lema de Zorn e aos

outros enunciados dados.

2. Dada uma família de conjuntos não equipotentes o Teorema da Boa

Ordenação garante a existência de uma boa ordenação, mas não nos

diz como deve ser considerada.

Capítulo 2

Conceitos gerais em reticulados

2.1 De�nição e propriedades básicas

De�nição 2.1.1(a) Um conjunto parcialmente ordenado no qual cada par de elementos

tem ín�mo (supremo) designa-se por inf-semireticulado (sup-semireticulado)

De�nição 2.1.2 (b) Reticulado é um c.p.o. no qual cada par de elementos

tem ín�mo e supremo.

Exemplos 2.1.3

1. Sendo A um conjunto, (P (A) ;�) é um reticulado:

inf (X; Y ) = X \ Y

sup (X; Y ) = X [ Y

2. Sendo G um grupo e S (G) o conjunto dos seus subgrupos, (S (G) ;�)é um reticulado:

inf (G0; G00) = G0 \G00

sup (G0; G00) = hG0 [G00i

3. Qualquer conjunto totalmente ordenado é reticulado e, portanto, qual-

quer conjunto bem ordenado também é reticulado:

Dados x e y; (i) x < y ou (ii) y < x:

Se (i), inf (x; y) = x e sup (x; y) = y:

18

19

4. Reticulados com menos de 6 elementos:•

• •

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

••

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

• •

•• •

•

•

•

Exercício 2.1.4 Construir diagramas de todos os inf-semireticulados commenos de 6 elementos.

Observações 2.1.5

1. O conjunto parcialmente ordenado dual de um reticulado é ainda um

reticulado.

2. O conjunto parcialmente ordenado dual de um inf-semireticulado (sup-

semireticulado) é um sup-semireticulado (inf-semireticulado).

3. Princípio de dualidade para reticulados: Se na teoria de reticu-lados é válido um teorema também é válido o teorema dual.

4. Cada par de elementos de um reticulado R tem um e um só ín�mo e

um e só supremo. O cálculo do ín�mo e do supremo de�nem assim

operações em R; para as quais se utilizam respectivamente os símbolos

^ e _. Designamos inf fx; yg por x ^ y e sup fx; yg por x _ y.

20

5. Um inf-semireticulado R designa-se por R^ e um sup-semireticulado R

por R_:

As proposições seguintes estabelecem algumas das propriedades das op-

erações ^ e _:

Proposição 2.1.6 Dado um inf-semireticulado R^ tem-se, 8x; y; z 2 R^:1) x ^ x = x (idempotência)2) x ^ y = y ^ x (comutividade)3) x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z (associatividade)

Proposição 2.1.7 (dual da anterior) Dado um sup-semireticulado R_ tem-

se, 8x; y; z 2 R_:1�) x _ x = x (idempotência)2�) x _ y = y _ x (comutividade)3�) x _ (y _ z) = (x _ y) _ z (associatividade)

Proposição 2.1.8 Se R é um reticulado tem-se, 8x; y; z 2 R :1), 2), 3), 1�), 2�), 3�) e ainda4) (x ^ y) _ x = x4�) (x _ y) ^ x = x

)Leis de absorção.

Proposição 2.1.9 Seja (S; �) um semi-grupo abeliano e idempotente. De�nindo,8x; y 2 S, a relação x � y , x � y = x; �ca de�nida em S uma r.o.p. e

(S;�0) é um inf-semireticulado, em que inf fx; yg = x � y:

Proposição 2.1.10 Seja (S; �) um semi-grupo abeliano e idempotente. De�nindo,8x; y 2 S, a relação x �0 y , x � y = y; �ca de�nida em S uma r.o.p. e

(S;�0) é um sup-semireticulado, em que sup fx; yg = x � y:

Observações 2.1.11

1. � e �0 de�nidas nas proposições anteriores são relações duais, uma vezque

x �0 y , x � y = y , y � x = y , y � x:

2. (S;�0) é c.p.o. dual de (S;�) :

21

3. A proposição 2.1.10 é dual da proposição 2.1.9, pelo que basta demon-

strar uma delas.

Proposição 2.1.12 Seja (S;^;_) um sistema algébrico com duas operaçõesbinárias tais que, 8x; y; z 2 R;

R1) x ^ y = y ^ x R01) x _ y = y _ xR2) x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z R02) x _ (y _ z) = (x _ y) _ zR3) (x ^ y) _ x = x R03) (x _ y) ^ x = x

então a relação de�nida em S por x � y , x^y = x ou por x_y = y é umarelação de ordem parcial e (S;�) é um reticulado em que inf fx; yg = x ^ ye sup fx; yg = x _ y:

Nota 2.1.13

Pode-se colocar o problema da independência das condições (R1; R2; R3)

e (R01; R02; R

03) : Vamos encontrar modelos em que se veri�quem duas delas e

não se veri�que a terceira:

1. Válidas a comutatividade e a associatividade mas não a idempotência:

� x y

x x x

y x x

y � y 6= y

2. Válidas a idempotência e a associatividade mas não a comutatividade:

� x y

x x x

y y y

x � y 6= y � x

3. Válidas a idempotência e a comutatividade mas não a associatividade:

� x y z u

x x u z u

y u y z u

z z z z u

u u u u u

x � (y � z) 6= (x � y) � z

22

2.2 Subconjuntos especiais de inf-semireticulados,

sup-semireticulado, reticulado.

Vão-se rever os conceitos dados para c.p.o. e ver se há ou não necessidade

de alteração:

� Subconjunto convexo - a de�nição mantém-se.

� Intervalos (abertoss e fechados) - as de�nições mantêm-se.

� Semi-ideais - a de�nição mantém-se.

� Semi-�ltros - a de�nição mantém-se.

� Ideais - a de�nição pode ser precisada no caso de ser sup-semireticuladoe reticulado e �ca:

I é ideal se

(1) Semi-ideal

2) x; y 2 I ) x _ y 2 I

� Filtros - a de�nição pode ser precisada no caso de ser inf-semireticuladoe reticulado e �ca:

F é �ltro se

(1) Semi-�ltro

2) x; y 2 I ) x ^ y 2 I

Proposição 2.2.1 Num sup-semireticulado, a intersecção de dois �ltros ou

de dois semi-�ltros nunca é vazia.

Proposição 2.2.2 Num inf-semireticulado, a intersecção de dois ideais ou

de dois semi-ideais nunca é vazia.

Observações 2.2.3

1. Num reticulado a intersecção de dois semi-ideiais ou de dois semi-�ltros

é sempre diferente de vazio. Daqui se conclui que a intersecção de

famílias �nitas de semi-ideais ou semi-�ltros é diferente de vazia.

2. A observação anterior não se aplica a família in�nitas:]0; 1[ é um

reticulado e \ (x]x2]0;1[

= ;:

23

De�nição 2.2.4 Um subreticulado é uma parte de um reticulado que é fechadapara as operações de ^ e _: (de�nição como estrutura algébrica).

De�nição 2.2.5 Seja (R;�) um reticulado. R0 � R é um subreticulado se

(R0;�R0) é um reticulado e se supR0 fx; yg = supR fx; yg e infR0 fx; yg =infR fx; yg : (de�nição como estrutura ordenada).

De�nição 2.2.6 Seja R_ um sup-semireticulado. S � R_; S 6= ;; é umsubsup-semireticulado se x; y 2 S ) x _ y 2 S:

De�nição 2.2.7 Seja R^ um inf-semireticulado. S � R^; S 6= ;; é umsubinf-semireticulado se x; y 2 S ) x ^ y 2 S:

Exercícios 2.2.8

1. Seja R_ um sup-semireticulado com a de�nição de estrutura ordenada.

Mostre que S � R_ é um sub-sup-semireticulado se e só se 8x; y 2S; x _S y = x _ y:

2. Exercício análogo para subinf-semireticulado.

3. Exercício análogo para subreticulado.

Exemplo 2.2.9

 s3 •

• s5

• s4

•s2

•s1

 s7 •

• s5

• s8

s3 • • s4•s6

•s2

•s1

R∨ S∨

Parte de um sup-semireticulado que é também sup-semireticulado mas

que não é subsup-semireticulado. De facto, S_ � R_; mas supS (s1; s2) = s5,mas supR (s1; s2) = s6:

24

Observações 2.2.10

1. Se R_ é um sup-semireticulado e fS_�g�2� é uma família de sub-sup-semireticulados,

\�2�

S_� pode ser vazia, mas se for diferente de vazio

então é um subsup-semireticulado.

2. A observação anterior também se aplica a inf-semireticulados e a retic-

ulados.

3. Pode-se, portanto, falar no sub-sup-semireticulado (sub-inf-semireticulado,

reticulado) gerado por um conjunto de elementos X, que se designa por

hXi :

Exercícios 2.2.11

1. Veri�car quais dos subconjuntos especiais de�nidos para um reticulado

são sub-reticulados.

2. De�nem-se no conjunto I (R) dos ideais de um reticulado as seguintes

operações:

I1 ^ I2 = fi1 ^ i2 2 R : i1 2 I1; i2 2 I2gI1 _ I2 = fi 2 R : i � i1 ^ i2; i1 2 I1; i2 2 I2g

)8I1; I2 2 I (R) :

Mostre que (I (R) ;^;_) é um reticulado.

3. Mostrar que o conjunto Ip (R) = f(a] : a 2 Rg dos ideais principais deum reticulado é subreticulado de I (R) em que (a] ^ (b] = (a ^ b] e(a] _ (b] = (a _ b] :

4. Resolva questões análogas para o conjunto dos �ltros de um reticulado

e dos �ltros principais.

2.3 Mor�smos de reticulados

De�nição 2.3.1(a) Sejam R_ e R_1 sup-semireticulados. Uma aplicação ' : R

_ ! R_1 é

um mor�smo de sup-semireticulados se ' (x _ y) = ' (x)_' (y) ;8x; y 2 R_:

25

(b) Sejam R^ e R^1 inf-semireticulados. Uma aplicação ' : R^ ! R^1 é

um mor�smo de inf-semireticulados se ' (x ^ y) = ' (x) ^ ' (y) ;8x; y 2 R^

(c) Sejam R e R1 reticulados. Uma aplicação ' : R! R1 é um mor�smo

de reticulados se ' (x _ y) = ' (x)_' (y) e ' (x ^ y) = ' (x)^' (y) ;8x; y 2R_

Proposição 2.3.2 Se ' é um mor�smo de sup-semireticulados (inf-semireticulados,reticulados) então ' é uma aplicação isótona.

Nota 2.3.3 Se ' : R_ ! R_1 é uma aplicação isótona, não tem de ser um

mor�smo de sup-semireticulados:

• 1

R1∨

• b

R∨

• a

c•

• 0

ϕ

a _ b = c' (a _ b) = 1e' (a) _ ' (b) = 0

Proposição 2.3.4 Seja ' : R_ ! R_1 um mor�smo de sup-semireticulados

e sejam a1; b1 2 ' (R_) ; a1 � b1: Então existem a; b 2 R_; a � b; tais que

' (a) = a1 e ' (b) = b1:

Proposição 2.3.5 Dual da anterior.

Proposição 2.3.6 Para reticulados.

Proposição 2.3.7 Seja ' : R_ ! R_1 uma aplicação. Então ' é isomor-

�smo de conjuntos parcialmente ordenados se e só se ' é isomor�smo de

sup-semireticulados.

26

Exercícios 2.3.8

1. Seja ' : R_ ! R_1 um mor�smo de sup-semireticulados.

(a) Estudar as imagens por meio de ' dos subconjuntos especiais de

R_:

(b) Fazer o mesmo estudo no caso de ' ser epimor�smo.

2. Seja R um reticulado. Mostre que

(a) Se I é um ideal de R e F um �ltro de R; então I \ F ou é vazioou é um subreticulado convexo.

(b) Mostre que cada subreticulado convexo de R é intersecção, de um

modo único, de um ideal com um �ltro.

3. Seja fR_�g�2� uma família de sup-semireticulados.

2.4 Semireticulados e reticulados completos

De�nição 2.4.1(a) Um inf-semireticulado completo (sup-semireticulado completo) é um

conjunto parcialmente ordenado no qual existe ín�mo (supremo) de cada sub-

conjunto não vazio de elementos.

(b) Reticulado completo é um c.p.o. no qual existe ín�mo e supremo de

cada subconjunto não vazio de elementos.

Observações 2.4.2

1. Um sup-semireticulado completo tem elemento 1, que é o supremo de

todo o conjunto.

2. Um inf-semireticulado completo tem elemento 0, que é o ín�mo de todo

o conjunto.

3. Um reticulado completo tem elementos 0 e 1.

27

Proposição 2.4.3 Um c.p.o. R no qual existe supremo (ín�mo) de cada

subconjunto não vazio e no qual existe elemento 0 (elemento 1) é um reticu-

lado completo.

Exemplos 2.4.4

1. (N; j) é inf-semireticulado completo. O elemento 0 é 1:

2. (N0; j) é reticulado completo. O elemento 1 é 0:

3. Sendo X um conjunto, (P (X) ;�) é um reticulado completo.

4. (R;�) não é reticulado completo (não tem 0 nem 1).

5.�R;�

�; onde R = R [ f�1;+1g é reticulado completo.

6.�Q;�

�; onde Q = Q [ f�1;+1g não é reticulado completo (por

exemplo,�1;p2�não tem supremo em Q).

7. Sendo G um grupo, (S (G) ;�) (S (G)�conjunto dos subgrupos de G)é reticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção de qualquer

família de subgrupos é subgrupo e tem elemento 1; que é o grupo G).

8. Sendo G um grupo, (N (G) ;�) (N (G)�conjunto dos subgrupos nor-mais de G) é reticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção

de qualquer família de subgrupos normais é subgrupo normal e tem

elemento 1; que é o grupo G).

9. Sendo V um espaço vectorial (S (V ) ;�) ; em que S (V ) é o conjunto dossubespaços vectoriais de V; é reticulado completo. (É inf-completo pois

a intersecção de qualquer família de subespaços vectoriais é subespaço

vectorial e tem elemento 1; que é o espaço V ):

10. Sendo A um anel, (S (A) ;�) (S (A)�conjunto dos subanéis de A) éreticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção de qualquer

família de subanéis é subanel e tem elemento 1; que é o anel A).

11. Sendo A um anel, (I (A) ;�) (I (A)�conjunto dos subanéis de A) éreticulado completo. (É inf-completo pois a intersecção de qualquer

família de ideais é ideal e tem elemento 1; que é o anel A).

28

12. Sendo T um espaço topológico, (F (T ) ;�)

2.5 Reticulados distributivos

Proposição 2.5.1 Seja R um reticulado. São equivalentes as seguintes condições:

D1) 8a; b; c 2 R; a ^ (b _ c) = (a ^ b) _ (a ^ c) :

D2) 8a; b; c 2 R; a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ (a _ c) :

D3) 8a; b; c 2 R; (a ^ b) _ (b ^ c) _ (a ^ c) = (a _ b) ^ (b _ c) ^ (a _ c) :

D4) 8a; b; c 2 R; a ^ (b _ c) � a _ (b ^ c) :

D5) R não contém nenhum subreticulado isomorfo a

•

•

•

••

ou

• •

•

•

•

D6) 8a; b; c 2 R;a ^ c = b ^ ca _ c = b _ c

)) a = b:

D7) 8a; b 2 R; se x 2 [a; b] então existe no máximo um complemento relativode x no intervalo [a; b] :

De�nição 2.5.2 Um reticulado é distributivo se satisfaz alguma das condiçõesda proposição anterior.

Exemplos 2.5.3 ((Reticulados distributivos))

1. Todos os reticulados com menos de seis elementos excepto os referidos

na condição D5:

2. Sendo X um conjunto, o reticulado (P (X) ;�) :

29

Nota 2.5.4

Da de�nição conclui-se facilmente que o reticulado dual de um reticu-

lado distributivio é distributivo, pelo que se pode enunciar um princípio de

dualidade para reticulados distributivos.

Exercícios 2.5.5

1. Cada subreticulado de um reticulado distributivo é também reticulado

distributivo.

2. Cada imagem epimorfa de um reticulado distributivo é um reticulado

distributivo.

3. Um produto directo de reticulados é um reticulado distributivo se e só

se cada factor for um reticulado distributivo.

Proposição 2.5.6 Um reticulado R é distributivo se e só se o reticulado dosseus ideais I (R) (dos seus �ltros F (R)) é distributivo.

Proposição 2.5.7 Seja R um reticulado distributivo. Se P é um ideal (�l-

tro) maximal então P é um ideal (�ltro) primo.