Contabilometria

Números-Índices

Fontes:

Stevenson (1981) – Estatística Aplicada à Administração – Cap. 15

Fonseca, Martins e Toledo (1991) – Estatística Aplicada – Cap. 5

Números-Índices

• Sintetizam modificações em variáveis econômicas

durante um período de tempo

• Exemplo: quando uma família percebe que o preço do

pão é o dobro do que era há dez anos, está fazendo

uso de certo tipo de número-índice

• Índice Simples: quando só um produto está em jogo

• Índice Composto: quando a comparação envolve um

grupo de produtos

• Exemplo: além do pão a família pode incluir na

comparação, carne, leite, manteiga, verduras e

enlatados

Números-Índices

• O preço da carne pode ter aumentado muito mais do que o do leite, outros produtos podem ter reduzido de preço...

• O consumo de leite e de carne dessa família pode ter aumentado, e o de manteiga diminuído...

• Ou seja, para avaliar a variação global é preciso considerar não só variações de preço mas também variações de quantidades

• Exemplo: se o faturamento de uma empresa aumentou em um período, não quer dizer necessariamente que suas vendas aumentaram em unidades vendidas

Números-Índices

• Há três classificações de números-índices administrativos e econômicos:

– Índices de preços

– Índices de quantidade

– Índices de valor

• Características em comum:

– São razões de quantidades no período corrente para quantidades no período-base

– As razões são expressas como percentagens, arredondadas para 1% ou 0,1% mais próximo, porém sem o sinal de percentagem (isto é, 123; 145,2)

– A quantidade referente ao período-base é em geral considerada como 100%

Números-Índices Simples

• Relativo a um único item ou variável econômica entre dois períodos de tempo

• Podem-se calcular números-índices para os chamados relativos de preço, quantidade, e valor, mediante as seguintes fórmulas:

– p0 = preço de um item no ano-base

– q0 = quantidade de um item no ano-base

– pn = preço de um item em determinado ano

– qn = quantidade de um item em determinado ano

100 valor do relativo

100 quantidade de relativo

100 preço do relativo

00

0

0

qp

qp

q

q

p

p

nn

n

n

Propriedades dos Relativos

a) Identidade: pa,a = 1,00 ou 100%

b) Reversibilidade no tempo: pa,b x pb,a = 1

c) Cíclica ou circular = pa,b x pb,c x pc,a = 1

d) Cíclica ou circular modificada =

– pa,b x pb,c = pa,c

– pa,b x pb,c x pc,d = pa,d

• Exemplo 1: sejam os seguintes preços de certo

produto: p96 = 110 p97 = 120 p98 = 150 p99=200

Elos de Relativos

• Relativos considerados em intervalos sucessivos de tempo

• Para obter o relativo de preço de 2011 em relação a 2008, aplica-se a propriedade circular modificada

• O relativo assim construído é denominado índice em cadeia

– p11,08 = p08,09 x p09,10 x p10,11 = 1,5 x 1,25 x 1,2 = 2,25 ou 225

Ano Preço

2008 80

2009 120

2010 150

2011 180

p08,09 = 120/80 x 100 = 150

p09,10 = 150/120 x 100 = 125

p10,11 = 180/150 x 100 = 120

Relativos em Cadeia

• Quando tivermos uma sequência de relativos de preço

onde o período básico é fixo

Ano Preço

2008 80

2009 120

2010 150

2011 180

p08,09 = 120/80 x 100 = 150

p08,10 = 150/80 x 100 = 187,5

p08,11 = 180/80 x 100 = 225

Decomposição das Causas

• O produto do número-índice de preço pelo

correspondente número-índice de quantidade deve ser

igual ao valor total relativo ou ao índice de valor.

– Ip0,t = índice de preços

– Iq0,t = índice de quantidades

– Iv0,t = índice de valor

• Além dos relativos poucos índices satisfazem esse

critério

Ip0,t x Iq0,t = Iv0,t

ttttt

tt vqp

qp

q

q

p

pqp ,0

0000

,0,0

Exemplo 2

• Uma empresa adquiriu, em janeiro de 2010, 1.500

unidades de um componente de fabricação, ao preço

unitário de R$300,00 e, em fevereiro, 1.470 unidades

a R$330,00 cada. Calcular o valor relativo da

transação em fevereiro, com base em janeiro.

• Até aqui analisamos variações em um único item ou

produto

• A quase totalidade dos índices econômicos envolve a

avaliação simultânea de variações de preços ou de

quantidades de mais de um item

• Como levar em consideração a importância relativa

de cada item?

ÍNDICES AGREGATIVOS!!

Índice Agregativo Simples

• Podem ser calculados a partir de médias de

preços/quantidades/valores em t e em 0 (média

simples, média harmônica, média geométrica)

• Índice de Bradstreet

– É o quociente entre a soma dos preços (ou quantidades) de

n bens na época atual, e a soma dos preços (ou

quantidades) desses mesmos bens na época-básica.

n

i

i

o

i

o

n

i

i

t

i

t

vn

i

i

o

n

i

i

t

qn

i

i

o

n

i

i

t

p

qp

qp

I

q

q

I

p

p

Ittt

1

1

1

1

1

1

,0,0,0

Índice de Bradstreet

• Considere a evolução de preços de três produtos de

uma empresa no período 2008 a 2011:

Artigo 2008 2009 2010 2011

A 3,00 3,80 4,20 5,20

B 3,44 4,80 4,70 4,50

C 1,80 1,95 2,00 1,30

8,24 10,55 10,90 11,00

Ano Cálculo Índice

2008 = 8,24/8,24 x 100 = 100

2009 = 10,55/8,24 x 100 = 128

2010 = 10,90/8,24 x 100 = 132

2011 = 11,00/8,24 x 100 = 133

Limitações dos índices simples

• Não levam em consideração a importância relativa de

cada um dos vários bens ou serviços que os integram

• É afetado por unidades particulares de medidas

• Unidades de medidas díspares impedem que se

somem as quantidades ou trazem distorções quando a

elas se associam os preços unitários

Exemplo 3 • Uma família efetuou duas compras em um supermercado em

duas épocas distintas. Os preços e as quantidades dos produtos

encontram-se na tabela abaixo.

• Pede-se:

– Calcular os índices agregativos simples de preço e quantidade

– Calcule os relativos de preço de cada produto

– Como os preços unitários afetaram o índice agregativo simples?

– Calcule um índice agregativo simples com base na média aritmética dos

relativos de preços

– Adote um critério de ponderação com base no valor agregado em cada produto

no ano de 1980.

Mercadorias 1979 1980

Preço Quant. Preço Quant.

Carne (kg) 147,0 0,5 210,0 0,4

Leite (l) 12,5 10,0 25,0 14,0

Ovos (dz) 30,0 2,0 42,0 3,0

189,5 12,5 277,0 17,4

Índices Agregativos Ponderados

• Índice de Laspeyres ou Método da Época Básica – É uma média ponderada de relativos, sendo os fatores de ponderação

determinados a partir de preços e de quantidade da época básica

– Índice de Preço

– Índice de Quantidade

n

i

ii

n

i

ii

t

t

qp

qp

L

1

00

1

0

,0

n

i

ii

n

i

ii

t

t

pq

pq

L

1

00

1

0

,0'

Índices Agregativos Ponderados

• Índice de Paasche ou Método da Época Atual – É uma média harmônica ponderada de relativos

– Limitação: o fato dos pesos variarem a cada período

– Índice de Preço

– Índice de Quantidade

n

i

i

t

i

n

i

i

t

i

t

t

qp

qp

P

1

0

1,0

n

i

i

t

i

n

i

i

t

i

t

t

pq

pq

P

1

0

1,0'

Índices Agregativos Ponderados

• Índice de Fischer (Índice Ideal)

– É a média geométrica dos índices de Lapeyres e Paasche

– Os dois anteriores não atendem ao critério da

decomposição das causas, além disso Laspeyres tende a

superestimar e Paasche a subestimar os índices

– Também tem a restrição de necessitar a cada período de

uma nova ponderação

– Índice de Preço

– Índice de Quantidade

ttt PLI ,0,0,0

ttt PLI ,0,0,0 ''

Índices Agregativos Ponderados

• Índice de Divisia – É uma média geométrica ponderada de relativos, com o sistema de

pesos fixos na época básica

– Vantagem: atende à propriedade circular, podendo ser construído em

cadeia, onde a base de comparação é fixa e a base de cálculo é móvel

– Limitação: não satisfaz ao critério de decomposição das causas

n

i

i

n

ww

n

n

t

w

t

w

tt

p

p

p

p

p

pD 1

0

020

10

0

2

0

2

1

0

1

,0

n

i

w

i

i

tt

i

p

pD

1 0

,0

0

n

i

w

i

i

tt

i

q

qD

1 0

,0

0

- Índice de Preço - Índice de Quantidade

Índices Agregativos Ponderados

• Índice de Laspeyres Modificado

– Índice em cadeia a partir de índices intermediários

– Satisfaz ao critério circular

– A diferença em relação ao de Laspeyres é que este

apresenta pesos fixos na época básica, independentemente

das épocas comparadas

– É um índice com sistema de comparação fixa em uma

época básica fixa e com base de comparação (de cálculo)

móvel

n

i

i

t

i

ttt w

p

pDA

1

0

1

),1(

n

i

i

iii

qp

qpw

1

00

000

Exemplo 4

• Com os dados da tabela abaixo e considerando 2009

com base, determinar um índice de preço e de

quantidade, usando os métodos de Laspeyres,

Paasche e Fischer. Verificar, utilizando os resultados

do ano de 2011, qual dos métodos satisfaz ao critério

de decomposição das causas.

2009 2010 2011

Artigos Preço Quant. Preço Quant. Preço Quant.

1 2 4 2 5 3 6

2 3 3 4 2 6 3

3 5 2 6 5 8 6

Adequação das Fórmulas de Números-

Índices • Teste de Identidade

– It,t = 1 ou I0,0 = 1

– Todos os índices satisfazem esse critério

• Tesde de reversibilidade no tempo – Is,r x Ir,s = 1

– Os índices de Laspeyres e Paasche não satisfazem o critério

– Fischer, Divisia e Laspeyres Modificado sim

• Teste circular – I0,1 x I1,2 = I0,2

– Os índices de Laspeyres e Paasche não satisfazem o critério

– Laspeyres Modificado e Divisia sim

• Teste da decomposição das causas – p0,t x q0,t = V0,t

– Os índices de Laspeyres, Paasche e Laspeyres Modificado não satisfazem o critério

– O índice de Fischer sim

Construção de séries de números-

índices

• Como escolher um período-base?

• Dois aspectos devem ser levados em conta:

– A seleção da base

– A possibilidade de sua mudança sem erro

• A base deve recair sobre um período que não esteja

afetado por variações estruturais de momento

(condições normais)

• Quanto maior o tempo transcorrido maior o risco do

critério de ponderação não ser mais adequado

• Métodos de construção: base fixa e método de base

móvel encadeada

Método da Base Fixa

• Cuidado ao escolher a base já que alguns índices não

satisfazem a propriedade circular (não permitindo a

mudança de base)

– p0,1 x p1,2 x p2,3 ... pt-1,t = p0,t

• No índice de Laspeyres ao fixar a base de

comparação, estaremos fixando, ao mesmo tempo, a

base de ponderação.

Método da Base Móvel Encadeada

• Nesse método a base seria alterada de período a

período. Consiste no seguinte:

– Construção dos índices em elos:

• I0,1, I1,2, ..., I(t-1),t

– Construção de um índice em cadeia, de modo a fixar

determinado período como base, aplicando-se o critério

circular

• I0,1 = I0,1

• I0,2 = I0,1 x I1,2

• I0,3 = I0,1 x I1,2 x I2,3

• Os índices construídos por encadeamento somente

coincidem com os índices de base fixa quando a

fórmula utilizada satisfizer à propriedade circular.

Vantagens e Desvantagens dos Métodos

• Base Fixa

– Vantagens:

• Cálculos mais simples

– Desvantagens:

• Em séries longas, maiores serão as possibilidades de erros de

fórmula por variações nos pesos

• Base Móvel

– Vantagens

• Fornece medida muito mais acurada da variação de preços ou de

quantidades de período a período, permitindo a introdução de novos

bens e a eliminação daqueles cuja importância tenha diminuído

– Desvantagens

• Maior volume de cálculos. As fórmulas geralmente usadas não

satifazem ao critério circular

Mudança de Base na Prática – Método

Abreviado • Divide-se cada índice da série original pelo número-

índice correspondente à nova época básica

• Do ponto de vista matemático, essa operação só é válida se os índices satisfizerem à propriedade circular (o que não acontece com os índices de Paasche, Laspeyres e Fischer).

• Isso ocorre porque eles apresentam pesos variáveis e a mudança no período de referência exigirá mudança nos pesos.

• Se o índice é agregativo, com pesos fixos (constantes), como no índice de Divisia, esse problema não ocorre.

• Para os índices de Laspeyres e Paasche há uma aproximação razoável dos resultados, na prática.

Mudança de Base na Prática – Método

Abreviado • A tabela abaixo mostra o índice de produção

industrial no período de 2000 a 2011, sendo o ano de

2000 considerado como época-base. Obter um novo

índice, adotando com básico o ano de 2004.

ANOS 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Índice de produção industrial (2000 =

100) 100 104 97 112 120 124 134 125 139 143 143 134

Cálculo =100/120 * 100

=104/120 * 100

=97/120 * 100

=112/120 * 100

=120/120 * 100

=124/120 * 100

=134/120 * 100

=125/120 * 100

=139/120 * 100

=143/120 * 100

=143/120 * 100

=134/120 * 100

Índice de produção industrial (2004 =

100) 83 87 81 93 100 103 112 104 116 119 119 112

Conjugação de duas ou mais séries de

números-índices em uma só

ANO Índice antigo (1970 = 100)

Índice novo (1975 = 100)

Índice antigo (1975 = 100)

Índices conjugados (1975 = 100)

1970 100 50 50

1971 90 45 45

1972 108 54 54

1973 160 80 80

1974 196 98 98

1975 200 100 100 100

1976 120 120

1977 160 160

1978 210 210

1979 240 240

1980 250 250

Deflator

• É qualquer índice de preços utilizado para equiparar valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma determinada época tomada como base.

• Permite eliminar a variação de preços como causa.

• Exemplo: a variação do faturamento de uma empresa pode ocorrer por variação de preços ou de quantidades. O uso do deflator permite analisar a evolução do faturamento apenas em função da variação de quantidade.

• Para deflacionar valores basta dividi-los pelo índice correspondente às épocas em que eles ocorreram, tendo como referência uma determinada época.

Deflator

• Exemplo 5: a partir da tabela de valores de

faturamento correntes da empresa X no período 2005

a 2010 abaixo e dos índices de preço do período

(índices com base em 2005), calcule:

– A série de faturamento real em cada ano, tomando como

base o ano de 2005

– Construa um índice que descreva a evolução real do

faturamento, tomando o ano de 2005 como base.

ANO Faturamento a preços

correntes Índice de Preços

2005 = 100 2005 1.600.000 100

2006 1.800.000 120 2007 2.400.000 150

2008 2.800.000 160 2009 3.000.000 180

2010 3.200.000 187

Poder Aquisitivo

• 1kg de carne custa 10 em t=0 e 20 em t=1.

• Com os mesmos $10 em t=1 consigo comprar 0,5kg.

• O índice de preços da carne no período será p0,t = pt/p0 = 2 (acréscimo de 100% no preço da carne).

• Para sabermos quanto vale 100$ em t=1 com base em t=0 basta aplicar uma regra de três:

• 20 ------ 1,00

• 10 ------ x => x = 10 x 1,00/20 = 0,50

• Esse resultado poderia ser obtido tomando o inverso do índice de preço obtido.

• Poder aquisitivo de $1 em t=1 com base em t=0 = 1/p0,t = ½ = 0,5.

• Portanto, para calcular o poder aquisitivo de uma unidade monetária basta calcular o inverso do índice de preço escolhido.

Poder Aquisitivo

• Exemplo 6: o salário de um indivíduo foi majorado

80% em um dado período, enquanto a inflação

acusou uma elevação de 92% em igual período. Qual

a perda percentual de poder aquisitivo no salário

desse indivíduo?

Principais Índices Brasileiros

• IGP – Índice Geral de Preços

– Calculado pela FGV - Fundação Getúlio Vargas, utiliza bens e serviços, assim como os respectivos pesos, atualizados sistematicamente, de acordo com o momento econômico. Utiliza a fórmula de Laspeyres de base móvel. É a média ponderada do IPA (0,6), do IPC (0,3) e do INCC (0,1).

• IPCA – Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/defaultinpc.shtm

• Principais indicadores financeiros http://www.portalbrasil.net/indices.htm