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httpsperiodicosutfpredubrrecit

Construccedilatildeo de figuras geomeacutetricas espaciais com canudos de jornais no estudo da geometria espacial

RESUMO

Silvio Aparecido Barbosa profsilvioceuhotmailcom Universidade Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute (UTFPR) Medianeira Paranaacute Brasil

Lucas da Silva Ribeiro lribeiroutfpredubr Universidade Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute (UTFPR) Medianeira Paranaacute Brasil

O trabalho pretende facilitar o ensino de Geometria Espacial que recaem na falta de material didaacutetico baacutesico para trabalhar em sala de aula salas exclusivas para o ensino de geometria e falta de preacute-requisitos por parte dos alunos de conteuacutedos que fundamentam a geometria Em relaccedilatildeo a uma aula ldquoidealrdquo tem levado os educadores a buscarem meios de facilitar o ensino das propriedades matemaacuteticas que muitas vezes se tornam cansativas A atividade que eacute proposta aqui aleacutem de possibilitar que o aluno construa estruturas com a geometria espacial torna possiacutevel a visualizaccedilatildeo de alguns elementos que no quadro satildeo menos notados e tambeacutem por meio do uso de teacutecnicas de trabalho manual despertar nos alunos o interesse em aprender

PALAVRAS-CHAVE geometria espacial ensino meacutedio professor ensino-aprendizagem

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INTRODUCcedilAtildeO

A dificuldade de aprendizagem apresentada pelos alunos nas aulas de matemaacutetica

tem levado os educadores a buscarem meios de facilitar o ensino das propriedades

matemaacuteticas que muitas vezes se lsquotornam cansativas Sabe-se que uma das

melhores formas de se fixar o que se aprende eacute poder ensinar poder dividir o

conhecimento adquirido (Oficina de canudinho 2013) Pensando nisso este

trabalho visa proporcionar um momento de interaccedilatildeo entre os alunos no qual eles

poderatildeo expor seus conhecimentos e interagir com os demais colegas aplicando

na praacutetica o que aprendeu em sala de aula

As mudanccedilas sociais e tecnoloacutegicas as quais geram uma grande variedade de

funccedilotildees no mercado de trabalho colocam a necessidade de repensar as atitudes e

estrateacutegias de aprendizado da matemaacutetica Para Silva (1992) eacute urgente recorrer a

um ensino de matemaacutetica com articulaccedilatildeo entre teoria e praacutetica conteuacutedo e forma

a partir do resgate da questatildeo cultural para que haja o desenvolvimento do

raciociacutenio loacutegico da criatividade e do espiacuterito criacutetico Ainda segundo o autor

(SILVA1992) a matemaacutetica eacute um bem cultural constituiacutedo a partir das relaccedilotildees do

homem com a natureza sendo portanto dinacircmica e viva Todo o conhecimento

matemaacutetico necessaacuterio para conquistar o desenvolvimento tecnoloacutegico estaacute muito

aleacutem da sala de aula devido agraves especificidades e complexidades teacutecnicas

A justificativa para a escolha do tema estudado trata da questatildeo de que a

matemaacutetica ainda hoje eacute vista por muitos alunos como uma disciplina difiacutecil e

teoacuterica sendo que muitos dos conhecimentos natildeo tem aplicaccedilatildeo praacutetica eacute

necessaacuterio trabalhos que mostre novas maneiras de ensinar natildeo priorizando a

memorizaccedilatildeo de foacutermulas e situaccedilotildees sem contexto como acontecia em outros

tempos

A geometria estaacute presente em diversas situaccedilotildees cotidianas tanto na escola

quanto fora dela Ao andar pelas ruas observar construccedilotildees e diferentes materiais

observa-se que ela estaacute presente em toda parte Para percebecirc-la basta ter um

olhar sensiacutevel

No ensino da matemaacutetica eacute grande a necessidade da utilizaccedilatildeo de material

praacuteticos especialmente no ensino fundamental Poreacutem mesmo no ensino meacutedio

esse material pode ser uma fonte que auxilia o aluno na passagem do concreto

para o abstrato tornando-o sujeito ativo do processo de construccedilatildeo do

conhecimento (Joseane e Silvio) Despertar o interesse do aluno na sala de aula

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ele deixaraacute a teoria e passaraacute a ver a relaccedilatildeo entre o conteuacutedo estudado e a

praacutetica A atividade que eacute proposta aqui aleacutem de possibilitar que o aluno

construa estruturas com a geometria espacial torna possiacutevel a visualizaccedilatildeo de

alguns elementos que no quadro satildeo menos notados Estes elementos satildeo os

veacutertices as arestas as faces e os apoacutetemas dos soacutelidos geomeacutetricos

Sendo destacados os objetivos especiacuteficos construir figuras geomeacutetricas espaciais

com canudos de jornais visualizar as propriedades matemaacuteticas de aacutereas e

volumes compreender soluccedilotildees de problemas estimular a vontade de aprender e

proporcionar momentos de interaccedilotildees e aprendizagens entre os alunos

2 Referencial Teoacuterico

A geometria eacute frequentemente ensinada na lousa ou por meio de livros didaacuteticos

Na abordagem de figuras planas esse meacutetodo eacute faacutecil para o aprendizado da

crianccedila mas quando se trata do ensino da geometria espacial muitos alunos

apresentam dificuldades na visualizaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos e com isso

acabam se desinteressando pelas aulas

Segundo Viviane Aparecida Verona (mestre Engenharia e Ciecircncia de Mateacuterias) e

Maria Regina Macieira Lopes (Mestre em Meacutetodos Numeacutericos em Engenharia)

ldquoNessa accedilatildeo reflexiva eacute que as Diretrizes Curriculares do Estado do Paranaacute (SEED

2008) propotildeem que a matemaacutetica natildeo seja ensinada apenas por sua beleza ou pela

consistecircncia de suas teorias mas que a apropriaccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico

pelos alunos contribua para o desenvolvimento da sociedade A matemaacutetica

reveste-se de significado quando utiliza conceitos aplicaacuteveis na vida diaacuteria e ainda

como suporte para as vaacuterias ciecircncias como engenharia arquitetura fiacutesica

medicina entre outra A geometria eacute um componente da Matemaacutetica

extremamente importante na construccedilatildeo desses conhecimentos cientiacuteficos e

tecnoloacutegicos dos quais os cidadatildeos devem se apropriar As recentes revisotildees do

curriacuteculo de Matemaacutetica dos Ensinos Fundamental e Meacutedio (SEED 2008) devolvem

agrave Geometria a importacircncia que esta disciplina tem na aprendizagem de

Matemaacutetica no niacutevel elementar pois permite resolver problemas do cotidiano e

interfere fortemente na estruturaccedilatildeo do pensamento levando agrave construccedilatildeo do

conhecimentordquo

Geometria Suas origens na Histoacuteria A palavra geometria eacute derivada do grego

ldquogeometreinrdquo sendo ldquogeordquo= terra e ldquometreinrdquo= medir A origem provaacutevel da

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Geometria vem da mediccedilatildeo dos terrenos do Antigo Egito Poreacutem haacute registros na

Histoacuteria de que outras civilizaccedilotildees antigas como Babilocircnia China e Iacutendia tambeacutem

possuiacuteam conhecimentos geomeacutetricos A Geometria surgiu da necessidade de

melhorar os sistema de arrecadaccedilatildeo de impostos de aacutereas rurais sendo os

primeiros passos dados pelos egiacutepcios para desenvolvecirc-la (figura 1)

Figura 1 - Aplicaccedilatildeo do conhecimento de semelhanccedila de triacircngulos

No chamado ldquoLivros dos Mortosrdquo do Egito antigo constava que roubar a terra do

vizinho era considerado uma ofensa tatildeo grave como quebrar um juramento ou

assassinar algueacutem Naquela eacutepoca natildeo existiam marcos fronteiriccedilos e os

agricultores os administradores de templos palaacutecios e demais unidades

produtivas fundadas na agricultura natildeo tinham referecircncia clara do limite das suas

posses tanto para cultivo como para pagamento de impostos devidos aos

governantes de acordo com a medida da sua extensatildeo

A Geometria em seus primoacuterdios era uma ciecircncia empiacuterica ou seja experimental

As mediccedilotildees baseavam-se em algumas regras para se chegar a resultados

aproximados As civilizaccedilotildees ora acertavam em seus caacutelculos ora erravam pois

natildeo havia um rigor matemaacutetico que os ajudasse em seus caacutelculos Mas somente a

partir do conhecimento desenvolvido pelos matemaacuteticos gregos eacute que a

Geometria pocircde ser estabelecida como teoria dedutiva Assim atraveacutes do

raciociacutenio dedutivo comeccedilaram a provar a veracidade das proposiccedilotildees atraveacutes de

Hipoacuteteses e Demonstraccedilotildees Tales de Mileto (624-547 aC) e seu disciacutepulo

Pitaacutegoras (572-497 aC figura 2) reuniram todo o conhecimento do Egito da

Etuacuterria da Babilocircnia e mesmo da Iacutendia para desenvolvecirc-los e aplicaacute-los agrave

matemaacutetica navegaccedilatildeo e religiatildeo A curiosidade crescia e os livros sobre

Geometria eram muito procurados Um compasso logo substituiu a corda e a

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ele deixaraacute a teoria e passaraacute a ver a relaccedilatildeo entre o conteuacutedo estudado e a

praacutetica A atividade que eacute proposta aqui aleacutem de possibilitar que o aluno

construa estruturas com a geometria espacial torna possiacutevel a visualizaccedilatildeo de

alguns elementos que no quadro satildeo menos notados Estes elementos satildeo os

veacutertices as arestas as faces e os apoacutetemas dos soacutelidos geomeacutetricos

Sendo destacados os objetivos especiacuteficos construir figuras geomeacutetricas espaciais

com canudos de jornais visualizar as propriedades matemaacuteticas de aacutereas e

volumes compreender soluccedilotildees de problemas estimular a vontade de aprender e

proporcionar momentos de interaccedilotildees e aprendizagens entre os alunos

2 Referencial Teoacuterico

A geometria eacute frequentemente ensinada na lousa ou por meio de livros didaacuteticos

Na abordagem de figuras planas esse meacutetodo eacute faacutecil para o aprendizado da

crianccedila mas quando se trata do ensino da geometria espacial muitos alunos

apresentam dificuldades na visualizaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos e com isso

acabam se desinteressando pelas aulas

Segundo Viviane Aparecida Verona (mestre Engenharia e Ciecircncia de Mateacuterias) e

Maria Regina Macieira Lopes (Mestre em Meacutetodos Numeacutericos em Engenharia)

ldquoNessa accedilatildeo reflexiva eacute que as Diretrizes Curriculares do Estado do Paranaacute (SEED

2008) propotildeem que a matemaacutetica natildeo seja ensinada apenas por sua beleza ou pela

consistecircncia de suas teorias mas que a apropriaccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico

pelos alunos contribua para o desenvolvimento da sociedade A matemaacutetica

reveste-se de significado quando utiliza conceitos aplicaacuteveis na vida diaacuteria e ainda

como suporte para as vaacuterias ciecircncias como engenharia arquitetura fiacutesica

medicina entre outra A geometria eacute um componente da Matemaacutetica

extremamente importante na construccedilatildeo desses conhecimentos cientiacuteficos e

tecnoloacutegicos dos quais os cidadatildeos devem se apropriar As recentes revisotildees do

curriacuteculo de Matemaacutetica dos Ensinos Fundamental e Meacutedio (SEED 2008) devolvem

agrave Geometria a importacircncia que esta disciplina tem na aprendizagem de

Matemaacutetica no niacutevel elementar pois permite resolver problemas do cotidiano e

interfere fortemente na estruturaccedilatildeo do pensamento levando agrave construccedilatildeo do

conhecimentordquo

Geometria Suas origens na Histoacuteria A palavra geometria eacute derivada do grego

ldquogeometreinrdquo sendo ldquogeordquo= terra e ldquometreinrdquo= medir A origem provaacutevel da

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Geometria vem da mediccedilatildeo dos terrenos do Antigo Egito Poreacutem haacute registros na

Histoacuteria de que outras civilizaccedilotildees antigas como Babilocircnia China e Iacutendia tambeacutem

possuiacuteam conhecimentos geomeacutetricos A Geometria surgiu da necessidade de

melhorar os sistema de arrecadaccedilatildeo de impostos de aacutereas rurais sendo os

primeiros passos dados pelos egiacutepcios para desenvolvecirc-la (figura 1)

Figura 1 - Aplicaccedilatildeo do conhecimento de semelhanccedila de triacircngulos

No chamado ldquoLivros dos Mortosrdquo do Egito antigo constava que roubar a terra do

vizinho era considerado uma ofensa tatildeo grave como quebrar um juramento ou

assassinar algueacutem Naquela eacutepoca natildeo existiam marcos fronteiriccedilos e os

agricultores os administradores de templos palaacutecios e demais unidades

produtivas fundadas na agricultura natildeo tinham referecircncia clara do limite das suas

posses tanto para cultivo como para pagamento de impostos devidos aos

governantes de acordo com a medida da sua extensatildeo

A Geometria em seus primoacuterdios era uma ciecircncia empiacuterica ou seja experimental

As mediccedilotildees baseavam-se em algumas regras para se chegar a resultados

aproximados As civilizaccedilotildees ora acertavam em seus caacutelculos ora erravam pois

natildeo havia um rigor matemaacutetico que os ajudasse em seus caacutelculos Mas somente a

partir do conhecimento desenvolvido pelos matemaacuteticos gregos eacute que a

Geometria pocircde ser estabelecida como teoria dedutiva Assim atraveacutes do

raciociacutenio dedutivo comeccedilaram a provar a veracidade das proposiccedilotildees atraveacutes de

Hipoacuteteses e Demonstraccedilotildees Tales de Mileto (624-547 aC) e seu disciacutepulo

Pitaacutegoras (572-497 aC figura 2) reuniram todo o conhecimento do Egito da

Etuacuterria da Babilocircnia e mesmo da Iacutendia para desenvolvecirc-los e aplicaacute-los agrave

matemaacutetica navegaccedilatildeo e religiatildeo A curiosidade crescia e os livros sobre

Geometria eram muito procurados Um compasso logo substituiu a corda e a

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Geometria vem da mediccedilatildeo dos terrenos do Antigo Egito Poreacutem haacute registros na

Histoacuteria de que outras civilizaccedilotildees antigas como Babilocircnia China e Iacutendia tambeacutem

possuiacuteam conhecimentos geomeacutetricos A Geometria surgiu da necessidade de

melhorar os sistema de arrecadaccedilatildeo de impostos de aacutereas rurais sendo os

primeiros passos dados pelos egiacutepcios para desenvolvecirc-la (figura 1)

Figura 1 - Aplicaccedilatildeo do conhecimento de semelhanccedila de triacircngulos

No chamado ldquoLivros dos Mortosrdquo do Egito antigo constava que roubar a terra do

vizinho era considerado uma ofensa tatildeo grave como quebrar um juramento ou

assassinar algueacutem Naquela eacutepoca natildeo existiam marcos fronteiriccedilos e os

agricultores os administradores de templos palaacutecios e demais unidades

produtivas fundadas na agricultura natildeo tinham referecircncia clara do limite das suas

posses tanto para cultivo como para pagamento de impostos devidos aos

governantes de acordo com a medida da sua extensatildeo

A Geometria em seus primoacuterdios era uma ciecircncia empiacuterica ou seja experimental

As mediccedilotildees baseavam-se em algumas regras para se chegar a resultados

aproximados As civilizaccedilotildees ora acertavam em seus caacutelculos ora erravam pois

natildeo havia um rigor matemaacutetico que os ajudasse em seus caacutelculos Mas somente a

partir do conhecimento desenvolvido pelos matemaacuteticos gregos eacute que a

Geometria pocircde ser estabelecida como teoria dedutiva Assim atraveacutes do

raciociacutenio dedutivo comeccedilaram a provar a veracidade das proposiccedilotildees atraveacutes de

Hipoacuteteses e Demonstraccedilotildees Tales de Mileto (624-547 aC) e seu disciacutepulo

Pitaacutegoras (572-497 aC figura 2) reuniram todo o conhecimento do Egito da

Etuacuterria da Babilocircnia e mesmo da Iacutendia para desenvolvecirc-los e aplicaacute-los agrave

matemaacutetica navegaccedilatildeo e religiatildeo A curiosidade crescia e os livros sobre

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estaca para traccedilar ciacuterculos e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos

geocircmetras O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola

pitagoacuterica chegou a afirmar que a Terra era esfeacuterica e natildeo plana Surgiam novas

construccedilotildees geomeacutetricas e suas aacutereas e periacutemetros eram agora faacuteceis de calcular

Figura 2 - Pitaacutegora e as relaccedilotildees meacutetricas no triacircngulo retacircngulo

Pitaacutegoras apoacutes suas viagens ao Egito e agrave Babilocircnia estabeleceu-se em Crotona

(cidade ao sul da Itaacutelia) e fundou o que chamamos de ldquoEscola Pitagoacutericardquo um culto

religioso e filosoacutefico que pregava a purificaccedilatildeo do espiacuterito atraveacutes da muacutesica e da

matemaacutetica Poreacutem natildeo existem documentos matemaacuteticos produzidos por eles

que tenham sido encontrados O que haacute registrado na Histoacuteria da Matemaacutetica eacute

um resumo feito por Proclo comentando os Elementos de Euclides do seacuteculo V

aC referindo-se a Tales de Mileto (figura 3) como o introdutor da Geometria na

Greacutecia por importaccedilatildeo do Egito

Figura 3 - Teorema de Tales importante ferramenta na determinaccedilatildeo de medidas

utilizando a proporcionalidade

As influecircncias da Geometria nas Ciecircncias fiacutesicas foi muito importante Como

exemplo o astrocircnomo Johannes Kepler mostrou que as relaccedilotildees entre as

velocidades maacuteximas e miacutenimas dos planetas propriedades intriacutensecas das

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oacuterbitas estavam em razotildees harmocircnicas (relaccedilotildees musicais) afirmando ser uma

muacutesica que soacute podia ser percebida com os ouvidos da alma (a mente do geocircmetra)

A introduccedilatildeo do ldquoPlano Cartesianordquo tambeacutem trouxe uma soluccedilatildeo simplificada para

os problemas de Aacutelgebra transformando-os em problemas de Geometria

POLIEDRO

Os poliedros satildeo figuras que fazem parte da geometria espacial ou seja

possuem trecircs dimensotildees (comprimento largura e altura) formados de

veacutertices arestas e faces As faces do poliedro satildeo formadas por poliacutegonos (figura

plana fechada e composta de n segmentos de retas) e as arestas e os veacutertices

correspondem aos lados e aos veacutertices dos poliacutegonos

O Teorema ou Relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelido somente para poliedros regulares os quais

todas as faces possuem o mesmo nuacutemero de arestas e satildeo compostos de poliacutegonos

regulares ou seja cada um com o mesmo nuacutemero de lados Ademais nos

poliacutegonos regulares para cada veacutertice converge um mesmo nuacutemero de arestas

Natildeo obstante o Teorema de Euler estabelece uma relaccedilatildeo entre o nuacutemero

de faces veacutertices e arestas a saber 119881 + 119865 minus 119860 = 2 sendo F o nuacutemero de

faces V o nuacutemero de veacutertices e A o nuacutemero de arestas

Alguns poliedros podem ser classificados em prismas (figura 4) ou piracircmides (figura

5) de acordo com suas caracteriacutesticas

Figura 4 - Prisma triangular

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Figura 5 - Piracircmide quadrangular

PRISMAS

Textos histoacutericos mostram que o prisma eacute uma figura geomeacutetrica conhecida desde

antes de 2000 aC pois segundo Eves (2004) os estudiosos da eacutepoca jaacute mostram-

se familiarizados com o volume do paralelepiacutepedo reto retacircngulo e mais

geralmente do volume do prisma reto de base trapezoidal Estudos produzidos

historicamente mostram que diversos estudiosos dedicaram-se ao estudo do

prisma Dentre estes estudiosos podemos destacar Platatildeo Demoacutecrito e

Arquimedes Platatildeo que viveu no IV seacuteculo aC dentre os seus estudos

geomeacutetricos mostrou interesse pelo estudo do cubo quando estudou os poliedros

regulares Ele associava cada poliedro com um dos elementos naturais sendo que

o cubo era associado com o elemento terra Enquanto Demoacutecrito comparou o

volume do prisma com o volume da piracircmide e Arquimedes (287 ndash 212 aC) definiu

os soacutelidos arquimedianos Baseado nestes e outros dados diversos matemaacuteticos

dedicaram-se ao estudo do prisma com objetivos diversos neste trabalho seraacute

abordado o conceito de prisma segundo alguns autores contemporacircneos

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico que faz parte da geometria espacial

caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (poliacutegonos iguais)

congruentes e paralelas aleacutem das faces planas laterais (paralelogramos) Note

que os elementos que compotildeem o prisma satildeo base altura arestas veacutertices e

faces laterais

Assim as arestas das bases do prisma satildeo os lados das bases do poliacutegono

enquanto que as arestas laterais correspondem aos lados das faces que natildeo

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pertencem agraves bases Ademais os veacutertices do prisma satildeo os pontos de encontro das

arestas e a altura eacute calculada pela distacircncia entre os planos das bases

Classificaccedilatildeo dos Prismas Os primas (figura 6) satildeo classificados em retos (possuem

arestas laterais perpendiculares agrave base) e obliacutequos (possuem arestas laterais

obliacutequas agrave base)

Figura 6 - prima reto (A) e prisma obliacutequo (B)

Bases do Prisma

De acordo com o formato das bases os primas (figura 7) satildeo classificados em

- Prisma Triangular base formada por triacircngulo

- Prisma Quadrangular base formada por quadrado

- Prisma Pentagonal base formada por pentaacutegono

- Prisma Hexagonal base formada por hexaacutegono

- Prisma Heptagonal base formada por heptaacutegono

- Prisma Octogonal base formada por octoacutegono

Figura 7 - Exemplos de prismas

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Importante ressaltar que os chamados ldquoprismas regularesrdquo satildeo aqueles cujas bases

satildeo poliacutegonos regulares e portanto formados por prismas retos Note que se

todas as faces do prisma forem quadrados trata-se de um cubo e se todas as

faces satildeo paralelogramos o prisma eacute um paralelepiacutepedo

Aacutereas do Prisma

- Aacuterea Lateral (119860119871) para calcular a aacuterea lateral do prisma basta somar as aacutereas das

faces laterais Assim a aacuterea lateral de um prisma reto que possui todas as aacutereas

das faces laterais congruentes utiliza-se a foacutermula 119860119871 = 119899 times 119860 onde 119899 =

nuacutemero de lados e 119860119871 = aacuterea da face lateral

- Aacuterea Total (119860119879) para calcular a aacuterea total de um prisma basta somar as aacutereas das

faces laterais e as aacutereas das bases a saber 119860119879 = 119860119871 + 2 times 119860119861 onde 119860119861 = aacuterea

do poliacutegono da base

Volume do Prisma

O volume (119881) do prisma eacute calculado pela seguinte foacutermula 119881 = 119860119861 times ℎ onde

119860119861 = aacuterea do poliacutegono da base e ℎ = altura do prisma

PIRAcircMIDES

Pode-se perceber atraveacutes das piracircmides do Egito que o estudo da piracircmide tem

despertado interesse haacute milhares de anos Observa-se isso atraveacutes da grande

piracircmide de Gizeacute construiacuteda por volta de 2600 aC em que ldquoo erro relativo

envolvendo os lados da base quadrada eacute inferior a 114000 e o erro relativo

envolvendo os acircngulos retos dos veacutertices da base natildeo excedem a 127000rdquo (EVES

2004) mostrando assim o conhecimento e a capacidade de engenharia

empreendida na obra Para uma anaacutelise mais aprofundada sobre a engenharia da

eacutepoca eacute preciso considerar que os estudiosos babilocircnicos tinham um

conhecimento matemaacutetico superior aos dos egiacutepcios no mesmo periacuteodo ao

mesmo tempo em que a matemaacutetica romana era bastante inferior agrave da Greacutecia

nestes mesmos anos Um dado que torna clara a inferioridade da matemaacutetica

egiacutepcia eacute o fato de que esta natildeo distinguia claramente medidas exatas de medidas

aproximadas Um exemplo disso eacute que ldquoo volume de um tronco de piracircmide era

achado agraves vezes tomando a meacutedia aritmeacutetica das bases e multiplicando pela

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Importante ressaltar que os chamados ldquoprismas regularesrdquo satildeo aqueles cujas bases

satildeo poliacutegonos regulares e portanto formados por prismas retos Note que se

todas as faces do prisma forem quadrados trata-se de um cubo e se todas as

faces satildeo paralelogramos o prisma eacute um paralelepiacutepedo

Aacutereas do Prisma

- Aacuterea Lateral (119860119871) para calcular a aacuterea lateral do prisma basta somar as aacutereas das

faces laterais Assim a aacuterea lateral de um prisma reto que possui todas as aacutereas

das faces laterais congruentes utiliza-se a foacutermula 119860119871 = 119899 times 119860 onde 119899 =

nuacutemero de lados e 119860119871 = aacuterea da face lateral

- Aacuterea Total (119860119879) para calcular a aacuterea total de um prisma basta somar as aacutereas das

faces laterais e as aacutereas das bases a saber 119860119879 = 119860119871 + 2 times 119860119861 onde 119860119861 = aacuterea

do poliacutegono da base

Volume do Prisma

O volume (119881) do prisma eacute calculado pela seguinte foacutermula 119881 = 119860119861 times ℎ onde

119860119861 = aacuterea do poliacutegono da base e ℎ = altura do prisma

PIRAcircMIDES

Pode-se perceber atraveacutes das piracircmides do Egito que o estudo da piracircmide tem

despertado interesse haacute milhares de anos Observa-se isso atraveacutes da grande

piracircmide de Gizeacute construiacuteda por volta de 2600 aC em que ldquoo erro relativo

envolvendo os lados da base quadrada eacute inferior a 114000 e o erro relativo

envolvendo os acircngulos retos dos veacutertices da base natildeo excedem a 127000rdquo (EVES

2004) mostrando assim o conhecimento e a capacidade de engenharia

empreendida na obra Para uma anaacutelise mais aprofundada sobre a engenharia da

eacutepoca eacute preciso considerar que os estudiosos babilocircnicos tinham um

conhecimento matemaacutetico superior aos dos egiacutepcios no mesmo periacuteodo ao

mesmo tempo em que a matemaacutetica romana era bastante inferior agrave da Greacutecia

nestes mesmos anos Um dado que torna clara a inferioridade da matemaacutetica

egiacutepcia eacute o fato de que esta natildeo distinguia claramente medidas exatas de medidas

aproximadas Um exemplo disso eacute que ldquoo volume de um tronco de piracircmide era

achado agraves vezes tomando a meacutedia aritmeacutetica das bases e multiplicando pela

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alturardquo (BOYER 1974) Em contrapartida tem-se o papiro de Moscou que traz uma

foacutermula para o caacutelculo do volume de um tronco de piracircmide de base quadrada que

pode ser usada ateacute os dias atuais

A piracircmide eacute uma figura geomeacutetrica espacial um poliedro composto por uma

base (triangular pentagonal quadrada retangular paralelogramo) um veacutertice

(veacutertice da piracircmide o ponto mais distante da base da piracircmide) que une todas as

faces laterais triangulares

Em outros termos a piracircmide eacute um soacutelido geomeacutetrico de base poligonal que

possui todos os veacutertices num plano (plano da base) donde sua altura corresponde

a distacircncia entre o veacutertice e sua base Observe que o nuacutemero de lados do poliacutegono

da base corresponde ao nuacutemero de faces laterais da piracircmide

Elementos da Piracircmide

Figura 8 - Piracircmide quadrangular regular Figura 9 - Piracircmide

quadrangular

Das figuras 9 e 10

- Base (B) corresponde agrave regiatildeo plana poligonal na qual se sustenta a piracircmide

- Arestas laterais segmentos formados pela distacircncia do veacutertice da piracircmide ateacute

sua base

- Apoacutetema da piracircmide (mrsquo) corresponde agrave altura de cada face lateral

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- Apoacutetema da base (m) Medida que vai do ponto P ateacute qualquer lado da base de

modo que forme um acircngulo de 90deg com o lado da base

- Superfiacutecie Lateral eacute a superfiacutecie polieacutedrica composta por todas as faces laterais

da piracircmide

- Veacutertice da piracircmide (V) representa o ponto de uniatildeo de todas as arestas laterais

- Altura da piracircmide (h) eacute a altura medida de V ateacute P Como estamos falando de

piracircmides retas entatildeo a altura seraacute sempre a medida de V ateacute P

- P ndash Ponto central da aacuterea da base

- r ndash Medida do ponto P ateacute qualquer veacutertice da base

Tipos de Piracircmide

Segundo as bases e o nuacutemero arestas que formam as piracircmides elas satildeo

classificadas

- Piracircmide Triangular sua base eacute um triacircngulo composta de quatro faces (trecircs

faces laterais e a face da base)

- Piracircmide Quadrangular sua base eacute um quadrado composta de cinco faces

(quatro faces laterais e a face da base)

- Piracircmide Pentagonal sua base eacute um pentaacutegono composta de seis faces (cinco

faces laterais e a face da base)

- Piracircmide Hexagonal sua base eacute um hexaacutegono composta de sete faces (seis faces

laterais e face da base)

No tocante agrave inclinaccedilatildeo da base as piracircmides satildeo classificadas em piracircmides retas

(a reta que une o veacutertice da piracircmide ao centro da base eacute perpendicular ao plano

que contem a base) ou piracircmides obliacutequas (a reta que une o veacutertice da piracircmide

(ponto mais alto) ao centro da base natildeo eacute perpendicular ao plano que contem a

base)

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Figura 10 - O Museu do Louvre em Paris tem a forma de uma piracircmide de base

quadrangular

httpwwwinfoescolacomhistoriamuseu-do-louvre

Aacutereas

Para calcular a aacuterea total da piracircmide (119860119879) utiliza-se a seguinte foacutermula 119860119879 = 119860119871 +

119860119861 onde 119860119871 Aacuterea lateral (soma das aacutereas de todas as faces laterais) e 119860119861 Aacuterea

da base

Volume

Temos um prisma e uma piracircmide com a mesma base e a mesma altura (figura 11)

Vamos comparar os seus volumes

Figura 11 - Piracircmide e prisma com a mesma base e a mesma altura

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Figura 10 - O Museu do Louvre em Paris tem a forma de uma piracircmide de base

quadrangular

httpwwwinfoescolacomhistoriamuseu-do-louvre

Aacutereas

Para calcular a aacuterea total da piracircmide (119860119879) utiliza-se a seguinte foacutermula 119860119879 = 119860119871 +

119860119861 onde 119860119871 Aacuterea lateral (soma das aacutereas de todas as faces laterais) e 119860119861 Aacuterea

da base

Volume

Temos um prisma e uma piracircmide com a mesma base e a mesma altura (figura 11)

Vamos comparar os seus volumes

Figura 11 - Piracircmide e prisma com a mesma base e a mesma altura

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Se enchermos de aacutegua e vertermos dentro do prisma ficaraacute cheia uma terccedila parte

deste Quer dizer satildeo necessaacuterias trecircs piracircmides para completar o volume do

prisma

Figura 12 Volume da piracircmide ocupando a terccedila parte do volume do prisma

Para calcular o volume da piracircmide tem-se a expressatildeo

119881119901119894119903acirc119898119894119889119890 =1

3Aacute119903119890119886119887119886119904119890 times 119886119897119905119906119903119886

METODOLOGIA

O projeto foi desenvolvido em uma turma de segundo ano do Ensino Meacutedio do

Coleacutegio Passos Firmes em Matelacircndia com 24 alunos no mecircs de setembro de

2014 Nessa turma foi abordado o conteuacutedo de poliedros destacando para este

trabalho os prismas e as piracircmides dentro das oito horasaula propostas

utilizando construccedilotildees para manipulaccedilatildeo aleacutem de atividades contextualizadas e

demonstraccedilotildees praacuteticas para o entendimento de foacutermulas Nas duas primeiras

aulas uma revisatildeo em geometria plana em especial os poliacutegonos regulares

Aplicando atividades para calcular a aacuterea das figuras planas fazendo as correccedilotildees

e esclarecendo as duacutevidas Nas trecircs aulas seguintes divisatildeo da turma em grupos

de quatro alunos e relatando sobre os prismas e as piracircmides em seguida foi feita

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

uma oficina com os alunos onde eles aprenderam a confeccionar estruturas que

representam esboccedilos de soacutelidos geomeacutetricos Nas trecircs aulas finais cada grupo de

alunos apresentaram os trabalhos aos outros colegas fazendo o caacutelculo de aacuterea

total e volume de cada figura

4 Desenvolvimento das Atividades

Para a elaboraccedilatildeo desse trabalho foi necessaacuterio a utilizaccedilatildeo de canudos de jornais

cola fita adesiva reacutegua e tesoura Com o uso de canudos de jornais eles aprendem

a montar as figura por meio de suas arestas As atividades desenvolvidas com

detalhes (fotos) estatildeo na sequecircncia

- Atividade 1 Construccedilatildeo de prismas

Figura 13 - Confecccedilotildees dos canudos de jornais

Figura 14 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio montando um prisma triangular

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Figura 15 - Alunas do 2ordm ano do Ensino Meacutedio colocando as diagonais de um cubo

Figura 16 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio apresentando um prisma octogonal

Figura 17 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio preparando as base do prisma hexagonal

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Figura 18 - Bases do prisma hexagonal com suas arestas laterais

Figura 19 - Prisma hexagonal destacando suas diagonais

- Atividade 2 Construccedilatildeo de piracircmides

Figura 20 - Piracircmide quadrangular destacando a sua altura diagonal da base e o

apoacutetema da base

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Figura 21 - Piracircmide triangular regular destacando sua altura e os apoacutetemas

Figura 22 - Piracircmide hexagonal regular destacando a altura o apoacutetema da base e

diagonal da base

- Atividade 3 Construccedilatildeo composta de primas e piracircmides

Figura 23 - Construccedilatildeo composta de um prisma hexagonal regular e uma piracircmide

hexagonal regular

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Figura 24 - Cubo com uma piracircmide quadrangular regular inscrita

5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial

fazendo com que os alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem

durante seu desenvolvimento que as atividade com formas geomeacutetricas podem

ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos alunos (esqueleto

do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio

estimulante Coerentemente com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita

permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica buscando cada vez mais

aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade Eacute

importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes

da figuras geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que

foram abordados contribuindo no desenvolvimento do processo de ensino-

aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para

que os professores constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de

geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela primeira vez jaacute que nem sempre

os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de

geometria espacial seja repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera

memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais efetiva para um processo de

ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

ABSTRACT

The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack of prerequisites by the content of pupils underlying geometry In relation to an ideal class has led educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the use of manual work techniques arouse students interest in learn

KEYWORDS spatial geometry high school teacher teaching and learning

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

REFEREcircNCIAS

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo

Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp

2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD

1990

lthttpsletrasfaccatbrmoodlemodresourceviewphpid=368gt CALONI E

MELLO Joseane Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino

Meacutedio atividades praacuteticas e contextualizadas para uma aprendizagem mais

significativa

lthttpwwwsomatematicacombrhistoriaphpgt Acesso de janeiro de 2015 agrave

setembro de 2015

lthttpwwwdiaadiaeducacaoprgovbrportalspdearquivos2455-8pdfgt

Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em

Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida Verona e Maria Regina Macieira

Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

lthttpmateeducblogspotcombr201203primordios-da-geometria-suas-

origens-nahtmlgt Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens

na Histoacuteria

lthttpwwwtrabalhosfeitoscomensaiosOficina-De-

Canudinho43655365htmlgt Acesso fevereiro de 2015 Oficina de canudinho

(2013) TrabalhosFeitoscom

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Figura 15 - Alunas do 2ordm ano do Ensino Meacutedio colocando as diagonais de um cubo

Figura 16 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio apresentando um prisma octogonal

Figura 17 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio preparando as base do prisma hexagonal

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Figura 18 - Bases do prisma hexagonal com suas arestas laterais

Figura 19 - Prisma hexagonal destacando suas diagonais

- Atividade 2 Construccedilatildeo de piracircmides

Figura 20 - Piracircmide quadrangular destacando a sua altura diagonal da base e o

apoacutetema da base

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Figura 21 - Piracircmide triangular regular destacando sua altura e os apoacutetemas

Figura 22 - Piracircmide hexagonal regular destacando a altura o apoacutetema da base e

diagonal da base

- Atividade 3 Construccedilatildeo composta de primas e piracircmides

Figura 23 - Construccedilatildeo composta de um prisma hexagonal regular e uma piracircmide

hexagonal regular

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Figura 24 - Cubo com uma piracircmide quadrangular regular inscrita

5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial

fazendo com que os alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem

durante seu desenvolvimento que as atividade com formas geomeacutetricas podem

ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos alunos (esqueleto

do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio

estimulante Coerentemente com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita

permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica buscando cada vez mais

aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade Eacute

importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes

da figuras geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que

foram abordados contribuindo no desenvolvimento do processo de ensino-

aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para

que os professores constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de

geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela primeira vez jaacute que nem sempre

os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de

geometria espacial seja repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera

memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais efetiva para um processo de

ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

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ABSTRACT

The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack of prerequisites by the content of pupils underlying geometry In relation to an ideal class has led educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the use of manual work techniques arouse students interest in learn

KEYWORDS spatial geometry high school teacher teaching and learning

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

REFEREcircNCIAS

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo

Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp

2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD

1990

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MELLO Joseane Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino

Meacutedio atividades praacuteticas e contextualizadas para uma aprendizagem mais

significativa

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setembro de 2015

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Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em

Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida Verona e Maria Regina Macieira

Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

lthttpmateeducblogspotcombr201203primordios-da-geometria-suas-

origens-nahtmlgt Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens

na Histoacuteria

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Canudinho43655365htmlgt Acesso fevereiro de 2015 Oficina de canudinho

(2013) TrabalhosFeitoscom

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Figura 18 - Bases do prisma hexagonal com suas arestas laterais

Figura 19 - Prisma hexagonal destacando suas diagonais

- Atividade 2 Construccedilatildeo de piracircmides

Figura 20 - Piracircmide quadrangular destacando a sua altura diagonal da base e o

apoacutetema da base

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Figura 21 - Piracircmide triangular regular destacando sua altura e os apoacutetemas

Figura 22 - Piracircmide hexagonal regular destacando a altura o apoacutetema da base e

diagonal da base

- Atividade 3 Construccedilatildeo composta de primas e piracircmides

Figura 23 - Construccedilatildeo composta de um prisma hexagonal regular e uma piracircmide

hexagonal regular

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Figura 24 - Cubo com uma piracircmide quadrangular regular inscrita

5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial

fazendo com que os alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem

durante seu desenvolvimento que as atividade com formas geomeacutetricas podem

ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos alunos (esqueleto

do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio

estimulante Coerentemente com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita

permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica buscando cada vez mais

aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade Eacute

importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes

da figuras geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que

foram abordados contribuindo no desenvolvimento do processo de ensino-

aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para

que os professores constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de

geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela primeira vez jaacute que nem sempre

os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de

geometria espacial seja repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera

memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais efetiva para um processo de

ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

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ABSTRACT

The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack of prerequisites by the content of pupils underlying geometry In relation to an ideal class has led educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the use of manual work techniques arouse students interest in learn

KEYWORDS spatial geometry high school teacher teaching and learning

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

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BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo

Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp

2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD

1990

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Meacutedio atividades praacuteticas e contextualizadas para uma aprendizagem mais

significativa

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na Histoacuteria

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Figura 21 - Piracircmide triangular regular destacando sua altura e os apoacutetemas

Figura 22 - Piracircmide hexagonal regular destacando a altura o apoacutetema da base e

diagonal da base

- Atividade 3 Construccedilatildeo composta de primas e piracircmides

Figura 23 - Construccedilatildeo composta de um prisma hexagonal regular e uma piracircmide

hexagonal regular

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Figura 24 - Cubo com uma piracircmide quadrangular regular inscrita

5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial

fazendo com que os alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem

durante seu desenvolvimento que as atividade com formas geomeacutetricas podem

ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos alunos (esqueleto

do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio

estimulante Coerentemente com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita

permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica buscando cada vez mais

aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade Eacute

importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes

da figuras geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que

foram abordados contribuindo no desenvolvimento do processo de ensino-

aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para

que os professores constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de

geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela primeira vez jaacute que nem sempre

os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de

geometria espacial seja repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera

memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais efetiva para um processo de

ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

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ABSTRACT

The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack of prerequisites by the content of pupils underlying geometry In relation to an ideal class has led educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the use of manual work techniques arouse students interest in learn

KEYWORDS spatial geometry high school teacher teaching and learning

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

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BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo

Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp

2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD

1990

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MELLO Joseane Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino

Meacutedio atividades praacuteticas e contextualizadas para uma aprendizagem mais

significativa

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setembro de 2015

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Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em

Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida Verona e Maria Regina Macieira

Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

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origens-nahtmlgt Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens

na Histoacuteria

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Canudinho43655365htmlgt Acesso fevereiro de 2015 Oficina de canudinho

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R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

Figura 24 - Cubo com uma piracircmide quadrangular regular inscrita

5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial

fazendo com que os alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem

durante seu desenvolvimento que as atividade com formas geomeacutetricas podem

ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos alunos (esqueleto

do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio

estimulante Coerentemente com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita

permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica buscando cada vez mais

aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade Eacute

importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes

da figuras geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que

foram abordados contribuindo no desenvolvimento do processo de ensino-

aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para

que os professores constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de

geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela primeira vez jaacute que nem sempre

os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de

geometria espacial seja repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera

memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais efetiva para um processo de

ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

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ABSTRACT

The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack of prerequisites by the content of pupils underlying geometry In relation to an ideal class has led educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the use of manual work techniques arouse students interest in learn

KEYWORDS spatial geometry high school teacher teaching and learning

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

REFEREcircNCIAS

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo

Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp

2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD

1990

lthttpsletrasfaccatbrmoodlemodresourceviewphpid=368gt CALONI E

MELLO Joseane Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino

Meacutedio atividades praacuteticas e contextualizadas para uma aprendizagem mais

significativa

lthttpwwwsomatematicacombrhistoriaphpgt Acesso de janeiro de 2015 agrave

setembro de 2015

lthttpwwwdiaadiaeducacaoprgovbrportalspdearquivos2455-8pdfgt

Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em

Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida Verona e Maria Regina Macieira

Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

lthttpmateeducblogspotcombr201203primordios-da-geometria-suas-

origens-nahtmlgt Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens

na Histoacuteria

lthttpwwwtrabalhosfeitoscomensaiosOficina-De-

Canudinho43655365htmlgt Acesso fevereiro de 2015 Oficina de canudinho

(2013) TrabalhosFeitoscom

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

ABSTRACT

The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack of prerequisites by the content of pupils underlying geometry In relation to an ideal class has led educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the use of manual work techniques arouse students interest in learn

KEYWORDS spatial geometry high school teacher teaching and learning

R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124

REFEREcircNCIAS

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo

Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp

2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD

1990

lthttpsletrasfaccatbrmoodlemodresourceviewphpid=368gt CALONI E

MELLO Joseane Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino

Meacutedio atividades praacuteticas e contextualizadas para uma aprendizagem mais

significativa

lthttpwwwsomatematicacombrhistoriaphpgt Acesso de janeiro de 2015 agrave

setembro de 2015

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Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em

Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida Verona e Maria Regina Macieira

Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

lthttpmateeducblogspotcombr201203primordios-da-geometria-suas-

origens-nahtmlgt Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens

na Histoacuteria

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Canudinho43655365htmlgt Acesso fevereiro de 2015 Oficina de canudinho

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REFEREcircNCIAS

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo

Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp

2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD

1990

lthttpsletrasfaccatbrmoodlemodresourceviewphpid=368gt CALONI E

MELLO Joseane Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino

Meacutedio atividades praacuteticas e contextualizadas para uma aprendizagem mais

significativa

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Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em

Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida Verona e Maria Regina Macieira

Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

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origens-nahtmlgt Acesso de janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens

na Histoacuteria

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Canudinho43655365htmlgt Acesso fevereiro de 2015 Oficina de canudinho

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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCACcedilAtildeO DO PARANAacute Diretrizes Curriculares da

Educaccedilatildeo Baacutesica Matemaacutetica Paranaacute 2008

SILVA Tomaz T O que Produz e o que Reproduz em Educaccedilatildeo Porto Alegre

Artmed 1992

Recebido 02 dez 2016

Aprovado 09 ago 2017

DOI

Como citar BARBOSA S A RIBEIRO L S Construccedilatildeo de figuras geomeacutetricas espaciais com canudos de jornais no estudo da geometria espacial R Eletr Cient Inov Tecnol Medianeira Ediccedilatildeo Especial Cadernos Matemaacutetica E ndash 5124 Disponiacutevel em lthttpsperiodicosutfpredubrrecitgt Acesso em XXX

Correspondecircncia

Direito autoral Este artigo estaacute licenciado sob os termos da Licenccedila Creative Commons-Atribuiccedilatildeo 40

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