Conservação de Massa Esvaziamento de um tanque de água.
Transcript of Conservação de Massa Esvaziamento de um tanque de água.
Conservação de Massa
Esvaziamento de um tanque de água
Características do Tanque
• Base retangular com 13,9cm por 32,0cm de dimensões internas, e profundidade máxima de 25,0cm.
Característica Experimental
• ho nível inicial da água; • hf é o nível final é ; • h é o nível da água no instante genérico t;• m é a massa correspondente de água contida no
reservatório nesse mesmo instante; • A, uma constante neste caso, é a área da superfície
livre da água.
Resultados Experimentais
Primeira etapa da Modelagem – Lei fundamental de conservação
• Em um instante t e um pequeno intervalo de tempo t, tem-se:
– No instante t a massa de água contida no tanque é m e esse valor sofre uma redução de m durante o intervalo de t, pois uma pequena quantidade de água abandona o reservatório.
m = - aQt, onde a é a massa específica da água e Q a vazão de efluxo.
• Dividindo-se por t, chega-se a m/t = - aQ, ou, no limite, com t tendendo a zero,
Qdt
dma
• Substituindo-se m pelo produto aA(h-hf) obtém-se a equação diferencial seguinte:
com a condição inicial, h=ho quanto t=0
Qdt
dma
A
Q
dt
hhd f )(
Segunda Etapa da Modelagem – lei particular
Conhecimento de como a Vazão (Q) depende da diferença de potencial (h-hf)
Primeira hipótese
• Supõe-se inicialmente, que a vazão de saída da água pelo orifício seja constante, igual a Qo, o seu valor observado no ínicio do processo, ou seja, na vizinhança de t=0.
• Como hf é uma constante
A
Q
dt
hhdof
)(
A
Q
dt
dh o
A
Q
dt
dh o
t
hh
dt
dh o
t
0lim
A
Q
t
hh oo
tA
Qhh oo .
Resultado
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400t (s)
h -
hf (
cm
)
Dadosequ. (3.5a)
Segunda hipótese
• Supõe-se que Q seja linearmente proporcional ao potencial (h–hf)
• em que Cb é uma constante.
• Substituindo-se este valor de Q na equação:
• Resulta uma nova equação diferencial:
)h(hCQ fb
A
Q
dt
)hd(h f
A
)h(hC
dt
)hd(h fbf
• O valor de Cb pode ser estimado a partir da condição inicial:
ou:
• Resulta na equação diferencial:
)h(hoCQo fb
)( f
ob hho
QC
)( fo
fof
hhA
)h(hQ
dt
)hd(h
Equação Diferencial Ordinária Linear de 1ªOrdem
Resultado da Integração
))hA(h
tQ)exp(h(hhh
fo
ofof
Gráfico
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400t (s)
h -
hf (
cm)
Dados
Equ. (3.5a)
Equ. (3.8)
1ª Hipótese
2ª Hipótese
Terceira Hipótese
• Supõe-se agora que Q = Cc (h – hf)1/2, em que Cc é uma nova constante.
A
)h(hC
dt
)hd(h fcf2/1
Q0 = Cc (h0 – hf)1/2
Equação Separável não Linear
Resultado da Integração
2
f0
0f0f t
)h2A(h
Q1)h(hhh
Gráfico
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400t (s)
h -
hf (
cm)
Dados
Equ. (3.10)3ª Hipótese
Outra Alternativa
• Uma outra alternativa, igualmente válida, poderia ser a de um maior investimento na linha dedutiva ao se construir o modelo matemático
• Deixando-se menos espaço para a busca de relações particulares como foi feito neste caso, no qual foi preciso pesquisar-se a relação entre a vazão de saída Q e a carga hidráulica (h – hf).
Imagine...
• Um reservatório com nível constante (condição para regime permanente) descarrega água (supostamente um fluido incompressível) por um orifício circular na sua base.
• Por hipótese, o escoamento não tem perdas (fluido hipoteticamente não viscoso).
• Nestas condições, pode-se aplicar a equação de Bernoulli (que resulta do princípio de conservação da quantidade de movimento linear) entre dois pontos da mesma linha de corrente, digamos, os pontos 1 e 2 na Figura abaixo:
Relação entre Q e (h-hf)
• Equação de Bernoulli
• Como p1 e p2 são iguais à pressão atmosférica e V1 é igual a zero, resulta que a vazão de saída Q é proporcional à raiz quadrada da carga hidráulica.
2222
2111 2
1
2
1VghpVghp
)(2 212 hhgV
Nova Situação
m = a (Qe - Qs).t
)( sea QQρdt
dm
m = aA(h–hf)
Note que Qe é constante e Qs é regido pela mesma lei particular observada nos experimentos anteriores.
A
dt
)hd(h sef
2/1)h(hA
C
A
Q
dt
)hd(hf
sef