ConjuntosConjuntosZenão de Eléia (filósofo grego) , viveu entre 490 e 430 a. C., já estudava e se preocupava com o conceito de conjuntos e a sua imensidão.

Em 1872 Georg Cantor (1845 – 1918), definiu e classificou os conjuntos através da “Teoria dos conjuntos”.Além da definição e de muitas outras contribuições, a teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos os ramos da matemática.

DefiniçãoDefiniçãoConjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;

Ex: A = {1, 2, 3}, “está entre chaves”

Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas.

Ex: 1, 2, 3 “não tem chaves”

PertinênciasPertinências

Pertence ou não pertence ( )

É usado entre elemento e conjunto.Contido ou não contido ( )

É usado entre subconjunto e conjunto.

Contém e não contém ( )

É usado entre conjunto e subconjunto.

Igualdade de conjuntosIgualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

Ex: {1, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 2}

OBS:A quantidade de vezes que os elementos dos conjuntos aparecem não importa.

Conjuntos vazio unitário Conjuntos vazio unitário e Universoe Universo

Conjunto vazio ( { } ou Ø )É o conjunto que não possui elementos.

Conjunto Unitário ( { a }, { Ø } )É conjunto formado por um elemento.

Conjunto Universo ( U )É conjunto formado por todos os

elementos de um assunto trabalhado.

Subconjuntos e a relação Subconjuntos e a relação de inclusãode inclusão

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 } Nesse caso A é subconjunto de B, ( ). O conjunto B é subconjunto de si mesmo, pois

todo conjunto é subconjunto de si mesmo. OBS: O conjunto vazio, { } ou Ø, é um

subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou Conjunto das partes ou potênciapotência

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, P(A) , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar P(A) é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto P(A) terá 2n elementos. Ou seja:

P(A) = 2n

Complementar de um Complementar de um conjuntoconjunto

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a

A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo . Matematicamente:

Exemplo:

Dados U = {1, 2, 3,4} e A = {1, 2} determine :

={3, 4}

Exemplos

1 - Quantos elementos possui o conjunto {3, 33, 333, 3333}?

2 - Seja o conjunto A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determine 3 subconjuntos de A, ou seja, 3 conjuntos que estejam contidos em A.

3 - Sabendo que A = {0, 1, 2, ..., 98, 99}, B = {1, 2, 10, 12} eC = {10, 11, 12, ..., 98, 99}, podemos afirmar que: a)A B⊂b)B C ⊂c)C A ⊂d) A C ⊂

Operações entre Operações entre conjuntosconjuntos

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:

Exemplos:

{1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4} {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

União ou reunião

Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, determine:

Aplicação

a) A B∪b) A C∪c) B C ∪d) A B C∪ ∪

IntersecçãoIntersecção

OBS:Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

5- Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, determine:

Aplicação

a) A∩ B b) A∩ C c) B∩ C d) A∩ B∩ C

DiferençaDiferençaSeja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

Exemplos:

{a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b} {a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b} {a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø

6 - Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, determine:

Aplicação

a) A-Bb) A-Cc) C-Bd) (B∩C) - A

Diagrama de VENN

Os diagramas de VENN mostram todas as relações lógicas possíveis entre uma coleção finita de conjuntos (uma agregação de coisas com a mesma característica).

Usados – relação de conjuntos (áreas de probabilidade, lógica, estatística e ciência da computação).

Os diagramas de VENN geralmente são desenhados dentro de um conjunto grande que denota o universo (o conjunto de todos os elementos em questão) e normalmente incluem círculos sobrepostos, embora outras formas alem dos círculos podem ser empregados.

Diagrama de VENN

A figura ao lado apresenta um diagrama de Venn que mostra a relação entre três conjuntos sobrepostos, A, B e C. O interior do círculo representa simbolicamente os elementos do conjunto, enquanto o exterior representa a elementos que não são membros do conjunto.

A relação de intersecção é definida como o equivalente da lógica “E”. Um elemento é um membro da intersecção de dois conjuntos se e somente se esse elemento é um membro de ambos conjuntos. .

7- Numa pesquisa em que foram ouvidas crianças, constatou-se que:

15 crianças gostavam de refrigerante.

25 crianças gostavam de sorvete 5 crianças gostavam de refrigerante e de sorvete.

Quantas crianças foram pesquisadas?

Aplicação

8- Numa concentração de atletas há 42 que jogam basquetebol, 28 voleibol e 18 voleibol e basquetebol, simultaneamente. Qual é o número de atletas na concentração?

9 - Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão, 1200 famílias foram entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370 famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20 famílias aos 3 programas.Com base nesses dados, determine:

a) quantas famílias não assistem a nenhum dos 3 programas? b) quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao

programa C? c) qual o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos

espectadores assistem somente a esse programa?

Vamos exercitar!!!!!