Conjuntos Numéricos INTRODUÇÃO · 2013-09-15 · 216./ = 30) 29 6. 01 = 31) ˇ8.34/ = ... →...
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Conjuntos Numéricos
INTRODUÇÃO
Conjuntos: São agrupamentos de elementos com algumas características comuns.
Ex.: Conjunto de casas, conjunto de alunos, conjunto de números.
Alguns termos:
Pertinência
Igualdade
Conjunto vazio
Conjunto universo
É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados.
Subconjuntos
OBSERVAÇÕES:
Relacionam ELEMENTO com CONJUNTO.
Pertence
Não pertence
Relacionam CONJUNTO com CONJUNTO.
Está contido
Não está contido
2
Contém
Não contém
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3,4, ...}; N* = {1, 2, 3, 4, ...}
Números Inteiros (Z)
•Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
•Z* = Z - {0}
•Z+ = {0, 1, 2, 3,...}; Z+ = N
•Z- = {0, -1, -2, -3, ...}
Números Racionais (Q)
Q = {... -2;... – 1;... – ⅝;... -⅓; 0;... ½;... 1;... 1,5...}
½ = 0,5 ¼ = 0,25 ⅔ = 0,666666...
• Se 2 é um número natural, ele também é inteiro e racional.
• Nem todo número racional é inteiro: ⅔.
• Nem todo inteiro é natural: -10.
Números Irracionais
π = 3,141592654...
√2 = 1,4142135 √3 = 1,7320508
Números Reais (R)
R* = R - {0}
Q Z N
R Q Z N I
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R+ = conjunto dos números reais não negativos
R- = conjunto dos números reais não positivos
INTERVALOS
Qualquer subconjunto dos números reais.
Intervalo aberto
Intervalo fechado
Intervalo semi-aberto à direita
Intervalo semi-aberto à esquerda
Intervalos infinitos
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Operações com Intervalos
Exemplos:
• Sejam A = {x € R I 2 < x < 5} e B = { x € R I 3 ≤ x < 8}. Determinar A ∩ B e A U B.
Resolução
• Sejam A = {x € R I -1 < x < 4} e B = {x € R I x ≤2}. Determinar A ∩ B e A U B.
Resolução
A ∩ B A U B
Resposta:
A ∩∩∩∩ B = { x € R I -1 < x ≤≤≤≤ 2} = ]-1,2]
Resposta:
A U B = { x € R I x < 4} = ]- ∞∞∞∞,4[
-1 2
2
-1 4
A ∩∩∩∩ B
A
B
4
2
-1 4
A U B
A
B
A U B
2 8
3 8
2 5 A
B
A ∩∩∩∩ B
2 5
3 8
3 5
A
B
Resposta:
A ∩∩∩∩ B = { x € R I 3 ≤≤≤≤ x < 5} = [3,5[
Resposta:
A U B = { x € R I 2 < x < 8} = ]2,8[
A ∩ B A U B
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Operações com números reais
� Radicais
�� = � ↔ √� = �
Exemplos:
6� = 36 ↔ √36 = 6 − ��� = − �
� ↔ �− ���� = − ��
� √−625� = ∄
Propriedades do radicais
√��� = √�� √�� �
�� = √��
√�� � √��� = √���
� √�� �� = � √��� = � √�� �� √��� = � |�| , " #�$
� , " í%#�$ &
Exemplos
√300 =
√96�
√6� =
√729 =
�√10�� =
�8� =
�,−6-� =
�,−6-� =
Simplificação de expressões com radicais
Pré-Cálculo: Página 20 – Capítulo 2
10) √216./ =
30) √96.012 =
31) �8.34/ =
Racionalização
6
34) 0
√5 =
37) 678
=
38) � �7
2 =
Potenciação com expoentes racionais
u:� = √;�
u�� = √;��
,x + y- 7 = �,. + 4-�
53) � 2 . �:
� 7=
55) ,�2 . �
�-,3�: . �2
�- =
61) �9.@34/ =
63) �6A87�67
� =
65) /6787
. �678
=
� Polinômios e fatoração
Adição, subtração e multiplicação de polinômios
Um polinômio em x pode ser escrito na forma:
anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0
n – número inteiro não negativo
an≠ 0
Exemplos
(2x3 – 3x2 + 4x – 1) + (x3 + 2x2 – 5x + 3)
(4x2 + 3x – 4) – (2x3 + x2 – x + 2)
(3x + 2) . (4x2 – 5)→ Operar na forma horizontal
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(x2 – 4x + 3) . (x2 + 4x + 5) → Operar na forma vertical
OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS (Continuação)
� Produtos notáveis
1. PRODUTO de uma SOMA e uma DIFERENÇA:
(u + v)(u - v) = u2 – v2
2. QUADRADO de uma SOMA de dois termos:
(u + v)2 = u2 + 2uv + v2
3. QUADRADO de uma DIFERENÇA de dois termos:
(u – v)2 = u2 – 2uv + v2
4. CUBO de uma SOMA de dois termos:
(u + v)3 = u3+ 3u2v + 3uv2 + v3
5. CUBO de uma DIFERENÇA de dois termos:
(u – v)3 = u3 – 3u2v + 3uv2 – v3
Fatoração de polinômios usando produtos notáveis
Exemplos:
• 2x2 + 7x – 4
• x3 – 9x
• 2x3 + 2x2 – 6x (Colocar em evidência os fatores comuns)
• 25 x2 – 36 (Fatoração da diferença de dois quadrados)
• 9x2 + 6x + 1(Trinômio do quadrado perfeito)
• x3 – 64 (Fatoração da diferença de dois cubos)
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� Expressões fracionárias
Domínio de expressão algébrica Observem-se os quocientes (razões) abaixo: .� − 5. + 1
√.� + 1
2.� − .� + 15.� − . − 3
Note que: Enquanto os polinômios são definidos para todos os números reais, algumas
expressões algébricas não são para alguns números reais. Desta forma:
Domínio da expressão algébrica: É o conjunto dos números reais que definem uma expressão
algébrica.
Exemplos:
Definir o domínio das seguintes expressões:
3.� − . + 5 =
√. − 1 =
.. − 2 =
Simplificação de expressões racionais
u, v e z – números reais, variáveis ou expressões algébricas.
;BCB = ;
C ; B ≠ 0
Exemplo:
.� − 3..� − 9 =
OBSERVAÇÃO: As formas racional e reduzida da expressão têm que ser equivalentes, possuir o
mesmo domínio.
Operações com expressões racionais ;C = B
F ↔ ;F = CB
Expressão fracionária (ou fração), expressão algébrica.
Expressão fracionária (ou fração), expressão racional.
• Numerador e denominador pedem fatoração em fatores primos;
• Removidos os fatores primos, tem-se a forma reduzida da expressão racional (ou número racional).
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u, v, w, z – números reais, variáveis ou expressões algébricas, denominadores ≠ 0.
;C ± B
C = ; ± BC
;C ± F
B = ;B ± CFCB
;C . FB = ;F
CB
;C ÷ F
B = ;C . B
F = ;BCF
Exemplos:
2.� + 11. − 21.� + 2.� + 4. . .� − 8
.� + 5. − 14 ,J;KLM#KMN�çãQ-
.� + 1.� − . − 2 ÷ .� − . + 1
.� − 4. + 4 ,RMCMSãQ-
.3. − 2 + 3
. − 5 ,TQ%�-
2.� − 2. + 1
. − 3.� − 4 ,UVW;çãQ �Q %VS%Q WV"Q%M"�WQ$ − JJX-
Expressões racionais compostas
Exemplos:
� Equações
Propriedades:
u, v, w, z – números reais, varáveis ou expressões algébricas.
• Reflexiva: u = u
• Simétrica: u = v ↔ v = u
• Transitiva: u = v e v = w → u = w
• Adição: u = v e w = z → u + w = v + z
• Multiplicação: u = v e w = z →u . w = v. z
Exemplo: Provar que x = -2 e solução de x3 – x + 6
x - 3
7
1
3 x +2 -
1 - a2
1 -
b2
1
a
1 -
b
1
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Equações lineares com uma variável
Equação linear em x: ax + b a e b – números reais, a ≠ 0
Exemplos:
2(2x - 3) + 3(x + 1) = 5x + 2
54 − 28 = 2 + 4
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Solução de equações por meio de gráficos
y = 2x – 5
No gráfico o par ordenado é (5/2, 0)
y = 2x2 – 3x –2 (Por fatoração)
� Inequações
Inequações lineares com uma variável
Inequação linear em x:
ax + b < 0 , ax + b ≤ 0 , ax + b > 0 , ax + b ≥ 0
a, b – números reais, a≠0
Propriedades
• Transitiva: u < v e v < w → u < w
• Adição: u < v → u + w < v + w
Os valores por onde a reta intercepta o eixo
horizontal x são chamados raízes ou zeros da
função.
(5/2, 0)
(2, 0) (- 1/2, 0) Propriedade do fator zero
a e b – números reais → a . b = 0 → a = 0 ou b = 0
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u < v e u < w → u + w < v + z
• Multiplicação: u < v e c > 0 → uc < vc
u < v e c < 0 → uc > vc
OBSERVAÇÃO: As propriedades são verdadeiras se < é substituído por ≤. Há propriedades
similares para > e ≥.
Exemplos:
3(x – 1) + 2 ≤ 5x + 6
.3 + 1
2 > .4 + 1
3
– 3 < �6Z5
� ≤ 5
Soluções de inequações quadráticas
Exemplos:
x2 – x – 12 > 0
2x2 + 3x ≤ 20
x2 – 4x + 1 ≥ 0