Conjuntos Fuzzy

• HistóricoA idéia dos conjuntos nebulosos ou difusos (fuzzy) partiu de L.A. Zadeh e R. Bellman no Laboratório da IBM. Eles verificaram a necessidade de criar uma teoria que trabalhasse com a incerteza e a imprecisão em sistemas dinâmicos. Em 1965 Zadeh publicou o artigo “Fuzzy Sets” o qual faz a formalização dos conjuntos nebulosos.

Conjuntos Fuzzy

• Definição– Um conjunto fuzzy ou nebuloso é uma classe

com limites imprecisos.– Exemplos:

• Limites de um átomo• A classe de carros caros• A classe dos números pequenos• A classe das montanhas altas

Conjuntos Fuzzy

• Revisão de Conceitos de Teoria dos Conjuntos “abruptos” ou “crisp”– Na abordagem padrão de uma teoria matemática alguns

conceitos são primitivos e outros são derivados. Na teoria de conjuntos normalmente são conceitos primitivos:

• Conjunto A• Elemento a• Pertencer • Universo U

Conjuntos Fuzzy

• Revisão de Conceitos– Um conjunto pode ser descrito nomeando-se

todos os seus membros ou especificando algumas propriedades bem definidas que devem ser satisfeitas por todos os elementos do conjunto.

– A={a1, a2, ..., an}– B={b|b tem as propriedades P1, P2, ..., Pn}

Conjuntos Fuzzy• Revisão de Conceitos

– Contido ou Igual• A B = {x | x A e x B}

– Igual• A = B = {x | x A se e somente se x B}

– Não Igual A B– Contido

• Se A B e A B, então B contém ao menos um elemento que não é membro de A. A B.

– Conjunto Vazio

Conjuntos Fuzzy• Revisão de Conceitos

– O processo pelo qual elementos de um conjunto universo U são classificados como sendo ou não membros de um conjunto pode ser definido por uma funçãoA(x) = 1 se e somente se x A

0 se e somente se x ACardinalidade: o número de elementos que

pertencem ao conjunto |A|.

Conjuntos Fuzzy• Revisão de Conceitos – Propriedades

– Involução ( A) = A– Comutatividade AB=BA AB = BA– Associatividade (AB)C=A(BC)

(AB)C=A(BC)– Distributividade A(BC)=(AB) (AC)– Identidade A=A AU=A– Lei da Contradição A A=– Lei do Meio Excluído A A=U

Conjuntos Fuzzy

• Conceitos Primitivos– Em lugar da pertinência, uma função é tomada

como CONCEITO PRIMITIVO – Função de Pertinência

A : U [0,1]

Conjuntos Fuzzy• Conceitos Primitivos

– Exemplo – • Conjunto das idades U = {5,10,20,30,40,50,60,70,80}• E conjuntos fuzzy denominados: Criança, Adulto, Jovem, Velho• 5 1 0 1 0• 10 0 0 1 0• 20 0 .8 .8 .1• 30 0 1 .5 .2• 40 0 1 .2 .4• 50 0 1 .1 .6• 60 0 1 0 .8• 70 0 1 0 1• 80 0 1 0 1

Faça o gráfico

Conjuntos Fuzzy• Outras Definições

– Suporte: é o sub-conjunto do conjunto Universo para o qual a função de pertinência é não-nula.

• SupA={xX | A(x) > 0}• Notação = A = 1/x1 + 2/x2 + ... + n/xn• Jovem = 1/5 + 1/10 + 0.8/20 + 0.5/30 + 0.2/40 + 0.1/50

– Altura: maior valor de pertinência alcançado por qualquer elemento do conjunto

– Alfa-corte de um conjunto fuzzy A é o conjunto crisp A que contém todos os elementos do conjunto universo U que possuem grau de pertinência em A maior ou igual ao valor de .

Conjuntos Fuzzy• Outras Definições

– Alfa-corte – exemplo = 0.2 Jovem 0.2 = {5,10,20,30,40} = 0.5 Jovem 0.5 = {5,10,20}

– Cardinalidade: pode ser interpretada como a proporção dos elementos de U que estão em A.

• |A|= A(x)• |Velho| = 0.1+0.2+0.4+0.6+0.8+1+1 = 4.1

– Cardinalidade relativa ||A|| = |A|/|U|

Conjuntos Fuzzy

• Operações de Conjuntos Fuzzy– Inclusão: Se o grau de pertinência de cada

elemento do universo de discurso U em um conjunto fuzzy A for menor ou igual ao grau de pertinência no conjunto fuzzy B, então A é um subconjunto de B.

A(x) B(x) velho(x) adulto(x)

Conjuntos Fuzzy

• Operações de Conjuntos Fuzzy– Igualdade

A(x) = B(x) – Complemento

Ã(x) = 1 - A(x) • Não-velho =

1/5+1/10+.9/20+.8/30+.6/40+.4/50+.2/60• Não-velho NÃO É IGUAL A Jovem

Conjuntos Fuzzy• Operações de Conjuntos Fuzzy

– UNIÃO• A união de dois conjuntos fuzzy A e B é um conjunto fuzzy

AUB tal que:AUB(x) = max[A(x), B(x)] para todo x U• É o grau de pertinência a A ou o grau de pertinência a B, o que

for maior.• Jovem OU Velho = Jovem U Velho =

1/5+1/10+.8/20+.5/30+.4/40+.6+50+.8/60+1/70+1/80

Conjuntos Fuzzy• Operações de Conjuntos Fuzzy

– INTERSEÇÃO• A interseção de dois conjuntos fuzzy A e B é um conjunto

fuzzy AB tal que:A B(x) = min[A(x), B(x)] para todo x U• É o grau de pertinência a A ou o grau de pertinência a B, o que

for menor.• Jovem E Velho = Jovem Velho =

0.1/20+0.2/30+0.2/40+0.1+50

Conjuntos Fuzzy• Operações de Conjuntos Fuzzy

– UNIÃO FORTE A B = AB(x) = min[1,A(x) + B(x)] para todo x U

– INTERSEÇÃO FORTE A B = A B(x) = max[0,A(x) + B(x)] para todo x U

Conjuntos Fuzzy• Medidas de Nebulosidade

– O grau de nebulosidade expressa em nível global a dificuldade de decidir quais os elementos que pertencem ou não a um dado conjunto nebuloso.

– d(A)=0, a função é nula, se o conjunto é abrupto.– d(A)=máximo, ela se máxima se A(x)=0.5 para todo

x.

Conjuntos Fuzzy• Conjuntos Nebulosos e Probabilidade

– Imprecisão X Incerteza• Probabilidade é uma incerteza de que algo vai acontecer. É

relacionada com uma dúvida antes de ocorrer o evento.• Somatório das probabilidades = 1

• A imprecisão refere-se a algo que ocorre, mas não de maneira completa.

• Somatório dos graus de pertinência > 1.• Exemplo. Qual a probabilidade de uma pedra que eu achei na

rua ser de ouro? Qual a possibilidade de ela conter de ouro?

Conjuntos Fuzzy• Relações Nebulosas

– Uma relação em conjuntos crisp representa a presença ou ausência de associação, interação ou interconexão entre os elementos de dois ou mais conjuntos.

– Este conceito pode ser generalizado para permitir vários graus ou valores de relação entre os elementos. Graus de associação podem ser representados por graus de pertinência em uma relação nebulosa da mesma maneira que os graus de pertinência a conjuntos em um conjunto nebuloso.

– Seja o conjunto A e o conjunto B, considerando o produto cartesiano AXB, obter-se uma relação em AXB é selecionar dentre os elementos deste produto cartesiano, alguns elementos privilegiados.

Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas– Exemplo crisp:

• X={Inglês, Francês}, Y={dollar, libra, franco, marco}, Z={USA, França, Canadá, UK, Alemanha}

• R(X,Y,Z)={(Inglês, dollar, USA), (Francês, franco, França), (Inglês, dollar, Canadá), (Francês, dollar, Canadá), (Inglês, libra, UK)}

Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas– Exemplo nebuloso: R1 : y é maior que x

X\Y 3 4 5 61 0.5 0.9 1.0 1.02 0.3 0.5 0.9 1.03 0.0 0.3 0.5 0.94 0.0 0.0 0.3 0.55 0.0 0.0 0.0 0.3

Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas– Exemplo nebuloso: R2 : y é igual que x

X\Y 3 4 5 61 0.3 0.0 0.0 0.02 0.7 0.3 0.0 0.03 1.0 0.7 0.3 0.04 0.7 1.0 0.7 0.35 0.3 0.7 1.0 0.7

Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas– UNIÃO: é definido como o operador max

R1R2(x1,x2) = max(R1 (x1,x2), R2(x1,x2))– y é maior OU igual a x

X\Y 3 4 5 61 0.5 0.9 1.0 1.0

2 0.7 0.5 0.9 1.0

3 1.0 0.7 0.5 0.9

4 0.7 1.0 0.7 0.5

5 0.3 0.7 1.0 0.7

Conjuntos Fuzzy

• Relações Nebulosas– INTERSEÇÃO: é definido como o operador min

R1R2(x1,x2) = min(R1 (x1,x2), R2(x1,x2))– y é maior E igual a x

X\Y 3 4 5 61 0.3 0.0 0.0 0.0

2 0.3 0.3 0.0 0.0

3 0.0 0.0 0.3 0.3

4 0.0 0.0 0.3 0.3

5 0.0 0.0 0.0 0.3

Conjuntos Fuzzy• Relações Nebulosas

– COMPLEMENTO: R1 = 1- R1 (x1,x2)

y não é maior que x

– RELAÇÃO CLÁSSICA MAIS PRÓXIMA: • A relação clássica mais próxima da relação nebulosa é dada

por um conjunto dentro de a e b reais onde se tem um conjunto clássico que corresponde a um -corte igual a 0.5

RC (x1,x2) =1 se R (x1,x2) > = 0.5 RC (x1,x2) =0 se R (x1,x2) < 0