Conjuntos 2009
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Conjuntos
Matemática
Prof.: Junior
Conjunto: Idéia de coleção. (objetos,pessoas,animais...)
- Indicado por letras Maiúscula.
- Os objetos que formam um conjunto são denominados Elementos.
1- Representação:
1.1 – Listagem : A = { 2,4,6,8 }
1.2 – Característica comum a todos os seus elementos
Ex.: a) {x / x N e x<8} b) { x é vogal}
1.3 – Diagrama de Venn
D
2 – Relação de pertinência ( , )
É a relação que se estabelece entre elementos e conjuntos.
N = { 1,2,3 }
1 N
5 N
3. Conjunto Vazio: ou { }
É o conjunto que não possui elementos.
O conjunto vazio é subconjunto de
qualquer conjunto!
4 – Igualdade de Conjuntos:
Possuem os mesmos elementos.
A = { 1,2,3,4 }
B = { 4,3,1,2 }
5 - Subconjuntos
Se todos os elementos de um conjunto A são elementos de outro conjunto B, notamos:
A c B
A está contido em BA é subconjunto de B
A é parte de B
6 - Principais símbolos lógicos
/ Significa tal que
Significa existe ao menos um
| Significa existe um único
Significa qualquer que seja
Significa implica
Significa equivalente
7 – Conjunto das partes de A: P(A)
Formado por todos os subconjuntos de A.
Ex.: Dado A = { 1,2,3 } ,Teremos:
P(A) = { {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, }
Obs.: Se o conjunto A tem “n” elementos, então o conjunto elementos
Exemplo ¹:
B = { a,b,c } n( P(B) )= 2³ = 8 elementos
Exemplo ²:
Quantos elementos tem um conjunto de 2048 subconjuntos?
Exercícios
1 – Dado o conjunto A { 0,1,2,{3} }, diga se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas:
(01) 0 A (64) A
(02) 1 c A (128) 3 A
(04) {3} A
(08) {3} c A
(16) {1,2} c A
(32) c A
8- Operações com conjuntos
União: A B( formado pelos elementos que pertence a A ou B)
Intersecção: A ∩ B (formado por todos os elementos comuns a A e B)
Diferença: A-B (formado pelos elementos que pertencem A e não pertencem a B)
Obs.: Quando A ∩ B = , os conjuntos A e B são chamados de Disjuntos
Exemplo ¹= Considere os conjuntos A = { 0,2,4,6 } ,
B ={ 1,2,3,4 }, C ={ 0,3,6 } e D ={2,4,6}.Determine:
a) (A ∩ B) – (B ∩ D)b) (A U B) – (C U D)c) (A U B U C) – D
Exemplo ² : No diagrama a seguir, sombreie o que se pede:
a) A ∩ B
b) E – (A ∩ B)
c) B – A
d) ( A U B) – ( A ∩ B )
Complementar
Se B c A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A
Ex.: Se A ={ 1,2,3 } e B { 1,2,3,4} ,então
Resolução de problemas
1- Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte:250 delas lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A ?
b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal B ?
c) Quantas pessoas lêem jornais?
d) Quantas pessoas não lêem jornais?
Resolução de problemas
2 – Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos quem lêem ambos.
Resolução de problemas
3 – Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações : Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:
600 leram A Moreninha;400 leram Helena;300 leram Senhora;200 leram A Moreninha e Helena;150 leram A Moreninha e Senhora;100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras.
Calcule;a) O número de pessoas que leram apenas uma das três obras.b) O número de pessoas que não leram nenhuma das três obras.c) O número de pessoas que leram duas ou mais obras.
Resolução de problemas
4 – Numa cidade são consumidos três produtos A, B, e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela ao lado:
Pergunta-se:a) Quantas pessoas consomem apenas o
produto A?b) Quantas pessoas consomem o produto A
ou produto B ou o produto C?c) Quantas pessoas consomem o produto A
ou o produto B?d) Quantas pessoas consomem apenas o
produto C?e) Quantas pessoas foram consultadas?
Produtos Numero de consumidor
A 150
B 200
C 250
A e B 70
A e C 90
B e C 80
A, B e C 60
Nenhum dos três
180
Resolução de problemas
5 – ( FAAP-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo,100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?
Resolução de problemas
6 – Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades,O numero de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.
Pergunta-se:
a) Quantos jogam tênis e não jogam vôlei?b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Conjuntos Numéricos
1- Números Naturais: N = { 0,1,2,3 ... }
2- Números Inteiros Relativos: Z = { ... -2,-1,0,1,2 ... }
3- Números Racionais: Q
Todo Número que pode ser escrito na forma de fração.
Assim, são números Racionais (Q)
Todo Número Inteiro:
Os Decimais Exatos
Ex: 1,3 = 13 10
Ex: 2 = 2 1
Ex: 1,44 ... = 1,4 = 1+ 0,4 = 1 + 4 = 13 9 9
• Os Decimais Não Exatos e Periódicos ( Dízimas )
4 – Números Irracionais : Q’ ou I
Formado por todos os decimais não exatos e não periódicos.
Ex: π = 3,1415926... , √3 = 1,73205...
OBSERVAÇÃO:
Q ∩ Q’ = O ( Disjuntos )
5 – Números Reais: R
R = Q U Q’
6 – Representação:
Q Q’
Z
N
R
Lembrete:
Z+ = { 0,1,2,3, ... }
Z- = { ... ,-3,-2,-1,0 }
Z* = { ...,-2,-1,1,2,3, ... }
+ Z* = { 1,2,3,4, ... }
Exercícios
1-
Exercícios
2-
Resposta:
Exercícios
3-
Resposta:
Exercícios
4-
Resposta:
INTERVALOS
Chama-se intervalo ao conjunto de todos os números compreendidos entre dois outros, chamados de limites.
Tipos Repres. 1 Repres. 2 Repres. 3 Caracter.
Intervalo Fechado
{x Є R / a ≤ x ≤ b} [ a,b ] Inclui limites
Intervalo
Aberto
{x Є R / a < x < b ] a,b [ ou (a,b) Exclui limites
Intervalo Fechado à esquerda
{x Є R / a ≤ x < b} [ a,b [ ou [a,b) Exclui limite à direita
Intervalo Fechado à direita
{x Є R / a < x ≤ b} ] a,b ] ou ( a,b ] Exclui limite à esquerda
• Intervalos Impróprios
São chamados intervalos impróprios os intervalos com um limite apenas.
1. No Conjunto dos números reais, o conjunto
Represent. 1 Represent. 2 Represent. 3
x ≥ a [ a,∞ [ ou [ a, ∞ )
x ≤ a ] -∞,a] ou ( -∞,a ]
x > a ] a, ∞ [ ou ( a, ∞ )
x < a ] -∞,a [ ou ( -∞,a )
Exercício
1) No conjunto dos números reais, o conjunto N = {x; x<5} ∩ ({x;1≤x≤7} U {x;x≥5}) é:
a) Øb) { x; 5 ≤ x < 7 }c) { x; 1 ≤ x ≤ 5 }d) { x; 1 ≤ x < 5 }e) { x; x ≥ 1 }
02) Se A = ] -2,3] , B = [ -1,4 ] e C = [ 0,5 ], então (AUB) – (B∩C) é:
01) [ 0,3 ]02) ] -2,0 [03) ] 4,5]04) [1,3]05) ] 2,5]
Exercícios
1) O diagrama que representa (A-B) C é: U
A
C B
A
CB
A
CB
AC
B A CB
Exercício
2) Se os conjuntos A,B e E são tais que AUB = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A∩B = {4,5}, E - B = { 1,2 }, B – A = { 6,7 }, E∩B = Ø e E A, então CA é:
U E
a) { 1,3 }b) { 1,3,5 }c) { 3,4,5 }d) { 4,5 }e) { 3,5 }