Professores: Kludio e Ariclia

NOES DE CONJUNTOS CONJUNTOS: Definio: intuitivamente, conjunto uma lista, coleo ou classe de objetos, pessoas etc, indicado por letras maisculas. Elemento: cada um dos integrantes do conjunto.

Relao de Pertinncia: a relao que se

estabelece entre elemento e conjunto. Quando um elemento a pertence a um conjunto B, indicamos: a B. Quando um elemento c no pertence a um conjunto B, indicamos c B. Representao de um conjunto: a) Nomeando seus elementos entre chaves e separados por vrgula A = {2, 3, 5}.

b) Atribuindo uma caracterstica comum a todos os

seus elementos: B = {xx par}. O conjunto B formado pelo elemento x, tal que a caracterstica comum a todo x ser par. c) Atravs de linhas simples, fechadas, conhecidas como diagrama de Venn. C = {1, 3, 5, 7}.

C 1

3 5 7

Tipos de conjuntos:

Conjunto Unitrio: todo conjunto formado por um nico elemento. Ex: D o conjunto do maior cargo poltico do Brasil. D = {Presidente} Conjunto Vazio: todo conjunto que no tem

elementos. O smbolo usual para o conjunto vazio

o , porm tambm se usa { }. Ex: C o conjunto de pessoas que vivem e tm

mais de 1000 anos. C = .

A = x, x A Conjunto Finito: todo conjunto que possvel nomear todos os seus elementos. Ex: A = {a, b, c}. Conjunto Infinito: todo conjunto que impossvel

nomear todos os seus elementos.

Ex: B = = (0, 1, 2, 3, 4.......). Conjunto Universo (U): o conjunto que possui todas as solues de um determinado problema.

Ex: U = {...., -2,......, 0, 1,.... 2 , 2, 3......}. Conjuntos Iguais: dois conjuntos so iguais quando eles possuem os mesmos elementos.

Ex: A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 4 , 9 , 16 }.

Logo A = B.

A = B A B e B A

A B A B e B A Relao de Incluso: Dados dois conjuntos A e B, quaisquer, ambos no vazios, dizemos que A B ( A est contido em B), se para todo x A, tambm x B. Ex: a) A = {2, 4, 6}; B = {xx par}. Logo A subconjunto de B, ou seja, para todo x A, x tambm elemento de B, isto x B, ento A B. OBS: Usa-se, com menos freqncia, B A (B contm A.). B A

b) A = {2, 3, 4, 5}; B = {xx impar}. Logo A no subconjunto de B, pois existem elementos que pertencem a A e no pertencem a B. AB ( A no est contido em B). OBS: Usa-se com menos freqncia, B A (B no contm A). OBS: importante lembrar que a relao de pertinncia utilizada somente entre elemento e conjunto e a relao de incluso utilizada somente entre conjuntos. Operaes com conjuntos: Unio: dados dois conjuntos A e B quaisquer, ento AB (A unido com B) um conjunto cujos elementos pertencem a A ou a B.

Notao: AB = {xxA ou xB}.

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Ex: A={2, 3, 4, 5, 7} ;

B = {0, 3, 7};

AB = {0, 2, 3, 4, 5, 7}.

Interseco: dados dois conjuntos A e B, no

vazios, AB (A interseco B) um conjunto cujos elementos pertencem a A e B.

Notao: AB = {xxA e xB}. Ex: A = {1, 2, 3}; B= {1, 3, 5, 6}, ento AB = {1, 3}.

Propriedades da Unio e da interseo Dados trs conjuntos A, B e C, valem as

propriedades:

1) A B= B A

A B = B A

(comutativa)

2) (A B) C= A (B C)

(A B) C = A (B C)

(associativa)

3) A (B C)=(A B) (A C)

A (B C) =(A B) (A C)

(distributiva)

4) A B A B=B A B=A

5) A B (A C) (B C)

6) Leis de Morgan

Dados A e B de um universo U, tem-se:

(A B)C = AC BC (O complementar da reunio igual interseco dos complementares.)

(A B)C = AC BC (O complementar da interseco igual reunio dos complementares)

Conjunto Diferena: dados dois conjuntos A e B, no vazios, o conjunto A B igual a: A B = {xxA e xB}. Ex: A = {1, 7, 8};

B = {7, 10, 12}

A B = {1, 8}.

B A = {10, 12}.

OBS: A B B - A. Conjunto Complementar: dados dois conjuntos A

e B, no vazios, com BA, o conjunto: ABC

(complementar de B relao a A) a diferena de A B.

B C

AB A C A B ouaindaB ouB

Clogo,B { | Ae x B}x x

Ex: Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}; B = {1, 3, 5, 7,

9}; determine A

BC .

Propriedades possvel demonstrar a validade das seguintes propriedades: 1) (BC)C = B para todo B A (o complementar do complementar de um conjunto B o prprio conjunto B). 2) Se A B, ento AC BC ( se um conjunto esta contido em outro, seu complementar contm o complementar desse outro). Escrevendo de outra forma, temos: A B BC AC Conjuntos das partes: Dados um conjunto A,

chama-se conjunto das partes de A (notao: P(A)) aquele que formado por todos os subconjuntos de A.

A B

A B

A B

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P(A) = x | Ax x P(A) x A Teorema: Se A tem k elementos ento P(A) tem 2k

elementos. Propriedades:

I A P(A) II - P(A) III - Se A tem k elementos ento A possui 2k

subconjuntos. Exemplo

a) Se aA , os elementos de P(A) so e a isto )(AP , a

b) Se baA , AP , baba ,,,

Exerccios

01. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e

C = {c, e}, determine AB, AC e ABC. 02. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e

justifique: a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, ento A B tem 7 elementos. b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, ento A B tem 2 elementos.

c)SeA B= ,A tem 5elementos e B tem 4 elementos,

ento a A B tem 9 elementos.

03. Sejam os conjuntos A,B e C dados pelas condies:

A = {x | x um nmero inteiro que satisfaz x2 5x + 6 = 0}

B = {x | x um nmero inteiro que satisfaz x2 2x = 0}

C = { x | x um nmero inteiro que satisfaz x2 9 =0} Determine:

a) A B c) B C e) A B C b) A B d) A C

04. A parte hachurada da figura abaixo, onde U o conjunto universo, e A, B, C so conjuntos,

representa:

a) CBA b) CBA

c) CABA d) CABA e) CBACBA

Rascunho