Conhecimento docente de Combinatória e aluno: um caso no interior de

Pernambuco

Dorghisllany Souza Holanda1

GD7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática

Neste estudo, em andamento, propõe-se analisar como são mobilizados conhecimentos docentes a partir do

conhecimento de Combinatória e alunos, em aulas de um curso de formação inicial de professores de

Matemática. Especificamente, esta pesquisa buscou analisar quais conhecimentos docentes são necessários

para o ensino de Combinatória e como são vivenciados em um componente curricular de um curso de

Licenciatura em Matemática. Diversas pesquisas que investigaram o conhecimento de professores formados

e em formação, apontam dificuldades com o ensino de Combinatória, indicando a necessidade de estudos que

investiguem como os conhecimentos docentes são trabalhados na formação inicial. Para alcançar o objetivo

traçado, foram observadas 15 aulas do componente curricular “Ensino de Combinatória: perspectivas teóricas

e práticas” do curso de Licenciatura em Matemática do Centro Acadêmico do Agreste, em Caruaru,

Pernambuco, sendo realizadas anotações e gravações de áudio e vídeo das aulas. Durante a coleta de dados,

buscou-se observar o cuidado da professora formadora com os conhecimentos dos estudantes, suas

dificuldades e suas experiências. É importante ressaltar também que a investigação teve como foco o trabalho

do professor formador, como este conduzia as situações de aprendizado em sala de aula e como eram

abordados os conhecimentos docentes. Diversas questões relevantes foram evidenciadas, principalmente as

relações com o conhecimento de Combinatória e aluno. A professora formadora, em diversos momentos

destacou a importância desse tipo de conhecimento, se preocupando com as necessidades dos estudantes,

tanto no que se refere ao conhecimento do conteúdo específico, quanto ao conhecimento do ensino de

Combinatória.

Palavras-chave: Formação de professores; Conhecimento docente; Ensino de Combinatória.

Introdução

O presente trabalho trata-se de uma pesquisa de mestrado, em desenvolvimento, do

Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica da Universidade

Federal de Pernambuco (UFPE). Seu propósito é analisar como são mobilizados

conhecimentos docentes a partir do conhecimento de Combinatória e alunos, em aulas de

um curso de formação inicial de Licenciatura em Matemática.

A motivação para o estudo se baseia em pesquisas anteriores que apontam desafios para a

formação do professor de Matemática. Em 2003, Fiorentini publicou um estudo em que

toma como material de análise 112 pesquisas, dissertações e teses, produzidas no período

de 1978 até 2002 em cursos de Pós-Graduação em Educação e em Educação Matemática.

Dentre os resultados, em relação à formação inicial, verificou-se que um dos problemas

apontados recorrentemente refere-se ao distanciamento entre a formação específica, a

1 Universidade Federal de Pernambuco, e-mail: dorghisllany@gmail.com.

Orientadora: Drª. Rute Elizabete de Souza Rosa Borba.

formação pedagógica e a prática profissional na Educação Básica. Ferreira (2003) também

destaca como desafio à formação do professor essa aproximação entre o conhecimento

teórico e a prática profissional e afirma que é preciso compreender melhor quem é o

professor de Matemática, como ele constrói seus conhecimentos na formação e como esses

se relacionam com a sua prática.

A interação entre o conhecimento específico e o conhecimento pedagógico, portanto, é

vista, muitas vezes, como uma tarefa a ser realizada no exterior da formação docente. Essa

visão de formação, tira das Instituições de Ensino Superior (IES) a obrigação de integrar os

saberes necessários ao trabalho docente. De acordo com esse modelo de formação, o

conhecimento da disciplina/específico é trabalhado isoladamente da formação pedagógica

e da prática profissional, não priorizando essas últimas como essenciais na formação inicial

ocorrida nas IES.

A partir da década de 1970, com o objetivo de promover a integração entre as disciplinas,

incluiu-se nas licenciaturas as chamadas disciplinas integradoras, que teriam a função

específica de promover a integração entre a formação de conteúdo e a formação

pedagógica e destas com a prática docente. Entretanto, como defende Moreira (2012, p. 5),

as expectativas criadas nunca foram cumpridas e essa disciplinas se tornaram “em um

espaço de flexibilidade curricular, onde se podiam criar novas disciplinas, algumas com

mais fundamentação, outras nem tanto”.

Assim, apesar da mudança no discurso, percebeu-se em termos práticos, a continuidade da

prática tradicional, na qual predomina a separação teoria e prática. Como vários

pesquisadores de referência têm alertado, o problema da fragmentação dos cursos de

formação não será resolvido apenas inserindo no currículo da Matemática as disciplinas

didático-pedagógicas organizadas e oferecidas por alguns professores; sabe-se que a

formação dos professores requer competências e objetivos específicos para a prática

docente, e as disciplinas destinadas aos cursos de bacharelado não dão conta da proposta

de formação do professor.

O objetivo da presente pesquisa em andamento não é apresentar soluções prontas para a

formação do professor de Matemática, mas discutir a relação entre a formação e a prática,

buscando uma compreensão mais profunda acerca dos conhecimentos necessários à

profissão do professor, em particular, os conhecimentos explicitados na vivência de um

componente curricular de curso de Licenciatura.

Espera-se que as discussões levantadas, no presente estudo, possam contribuir para uma

melhor compreensão dos conhecimentos docentes necessários à prática docente e como

eles podem ser mobilizados na formação inicial.

Conhecimentos Docentes

A presente pesquisa se apoia nas discussões de Shulman (1987; 2005) e Ball, Thames e

Phelps (2008), para caracterizar o conhecimento docentes necessários à prática

profissional. Shulman (1987) defende a construção de knowledge base (base de

conhecimentos) para o professor. Essa base consiste em entender o conhecimento docente

a partir de três eixos: a) o conhecimento do conteúdo da disciplina, b) o conhecimento

curricular e o c) o conhecimento pedagógico do conteúdo.

Com a intenção de compreender o que os professores de Matemática precisam conhecer, e

a partir das categorias de conhecimento criadas por Shulman, os pesquisadores Ball,

Thames e Phelps (2008) avançaram na discussão propondo o conhecimento matemático

para o ensino (em inglês, mathematical knowledge for teaching). Saber Matemática para

ensinar Matemática, de acordo com esses estudiosos, vai além do conhecimento de

conteúdo e inclui elementos sobre os estudantes, sobre o currículo e sobre o meio social.

De acordo com esses estudiosos, o conhecimento matemático para o ensino se estrutura em

duas categorias e em seis domínios de conhecimento, como apresentados a seguir:

Conhecimento do Conteúdo

o Conhecimento Comum do Conteúdo (Common Content Knowledge - CCK);

o Conhecimento Especializado do Conteúdo (Specialized Content Knowledge

- SCK)

o Conhecimento do Horizonte do Conteúdo (Horizon Content Knowledge -

HCK)

Conhecimento Pedagógico do Conteúdo

o Conhecimento do Conteúdo e Aluno (Knowledge of Content and Students -

KCS)

o Conhecimento do Conteúdo e Ensino (Knowledge of Content and Teaching

- KCT)

o Conhecimento do Conteúdo e Currículo (Knowledge of Content and

Curriculum - KCC)

O conhecimento comum do conteúdo é o conhecimento do conteúdo disciplinar ensinado

pelos professores e que outros profissionais também possuem. Tal conhecimento envolve

saber resolver exercícios, saber utilizar notações.

Já o conhecimento especializado do conteúdo é um conhecimento do conteúdo que é

específico para o ensino, ou seja, não é utilizado para outras atividades ou profissões.

O conhecimento de horizonte do conteúdo diz respeito ao encadeamento dos conteúdos

curriculares. Isso significa, por exemplo, que, os professores dos anos iniciais, ao

ensinarem determinado conteúdo aos seus estudantes, já podem pensar como esse mesmo

conteúdo será vivenciado nos anos escolares seguintes e preparar os estudantes para tais

vivências.

Entende-se por conhecimento do conteúdo e aluno a conexão entre o conhecimento que o

professor possui dos alunos e da Matemática. Esse conhecimento pode ser mobilizado

quando o professor busca entender o que os alunos já conhecem dos conceitos matemáticos

e suas dificuldades diante de conteúdos abordados.

O conhecimento do conteúdo e ensino combina o conhecimento sobre ensinar e o

conhecimento sobre Matemática. Fazem parte desse domínio o planejamento de ensino, a

preparação de uma sequência didática para determinado conteúdo, a elaboração de uma

avaliação e elaboração de estratégias para superar dificuldades. Todas as decisões

requerem uma integração entre a Matemática que está sendo apresentada e os objetivos de

ensino presentes naquele contexto escolar.

O sexto domínio descrito por Ball e seus colaboradores é o conhecimento do conteúdo e

currículo. Para Lima, A. (2015, p. 37), este é um domínio definido como o “conhecimento

dos materiais (livros didáticos e recursos metodológicos), currículos, orientações

metodológicas e programas que servem como ferramentas de apoio ao trabalho do

professor dentro e fora da sala de aula durante a preparação das aulas”. A proposta de

introduzir o ensino de Combinatória desde os anos iniciais do Ensino Fundamental faz

parte desse tipo de conhecimento.

Ball e seus colaboradores (2008, p. 281) apontam que os professores precisam ter uma

compreensão profunda da Matemática que ensinam que não se limite a um conhecimento

do tipo saber fazer, mas que se traduza num conhecimento explícito. Para essa

compreensão profunda, o professor precisa de oportunidades para construir situações de

aprendizagem.

Contudo, nem sempre a formação inicial do professor consegue proporcionar tais

experiências. Isso se reflete nas dificuldades enfrentadas pelos professores ao trabalharem

com a Matemática em suas salas de aula.

No caso específico da Combinatória, pesquisas apontam que os professores pesquisados

apresentam dificuldades em diferenciar problemas e, também, em avaliar as estratégias dos

alunos (ROCHA, 2011; ASSIS, 2014), os professores sentem dificuldade em resolver e

analisar diferentes problemas propostos (LIMA, A. P., 2015; LIMA, R., 2015) e, ainda,

desconhecem as propriedades de cada situação Combinatória, o que acarreta uma

insegurança ao ensinar esse conteúdo (SABO, 2010).

Método

O objetivo do presente estudo é analisar como são mobilizados conhecimentos docentes a

partir do conhecimento de Combinatória e alunos, em aulas de um curso de formação

inicial de Licenciatura em Matemática.

Este objetivo surge a partir de um levantamento, em anais de congressos e revistas, de

pesquisas em artigos, dissertações e teses, sobre os conhecimentos docentes e sobre o

ensino de Combinatória. Percebeu-se que diversos trabalhos (Rocha (2011), Lima (2015),

Assis (2014), Moreira (2014), dentre outras) apontam dificuldades por parte dos

professores com o ensino de Combinatória, nos diversos níveis de ensino, e que esses

professores percebem poucas contribuições de sua formação inicial para o ensino de

Combinatória na Educação Básica. A partir desses estudos surge o questionamento: “de

que maneira, a formação inicial de professores pode contribuir para a construção dos

conhecimentos necessários para o trabalho com a Combinatória?”

Para alcançar tal objetivo, foi necessário acompanhar aulas de uma disciplina em um curso

de Licenciatura em Matemática durante todo um período. A duração do levantamento de

dados da pesquisa foi, portanto, de cinco meses e ocorreu no segundo semestre de 2015.

Durante a procura por um campo de estudo, foi encontrada a grade curricular do curso de

Matemática – Licenciatura2 do Campus Acadêmico do Agreste/CAA da Universidade

Federal de Pernambuco/UFPE, que ofertava dentre as suas disciplinas, a eletiva: Ensino de

Combinatória: perspectivas teórico-práticas. É importante destacar que essa disciplina

optativa não é comum aos cursos de licenciatura de todos os campi da UFPE.

2 Assim denominado pelo Campus Acadêmico do Agreste/CAA no Projeto Pedagógico do Curso.

Em uma pesquisa realizada nas Instituições de Ensino Superior (IES) do Estado de

Pernambuco, públicas e privadas, Gonçalo e Silva (2015) buscaram conhecer as disciplinas

específicas de Combinatória presentes nos cursos de Licenciatura em Matemática.

Segundo os pesquisadores, das 16 IES analisadas apenas seis possuem disciplinas

específicas para o trabalho com a Combinatória e essas são disciplinas de caráter

matemático (a saber: Combinatória e Probabilidade, Princípio da Contagem e Análise

Combinatória), isto é, não buscam discutir sobre o ensino do conteúdo em questão.

Nos programas das Licenciaturas em Matemática da UFPE encontrou-se que as discussões

sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo ficam na responsabilidade das disciplinas

chamadas pedagógicas - as Metodologias do Ensino da Matemática e os Estágios - que

discutem sobre o ensino da Matemática no geral. Dessa forma, a eletiva selecionada para o

estudo, Ensino de Combinatória: perspectivas teórico-práticas, apresenta-se como uma

exceção, porque busca tratar tanto da Combinatória, quanto de seu ensino. Essa

particularidade faz com que esse componente curricular seja um caso passível de

investigação.

Esta pesquisa tem como participante a professora formadora da referida disciplina e foi

realizada em uma turma de 5° período de Licenciatura em Matemática. Convém salientar

que essa professora é pesquisadora na área de ensino de Combinatória e atualmente

estudante de doutorado em Educação Matemática.

O presente estudo caracteriza-se como um estudo de caso, conforme define Ponte (2006, p.

02), porque ela “visa conhecer uma entidade bem definida como uma pessoa, ou

instituição, um curso, uma disciplina[...] e seu objetivo é compreender o ‘como’ e os

‘porquês’ dessa entidade, evidenciando a sua identidade e características próprias”.

Foram realizadas observações, anotações e videogravações nas aulas da disciplina optativa,

pois entende-se que esse olhar multifacetado permite juntar informações diversas sobre o

componente curricular observado.

Durante as observações em sala, buscou-se analisar como a professora formadora

mobilizava conhecimentos docentes, através da sua fala, do material produzido, das

atividades sugeridas e como, a partir do conhecimento de Combinatória e alunos, a

formadora tomava decisões em seu planejamento.

Quanto ao grau de participação, este instrumento se caracteriza como observação não-

participante, na qual o pesquisador tem um contato com grupo ou com a realidade

estudada, entretanto sem integrar-se a ela. As videogravações foram organizadas junto à

professora formadora, e somente ela participava do vídeo.

Se houver necessidade, para complementar os dados coletados será realizada uma

entrevista semiestruturada com a professora formadora, para preencher as lacunas das

observações e entender as dinâmicas escolhidas para as aulas. O roteiro para a entrevista

será elaborado após as análises das aulas para facilitar, conforme explica Minayo (1998), a

ampliação e o aprofundamento da comunicação e obtenção de dados.

Apresentação e análise preliminar dos resultados

Das 15 aulas observadas, apenas 11 foram objetos de análise para esta pesquisa, já que

quatro dessas aulas foram mediadas por estagiários da disciplina ou pelos próprios alunos.

Nesse primeiro momento, buscamos descrever duas aulas, apresentando pequenos extratos

das falas da professora formadora com os alunos e destacamos a presença dos

conhecimentos docentes para posterior análise.

1° aula com observação

No primeiro momento não foi realizada videogravação, pois ainda seria combinado com os

estudantes como aconteceria esse acompanhamento em sala durante todo o período. Nesse

dia, a professora formadora planejou um momento inicial para apresentar e discutir os

objetivos da disciplina e aplicação de um questionário, que tinha por objetivo entender as

escolhas dos alunos quanto à disciplina eletiva e investigar as experiências que eles

possuíam com a Análise Combinatória. Na Tabela 1 apresentamos uma parte do

questionário elaborado pela professora e algumas respostas dos estudantes.

Tabela 1: Questionário aplicado – Ficha 1: primeiros contatos

Pergunta Resposta (s)

Para você o que é Combinatória? “É a possibilidade de acontecer

algum evento”.

“Não consigo definir devido ao

contato que tive com a

disciplina”.

“O estudo das possibilidades”.

Que dificuldades você possui

com a Combinatória? Comente.

“É saber o que usar e quando

usar”.

“Não tenho muita segurança,

então as dificuldades são

muitas”.

“Identificar o tipo de problema e

como é pra resolver”.

Qual sua experiência com a

Combinatória na escola?

Comente.

“Não me recordo”.

“Muito superficial. Eram muitos

assuntos e então passou muito

rápido”.

“Eram dadas as fórmulas e nós

resolvíamos as questões”.

Qual a sua experiência com a

Combinatória na universidade?

Comente.

“Foi na disciplina de

Estatística”.

“Foi pouca, apenas em

Estatística e em Matemática 33,

com pouca ênfase”.

Fonte – Dados da pesquisa

A primeira questão escolhida nos remete ao conhecimento de conteúdo e alunos, quando a

professora, sabendo da importância desse conhecimento, investiga sobre o que os alunos já

conhecem e como eles definem Combinatória. Ao propor essa e a segunda questão,

entende-se que a professora busca conhecer possíveis dificuldades dos seus alunos, para

antecipar alternativas e propor estratégias que ajudem nessas dificuldades, mobilizando,

portanto, o conhecimento de conteúdo e ensino. É importante ressaltar que, ao longo da

discussão em sala, a professora destaca com seus alunos a importância de cada pergunta

realizada, ensinando através da sua experiência, a necessidade do professor conhecer os

alunos para planejar sua proposta de ensino. Para Pimenta (2012), um dos saberes que

compõe o conhecimento do professor é o saber da experiência. Assim, é preciso que os

licenciandos enquanto alunos na formação na Licenciatura aprendam também através de

práticas vivenciadas.

A partir desse primeiro contato com a turma, a professora elaborou atividades

diferenciadas para as próximas aulas da disciplina, utilizando diversos tipos de problemas e

contextualizações. Um resultado encontrado nesse questionário foi que os alunos

apresentavam muitas dificuldades com o conhecimento específico de Combinatória,

quando mencionaram, por exemplo, não conseguir diferenciar os problemas combinatórios,

não entender a contextualização dos problemas, não utilizar corretamente as fórmulas.

3 Componente Curricular encontrado no 4° período curso de Licenciatura em Matemática do CAA/UFPE.

Este componente apresenta em sua grande curricular os conteúdos de Geometria e Combinatória.

Uma iniciativa para auxiliar na superação de dificuldades foi a criação de um grupo no

Facebook para a discussão e resolução de problemas extra sala de aula. Dessa forma,

durante a semana os alunos tinham também um espaço para aprender mediado pela

professora.

2° aula com videogravação e observação

Reforçando o que foi dito anteriormente, a partir das respostas dadas pelos estudantes a

professora pode elaborar as suas atividades:

“Começamos na semana passada conversando um pouquinho, fizemos o nosso contrato e

uma coisa que vocês me levaram a perceber naquela nossa primeira ficha é que a gente

precisa discutir mesmo Combinatória, me referindo ao conteúdo, diferentes problemas,

como resolver. Então, a partir disso, eu fui enveredar por alguns caminhos, e criei uma

ficha com base em alguns documentos. Meu objetivo é discutir as resoluções, ajudar em

algumas dúvidas, vamos juntos entender os problemas, ok?” (Fala da professora).

Na Tabela 2 são apresentados trechos dessa segunda aula em que a professora discute com

os alunos alguns problemas combinatórios e, a partir da análise das falas, são indicados

conhecimentos evidenciados.

Ao se discutir com os estudantes as possíveis estratégias para resolução dos problemas, a

professora mobilizou o conhecimento de Combinatória e ensino, quando levou os alunos a

pensarem nos erros das respostas e na forma de conduzir, através do erro, à resposta

correta. Mas também é evidenciado o conhecimento de Combinatória e alunos, quando a

formadora conseguiu visualizar os erros dos alunos e através da mediação em sala de aula

os levou a perceberem e corrigirem suas respostas. Percebemos também o conhecimento

comum de Combinatória quando da resolução de cálculos básicos.

Tabela 2: Extrato de aula 1 – resolvendo problemas combinatórios

Conhecimento de

Combinatória e

Ensino

Professora Formadora: [...] Vamos ler o problema 79, quem

vai ler ai pra gente?

Aluno: “Existem 7 casas; Em cada casa existem 7 gatos;

cada gato mata 7 ratos; cada rato come 7 grãos de cevada;

cada grão teria produzido 7 hekat. Qual a soma de todas as

coisas enumeradas?”

Professora Formadora: “Como podemos resolver? Vou

deixar um tempinho para vocês pensarem (momento de

conversa entre os alunos). Vamos anotar aqui no quadro as

respostas que vão surgindo. Primeiro alguém falou ai sete à

quinta (refere-se a: 75). E o outro foi sete a primeira mais,

sete ao quadrado mais, sete a terceira, sete a quarta mais,

sete a quinta mais (escreve no quadro: 71 + 72 + 73 +

Conhecimento

Comum do Conteúdo

Conhecimento de

Combinatória e

Alunos

74 + 75). Essas ai são opiniões. Vamos pela democracia

aqui: quem acha que é a primeira?”

Aluno: “Eu fiz por meio de diagrama.”

Professora: “E como seria por meio do diagrama? (o aluno

vai explicando e a professora escrevendo no quadro)

Aluno: “Começa com uma bolinha e dessa bolinha saem

sete setinhas. No final de cada setinha saem outras sete

setinhas (risos)”

Professora: “É assim, é?” (desenha no quadro)

“Entendi. Mas qual a opção correta?” (segue-se uma

discussão sobre a opção correta)

“Gente, porque estamos tendo essa dificuldade de entender

a resposta? Será que através do diagrama, como nossa

colega fez, que é a árvore de possibilidade não é? Será que

a gente consegue ver o problema? ”

Aluno: “Essa forma de responder nos mostra o passo a

passo, é como se dissesse o que tem que ser feito. Quando

coloca a fórmula ali eu não sei de onde ela veio.”

Professora: “Isso, concordo contigo. E uma outra

dificuldade dessa questão é que ela não quer saber quais

são as possibilidades somente, ela quer saber qual a soma

das possibilidades. Pensar em como responder esse

problema nos leva a pensar em como ensinar a responder

problemas como esse. Não é isso? Vamos seguir?” Fonte – Dados da pesquisa

Destaca-se também a mediação da professora para o ensino de Combinatória: “pensar em

como responder esse problema nos leva a pensar em como ensinar a responder problemas

como esse. Não é isso?” e “O que esses problemas têm de semelhantes? E de diferentes?

Por que colocar os dois nessa ficha?”.

As escolhas feitas pela professora, tanto na construção das atividades como na forma de

conduzí-las em sala, levaram os estudantes em formação a desenvolverem seus

conhecimentos e a pensarem em suas práticas futuras.

Algumas considerações

Esta pesquisa, ainda em desenvolvimento, já aponta alguns resultados importantes.

Destacamos que o conhecimento do aluno e Combinatória esteve presente no

planejamento e nas ações da professora formadora em todos os momentos observados e

verificamos que, por intermédio dessa forma de conhecimento docente ela mobilizou

outras formas de conhecimento da Combinatória (comum, específico, do horizonte, do

ensino e do currículo). Percebeu-se que as escolhas da professora em sala de aula se davam

a partir das colocações dos alunos, das suas dificuldades, das discussões em sala, o que

destaca a presença do conhecimento de Combinatória e aluno. A forma como a professora

formadora lidou com o conhecimento dos estudantes (os licenciandos em Matemática)

pode ser um exemplo para que os mesmos também considerem em suas práticas os

conhecimentos de seus alunos da Educação Básica. Como defende Pimenta, um dos

saberes que compõe o conhecimento do professor é o saber da experiência, portanto, boas

experiência na formação poderão levar a boas práticas.

Referências

BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowlegde for teaching: what

makes it special?. In: Journal of teacher education. 2008. V. 59. n° 5, p. 389-407.

Disponível em: http://jte.sagepub.com/content/59/5/389

BORBA, R. E. S. R; PESSOA, C. A. S.; ROCHA, C. A; ASSIS, A. B. A formação de

professores de anos iniciais do ensino fundamental para o ensino da Combinatória. Revista Paranaense de Educação Matemática. v.3, n. 4, 2014.

FERREIRA, A. C. Um olhar retrospectivo sobre a pesquisa brasileira em formação de

professores de Matemática. In: FIORENTINI, D. Formação de professores da

Matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas: Mercado das

letras, 2003.

FIORENTINI, D. Estado da Arte da pesquisa brasileira sobre formação de professores

que ensinam Matemática. In: Seminário sobre licenciaturas, Salvador, 2003.

GONÇALO, V. L. S.; SILVA, A. D. P. R. Análise Combinatória: um olhar no currículo

das Instituições de Ensino Superior do Estado de Pernambuco – Brasil. In: Anais do XIV

Conferência Interamericana de Educação Matemática. Chiapas, México, 2015.

GONÇALVES, E. P. Conversas sobre iniciação à pesquisa científica. Campinas: Ed.

Alínea, 2001.

LIMA, A. P. B. Princípio fundamental da contagem: conhecimentos de professores de

Matemática sobre seu uso na resolução de situações combinatórias. Dissertação. Pós-

Graduação em Educação Matemática e Tecnológica da UFPE. Recife: UFPE, 2015.

LIMA, R. G. A. Problemas de Combinatória: um estudo de conhecimentos mobilizados

por licenciandos em Matemática. Dissertação. Pós-Graduação em Educação Matemática da

UFMS. Campo Grande: UFMS, 2015.

MINAYO, M. C. de S. (org.) Pesquisa social: teoria, método e criatividade. – 10 ed. –

Petrópolis. Rio de Janeiro: Vozes, 1998.

MOREIRA, F. M. B. Os conhecimentos acerca do conceito de Análise Combinatória

de professores que ensinam Matemática: um estudo diagnóstico. Dissertação. Pós-

Graduação em Educação Matemática da UESC. Ilhéus: UESC, 2014.

MOREIRA, P. C. O conhecimento matemático do professor: formação na licenciatura e

prática docente na escola básica. Tese. Pós-Graduação Conhecimento e Inclusão Social da

Faculdade de Educação da UFMG. Belo Horizonte: UFMG, 2004.

MOREIRA, P. C. 3+1 e suas (in)Variantes (Reflexões sobre as possibilidades de uma

nova estrutura curricular na Licenciatura em Matemática). In: Bolema. Rio Claro, v.

26, n. 44, p. 1137 – 1150, 2012.

PIMENTA, S. G. Saberes Pedagógicos e Atividade Docente. Selma Garrido Pimenta

(org.) – 8. Ed. – São Paulo: Cortez, 2012.

PONTE, J. P. Estudos de caso em Educação Matemática. In: Bolema. v. 25, p.105-132.

Disponível em: http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/3007/1/06-Ponte(BOLEMA-

Estudo%20de%20caso).pdf

ROCHA, C. A. Formação docente e o ensino de problemas combinatórios: diversos

olhares, diferentes conhecimentos. Dissertação. Pós-Graduação em Educação Matemática

e Tecnológica da UFPE. Recife: UFPE, 2011.

SABO, R. D. Saberes docentes: uma análise combinatória no Ensino Médio. 208f.

Dissertação. Mestrado em Educação Matemática. São Paulo: PUC/SP, 2010.

SILVA, R. D.; DIAS, A. A.; PIMENTA, S. A. Profissionalidade e formação docente:

representações sociais de professores. Rev. Diálogo Educacional, Curitiba, v.14, n.42, p.

549 – 568.

SOUZA, A. C., TEIXEIRA, M.V., BALDINO, R. R., CABRAL, T. C. Novas diretrizes

para a Licenciatura em Matemática. Temas e Debates, v.8, n° 7, 1995. p. 41 – 65.

SHULMAN, L. S. Those who understand: knowledge growth. In: Teaching

Educational Research. Washington: DC, v. 15, n. 2, 1986.